1.4.2空间中的距离问题第一课时课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 课时1 空间中的距离问题 作者编号：32100 1.理解点到直线、点到平面距离的公式. 2.能用向量方法解决空间中的距离问题. 学习目标 作者编号：32100 说一说：如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ 如何用空间向量解决这个问题呢？ 情景导入 作者编号：32100 先研究用向量方法求直线l外一点P到直线l的距离. 新知讲解 作者编号：32100 立体几何中的距离问题 点到直线 点到平面 两条平行直线 两个平行平面 l A u Q P 问题1：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 如图，直线l上的投影向量为则在直角三角形APQ 中，，∠ PAQ都是确定的. 设=a，则=(a·u)u,由勾股定理，得 PQ= Q l A P M 新知讲解 作者编号：32100 5 l2 A u Q P 问题2：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ l1 设=a，则=(a·u)u， 由勾股定理，得： PQ= 在l1上取定一点P，l2上取一点A 找l1或l2的方向向量u 点到直线的距离 新知讲解 作者编号：32100 6 问题3：已知平面𝛼的法向量为n，A是平面𝛼内的定点，P是平面𝛼外一点.如何求点P到平面𝛼的距离？ n P A 过P作平面𝛼的垂线l，交平面𝛼于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面𝛼的距离就是直线l上的投影向量为长度. 因此 PQ= = Q 新知讲解 作者编号：32100 思考与讨论1：点到平面的距离公式和点到直线的距离公式区别在哪里?为什么会有这样的区别? 作者编号：32100 转化 转化 如图1，如何求平行于平面α 的直线 m 到平面 α 的距离? 如图2，如何求两个平行平面 α、β 之间的距离? 思考与讨论2： 图1 图2 作者编号：32100 两个平行平面的距离： n P A Q 在β上取定一点P，α上取一点A，找α的法向量n 过P作平面𝛼的垂线l，交平面𝛼于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面𝛼的距离就是直线l上的投影向量为长度. 因此： PQ= = 作者编号：32100 10 空间距离的向量表示 点线距、线线距 点面距、线面距、面面距 知识归纳 作者编号：32100 分析：根据条件建立直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离. 例1：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)， 所以 典型例题 作者编号：32100 （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. （1）取 则 所以点B到直线AC1的距离为 设平面AEC1的法向量为 n=(x,y,z)，则 （2）因为 ， 所以 FC∥EC1，所以 FC∥平面AEC1； 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 作者编号：32100 所以 ；取z=1，则x=1，y=2； ，所以 又因为 ，所以点F到平面AEC1的距离为 即直线FC到平面AEC1的距离为 （2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 所以n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量. 作者编号：32100 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 得到所求距离 建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 应用向量距离计算公式 空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 方法归纳 作者编号：32100 练一练 作者编号：32100 练一练 作者编号：32100 练一练 作者编号：32100 练一练 作者编号：32100 空间距离的向量表示 点线距、线线距 点面距、线面距、面面距 本课小结 作者编号：32100 D 当堂检测 作者编号：32100 21 C 当堂检测 作者编号：32100 22 当堂检测 作者编号：32100 23 ． 在点到直线的距离公式中，投影向量垂直于垂线段; 在点到平面的距离公式中，投影向量与垂线段重合. 这是由给定图形的几何特征所决定的. ． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （1），，． 设，， 则，， ∴点到直线的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （2），，，． ∴点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，．设， ，，∴直线与的距离为． （3）设平面的法向量为， 又，，， 取，则，，，， 又，∴点到平面的距离为． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点， 为线段的中点． (1) 求点到直线的距离； (2) 求直线到直线的距离； (2) 求点到平面的距离；(4) 求直线到平面的距离． （4），平面，平面， 到面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， ∴直线到平面的距离为． ． 【练习1】已知平面α的一个法向量n=(-2，-2，1)，点A(-1，3，0)在平面α内，则点P(-2，1，4)到平面α的距离为( ). A.10　　　　 B.3　　　 　C.　　　　 D. 解析：∵A(-1，3，0)，P(-2，1，4)，∴=(-1，-2，4). ∵由题意知|n|=3，∴点P到平面α的距离为=. 【练习2】已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长为(　　). A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为=(4，-5，0)，=(0，4，-3)，所以在上的投影为==-4. 又||=，所以AC边上的高BD的长为=5. 【练习3】已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为 .  解析：由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离， 又=(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d===. $