1.2.4 绝对值 （预习讲义）2025-2026学年数学人教版七年级上册

第1章 有理数 1.2.4 绝对值 （预习讲义） 学习目标 1. 理解绝对值的概念，会用文字语言和符号语言描述绝对值的定义。 2. 会求一个有理数的绝对值。 3. 理解绝对值的几何意义，知道绝对值表示的是距离。 4. 掌握绝对值的非负性，并能初步运用。 知识点梳理 1. 绝对值的定义 · 代数定义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 也就是说： 1　 当 a 是正数时，|a| = a； 2　 当 a 是负数时，|a| = -a； 3　 当 a = 0 时，|a| = 0。 · 几何定义： 在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。 （距离是一个非负的量，所以绝对值一定是非负的。） 2. 绝对值的表示方法 · 数 a 的绝对值记作：|a|。 例如：5的绝对值记作|5|，-3的绝对值记作|-3|，0的绝对值记作|0|。 3. 绝对值的性质 · 非负性： 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即 |a| ≥ 0。 （也就是说，绝对值不可能是负数。） · 互为相反数的两个数的绝对值相等： 即 |a| = |-a|。 例如：|5| = 5，|-5| = 5，所以 |5| = |-5|。 · 若 |a| = a，则 a ≥ 0；若 |a| = -a，则 a ≤ 0。 4. 求一个数的绝对值的方法 · 首先判断这个数是正数、负数还是0。 · 然后根据绝对值的代数定义写出结果： 1　 正数的绝对值是它本身。 2　 负数的绝对值是它的相反数（即在这个负数前面加上负号）。 3　 0的绝对值是0。 例题： 1　 |3| = 3 （3是正数，绝对值是它本身） 2　 |-4| = 4 （-4是负数，绝对值是它的相反数，即 -(-4) = 4） 3　 |0| = 0 （0的绝对值是0） 4　 |2.5| = 2.5 （2.5是正数，绝对值是它本身） 5　 |负三分之二| = 三分之二 （负三分之二是负数，绝对值是它的相反数） 知识总结 · 核心概念： 绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，具有非负性。 · 表示方法： 数 a 的绝对值用 |a| 表示。 · 如何计算： (1) 正数的绝对值是它本身。 (2) 负数的绝对值是它的相反数。 (3) 0的绝对值是0。 · 重要性质： (1) |a| ≥ 0 （绝对值非负）。 (2) |a| = |-a| （互为相反数的两数绝对值相等）。 · 几何意义： 数轴上点到原点的距离。 巩固练习 一、选择题 1．的绝对值等于（　　） A． B． C．2 D．4 2．－3的绝对值是（　　） A．－3 B．3 C． D．±3 3．下列结论正确的是（　　） A．有理数包括正数和负数 B．绝对值是本身的数是非负数 C．0是最小的整数 D．数轴上原点两侧的数互为相反数 4．下列各数： ， ， ， ， 其中比小的数是 ( ) A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（　　） A．任何一个有理数都有它的相反数 B．是最大的负数 C．0是最小的正数 D．绝对值等于它本身的数是正数 6．下列比较两个数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在数轴上，到原点距离5个单位长度，且在数轴右边的数是( ) A．－5 B．＋5 C． D．15 8．如果 =a，那么a一定是（　　） A．负数 B．非负数 C．非正数 D．任何有理数 9．若，则可能的值个数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10． 的相反数是　 　． 11．比较大小：　 　． 12．比较大小：　 　．（填“>”或“=”或“<”） 13．-在数轴上对应的点与它的相反数对应的点之间的距离为　 　 ． 14．已知，且，则． 15．已知有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简|b－a|－|a|=　 　. 16．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c＋b|＋|b－a|＝　 　． 三、解答题 17．如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a–b|+|b–c|． 18．已知a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示. 化简：|a|+|b|-|c|+|a-b|-|c-b|. 19．一只蚂蚁从点A出发，在一条直线上来回爬行，规定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米），，，，，，，． （1）爬行结束后蚂蚁是在点A的左边还是右边？与点A的距离是多少？ （2）爬行过程中，每爬行一厘米蚂蚁可以获得1粒艺麻，则从开始到结束，蚂蚁一共获得了多少粒芝麻？ 20．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题： （1）数轴上表示和1两点之间的距离是____，数轴上表示x和2的两点之间的距离是____； （2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为____； （3）若x表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 21．阅读下面材料并解决有关问题，我们知道： ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 时，可令 和 ，分别求得 ， ，称 ，2分别为 与 的零点值在有理数范围内，零点值 ， ，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ① ；② ；③ 从而化简代数式 时可分以下3种情况： ①当 时，原式 ； ②当 时，原式 ； ③当 时，原式 ； 综上所述： 原式 ，通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）当 时， 　 　. （2）化简代数式： （3）直接写出 的最大值　 　. 参考答案 1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．B 9．A 10．-5 11． 12． 13．7 14． 15．b 16．a－b＋c 17．解：由数轴图可得：a＜b＜0＜c， 所以a－b＜0，b－c＜0， 所以|a–b|+|b–c|=－（a－b）－（b－c）=c－a 18．解：∵a、b、c在数轴上对应的点如图所示 ： ∴c<b<0<a，|a|<|b|<|c| ∴|a|+|b|-|c|+|a-b|-|c-b| =a-b-(-c)+(a-b)-[-(c-b)] =a-b+c+a-b-b+c =2a-3b+2c 19．（1）爬行结束后蚂蚁是在点A的左边，与点A的距离是1厘米 （2）蚂蚁一共获得了粒芝麻 20．（1）4， （2）或 （3）有最小值，6 21．（1）-x+2 （2）解：化简代数式： 分为以下三种情况讨论： 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 当 时，原式 ； 综上所述： 原式 （3）2 学科网（北京）股份有限公司 $