第一章特殊的平行四边形---矩形专题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

参考答案 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】B 9.【答案】C 10.【答案】B 11.【答案】75 12.【答案】18 13.【答案】号 14.【答案】2.4 15.【答案】号或 16.【答案】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC, ·∠ABE=∠CDF, :点E,F分别为OB,OD的中点， :.BE=0B,DF=OD, :BE=DF, 在△ABE和△CDF中， AB=CD ∠ABE=∠CDF, ABE=DF ·△ABE≌△CDFSAS); (②解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形； 理由如下： 第1页，共1页 AC=20A,AC=2AB, .AB=0A, :E是OB的中点， ·AG⊥0B, ·∠0EG=90°， 同理：CF⊥OD, ·AG//CF, ÷EG//CF, 由(1)得：△ABE≌△CDF, ·AE=CF, EG=AE, ·EG=CF, ·四边形EGCF是平行四边形， :∠0EG=90°， ·四边形EGCF是矩形， 17.【答案】【小题1】 证明：：四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC, ÷AD=BC,AD//BC,∠AEF=90°. CF=BE, ·EF=EC+CF=EC+BE=BC, EF=AD,AD /EF :四边形ADFE是平行四边形. :∠AEF=90°， ·四边形ADFE是矩形； 【小题2】 解：：AD=6, ·BC=EF=6, :EC=4, BE=CF=2,BF=BC+CF=8. 第1页，共1页 :四边形ABCD是平行四边形， :AB DC. :∠ABE=∠DCF=60, 在Rt△CDF中，∠CDF=90°-∠DCF=30°. ·CD=2CF=4, .DF=CD2-CF2=42-22=23 在Rt△BDF中，∠DFB=90°， BD=VBF2+DF2=182+2V3=2V19 18.【答案】(1)证明：由折叠的性质，知△BDC兰△BDE, ·∠DBC=∠DBE :四边形ABCD是矩形， ÷AD//BC.÷∠DBC=∠FDB. ·∠DBE=∠FDB,·DF=BF. :△BDF是等腰三角形. (2)解： ①四边形BFDG是菱形，理由如下： :四边形ABCD是矩形， :FD /BG. 又：DG//BE, ·四边形BFDG是平行四边形. 又：DF=BF, ·四边形BFDG是菱形. ②：四边形ABCD是矩形， ∠A=90° :BD=VAB2+AD2=V62+8=10 :四边形BFDG是菱形， ÷GF⊥BD,FG=20F,OB=BD=5 设DF=BF=X,则AF=AD-DF=8-x, 第1页，共1页 在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2, 即62+(8-2=x2,解得x=罕 BF=空 车Rt△F0B中，F0=VBF2-OB=V图-5=华， +FG=2F0=号 19.【答案】(1)证明：如图所示， 】 -N 0 3y分 4 5☒6 B D :MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F, ·∠2=∠5，∠4=∠6， MN//BC, ∠1=∠5，∠3=∠6， ·∠1=∠2，∠3=∠4， ·E0=C0,F0=C0, ·0E=0F; (2):∠2=∠5，∠4=∠6， ∠2+∠4=∠5+∠6=90°， :CE=12,CF=5, :EF=V122+52=13, 0C=EF=6.5; (3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形. 理由如下：当0为AC的中点时，A0=C0, 第1页，共1页 :E0=F0, ·四边形AECF是平行四边形， :∠ECF=90°， ·平行四边形AECF是矩形. 20.【答案】解：(1)四边形PECF是矩形 理由：在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5, :AC2+BC2=32+42=52=AB2 ·∠ACB=90° :PE⊥AC,PF⊥BC, ·∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°. ·四边形PECF是矩形 (②)CM的长度会改变理由： 连接PM,由(1)证得四边形PECF是矩形， 又“M为EF的中点， ·C,M,P三点在一条直线上. ：CM=PC 过点C作CD⊥AB于点D· 当PC=CD时，PC最小，此时PC=aC=号=2.4 :点P在斜边AB上（不与A,B重合）， :PC<BC=4. ·PC的范围是2.4≤PC<4. :CM的范围是1.2≤CM<2. 21.【答案】解：(1)四边形ADEF是平行四边形. 理由如下： :△ABD,△BEC都是等边三角形， ·BD=AB=AD,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°. :∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, 第1页，共1页 ·∠DBE=∠ABC. ·△DBE兰△ABC(SAS. ·DE=AC :△ACF是等边三角形， ·AC=AF. DE-AF 同理可得△ABC兰△FEC, ·EF=BA=DA: DE-AF,DA-EF, :四边形ADEF为平行四边形. (②)若四边形ADEF为矩形， 则∠DAF=90°. 易知∠DAB=∠FAC=60°， ÷∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°. :当△ABC满足∠BAC=150时，四边形ADEF是矩形. 22.【答案】解：（1)证明：：四边形ABCD是矩形， :AB=CD,AB//CD,ADBC ·∠ABE=∠CDF, :AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F, ·∠AEB=∠CFD=90°， 在△ABE和△CDF中， I∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD AB-CD ÷△ABE≌△CDF(AAS): :AE=CF; (②)△ABE的面积=△CDF的面积=△BCE的面积=△ADF的面积=矩形ABCD面积的1理由如 下： 第1页，共1页 AD/BC ·∠CBD=∠ADB=30°， :∠ABC=90°， ·∠ABE=60°， :AE⊥BD, ∠BAE=30°， :BE=AB'AE=专AD :△ABE的面积=专BEXAE=专×分AB×AD=言AB×AD=青矩形ABCD的面积， :△ABE≌△CDF, :△CDF的面积=合矩形ABCD的面积： 作EG⊥BC于G,如图所示： D G 图2 :∠CBD=30°， :EG=克BE=克XAB=AB :△BCE的面积=专BC×EG=专BCXAB=音BC×AB=合矩形ABCD的面积， 同理：△ADF的面积=是矩形ABCD的面积 23.【答案】(1)证明：连接BP,作CH⊥BD于点H 在矩形ABCD中，∠BCD=90°，BC=4,CD=AB=3, :BD=VBC2+CD=V42+32=5, 由S△BcD=BCCD=BD.CH,得CH=882==号 :S△PBE+SAPBC-=SABCE, :BE·PR+BC·PQ=BE,号， 第1页，共1页 又：BE=BC, aPR+PQ=号 (2)解：(1)中的结论PR+PQ=号仍成立. 证明：连接BP,作CH⊥BD于点H, :S△PBE十S△PBC=S△BCE, :BE·PR+BC·PQ=BE·CH. 又：BE=BC, :PR+PQ=CH.而CH=号， PR+PQ=号， :(1)中的结论仍成立。 (3)解：猜想：PR-PQ=号 第1页，共1页2025北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形-矩形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，四边形0ABC是矩形，A(2,1),B(0,5),点C在第二象限，则点C的坐标是() A.（-1,3) B.（-1,2) C.(-2,3) D.(-2,4) B A(D) A 第1题图 第3题图 2.如图，矩形ABCD的周长为24cm,两条对角线相交于点O,过点O作BD的垂线EF,分别交BC,AD于点E, F,连接BF,且AF=3cm,则矩形ABCD的面积为() A.24cm2 B.28cm2 C.32 cm2 D.36 cm2 3.把一张宽为1cm的矩形纸片ABCD折叠成如图所示的图案，顶点A,D互相重合，中间空白部分是以E为直 角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD(单位：cm)为() A.7+3V2 B.7+4W2 C.8+3V2 D.8+4v2 4.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4Cm,点E,F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF上的点G处，折痕为AH,若HG延长线恰好经过点D,则CD的长为() A.2cm B.2v3cm C.4cm D.4V3cm E G H 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,作BD的垂直平分线EF,分别与AD、BC交于点E、F.连接BE,DF,若EF= AE+FC,则边BC的长为() A.2V3 B.3V3 C.6W3 D23 第1页，共6页 6.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的 长为() A.V5 B.V5 C.2W5 D.4V5 7.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3, EF=4,那么线段AD与AB的比等于() A.25:24 B.16:15 C.5:4 D.4:3 H E A D 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,点P是边AB上任意一点，过点P作PD1AC,PE1BC, 垂足分别为点D,E,连接DE,则DE的最小值是() A号 B铝 c号 D阳 9.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作DE L AC,交AD于点E,过点E 作EF1BD,垂足为F,则OE+EF的值为() A号 B号 c D号 10.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P,Q分别是BC,AB上的两个动点，AE=1,△AEQ沿EQ翻折 形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是() A.5 B.4 C.2W2 D.2W5 Q P 第10题图 第11题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,DE平分LADC,LAOB=60°，则LC0E= 第2页，共6页 12.如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C 落在对角线AC上的点F处，连接DF,EF若MF=AB,则LDAF=一一一度， D M 第12题图 13.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN,CN,将△AMN 沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为. E C H 0 D NB 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在矩形ABCD中，AB=20,BC=12,点M,N分别为CD,AB边上的点，MN过矩形ABCD的对称 中心O,且CM=4DM.若点G,H分别在AD,BC边上，且GH,MN将矩形ABCD的面积四等分，则AG的长为 15.如图，矩形ABCD中，AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D 落在LABC的角平分线上时，DE的长为 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点，延长AE 至G,使EG=AE,连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF; (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由. 0 第3页，共6页 17.(本小题9分)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点A作AE1BC于点E,延长BC到点F,使 CF=BE,连接DF. (1)求证：四边形ADFE是矩形： (2)连接0F,若AD=6,EC=4,∠ABF=60°，求BD的长. 18.(本小题9分)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点 F (1)求证：△BDF是等腰三角形. (2)如图②，过点D作DG//BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O. A ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB=6,AD=8,求FG的长. B ① 19.(本小题9分)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN/BC,交∠ACB的平分线于 点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)求证：0E=0F: (2)若CE=12,CF=5,求0C的长， (3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由， 第4页，共6页 20.(本小题9分)如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,点P在AB上（不与A,B重合），过点P作PE1AC, PF L BC,垂足分别是E,F,连接EF,M为EF的中点. (1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由. (2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，求CM的长度；若有变化，求CM的变化 范围 M B 21.(本小题9分)如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD,△BCE,△ACF, 连接DE,EF请回答下列问题： (1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由. E (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ B C 22.(本小题10分)已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F. (1)如图1，求证：AE=CF: (2)如图2，当LADB=30时，连接AF、CE,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角 形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的 D E 图1 图2 第5页，共6页 23.(本小题10分)己知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC,AB=3,BC=4,点P是EC 上的一动点，且PQ 1 BC于点Q,PR 1 BD于点R, R⊙ C B ① ② ③ ()如图①，当点P为线段EC的中点时，求证：PR+PQ=号 (2)如图②，当点P为线段EC上任意一点（不与点E,点C重合）时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. (3)如图③，当点P为线段EC的延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关 系？请直接写出你的猜想， 第6页，共6页 2025北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形---矩形专题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 第3题图 第1题图 2.如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，且，则矩形的面积为  (    ) A. B. C. D. 3.把一张宽为的矩形纸片折叠成如图所示的图案，顶点，互相重合，中间空白部分是以为直角顶点，腰长为的等腰直角三角形，则纸片的长单位：为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在一张矩形纸片中，，点，分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若延长线恰好经过点，则的长为(    ) A. B. C. D. 第5题图 第6题图 第4题图 5.如图，在矩形中，，作的垂直平分线，分别与、交于点、连接，，若，则边的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，若，，那么线段与的比等于(    ) A. ： B. ：C. ： D. ： 第9题图 第8题图 第7题图 8.如图，在中，，，，点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，，连接，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 第11题图 第10题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，，则           12.如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，若，则 ______度 第12题图 13.如图，在矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，，将沿直线折叠后，点恰好落在上的点处，则的长为          ． 第13题图 第15题图 第14题图 14.如图，在矩形中，，，点，分别为，边上的点，过矩形的对称中心，且若点，分别在，边上，且，将矩形的面积四等分，则的长为          ． 15.如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． 求证：≌； 当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 17.本小题分如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 连接，若，，，求的长． 18.本小题分如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． 求证：是等腰三角形． 如图，过点作，交于点，连接交于点． 判断四边形的形状，并说明理由 若，，求的长． 19.本小题分如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点． 求证： 若，，求的长 连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 20.本小题分如图，在中，，，，点在上不与，重合，过点作，，垂足分别是，，连接，为的中点． 请判断四边形的形状，并说明理由． 随着点在边上位置的改变，的长度是否也会改变若不变，求的长度若有变化，求的变化范围． 21.本小题分如图，以的三边为边在的同侧分别作三个等边三角形，即，，，连接，请回答下列问题： 四边形是什么四边形并说明理由． 当满足什么条件时，四边形是矩形 22.本小题分已知：在矩形中，是对角线，于点，于点． 如图，求证：； 如图，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的． 23.本小题分已知点是矩形的对角线上的一点，且，，，点是上的一动点，且于点，于点． 如图，当点为线段的中点时，求证：． 如图，当点为线段上任意一点不与点，点重合时，其他条件不变，则中的结论是否仍成立若成立，请给予证明若不成立，请说明理由． 如图，当点为线段的延长线上任意一点时，其他条件不变，则与之间又具有怎样的数量关系请直接写出你的猜想． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $