第二十四章 圆 全章知识点过关复习 课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆　 全章知识点梳理 人教版数学九年级上册 一､选择题 1. 如图，在⊙O中， ，∠1＝45°，则∠2＝ ( ) A. 60° B. 30° C. 45° D. 40° C 2. 如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为 ( ) A. 38° B. 52° C. 76° D. 104° C 3. “车轮为什么都做成圆形？”下列解释最合理的是 ( ) A. 圆形是轴对称图形 B. 圆形特别美观大方 C. 圆形是曲线图形 D. 从圆心到圆上任意一点的距离都相等 D 4. 如图，⊙O的直径CD⊥弦AB于点E，且CE＝2，OB＝5，则AB的长为 ( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 A 5. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导. 如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长4 m，轮子的吃水深度CD为1 m，则该桨轮船的轮子的直径为 ( ) A. m B. 4 m C. 5 m D. 6 m C 6. 如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在 上，且OA＝AB，则∠ABC的度数是 ( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° A 7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝142°，则∠ABC＝ ( ) A. 109° B. 142° C. 45° D. 19° A 8. 如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上. 若 ，∠AOC＝36°，则∠D的度数是 ( ) A. 9° B. 18° C. 36° D. 45° B 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分别是AB上的高线和中线. 如果OA是以点A为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是 ( ) A. 点P，M均在⊙A内 B. 点P，M均在⊙A外 C. 点P在⊙A内，点M在⊙A外 D. 以上选项都不正确 C 10. 已知⊙O的半径等于6，圆心O到直线l的距离为7，那么直线l与⊙O的公共点的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 A 11. 如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝ ( ) A. B. 2 C. 2 D. 3 B 12. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D. 若⊙O的直径为4，则BD的长为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 D 13. 如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D，E，F. 若△ABC的周长为20，BC＝6，则AD的长为 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 5 C 14. 如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A的切线的是 ( ) A. ∠A＝50°，∠C＝40° B. ∠B－∠C＝∠A C. AB2＋BC2＝AC2 D. ⊙A与AC的交点是AC的中点 D 15. 如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心. 若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C 16. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则 的长为 ( ) A. B. C. D. π B 17. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 ( ) A. 25π B. 20π C. 15π D. 12π C 18. 如图，在⊙O中，OA＝2，∠ACB＝45°，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. π B. 2π C. D. A 19. 一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，已知钢管的半径是24 cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是 ( ) A. 8π cm B. 16π cm C. 32π cm D. 192π cm B 20. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA， 上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称， 的长为π，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 6π－3 B. 6π－6 C. D. A 二､填空题 1. 如图，⊙O的半径为4 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为___cm. 4 2. 如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____. 120° 3. 如图，图中圆心角∠AOB＝30°，B是弧AD的中点，则∠C＝_____. 30° 4. 如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP的最小值是___. 3 5. 如图，⊙O的半径为9 cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为_______. 6 cm 6. 如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB的中点. 以点C为圆心，CO的长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是______. 相切 7. 如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D. 若OD＝ ，则BC＝___. 3 8. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是圆周上两点. 若∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为_____. 25° 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则△ABC的外接圆半径是____. 10. 如图，某地有一座弧形拱桥，它的跨度(弧所对弦的长AB)为20 m，拱高(弧的中点到弦的距离CD)为4 m，则拱桥的半径为________. 2.5 14. 5 m 11. 如图，PA，PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____. 50° 12. 若正多边形的中心角为30°，则该正多边形的边数为___. 13. 如图，AB，AC，BD是圆O的切线，切点分别为P，C，D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是___. 12 3 14. 如图，在△ABC中，∠A＝54°，点O是△ABC的内心，则∠BOC＝_____度. 117 15. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P＝70°，若点C在⊙O上，且不与点A，B重合，则∠ACB的度数是____________. 55°或125° 16. 圆心角为120°，半径为3的扇形的弧长为____. 17. 若扇形的弧长为2π，半径为6，则该扇形的面积为___. 18. 圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为____. 2π 6π 65π 19. 如图，网格中的小正方形边长都是1，则以点O为圆心，OA为半径的 和弦AB所围成的弓形面积等于______. 2π－4 20. 如图，用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm. 2 三､解答题 1. 如图，⊙O的半径为10 cm，AB是⊙O的弦，D是AB的中点，延长OD交⊙O于点C，且CD＝4 cm，求弦AB的长. 解：如图， 连接OA， ∵OA＝OC＝10 cm，CD＝4 cm， ∴OD＝10－4＝6(cm). ∵OC⊥AB，OC过点O， ∴AB＝2AD＝16(cm). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AD＝ ＝8(cm)， 2. 如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，且 ，求证：AC＝BD. ∴AC＝BD. 证明：∵ ， ∴ . 3. 如图，AB，CD为⊙O中两条直径，点E，F在直径CD上，且CE＝DF. 求证：AF＝BE. 证明：∵AB，CD为⊙O中两条直径， ∴OA＝OB，OC＝OD. ∵CE＝DF，∴OE＝OF. ∴△AOF≌△BOE(SAS). ∴AF＝BE. 在△AOF和△BOE中， 4. 如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC. 求证：AD＝DC. 证明：如图，连接OC， ∵OD∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3. 又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3. ∴AD＝DC. ∴∠1＝∠2. ∴ . 5. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径及EC的长. 解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C， 设⊙O的半径为r，则OC＝r－8. 在Rt△AOC中，122＋(r－8)2＝r2，解得r＝13. ∴AC＝BC＝ AB＝12. 如图，连接BE， ∵AE为直径，∴∠ABE＝90°. ∵OA＝OE，AC＝BC，∴BE＝2OC＝10. 在Rt△BCE中，CE＝ ， ∴⊙O的半径为13，EC的长为2 . 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°， ∠ABC＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°. ∴△ABC是等边三角形. ∵ ，∴AB＝AC. 6. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O， ，∠ADC＝120°. 求证：△ABC是等边三角形. 7. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且AC＝CD. 求证：OC∥BD. ∴∠ABC＝∠DBC. ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC. ∴∠OCB＝∠DBC. ∴OC∥BD. 证明：∵AC＝CD，∴ . 8. 如图，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝12 cm，以r为半径作⊙P. (1)当r＝6 cm时，试判断⊙P与OB的位置关系； ∵PC＝r， ∴⊙P与OB相切. (2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件. 解：(2)∵⊙P与OB相离，∴0 cm<r<6 cm. 解：(1)如图，过点P作PC⊥OB于点C， ∵∠AOB＝30°，∴PC＝ OP＝ ×12＝6(cm). 9. 如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A，B，D作⊙O. (1)求证：AB是⊙O的直径； 证明：(1)如图，连接BD， ∵BA＝BC，AD＝DC， ∴BD⊥AC. ∴∠ADB＝90°. ∴AB是⊙O的直径. (2)延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE. 证明：(2)∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C. 由圆周角定理，得∠A＝∠E， ∴∠C＝∠E. ∴DC＝DE. 10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； 解：(1)△ABC是等腰直角三角形. 证明如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°. ∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. ∵∠ADB＝∠CDB，∴ . (2)若AB＝ ，AD＝1，求CD的长度. ∴AC＝2. 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， 解：(2)在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ， ∴CD＝ ，即CD的长为 . 11. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°. (1)求∠DOC的度数； (1)解：∵OA＝OC，∠A＝25°， ∴∠A＝∠OCA＝25°. ∴∠DOC＝2∠A＝50°. (2)求证：DC是⊙O的切线. (2)证明：∵∠DOC＝50°，∠D＝40°， ∴∠DCO＝180°－∠D－∠DOC＝90°. ∴OC⊥DC. 又∵OC是半径， ∴DC是⊙O的切线. 12. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D. 连接BC并延长，交AD的延长线于点E. 求证：AE＝AB. 证明：如图，连接AC，OC， ∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∵CD⊥AD，∴OC∥AD. ∴∠OCB＝∠E. ∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. ∴∠B＝∠E. ∴AE＝AB. 13. 如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12. (1)求BF的长； 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE. 设BF＝BD＝x， 则AD＝AE＝13－x，CF＝CE＝12－x. ∵AE＋EC＝5，∴13－x＋12－x＝5. ∴x＝10. ∴BF＝10. ∴AC＝ ＝5. (2)求⊙O的半径r. 解：(2)如图，连接OE，OF， ∵OE⊥AC，OF⊥BC， ∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°. ∴四边形OECF是矩形. ∴OE＝CF＝BC－BF＝12－10＝2，即r＝2. 14. 如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°. ∴△ABC为等边三角形. (1)证明：在⊙O中，∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角，∠ABC与∠APC是 所对的圆周角， (2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距. (2)解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB， 则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°. ∵OB＝2，∴OD＝1. ∴等边△ABC的边心距为1. 15. 如图，AB为⊙O的直径，E是⊙O上一点，AE平分∠BAC，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D. (1)求证：PQ是⊙O的切线； (1)证明：如图，连接OE， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE. ∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠OEA. ∴∠OEA＝∠CAE. ∴OE∥AC. ∵AC⊥PQ，∴OE⊥PQ. ∵OE为⊙O的半径，∴PQ为⊙O的切线. (2)若AD＝EC＝4，求⊙O的半径. (2)解：如图， 过点O作OF⊥AD于点F， ∵OE⊥EC，OF⊥AC，AC⊥EC， ∴四边形OECF为矩形. 则AF＝ AD＝2. ∴OF＝EC＝4. ∴OA＝ ， 即⊙O的半径为2 . 16. 如图，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，求沿着边BC旋转一周得到的图形的侧面积. 解：∵AB＝5，BC＝3， 答：沿着边BC旋转一周得到的图形的侧面积是20π . ∴AC＝ ＝4，圆锥的底面周长＝8π . ∴侧面积为 ×8π×5＝20π. 17. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°. (1)求证：BD＝CD； (1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCB＋∠BAD ＝180°. ∵∠BAD＝105°， ∴∠DCB＝180°－105°＝75°. ∵∠DBC＝75°，∴∠DCB＝∠DBC＝75°. ∴BD＝CD. (2)若⊙O的半径为3，求 的长. (2)解：∵∠DCB＝∠DBC＝75°， ∴∠BDC＝30°. 由圆周角定理可得， 的度数为60°， ∴ ＝π . 18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2 ，求阴影部分的面积. 解：如图，连接OD， ∴S△OCE＝S△ODE. ∴S阴＝S扇形OBD. 又∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°. ∴∠DOB＝60°. ∴OC＝2. ∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝ CD＝ . ∴S扇形OBD＝ ，即阴影部分的面积为 . 19. 如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形(阴影部分)，求此扇形的面积. 解：如图，连接AC， ∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴AC是⊙O的直径，即AC＝2. ∴AB＝BC＝ m. ∴扇形的面积为 (m2). 20. 如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD. (1)求直径AB的长； 解：(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. 由勾股定理，得AB＝ ＝10. (2)求阴影部分的面积. (结果保留π) 解：(2)如图，连接OD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°. ∵直径AB＝10，∴半径OA＝OD＝5. ∴∠ACD＝ ∠ACB＝45°. ∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD ＝ ×5×5＝ . $