专题1.9 二次函数区间最值（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题1.9 二次函数区间最值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础知识储备 1 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 1 （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 3 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 4 【题型2】定轴定区间 4 （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 5 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 5 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 7 （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 9 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 9 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 11 （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 13 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 13 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 16 二. 同步练习 19 【基础巩固（16题）】 19 【能力提升（16题）】 28 一．知识梳理与题型分类精析 （一）基础知识储备 二次函数是是初中函数的重要内容，也是为高中学习做铺垫，二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：当时，函数在时，；当时，函数在时，. 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 【例题1】（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）二次函数的最大值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先把二次函数的一般形式化成顶点式，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y取的最大值，最大值为：， 故答案为：0 【变式1】（2025·广西柳州·一模）已知二次函数． （1）求当函数值时，自变量的值； （2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值． 【答案】（1），；（2）函数有最小值，函数最小值为 【分析】本题考查了求自变量的值，二次函数的性质． （1）把代入，然后解关于x的一元二次方程即可； （2）利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：当时， 或 ， （2）解：因为，开口向上，所以函数有最小值． 此函数最小值为． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）二次函数的最小值是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图像与性质和用配方法将二次函数的解析式化为顶点式求最值是解决问题的关键． 通过配方法，将二次函数解析式的一般式化成顶点式，然后求函数的最小值即可． 解： ， 抛物线开口向上，二次函数有最小值， 当时，二次函数的最小值是． 故选：C． 【方法点拨】 自变量为全体实数时，把一般式化为顶点式，确定开口方向直接就可以求出最大值或最小值，这是基础，为后面学习作好准备. （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 1.二次函数区间最值相关概念： （1）对称轴：是函数增减性的分界点，后面简称“轴”； （2）区间：实质上就自变量的取值范围，为了方便，简称“区间” 2.二次函数对称轴与区间位置关系的几种情况： 对于二次函数，其对称轴为，设区间为 当时： （1） 如图1，当时，即对称轴在区间内，这时时取得最小值；最大值由与与抛物线交点位置高低来决定； （2） 如图2，当时，即对称轴在区间左侧，这时时取得最小值，时取得最大值； （3） 如图3，当时，，即对称轴在区间右侧，这时时取得最小值，时取得最大值. 图1 图2 图3 二次函数，时与上类似，最小值成为最大值，最大值成为最小值 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 定轴定区间：对称轴和区间均固定，也就是说直接根据开口方向和地称轴位置判断最值，这对学生来说相对简单，容易掌握。 【题型2】定轴定区间 【例题2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） 若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； 【答案】（1）①；②2；③ 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键．根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； 解：（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ 【变式1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 定轴动区间：对称轴固定，区间随参数变化，对称轴和区间就存在三种位置关系，要进行分类讨论。 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，y的取值范围是，求t的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得该二次函数开口向下，对称轴为直线，且当时，，然后根据题意可进行求解 解：由题意得：该二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，，取得最小值． 若，则y随x的增大而增大， 此时当时，取得最大值， ，解得（舍）； 若，则y在时取得最大值4，此时， 解得． 的值为． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 【例题4】（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大． ∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据y的取值范围可以求得相应的的取值范围． 解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为：直线， 把代入解析式可得：， 把代入解析式可得：， 所以函数值的取值范围为时，自变量的范围为， 故可得：， 故选：C． 【变式2】（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 动轴定区间：对称轴随参数变化，区间固定，区间随参数变化，同样分对称轴和区间就存在三种位置关系进行分类讨论。 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 【例题5】（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性并结合，分类讨论解答即可． 解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符； ②当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ③当即时，此时离二次函数对称轴更远， ∴二次函数在取最大值，即，解得； ④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符． 综上，的值为或． 故答案：或． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 把解析式化成顶点式即可求得抛物线的对称轴为直线，分两种情况讨论：当时，，y有最大值为，求得，当时，，y有最大值为，求得． 解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线在时的最大值为3， 当时，开口向上， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 当时，开口向下， ∴在时，，y有最大值为， ∴， ∴， 综上所述或． 故选：B． 【变式2】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 【例题6】．（23-24九年级下·山东日照·期中）已知二次函数（其中a是常数，且），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，得到时函数的最小值为正数，即可． 解：∵， ∴函数的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴当时，函数有最小值为， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为，解得：； ∴； 故答案为：或． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于x的二次函数，在时的最大值与最小值的差大于15，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，先求出二次函数图象的对称轴，再分情况列式求值，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 解： 当时，y有最小值， 当时，函数y随x的增大而增大；当时，函数y随x的增大而减小， 当时，，得（舍），或（舍）； 当时，，得（舍），或（舍）； 当时，，得； 当时，，得 故选：B． 【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围． 解：二次函数的对称轴， 令，， 点关于直线的对称点为， 如图： ， 开口向上， 当时，函数值的最大值为， ， 故答案为：． （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 动轴动区间：二次函数有含有参数，同时区间也含有参数，在明确最值的前提条件下求参数或参数取值范围，这要问题往往把两个参数中求出一个参数或求出两个参数关系，再利用最值求出另一个参数，这样的题型综合性较强，一般都要进行分类讨论. 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 【例题7】（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 由题意可知，点在二次函数（m为常数）的图象上，且，代入解得或（舍去），因为抛物线的对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，当时，二次函数有最大值，即二次函数的最大值与最小值的差为． 解：将代入得： ， ， ， 解得：或（舍去） ， 即， ， ∴， 抛物线的对称轴为直线， 当时，二次函数有最小值， 当时，二次函数有最大值， 即二次函数的最大值与最小值的差为． 故选D． 【变式1】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 【变式2】（2025·四川成都·三模）已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值．熟练掌握二次函数的性质，代数方程的联立求解以及不等式求最值是解题的关键． 通过联立两点在抛物线上得到的方程，消去无关变量，推导出与的关系式，再将目标表达式转化为含单一变量的函数，最后利用平方展开法以及完全平方数的非负性得到即可求解． 解：对于点有： ①， 对于点有： ②， 得：③ 令，， 则， ， 因此， 对直接去括号得到： 则有：                           因为，两边同时除以可得： ，即． 将代入， 得到：， 因为， 所以有 所以， 所以， 所以的最小值为． 故答案为：． 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 【例题8】（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最值的计算，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，最值的计算方法是解题的关键． 根据二次函数（，均是实数），可得二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由此可得，则有，设，得到关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为，再根据二次函数图象的性质即可求解． 解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为：直线， 当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴关于的二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，有最大值，即， 当时，， ∴， 故答案为： ． 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数最值问题，以及不等式性质，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．由时，y随x的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，，时，；根据，建立不等式求解，即可解题． 解：由题意，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，即，， ，总满足，， ， 当时，， 当时，． ， ， 解得，， ． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是 ． （2）当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）把代入解析式，利用公式计算即可； （2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解． 解：（1）当时，二次函数为， ， 故答案为：； （2）二次函数对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 当时，， 当时，， 解得：， ， 当时，抛物线开口向下， 当时，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知二次函数的最小值是1，那么m的值等于（   ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，将二次函数化为顶点式，即可建立关于的等式，解方程求出的值即可． 解：原式可化为：， 函数的最小值是1， ， 解得． 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）函数，当时，y的最大值为m，最小值为n，则（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】依据题意，将抛物线化成顶点式，再由抛物线的增减性可以判断得解． 解：由题意，， ∴对称轴为直线． ∵抛物线开口向下，，， 又当时， ∴当时，y取最小值为；当时，y最大值为4． ，． ． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理解是关键． 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若函数的最小值为5，则m的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 解： ∵， ∴函数有最小值为， 又函数的最小值为5， ∴， 解得，， 故选：B 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到对称轴只能在y轴右侧，则．由当时函数的最大值为2，当时，，求出b、c，即可得到答案． 解：由得该抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则， 由当时，，则， 由得，解得或（舍去）， ∴， 则， 故选：D 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据开口向下，越远离对称轴的所对应的函数值越小，再根据当时，函数y的最小值为即可作答． 解：∵， ∴函数的开口向下，函数的对称轴为直线， ∴越远离对称轴的所对应的函数值越小， 把代入得， ∴函数的顶点坐标为， ∴当时，， ∵当时，函数y的最小值为， ∴在函数上 ∴， 解得或（舍去）． 故选：D． 6．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据解析式，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况解答，确定时，二次函数的最大值与最小值，解答即可． 本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 解：∵， ∴对称轴为直线， 当抛物线开口向上时，，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∵y的最小值为， ∴，与矛盾， 当抛物线开口向下时，，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 由y的最小值为， 得， 解得． 故选：B． 二、填空题 7．（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 【答案】 8 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质结合解析式即可得到答案． 解：， ，抛物线开口向上， ， 当时，的值最小为， 当时，， 当时，， ， 当，则函数最大值为8，最小时为， 故答案为：8，． 【点拨】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解此题的关键． 8．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知二次函数有最大值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质及最值的求法，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，二次函数有最大值，则，由此得到答案． 解：由题意得：二次函数有最大值， ，即， 故答案为：． 9．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 解：已知二次函数， ∴对称轴为：， ∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴当时，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 10．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查二次函数的最值问题，分，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为：， ∴， 当时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值为：， ∴； 故答案为：3或． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）抛物线 的对称轴是直线，则该函数的最小值是 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴和最值。熟练掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．根据对称轴公式得出b的值，再把代入即可得出该函数的最小值． 解：∵抛物线 的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线 的解析式为， 把代入中，得， ∴则该函数的最小值是1． 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象的性质和最大值的计算方法 ．根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 解：将二次函数 转化为顶点式，即 ， 顶点形式为 的抛物线顶点是 ，函数的对称轴是， 因为，对称轴 位于其右侧，函数的最大值将出现在， 将 代入函数求解 k 的值，原式变为 ， 得到方程 ，解得． 故答案为：4 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当时，求函数的最大值． 【答案】（1）；（2）12 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是： （1）设函数解析式为，把代入求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴函数解析式为； （2）解：对于，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值为． 14．（23-24九年级上·江西上饶·期中）已知点是二次函数图象上的点． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，由此得到答案． （2）根据二次函数图像上点的坐标特征，得到当时，，当时，，由此得到答案． 解：（1）解：由题意得： 点是二次函数图象上的点， ， 解得：， 此二次函数的解析式为：， ， 顶点坐标为． （2）抛物线开口向上，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值与最小值的差为． 15．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值． 【答案】（1），；（2）当时，y的值最大，最大值为6， 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． 解：（1）解：∵函数（b，c为常数）的图象经过点点，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，y的值最大，最大值为6， ∵， ∴当时，y的值最大，最大值为6． 16．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． （1）求二次函数的解析式． （2）平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解∶当时， 即，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 当时，． ∵， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为． （2）由题意可知， ， ∵将函数图象平移后，顶点坐标为， ∴平移后的函数解析式为， ∴平移后的函数的对称轴为直线． 当，时函数取得最大值， 即，解得或，均不符合题意，舍去； 当，时函数取得最大值， 即，解得，符合题意． 综上所述，的值为． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案． 解： 整理得： 故当时，y有最小值b为2； 当时，y有最大值a为11； 故； 故选：A． 【点拨】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）函数的最大值和最小值分别是（    ） A．4和 B．5和 C．5和 D．6和 【答案】C 【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 【点拨】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴，解得： 故选：C． 4．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，把解析式化为顶点式求出抛物线开口向上，顶点坐标为，再根据当时，函数的最小值是可得，解之即可得到答案． 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴y的最小值即为， ∵当时，函数的最小值是， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）当时，函数的最小值为1，则a的值为（　　） A．2 B．或1 C．0或2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：当时，有， 解得：，， ∵当时，函数有最小值1， ∴或， 解得：或， 故选：B． 6．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．24 B．18 C．16 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，故当时，有最小值，；当时，有最大值，，计算可得． 解：∵抛物线为， ∴对称轴是直线． ∵对称轴是直线， ∴当时，有最小值3，当时，有最大值21， ， ， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，关于的二次函数有最小值2，则实数的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查二次函数的最值．分，三种情况进行讨论求解即可．掌握二次函数的增减性，是解题的关键． 解：∵， ∴对称轴为，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ①当时：当，函数有最小值为，解得：或（舍去）； ②当，函数的最小值为1，不符合题意； ③当时，函数有最小值为，解得：或（舍去）； 综上：或； 故答案为：或3． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为． 解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为， ∴当时，有最小值为： ， ∵， ∴当时，的最大值为． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当的情况即可． 解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 10．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当时，，据此代值计算即可得到答案． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵当时，y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围，进而求解即可． 解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， ∴m的最大值为2，最小值为1， ∴， ∴m的最大值与最小值的差为1． 故答案为：1． 12．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．函数配方后得，当时，函数值y的最小值，则当，y有最小值可得m． 解：解∶， 当时，函数值y的最小值为， 根据题意，当时，y的值最小 ． 解得， 故答案为． 三、解答题 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数．求当m分别取和2时函数的最大值或最小值． 【答案】当时，，当时， 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，直接把二次函数化为顶点式，再利用二次函数的开口方向可得函数最大值或最小值. 解：当时， 二次函数的关系式为． ∵， ∴函数图象的开口向下，故函数有最大值． ∵，即， ∴当时，， 当时， 二次函数的关系式为． ∵， ∴函数图象的开口向上，故函数有最小值． ∵，即， ∴当时，． 14．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】（1）次函数的表达式为，对称轴为直线；（2）最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 解：（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 【答案】m的值为1 【分析】本题考查了解分式方程，二次函数的图象性质，结合二次函数有最小值为0，得出且，再解方程，即可作答． 解：∵有最小值0， ∴且 解得或（舍去） 经检验：是该方程的解．即m的值为1． 16．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把两个已知点的坐标代入得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式，则当时，y有最大值4，再计算出和时对应的函数值，从而得到当时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后计算的值． 解：（1）解：依题意，把，．分别代入， 得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得， 则， ∵ ∴开口向下， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 二次函数区间最值 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 （一）基础知识储备 1 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 1 （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 2 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 3 【题型2】定轴定区间 3 （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 3 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 3 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 4 （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 4 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 4 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 4 （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 5 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 5 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 5 二. 同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 （一）基础知识储备 二次函数是是初中函数的重要内容，也是为高中学习做铺垫，二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：当时，函数在时，；当时，函数在时，. 【题型1】自变量为全体实数直接求最值 【例题1】（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）二次函数的最大值为 ． 【变式1】（2025·广西柳州·一模）已知二次函数． （1）求当函数值时，自变量的值； （2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）二次函数的最小值是（   ） A．0 B． C． D．1 【方法点拨】 自变量为全体实数时，把一般式化为顶点式，确定开口方向直接就可以求出最大值或最小值，这是基础，为后面学习作好准备. （二）二次函数区间最值知识与方法梳理 1.二次函数区间最值相关概念： （1）对称轴：是函数增减性的分界点，为了方便，简称“轴”； （2）区间：实质上就自变量的取值范围，为了方便，简称“区间” 2.二次函数对称轴与区间位置关系的几种情况： 对于二次函数，其对称轴为，设区间为 当时： （1） 如图1，当时，即对称轴在区间内，这时时取得最小值；最大值由与与抛物线交点位置高低来决定； （2） 如图2，当时，即对称轴在区间左侧，这时时取得最小值，时取得最大值； （3） 如图3，当时，，即对称轴在区间右侧，这时时取得最小值，时取得最大值. 图1 图2 图3 二次函数，时与上类似，最小值成为最大值，最大值成为最小值 （三）二次函数区间最值类型（1）定轴定区间 定轴定区间：对称轴和区间均固定，也就是说直接根据开口方向和地称轴位置判断最值，这对学生来说相对简单，容易掌握。 【题型2】定轴定区间 【例题2】（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） 若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； 【变式1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【变式2】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为 ． （四）二次函数区间最值类型（2）定轴动区间 定轴动区间：对称轴固定，区间随参数变化，对称轴和区间就存在三种位置关系，要进行分类讨论。 【题型3】定轴动区间——已知最值求参数 【例题3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当时，y的取值范围是，求t的值． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【变式2】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【题型4】定轴动区间——已知最值求参数取值范围 【例题4】（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 【变式1】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （五）二次函数区间最值类型（3）动轴定区间 动轴定区间：对称轴随参数变化，区间固定，区间随参数变化，同样分对称轴和区间就存在三种位置关系进行分类讨论。 【题型5】动轴定区间——已知最值求参数取 【例题5】（24-25九年级上·四川·期末）已知抛物线 ，若当时，函数的最大值为1，则a的值为 ． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，若抛物线在时的最大值为3，则a的值为（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式2】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【题型6】动轴定区间——求参数取值范围 【例题6】．（23-24九年级下·山东日照·期中）已知二次函数（其中a是常数，且），当时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为 ． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）关于x的二次函数，在时的最大值与最小值的差大于15，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ． （六）二次函数区间最值类型（4）动轴动区间 动轴动区间：二次函数有含有参数，同时区间也含有参数，在明确最值的前提条件下求参数或参数取值范围，这要问题往往把两个参数中求出一个参数或求出两个参数关系，再利用最值求出另一个参数，这样的题型综合性较强，一般都要进行分类讨论. 【题型7】动轴动区间——求参数或最值 【例题7】（24-25九年级上·浙江温州·期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1】．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【变式2】（2025·四川成都·三模）已知二次函数的图象上有两点，，其中，则的最小值为 ． 【题型8】动轴动区间——求参数取值范围 【例题8】（24-25九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数（，均是实数），设该函数最小值为，若，，则的取值范围是 ． 【变式1】（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是 ． （2）当时，，则的取值范围是 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知二次函数的最小值是1，那么m的值等于（   ） A．10 B．4 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）函数，当时，y的最大值为m，最小值为n，则（　　） A．3 B． C． D．1 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）若函数的最小值为5，则m的值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（    ） A． B．2 C．0 D． 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数y的最小值为，则a的值为（   ） A． B．2 C． D． 6．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（23-24九年级上·北京石景山·期中）当，则函数最大值 ，最小值 ． 8．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知二次函数有最大值，则的取值范围是 ． 9．（2024·浙江温州·一模）已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 10．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数，若当时，的最大值是3，则的值为 ． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）抛物线 的对称轴是直线，则该函数的最小值是 12．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数，当时，y的最大值为19，则k的值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求函数解析式． （2）当时，求函数的最大值． 14．（23-24九年级上·江西上饶·期中）已知点是二次函数图象上的点． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，求函数的最大值与最小值的差． 15．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数（，为常数）的图象经过点，． （1）求b，c的值； （2）当时，求y的最大值． 16．（2024·河北·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与轴交于点C，且． （1）求二次函数的解析式． （2）平移该二次函数的图象，使平移后的二次函数图象的顶点坐标为，若当时函数的最大值为7，求的值． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ） A．13 B．5 C．11 D．14 2．（23-24九年级上·福建福州·开学考试）函数的最大值和最小值分别是（    ） A．4和 B．5和 C．5和 D．6和 3．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 4．（2024·浙江衢州·一模）已知二次函数，当时，函数的最小值是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）当时，函数的最小值为1，则a的值为（　　） A．2 B．或1 C．0或2 D．0或1或2 6．（24-25九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．24 B．18 C．16 D．2 二、填空题 7．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）当时，关于的二次函数有最小值2，则实数的值为 ． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ． 9．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 10．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 11．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为 ． 12．（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值为 三、解答题 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数．求当m分别取和2时函数的最大值或最小值． 14．（24-25九年级上·河南新乡·期中）已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）已知二次函数有最小值为0，求m的值． 16．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知抛物线的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $