第8章概率模拟测试卷-2024-2025学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

第8章　概率 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知某地市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是(　　) A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21 2.已知某一随机变量X的概率分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B.6 C.7 D.8 3.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以4比2获胜的概率为(　　) A. B. C. D. 4.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 5.某地7个村中有3个村是旅游示范村,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于的是(　　) A.至少有1个旅游示范村 B.有1个或2个旅游示范村 C.有2个或3个旅游示范村 D.恰有2个旅游示范村 6.高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处,小华在如图的街道F处,老年公寓位于如图的G处,则下列说法正确的个数是(　　) ①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4; ②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35; ③小明到老年公寓在选择的最短路径中,到F处和小华集合一起到老年公寓的概率为; ④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中,两人并约定在老年公寓门口集合,事件A表示“小明经过F”;事件B表示“从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分(路口除外)”,则P(B|A)=. A.1 B.2 C.3 D.4 7.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量,服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理,它表明,若随机变量Y~B(n,p),当n充分大时,二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似,且正态随机变量X的均值和方差与二项随机变量Y的均值和方差相同.棣莫弗在1733年证明了p=的特殊情形,1812年,拉普拉斯对一般的p进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次,则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不低于60次的概率为(　　) [附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈99.7%] A.0.159 B.0.023 C.0.003 D.0.002 8.甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球,乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球,先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋,分别以A1,A2和A3表示由甲口袋取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙口袋中随机取出一球,以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是(　　) A.P(B|A2)= B.事件A1与事件B相互独立 C.P(A3|B)= D.P(B)= 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设随机变量ξ的分布列如表所示,则下列选项中正确的为(　　) ξ 0 1 2 3 P m A.E(ξ)=2 B.D(ξ)= C.P(0≤ξ≤1)= D.P(ξ=2)= 10.某商家进行促销活动,促销方案是顾客每消费1 000元,便可以获得奖券1张,每张奖券中奖的概率为,若中奖,则商家返还中奖的顾客现金1 000元.小王购买一套价格为2 400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买了一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为X元,则下列说法正确的是(　　) A.X的可能取值为2 450,1 450,450,-550 B.P(X=2 450)= C.P(X=-550)= D.E(X)=1 850 11.下列说法正确的是(　　) A.一批文具中有12件正品,4件次品,从中任取3件,则恰好取得1件次品的概率为 B.已知随机变量X,Y满足X+3Y=9,若X~B(10,0.6),则E(Y)=1,D(Y)=2.4 C.将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,4,5的盒子中,每个盒子中放一个小球,则恰有两个小球与所在盒子编号相同的放法有20种 D.若P(A)=,P(B|A)=,P()=,则P(B)= 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知随机变量X的分布列如下表所示. X a 2 3 4 P b 若E(X)=2,则D(X)=　　　　　.  13.已知随机变量ξ的分布列如表, ξ -1 0 1 P m n 记“函数f(x)=3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A,则E(ξ)=　　　　　,P(A)=　　　　　. 14.如图为一幅唐朝的投壶图,假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为,每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者胜,则甲最后获胜的概率为. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.若每个坑内至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则需要补种. (1)当n=4时,用X表示要补种的坑的个数,求X的分布列; (2)当n取何值时,有3个坑要补种的概率最大?最大概率为多少? 16.(15分)某工厂有4条流水线生产同一种产品,4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,且这4条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03,0.02,现从该厂的产品中任取一件,抽到合格品的概率为多少? 17.(15分)摇奖器中有10个小球,其中8个小球上标有数字2,2个小球上标有数字5.现摇出3个小球,规定所得奖金(单位:元)为这些小球上标号之和,如果参加此次摇奖,求获得所有可能的奖金数及相应的概率. 18.(17分)某手机公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件,为提高零部件质量,该公司通过资金扶持与技术扶持,帮助制造公司提高产品质量和竞争力,同时派本公司技术人员进厂指导,并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测.下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数(总分1 000分,分数越高质量越好):928,933,945,950,959,967,967,975,982,994.假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布N(μ,202),并把这10个样本质量分数的平均数作为μ的值. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68. (1)求μ的值; (2)估计该生产线上生产的1 000个零部件中,有多少个零部件的质量分数低于940? (3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有ξ个零部件的质量分数在[940,980]内,则n为何值时,P(ξ=10)的值最大? 19.(17分)(2023新高考Ⅰ)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 参考答案 1.C　在市场上甲厂产品占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%, 则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.7×0.9+0.3×0.8=0.87.故选C. 2.C　由分布列性质知0.5+0.1+b=1,∴b=0.4, ∴E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3,解得a=7. 3.C　甲以4比2获胜,则需打六局比赛且甲第六局胜,前五局胜三局, 故其概率为3×2故选C. 4.C　由题意得P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=(1-p)p+p2=, 所以p=p=舍去,则Y~B3,, 故D(Y)=31-=, 所以D(3Y+1)=9D(Y)=9=6. 5.B　用X表示选取的3个村中旅游示范村的个数,则X服从超几何分布, 所以P(X=k)=,k=0,1,2,3, 所以P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以P(X=1)+P(X=2)=,即有1个或2个旅游示范村的概率为 6.B　由题图知,要使小华、小明到老年公寓的路径最短,则只能向上、向右移动,而不能向下、向左移动. 对于①,小华到老年公寓需要向上1格,向右2格,即小华共走3步,其中1步向上, 所以最短路径条数为=3,错误; 对于②,小明到老年公寓需要向上3格,向右4格,即小明共走7步,其中3步向上,最短路径条数为=35,正确; 对于③,小明到F的最短路径条数为=6,再从F处和小华一起到老年公寓的最短路径有3条,而小明到老年公寓共有35条最短路径, 所以到F处和小华集合一起到老年公寓的概率为,正确; 对于④,由题意知事件A的最短路径有18条,即P(A)=,事件A∩B的概率P(A∩B)=, 所以P(B|A)=,错误. 故说法正确的个数是2.故选B. 7.B　抛掷一枚质地均匀的硬币100次, 设硬币正面向上次数为X,则X~B100,, 故E(X)=np=100=50,D(X)=np(1-p)=1001-=25, 由题意可得X~N(μ,σ2),且μ=E(X)=50,σ2=D(X)=25, ∵P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954, ∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数不低于60的概率为P(X≥60)=P(X≥50+2×5)=0.023. 故选B. 8.D　由题意得P(B|A2)=,所以A错误; 因为P(B|A1)=,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=, 所以P(B)≠P(B|A1),即P(B)P(A1)≠P(BA1), 故事件A1与事件B不相互独立,所以B错误,D正确; P(A3|B)=, 所以C错误.故选D. 9.BCD　依题意+m+=1, 解得m=,即P(ξ=2)=,故D正确; E(ξ)=0+1+2+3,故A错误; D(ξ)=0-2+2-2+3-2,故B正确; P(0≤ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=,故C正确.故选BCD. 10.ACD　根据题意知,X的可能取值为2 450,1 450,450,-550,且P(X=2 450)=3=, P(X=1 450)=×2=, P(X=450)=2×=, P(X=-550)=3=, ∴E(X)=2 450+1 450+450+(-550)=1 850.故选ACD. 11.AC　对于A,由题知取得1件次品的概率为P=,故A正确; 对于B,由二项分布的数学期望、方差公式得E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×0.4=2.4,而X+3Y=9,则E(Y)=3-E(X)=1,D(Y)=D(X)=2.4,故B错误; 对于C,如果恰有两个小球与所在盒子的编号相同,第一步:先从5个小球里选两个编号与所在的盒子相同,有=10种选法;第二步:不妨设选的是1号球和2号球,则再对后面的3,4,5进行排列,且三个小球的编号与盒子编号一个都不相同,则有(5,3,4),(4,5,3)两种,因此共有10×2=20种放法,故C正确; 对于D,P(B|)=1-P()=,P()=1-P(A)=,则P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=,故D错误.故选AC. 12　由分布列的性质得+b+=1,解得b=, 则E(X)=a+2+3+4=2,解得a=0, 则D(X)=(0-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2 13-2m　　由随机变量的分布列知m++n=1, 所以m+n=,E(ξ)=-1×m+0+1×n=-m+n=-m+-m=-2m;因为函数f(x)=3sin(x∈R)是偶函数为事件A,所以满足条件的事件A的ξ的可能取值为-1或1,所以P(A)=m+n= 14　由题意知,甲最后获胜的情况有3种: ①甲投中1次,乙投中0次,概率为P1=3=; ②甲投中2次,乙投中1次,概率为P2=22=; ③甲投中2次,乙投中0次,概率为P3=23= 故甲最后获胜的概率为P= 15.解 (1)1个坑需要补种的概率为3+ 当n=4时,X的所有可能取值为0,1,2,3,4, 由题知X~B4,, P(X=0)=4=, P(X=1)=)4=, P(X=2)=)4=, P(X=3)=)4=, P(X=4)=)4=, 故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (2)若有3个坑需要补种的概率为n,要使n最大, 只需解得5≤n≤7, ∵n∈N*,∴n=5,6,7. )5=)6=)7=,故n=5或6时,有3个坑要补种的概率最大,最大概率为 16.解 设事件Bi为“任取一件产品,恰好抽到第i条流水线的产品”,i=1,2,3,4,事件A为“任取一件产品,抽到合格品”,则由题意可得 P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=P(Bi)[1-P(|Bi)] =0.15×(1-0.05)+0.20×(1-0.04)+0.30×(1-0.03)+0.35×(1-0.02) =0.15×0.95+0.20×0.96+0.30×0.97+0.35×0.98 =0.968 5. 17.解 设此次摇奖获得的奖金数为X元, 当摇出的3个小球均标有数字2时,X=6; 当摇出的3个小球中有2个标有数字2,1个标有数字5时,X=9; 当摇出的3个小球中有1个标有数字2,2个标有数字5时,X=12, 所以X的所有可能取值为6,9,12, 所以P(X=6)=, P(X=9)=,P(X=12)= 18.解 (1)=900+=960, 所以μ=960. (2)由(1)知,X~N(960,202),P(X<940)=P(X<μ-σ)==0.16. 该生产线上生产的1 000个零部件中,质量分数低于940的个数约为0.16×1 000=160. (3)每个零部件的质量分数在[940,980]内的概率为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68, 由题意可知ξ~B(n,0.68), 则P(ξ=10)=0.6810×0.32n-10, 设f(n)=0.6810×0.32n-10(n≥10), 则, 令>1,得n<13.7, 所以当n≤13时,f(n+1)>f(n), 令<1, 得n>13.7, 所以当n≥14时,f(n+1)<f(n), 所以n=14时,f(n)最大, 故使P(ξ=10)最大的n的值为14. 19.解 (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi), 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2.构造等比数列{pi+λ}, 设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-,则pi+1- 又p1=,p1-,所以是首项为,公比为的等比数列, 即pi-,pi= (3)因为pi=,i=1,2,…,n, 所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=, 故E(Y)= 12 学科网（北京）股份有限公司 $