1.3集合的基本运算11题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．（2025高二·浙江宁波·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义计算可得. 【解析】因为，， 所以. 故选：D 2．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，求． 【答案】 【解析】分别在数轴上表示集合A和B，如图所示． 根据的定义， 由图知． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合的并运算，得． 4．（2025·青海海东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【解析】，. 故选：C. 5．（2025高一·湖南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用并集的定义求解作答. 【解析】依题意，，，所以. 故选：C 题型2：利用并集运算求参数 6．（2025高二·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【解析】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 7．（2025高一·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【解析】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 8．（2025高一·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解析】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 9．（2025高一·全国·专题练习）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，分别令，得，所以，于是，故选C． 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，根据交集的运算可知，．故选A． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则集合中元素的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】分别令，只有有自然数解，故． 12．（2025高一·安徽蚌埠·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由交集的定义求解即可． 【解析】因为，， 所以， 故选：A． 13．（2025高三·宁夏银川·阶段练习）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据交集运算法则得到答案. 【解析】，或，则. 故选：C. 14．（2025高一·江苏·假期作业）已知集合则= ． 【答案】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【解析】由题意可得，解方程可得，故． 故答案为： 题型4：利用交集运算求参数 15．（25-26高一·全国·课后作业）设集合.若，则 . 【答案】 【分析】由得，求出并验证. 【解析】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 16．（2025高一·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】先求集合，分类求出集合，再利用给定交集运算的结果求解.. 【解析】由，解得或，所以， 又方程，即，解得或， 又因为，所以， 当时，即时，，满足题意， 当时，由得， 综上所述，或. 17．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定的交集运算的结果，结合集合元素的互异性求解. 【解析】由，得，解得， 由，得且，解得且且且， 即且且且， 由，得，因此，即，则或（舍去）， 所以实数的值为. 故选：C 18．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求出，又，可得即可求解. 【解析】，，， 所以，又， 所以，则. 故选：C. 19．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【解析】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 20．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，则 【解析】易得. 21．（2025高一·全国·专题练习）设，或，，则 ， ． 【答案】 【解析】解法一  在集合U中，， 则x的值为， ． 又， ． 解法二  可用图表示． 则． 22．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，或，集合，或，求． 【答案】 【解析】借助数轴，由图可知： ． 23．（2025高二·贵州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【解析】因为集合，，故或. 故选：B. 24．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定集合中元素，然后由补集定义求解． 【解析】，又， ∴． 故选：C． 题型6：利用补集运算求参数 25．（2025高一·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据补集的定义，由求解. 【解析】解：因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B 26．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答. 【解析】由集合知，，即，而，全集， 因此，，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为0. 故选：A 27．（2025高一·浙江温州·开学考试）已知集合，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据题意得或，再解方程求解即可. 【解析】解：由题意得： ①当时，解得： 代入检验，得，，满足条件 ②当时，无解 综上所述，. 28．（2025·河南郑州·模拟预测）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可. 【解析】由，，可得或 则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 29．（2025高一·重庆·期中）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定运算结果，求出集合，再逐项判断即得. 【解析】全集，由，得， 所以，ABD错误， C正确. 故选：C 30．（2025·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【解析】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 31．（2025高一·全国·专题练习）设全集为，求及． 【答案】，或．，或． 【分析】根据交集，补集的定义，写出运算结果即可. 【解析】把全集R和集合在数轴上表示如下： 由图知，， ，或． ，或， ，或． 32．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 则．故选D． 33．（2025高一·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合并集和补集概念求解. 【解析】因为,所以， 故选:A. 34．（2025高一·全国·专题练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则，或，选项C错误； ，或，则，或，选项D错误；故选A． 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 35．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得中的元素，再根据，，，即可求得结果. 【解析】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 36．（2025高三·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交并补的计算方法即可判断求解. 【解析】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 37．（2025高三·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【解析】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 38．（2025高一·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 39．（2025高一·全国·专题练习）设集合，全集，且，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】解法一（直接法） 由，得． 因为，11 所以，即，所以m的取值范围是． 解法二（集合间的关系） 由可知，又，， 结合数轴： 得，即，所以m的取值范围是． 40．（2025高一·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出集合，根据可得出实数的取值范围. 【解析】因为全集，集合，则， 因为集合，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 41．（2025·山东济南·模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，由集合运算可解. 【解析】由题意，而阴影部分为. 故选：C 42．（2025高一·浙江·阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可. 【解析】图中阴影部分表示，，则或， 因为 所以， 故选：D． 43．（2025高一·湖北武汉·期末）如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可. 【解析】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即. 故选：C. 44．（2025高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【解析】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 题型10：容斥原理 45．（25-26高一·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【解析】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 46．（2025高一·全国·专题练习）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 【答案】B 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 47．（2025高一·全国·专题练习）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【解析】由题意，用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合，则， ， 因此 . 所以至少参加一个社团的学生有50人. 故答案为：50. 48．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 题型11：集合新定义问题 49．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，定义集合运算，则 ． 【答案】 【解析】由题意知，集合， 则a与b可能的取值为， 的值可能为， ． 50．（2025高一·全国·专题练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”．已知集合，则T的“孤立元”是 ；对给定集合，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有 个． 【答案】 5 16 【解析】集合，依次判断每个元素是否为“孤立元”： 对于，不是“孤立元”； 对于，不是“孤立元”； 对于，不是“孤立元”； 对于，是“孤立元”， 所以T的“孤立元”是5． 由集合S中3个元素构成的所有集合有20个， 不含孤立元的集合有，共4个，故含“孤立元”的集合有16个． 51．（2025高一·全国·专题练习）（多选）已知整数集或，若存在，使得，则称集合A具有性质，则（    ） A．若，则A具有性质 B．若，则A具有性质 C．若，则A一定具有性质 D．若，则A一定具有性质 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若，则，因为，故不可能存在满足题意，A错误； 对于B选项，若，则，则当时，A具有性质，B正确； 对于C选项，将整数分成 这五类，依次记为集合， 当时，肯定是这5类中的一类．如果四个属于的集合各不相同， 比如，那么肯定是5的倍数，且，满足的定义； 如果四个中有两个或两个以上元素属于同一个集合，比如，则也是5的倍数，且，满足的定义，故C正确； 对于D选项， 将整数分成，这10类， 依次记为集合，当时，分别是这10类中的一类． 分两类情况，如果七个属于的集合各不相同， 比如， 那么肯定是10的倍数，且，满足的定义； 如果七个属于的集合中有两个或两个以上元素属于同一个集合， 比如，则也是10的倍数，且，满足的定义， 故D正确，故选BCD． 一、单选题 1．（2025高三·四川成都·阶段练习）已知集合，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义可知CAB表示要求在集合A中的x不是矩形的情况，即得到集合B的补集为内角不为直角的菱形． 【解析】由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则CAB={x|x是内角都不是直角的菱形}． 故答案为：B 【点睛】本题主要考查集合的补集运算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2．（2025·全国甲卷）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【解析】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据补集的概念求解即可. 【解析】由题意，全集，集合， 所以或 故选:C. 4．（2025·北京）满足条件∪{1}={1，2，3}的集合的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，根据集合的运算可知，当集合中，只有两个元素时，此时；当集合中，只有三个元素时，此时,所以集合的个数为两个，故选B． 考点：集合的并集． 5．（2025高一·山西忻州·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据venn图，求出即可. 【解析】由venn图，可知阴影部分所表示的集合是. 因为，， 故. 故选：D 【点睛】本题考查了集合的基本运算以及venn图，属于基础题. 6．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知全集，，，指出图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题首先可根据题意求出、以及，然后根据图即可得出阴影部分表示的集合. 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以， 由图易知，图中阴影部分表示的集合是， 故图中阴影部分表示的集合是， 故选：C. 7．（2025高一·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为，作出韦恩图，可得出该班学生人数. 【解析】设选修“足球”课程的学生构成的集合为，选修“篮球”课程的学生构成的集合为， 如下图所示： 由图可知，该班学生人数为. 故选：B. 8．（2025·福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 A．NM B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2} 【答案】D 【解析】试题分析：由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断． 解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误； B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误； C、M∩N={2}≠N，故C错误； D、M∩N={2}，故D正确． 故选D． 考点：集合的包含关系判断及应用． 9．（2025高三·河南·阶段练习）设集合，，则（    ） A．{0} B．{2} C．{2，4} D．{0，2，4} 【答案】B 【分析】根据不等式的性质求出集合，然后利用交集的运算即可求解. 【解析】根据不等式的性质可得集合，又因为集合， 则． 故选：B． 10．（2025高一·河北张家口·阶段练习）集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可. 【解析】因为，，所以， 记， 对于A选项，其表示，不满足； 对于B选项，其表示，不满足； 对于C选项，其表示，满足； 对于D选项，其表示，不满足； 故选：C. 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）设集合.若，则（    ） A． -3 B． -1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值. 【解析】因为，故，故或， 若，则，，此时，符合； 若，则，，此时，不符合； 故选：B 二、多选题 12．（2025高二·山东青岛·期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（    ） A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为，为实数的乘法 【答案】BC 【分析】对每个选项逐一判断，结合实数的运算以及特殊值法判断可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件； 对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件； 对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件； 对于D选项，已知全集，集合，，取，， 则，D不满足条件. 故选：BC. 13．（2025高一·新疆·阶段练习）若集合，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的概念，对选项逐一分析，即可求解. 【解析】由，可得是的子集， 所以，，进而，. 故选：ABCD. 三、填空题 14．（2025高一·全国·专题练习）已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ={2，4，6}，={1，4，6}，则集合B= ； 【答案】{2，3，5，7} 【分析】直接先求出集合U，即可得到集合B. 【解析】因为A={1，3，5，7}，={2，4，6}，所以U={1，2，3，4，5，6，7}. 又={1，4，6}， 所以B={2，3，5，7}. 故答案为：{2，3，5，7} 15．（2025·重庆）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 ． 【答案】 【解析】解法1，则所以，所以 解析2，而． 16．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则 ． 【答案】2 【解析】由题意结合补集的定义可知：，且： 结合，可得2. 17．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝ . 【答案】6 【解析】用数轴表示集合A、B如图所示．由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.    18．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，若，则 ．若，则 ． 【答案】 -2 3 【分析】利用，可求得，求得，结合，可求. 【解析】∵集合，，，∴， .又或，若，则. 故答案为：；. 19．（2025高一·全国·课后作业）若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝ . 【答案】0,1或－2 【解析】由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2. 20．（2025高一·全国·课后作业）若集合，，则 ， . 【答案】 【分析】用数轴表示集合，并画出交集与并集，得出结论． 【解析】在数轴上表示集合，，如图所示： ∴； . 故答案为：；． 21．（2008·上海）若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ 　　　　　. 【答案】 【解析】因为集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}， 由. 四、解答题 22．（2025高一·全国·开学考试）已知集合，． (1)当时，求； (2)若______，求实数a的取值范围． 请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)选①，；选②，；选③， 【分析】（1）解不等式，得到，，求出交集； （2）选①，得到，分，与三种情况，得到不等式，求出实数a的取值范围；选②，同样分，与三种情况，进行求解；选③，分，与三种情况，先得到，再求出，得到不等式，求出答案. 【解析】（1）， 时，， 故； （2）若选①，，则， ，， 若，此时，此时不满足； 若，此时，要想使得，则，解得， 若，此时，要想使得，则， 其中，故，所以无解， 综上：实数a的取值范围为； 若选②，， ，， 若，此时，此时满足； 若，此时，要想使得，则，解得， 故； 若，此时，要想使得，则， 其中，故，所以满足，故， 综上：实数a的取值范围为； 若选③，， ，， 若，此时，则，此时不满足； 若，此时， 要想使得，则，解得，故； 若，此时， 要想使得，则， 其中，故，所以不满足，故无解， 综上：实数a的取值范围为. 23．（2025高一·云南红河·期中）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出时集合A以及B的补集，计算； （2）根据交集的定义得出，从而得到不等式，求出a的取值范围． 【解析】（1）∵集合， ∴时，集合， 又或， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得， 即a的取值范围是 24．（2025高一·全国·课后作业）已知全集，集合，，求，，，. 【答案】，，或；；，或. 【分析】根据交集、补集、并集的定义以及借助数轴解答即可. 【解析】解：如图所示. ∵，，，∴，或， ，或. ，. 故，或， ， ，或. 【点睛】本题主要考查交集、补集、并集的相关运算，考查运算求解能力、数形结合能力，属于基础题型. 25．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，问：是否存在实数同时满足，？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或时满足要求 【分析】由，分、、三种情况利用韦达定理求出；由分、、、四种情况利用韦达定理求出可得答案. 【解析】，存在实数同时满足，， ∵，∴或或． ∵在中，，∴， 若，由根与系数的关系得，解得； 若，由根与系数的关系得，此时方程组无解． ∵，∴，∴或或或． ∴当时，，解得； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，，解得，符合题意． 综上所述，存在或时满足要求. 26．（北京市朝阳区北京中学科技分校2025-2026学年高一学期9月月考数学试题）设集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）由题可知，将其代入集合中的方程求出，然后检验是否满足题意即可； （2）由题可知，因此根据判别式讨论集合中元素的个数即可. 【解析】（1）由得或，故集合 ，代入中的方程,得， 解得或； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 综上可得，的值为或. （2）对于集合中的方程， , ①当，即时,满足条件; ②当,即时，，满足条件； ③当，即时,才能满足条件, 则由根与系数的关系得： 解得，所以无解, 综上可得，的取值范围是. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．（2025高二·浙江宁波·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，求． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·青海海东·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·湖南·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型2：利用并集运算求参数 6．（2025高二·重庆·期末）已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 8．（2025高一·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 9．（2025高一·全国·专题练习）若集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则集合中元素的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 12．（2025高一·安徽蚌埠·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025高三·宁夏银川·阶段练习）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 14．（2025高一·江苏·假期作业）已知集合则= ． 题型4：利用交集运算求参数 15．（25-26高一·全国·课后作业）设集合.若，则 . 16．（2025高一·湖北十堰·阶段练习）已知集合，若，求实数的值. 17．（25-26高三·河南新乡·开学考试）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 18．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知集合，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 19．（2025高一·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 20．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，则 .21．（2025高一·全国·专题练习）设，或，，则 ， ． 22．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，或，集合，或，求． 23．（2025高二·贵州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 24．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型6：利用补集运算求参数 25．（2025高一·海南海口·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 27．（2025高一·浙江温州·开学考试）已知集合，，求实数的值. 28．（2025·河南郑州·模拟预测）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·重庆·期中）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 31．（2025高一·全国·专题练习）设全集为，求及． 32．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025高一·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 34．（2025高一·全国·专题练习）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 35．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 36．（2025高三·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 37．（2025高三·辽宁·阶段练习）设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．（2025高一·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 39．（2025高一·全国·专题练习）设集合，全集，且，求实数m的取值范围． 40．（2025高一·广东江门·阶段练习）设全集，已知集合，，且，则实数的取值范围是 . （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 41．（2025·山东济南·模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 42．（2025高一·浙江·阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 43．（2025高一·湖北武汉·期末）如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 44．（2025高二·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 题型10：容斥原理 45．（25-26高一·上海·开学考试）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 46．（2025高一·全国·专题练习）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（    ） A．100人 B．人 C．人 D．178人 47．（2025高一·全国·专题练习）某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 48．（2025高三·全国·专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 题型11：集合新定义问题 49．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，定义集合运算，则 ． 50．（2025高一·全国·专题练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”．已知集合，则T的“孤立元”是 ；对给定集合，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有 个． 51．（2025高一·全国·专题练习）（多选）已知整数集或，若存在，使得，则称集合A具有性质，则（    ） A．若，则A具有性质 B．若，则A具有性质 C．若，则A一定具有性质 D．若，则A一定具有性质 一、单选题 1．（2025高三·四川成都·阶段练习）已知集合，，则 A． B． C． D． 2．（2025·全国甲卷）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2025·北京）满足条件∪{1}={1，2，3}的集合的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025高一·山西忻州·阶段练习）已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）已知全集，，，指出图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·课后作业）二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求.某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有位学生选修了“足球”课程，有位学生选修了“篮球”课程，有位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是 A．NM B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2} 9．（2025高三·河南·阶段练习）设集合，，则（    ） A．{0} B．{2} C．{2，4} D．{0，2，4} 10．（2025高一·河北张家口·阶段练习）集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（    ） A．B． C． D． 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）设集合.若，则（    ） A． -3 B． -1 C．1 D．3 二、多选题 12．（2025高二·山东青岛·期末）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（    ） A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为，为实数的乘法 13．（2025高一·新疆·阶段练习）若集合，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（2025高一·全国·专题练习）已知全集为U，集合A={1，3，5，7}， ={2，4，6}，={1，4，6}，则集合B= ； 15．（2025·重庆）若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 ． 16．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，若，则 ． 17．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝ . 18．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，若，则 ．若，则 ． 19．（2025高一·全国·课后作业）若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝ . 20．（2025高一·全国·课后作业）若集合，，则 ， . 21．（2008·上海）若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝ 　　　　　. 四、解答题 22．（2025高一·全国·开学考试）已知集合，． (1)当时，求； (2)若______，求实数a的取值范围． 请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 23．（2025高一·云南红河·期中）已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 24．（2025高一·全国·课后作业）已知全集，集合，，求，，，. 25．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，问：是否存在实数同时满足，？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由． 26．（北京市朝阳区北京中学科技分校2025-2026学年高一学期9月月考数学试题）设集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $