1.2集合间的基本关系8题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列关系正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】辨析集合元素与集合的关系，集合与集合的关系. 【解析】A正确，0是集合的元素； B错误，集合含有两个元素含有一个元素点，所以这两个集合没关系； C正确，是任何非空集合的真子集； D错误，集合含有一个元素点，集合含有一个元素点，这两个元素不同，所以集合不相等．故选：AC． 2．（2025高一·全国·专题练习）指出下列各组集合之间的关系． (1)； (2)是等边三角形是等腰三角形}； (3)． 【答案】(1)A与B之间无包含关系 (2) (3) 【解析】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． （2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故． （3）解法一  两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故． 解法二  由列举法知，所以． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合和集合，则两个集合间的关系是（   ） A． B． C． D．互不包含 【答案】D 【解析】因为集合M为函数中x的取值集合，为数集，而P为曲线上的点的集合，为点集，因此，M与P互不包含． 4．（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第一单元1.1集合的概念）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可． 【解析】， ， ， 所以. 故选：B． 5．（2025高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. 【答案】(1)无包含关系 (2) (3) (4) (5)A＝B 【分析】（1）由集合A和集合B的代表元素判断； （2）利用数轴求解判断； （3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断； （4）由n∈N*判断； （5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断. 【解析】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. （5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z， 因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z. （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 6．（2025高一·全国·专题练习）写出集合的所有子集． 【答案】 【解析】此集合一个元素也没有的子集为； 含有一个元素的子集为：； 含有两个元素的子集为：； 含有三个元素的子集为：， 因此，此集合的子集为，一共有8个子集． 7．（25-26高一·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据子集和真子集的概念进行辨析. （2）根据子集和真子集的概念进行辨析. （3）根据子集和真子集的概念进行辨析. 【解析】（1）子集：，共2个；真子集：共1个. （2）子集：，，，共4个；真子集：，，共3个. （3）子集：，，，，，，，共8个； 真子集：，，，，，，共7个. 元素个数为n，则子集个数为，真子集个数. 8．（2025高一·西藏拉萨·期中）已知集合，则集合的子集为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解法，求得集合，结合子集的概念，即可求解. 【解析】由集合， 则集合的子集为. 故答案为：. 9．（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解析】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 10．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【解析】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 题型3：判断集合子集、真子集的个数 11．（2025高一·江苏苏州·开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得. 【解析】解：由英文单词“book”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素， 所以该集合的子集为个. 故选：C 12．（2025高一·全国·课后作业）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】B 【分析】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有个元素的集合的真子集的个数是个． 【解析】，集合A含有4个元素，真子集的个数是， 故选：B． 13．（2025高三·全国·中职高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【解析】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 14．（2025高一·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【解析】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 15．（2025高一·全国·专题练习）满足的集合M有 个． 【答案】7 【解析】由题意可得，可以确定集合M必含有元素，且含有元素中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：； 含有四个元素：； 含有五个元素：． 故满足题意的集合M共有7个． 16．（2025高一·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【解析】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 题型4：根据子集、真子集个数求参数 17．（2025高一·湖北武汉·期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【解析】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 18．（2025高一·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【解析】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 19．（2025高一·甘肃酒泉·期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【解析】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 20．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . 【答案】或/或 【分析】分析可知集合中有且只有一个元素，可得出关于的等式，即可得解. 【解析】因为集合只有个子集，则集合中有且只有一个元素， 所以，，整理可得，其中，解得或. 故答案为：或. （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 21．（2025高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的定义及集合中元素的特性分别判断. 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 22．（2025高一·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【解析】对于A，由，得，∴且，故A不正确； 对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确. 故选：C. 23．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 24．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合A，B中元素的特征可判断各选项. 【解析】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 题型6：利用集合相等求参数 25．（25-26高一·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 【答案】，或， 【分析】根据集合相等列方程组求解，然后根据集合的定义检验． 【解析】由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 26．（2025高二·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合相等列方程求解即可. 【解析】因为，，， 所以，解得. 故选：C 27．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 【答案】C 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【解析】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 28．（2025高一·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【解析】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 29．（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由集合相等分情况讨论得到所求集合，再求子集可得. 【解析】由题意可得，当时，，此时； 当时，或，此时； 所以集合， 所以非空子集的个数为3个. 故选：B. 题型7：空集及其应用 30．（25-26高一·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集、空集、元素属于等概念的定义来逐一判断选项即可. 【解析】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误； 集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则成立，故B正确； 空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误； 因为空集中不含任何元素，，故D错误． 故选：. 31．（25-26高一·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑥⑦. 【分析】根据条件，利用元素与集合、集合与集合间的关系的判断方法，逐一对各个命题分析判断，即可求解. 【解析】因为，所以，又，若作为一个元素并不在A中，故①正确；③，④正确； 又任何一个集合都是它本身的子集，空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集， 所以②，⑥正确， 又，所以⑤错误，显然⑦正确， 故答案为：①②③④⑥⑦. 32．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【解析】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 33．（2025高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 34．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 35．（2025高一·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【解析】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 36．（2025高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 37．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】，则，满足题意，选B． 38．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】， 解得故． 的取值范围是． 39．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】当时，，即； 当时，解得即． 故实数m的取值范围是． 40．（2025高一·全国·专题练习）设集合，已知，求实数a的取值范围． 【答案】，或 【分析】已知，要根据是否为空集分两种情况来讨论. 【解析】当时，，解得； 当时，解得； 综上所述，的取值范围为，或． 41．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【解析】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 42．（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【解析】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列表述正确的有（    ） ①空集没有子集； ②任何集合都有至少两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅是A的真子集，则A≠∅. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断. 【解析】因为∅⊆∅，故①错； ∅只有一个子集，即它本身．故②错； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故③错； 空集是任何非空集合的真子集，故④正确， 故选：B. 2．（2025高一·广西河池·阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可. 【解析】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素， ∴不是A的子集。故C不对， 故选：C. 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【解析】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 4．（2025高一·辽宁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据给定的条件，确定集合中元素即可求解作答. 【解析】因，则有都是集合中元素，4，6都不在中，5可以在中， 因此集合可以是或， 所以满足条件的集合的个数为2. 故选：C 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，利用列举法计数即可. 【解析】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中， 共有4种情况，， 故选：D 6．（2025高一·浙江衢州·期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【解析】因为集合， 所以集合的子集有共个. 故选：C. 7．（2025高一·全国·课后作业）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解. 【解析】由，又且,所以， 故选：B 8．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果. 【解析】因为集合，集合， 所以集合与集合都是奇数集，所以， 故选：C. 9．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可. 【解析】由题意知，， 所以. 故选：B. 10．（2025高一·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的定义即可判断. 【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中， 所以， 故选：. 11．（2025高一·全国·课后作业）定义集合，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【解析】先求出P－Q集合中元素的个数，根据公式即可求得真子集个数. 【解析】根据题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，共5个元素， ∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31. 故选：B. 【点睛】本题通过新定义入手，考查集合真子集个数的求法，考查分析理解的能力，属基础题. 12．（2025高一·广东佛山·期中）已知集合的非空子集的个数是7，则集合中的元素的个数是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】A 【解析】由若集合中的元素有个，则非空子集有个求解. 【解析】设集合中的元素的个数是，则， 解得. 所以集合中的元素的个数是3， 故选：A 13．（2025高一·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【解析】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 14．（2025高一·全国·课后作业）已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是等腰直角三角形}，{是等边三角形}，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系. 【解析】∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴. 故选B. 【点睛】本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题. 15．（2025高一·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【解析】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 16．（2025高一·安徽芜湖·阶段练习）集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】用列举法列出符合题意的集合，即可判断； 【解析】解：， 其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有： ，，，，，共个， 那么中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是个． 故选：B． 17．（2025高一·全国·课后作业）若集合，，则A与B的关系是（    ） A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∈B 【答案】A 【分析】用列举法表示集合，即可判断两集合的关系； 【解析】解：因为，，所以集合A中任意一个元素均在集合B中， 故选：A 【点睛】本题考查集合的基本关系的判断，属于基础题. 二、多选题 18．（2025高三·全国·专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解. 【解析】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝. 所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去； 当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2； 当B＝时，a＝0. 综上可得实数a的可能取值为3，0，－2. 故选：BCD. 19．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【解析】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 20．（2025高一·全国·课前预习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解方程组求得的值，得到方程组的解的有序数对，集合M是这个有序数对构成的集合，据此作出判定. 【解析】由解得, 所以， 所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合， 集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误. 故选：． 三、填空题 21．（2025高一·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 【答案】-3 【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果. 【解析】因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 22．（重难点01与集合有关的参数问题（2）【帮课堂】高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册））集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】解方程求出集合可得答案. 【解析】因为，所以或， 又，所以. 故答案为：是. 23．（2025高一·浙江·课后作业）集合，若，则a的取值范围为 . 【答案】. 【分析】根据集合的包含关系利用数轴求a的范围. 【解析】∵，∴a在数轴上的对应点位于6所对应点的右侧或为6所对应的点， ∴a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于基础题. 24．（2025高一·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可． 【解析】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 25．（2025高一·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求参再检验即可. 【解析】因为，所以，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 经检验可知符合. 故答案为：-1. 26．（2025高一·广东汕头·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【解析】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 27．（2024高一·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解. 【解析】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 28．（2025高一·江苏扬州·阶段练习）设集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有值构成的集合是 【答案】 【分析】利用，求出的取值，注意要分类讨论． 【解析】解：， ①当是时，可知显然成立； ②当时，可得，符合题意； ③当时，可得，符合题意； 故满足条件的的取值集合为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意对集合为空集时也满足条件，属于基础题． 29．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知集合，且若，则所有满足要求的集合的各个元素之和为 . 【答案】24 【解析】由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论. 【解析】因为集合，且， 所以集合A是的子集， 故A可能为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}, 所以集合的各个元素之和为， 故答案为：24 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用，属于中档题． 30．（2025高一·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则集合A，B之间的关系为 ． 【答案】A=B 【分析】分别讨论k=2n和k=2n-1，n∈Z时，集合A所表示的集合，由描述法的定义即可知道集合A=B. 【解析】对于集合A，k=2n时， ， 当k=2n-1时， 即集合A= ,由B= 可知A=B，故填：A=B. 【点睛】本题考查了集合之间的关系，考查了集合相等的判断，涉及了集合的表示法，是基础题. 四、解答题 31．（2025高一·海南儋州·期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 【答案】答案见解析. 【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可. 【解析】集合的所有子集为； 集合的所有真子集为. 32．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【解析】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 33．（2025高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【解析】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 34．（2024高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 35．（2025高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若⫋，求的取值范围; （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据⫋，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围． （2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围． 【解析】（1）由题意，集合， 又由⫋，可得，即实数的取值范围是. (2) 由集合， 又由，根据集合的包含关系，可得， 即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列关系正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）指出下列各组集合之间的关系． (1)； (2)是等边三角形是等腰三角形}； (3)． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知集合和集合，则两个集合间的关系是（   ） A． B． C． D．互不包含 4．（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第一单元1.1集合的概念）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·江苏·假期作业）指出下列各对集合之间的关系. (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}； (5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}. （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 6．（2025高一·全国·专题练习）写出集合的所有子集． 7．（25-26高一·全国·课堂例题）写出下列集合的子集和真子集，并观察“元素个数”与“子集个数”、“真子集个数”之间存在什么关系？ (1) (2) (3) 8．（2025高一·西藏拉萨·期中）已知集合，则集合的子集为 ． 9．（2025高一·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 10．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 题型3：判断集合子集、真子集的个数 11．（2025高一·江苏苏州·开学考试）由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 12．（2025高一·全国·课后作业）集合且的真子集的个数是（    ） A．16 B．15 C．8 D．7 13．（2025高三·全国·中职高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 14．（2025高一·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 15．（2025高一·全国·专题练习）满足的集合M有 个． 16．（2025高一·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型4：根据子集、真子集个数求参数 17．（2025高一·湖北武汉·期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为 ． 18．（2025高一·山西大同·阶段练习）若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 19．（2025高一·甘肃酒泉·期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 20．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合，满足，则.若集合只有个子集，则 . （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 21．（2025高一·湖北宜昌·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 22．（2025高一·湖南岳阳·专题练习）下列不是同一集合的是（　　） A．且 B． C． D． 23．（2025高二·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型6：利用集合相等求参数 25．（25-26高一·全国·课堂例题）设集合含有3个元素，集合含有3个元素，若，求实数和的值． 26．（2025高二·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，，若集合，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或-1 28．（2025高一·安徽·期中）若，则 ． 29．（25-26高三·吉林延边·开学考试）已知集合，，若，则集合的非空子集个数为（   ） A．2 B．3 C．7 D．8 题型7：空集及其应用 30．（25-26高一·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一·北京·开学考试）若，，并有以下7个关系式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ 其中正确的有 （填序号）． 32．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 33．（2025高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 34．（2025高一·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（2025高一·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 36．（2025高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 37．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 38．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 39．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，若，求实数m的取值范围． 40．（2025高一·全国·专题练习）设集合，已知，求实数a的取值范围． 41．（2025高一·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 42．（2025高一·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 一、单选题 1．（2025高一·全国·课后作业）下列表述正确的有（    ） ①空集没有子集； ②任何集合都有至少两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅是A的真子集，则A≠∅. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2025高一·广西河池·阶段练习）已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·辽宁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A．8个 B．4个 C．2个 D．1个 5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025高一·浙江衢州·期末）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 7．（2025高一·全国·课后作业）已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 9．（2025高一·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·江苏盐城·期中）若集合，，则集合A与B的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 11．（2025高一·全国·课后作业）定义集合，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 12．（2025高一·广东佛山·期中）已知集合的非空子集的个数是7，则集合中的元素的个数是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 13．（2025高一·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 14．（2025高一·全国·课后作业）已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是等腰直角三角形}，{是等边三角形}，则 A． B． C． D． 15．（2025高一·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 16．（2025高一·安徽芜湖·阶段练习）集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（2025高一·全国·课后作业）若集合，，则A与B的关系是（    ） A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∈B 二、多选题 18．（2025高三·全国·专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 19．（2025高一·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·全国·课前预习）下列与集合表示同一个集合的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．（2025高一·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 22．（重难点01与集合有关的参数问题（2）【帮课堂】高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册））集合与 相等集合．（填“是”或“不是”） 23．（2025高一·浙江·课后作业）集合，若，则a的取值范围为 . 24．（2025高一·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ． 25．（2025高一·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 26．（2025高一·广东汕头·期中）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 27．（2024高一·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 28．（2025高一·江苏扬州·阶段练习）设集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有值构成的集合是 29．（2025高一·江西南昌·阶段练习）已知集合，且若，则所有满足要求的集合的各个元素之和为 . 30．（2025高一·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则集合A，B之间的关系为 ． 四、解答题 31．（2025高一·海南儋州·期中）写出集合的所有子集和它的真子集. 32．（2025高一·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 33．（2025高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 34．（2024高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 35．（2025高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若⫋，求的取值范围; （2）若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $