1.1集合的概念8题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念8题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（   ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．我省参加高考的学生 2．（2025高一·全国·专题练习）（多选）考查下列每组对象，能构成一个集合的是（   ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 3．（2025高一·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 4．（2025高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 5．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025高一·甘肃庆阳·期中）（多选）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 8．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3：根据元素与集合的关系求参数 9．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素1和，若，求实数a的值． 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素1和，求实数a的取值范围． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素a和，若，求实数a的值． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素和，若，试求实数a的值． 13．（人教B版（2019）必修第一册北京名校同步练习册第一章集合与常用逻辑1.1集合1.1.1集合及其表示方法（1））若，则a的值为 . 14．（2025高一·河南南阳·期中）已知集合，，若，，则 . 题型4：利用集合元素的互异性求参数 15．（2025高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 16．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 17．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数 . （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 18．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 19．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)由以内的所有质数组成的集合． 20．（2024高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． （1）不超过11的所有素数组成的集合： ； （2）： ． 21．（2025高一·甘肃酒泉·期中）已知集合，试用列举法表示集合 ． （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 22．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合； (4)方程的解集． 23．（2026高一·全国·专题练习）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2)； (3)； (4)，且． 24．（2025高一·江西宜春·阶段练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：判断集合中元素的个数 26．（2025高三·江苏·专题练习）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 27．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（2025高一·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（2025高二·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 题型8：根据集合元素的个数求参数 30．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 31．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 32．（2026高一·全国·专题练习）若集合，且A中只有一个元素，求a的值． 33．（2026高一·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 34．（2025高一·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025高一·全国·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2022～2023学年度第一学期全体高一学生 2．（2025高三·全国·阶段练习）若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·浙江·阶段练习）若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 4．（2025高一·全国·课后作业）已知，那么（    ） A． B． C． D． 5．（北师大版（2019）必修第一册数学奇书学业评价（二）集合的表示法）集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2025高一·全国·课后作业）设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是 A．0∈A B．aA C．a∈A D．a＝A 8．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 10．（2025高一·全国·课后作业）由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2025高一·全国·课后作业）下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 二、多选题 12．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 13．（2025高一·全国·课后作业）集合中的元素满足，且，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．小于等于1 14．（2025高一·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 三、填空题 15．（2025高一·全国·课后作业）若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合 (填“是”或“不是”)可倒数集，试写出一个含三个元素的可倒数集 .(答案不唯一) 16．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ . 17．（2025高一·全国·课后作业）设集合，若，则集合用列举法表示为 . 18．（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 . 19．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 ．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 20．（2025高一·全国·课后作业）以方程和方程的根为元素的集合中共有 个元素. 21．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合A={x|2x+a＞0}，若1∉A，则实数a的取值范围是 ． 22．（2025高一·全国·课后作业）用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为 . 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）设集合. （1）试判断元素1和2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B. 24．（2025高一·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 25．（2025高一·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 26．（2025高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 27．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 28．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念8题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）考查下列每组对象，能构成集合的是（   ） A．中国各地的美丽的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．我省参加高考的学生 【答案】BCD 【解析】A中“美丽的”标准不明确，不符合确定性，B、C、D中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD． [答案]  BCD 2．（2025高一·全国·专题练习）（多选）考查下列每组对象，能构成一个集合的是（   ） A．不超过20的非负整数 B．方程在实数范围内的解 C．某校2023年在校的所有高个子同学 D．的近似值的全体 【答案】AB 【解析】对于A，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合； 对于B，方程的两个解是，能构成集合； 对于C，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； 对于D，“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合． 3．（2025高一·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【答案】②③⑤ 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【解析】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 4．（2025高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 5．（2025高一·全国·专题练习）（多选）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】判断集合与元素的关系. 【解析】是实数，是无理数，是非负整数，是无理数．因此，A、B、C正确，D错误． 故选：ABC. 6．（2025高一·全国·专题练习）下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】A中，当时，显然不成立． 7．（2025高一·甘肃庆阳·期中）（多选）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的描述列举出集合中的元素即可逐项判断. 【解析】解：，所以，，，. 故选：AB. 8．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系的判断， 【解析】对于A，令，得，则，故A错误， 对于B，令，得，则，故B错误， 对于C，令，得，则，故C错误， 对于D，令，得，则，故D正确， 故选：D 题型3：根据元素与集合的关系求参数 9．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素1和，若，求实数a的值． 【答案】0 【解析】由题意，可知或． （1）若，则，这与相矛盾，故． （2）若，则或（舍去），又当时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0． 10．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素1和，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】由集合中元素的互异性可知，即． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素a和，若，求实数a的值． 【答案】 【解析】若，则或，即． 当时，集合A有重复元素，所以； 当时，集合A含有两个元素，符合集合中元素的互异性，所以． 12．（2025高一·全国·专题练习）已知集合A含有两个元素和，若，试求实数a的值． 【答案】或 【解析】或．若，则，此时集合A中含有两个元素，符合题意； 若，则， 此时集合A中含有两个元素，符合题意， 综上所述，或． 13．（人教B版（2019）必修第一册北京名校同步练习册第一章集合与常用逻辑1.1集合1.1.1集合及其表示方法（1））若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【解析】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 14．（2025高一·河南南阳·期中）已知集合，，若，，则 . 【答案】 【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到或，即可得到答案. 【解析】解：因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 题型4：利用集合元素的互异性求参数 15．（2025高一·全国·课堂例题）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合中的元素的互异性进行判断. 【解析】不正确. 因为集合中的元素是互异的，所以集合中只有4个不同元素1，2，0，5 . 16．（2025高三·上海浦东新·阶段练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 17．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知集合中的最大元素为，则实数 . 【答案】1 【分析】依题意可得，解得，再检验即可. 【解析】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 18．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）不大于10的非负偶数有，所以． （2）小于8的质数有，所以． （3）方程的实数根为，所以． （4）由得所以一次函数与图象的交点为，所以． 19．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)由以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么． （2）设由以内的所有质数组成的集合为C，那么． 20．（2024高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合． （1）不超过11的所有素数组成的集合： ； （2）： ． 【答案】 【分析】根据集合的概念直接求解即可. 【解析】（1）由题设，符合条件的所有素数组成的集合为． （2）由题设，且， 则时，；时，； 时，；时，；时，． 所以集合为． 故答案为：， 21．（2025高一·甘肃酒泉·期中）已知集合，试用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【解析】要使，必然有是4的约数， 而4的约数有共六个，则的可能取值为， 又，则为， 故． 故答案为：. （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 22．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合； (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【解析】（1）不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， 所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）被3除余1的整数可表示为所有被3除余1的整数组成的集合为． （3）要使有意义．则．由，得． 使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得方程的解集为． 23．（2026高一·全国·专题练习）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2)； (3)； (4)，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解析】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点表示直线． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为是一个单元素集 24．（2025高一·江西宜春·阶段练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合中元素的特征判断. 【解析】选项A，B，D都是数集，且只包含一个元素，而C选项表示的集合里的元素是，则该集合不是数集. 故选：C. 25．（2025高一·江苏·假期作业）用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解. 【解析】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为． （3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为． （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：判断集合中元素的个数 26．（2025高三·江苏·专题练习）设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【分析】根据已知条件写出中所有元素即可. 【解析】，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ，，； ,，； ,，； 根据集合元素的互异性可知中元素的个数是8， 故答案为：8 27．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【解析】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 28．（2025高一·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【解析】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 29．（2025高二·江西南昌·阶段练习）已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【解析】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 题型8：根据集合元素的个数求参数 30．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)0或1 (2)或 【解析】（1）当时，原方程变为，即，符合题意； 当时，由，得，此时． 所以若A中只有一个元素，则a的值为0或1． （2）当时，A中至多含有一个元素， 即方程有两个相等的实根或没有实根． 由，得． 当时，由（1）知方程有唯一解． 所以若A中至多有一个元素，则或， 即a的取值范围是或． 31．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 【答案】 【分析】因为题目中集合A中有至少有一个元素，则集合中有一个或两个元素，则方程有一个解或两个解. 【解析】A 中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 当时，由，得； 当时，由例题解析可知方程有唯一解． 综上，，即的取值范围为． 32．（2026高一·全国·专题练习）若集合，且A中只有一个元素，求a的值． 【答案】 【解析】当，即时，方程有两个相同解，即A中只有一个元素，所以． 33．（2026高一·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 【答案】时，时， 【解析】当时，原方程变为， 所以，此时集合； 当时，要使一元二次方程有两个相等的实根，需，即． 此时方程的解为，集合． 所以，时，时，． 34．（2025高一·江苏连云港·期中）已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【解析】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 一、单选题 1．（2025高一·全国·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2022～2023学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性可得正确的选项. 【解析】对于A，非常接近无法确定实数，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，著名无法确定数学家，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，视力比较好无法确定学生，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 故选：D. 2．（2025高三·全国·阶段练习）若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程组得，即可得到集合. 【解析】由解得所以. 故选：B 【点睛】此题考查集合概念理解，关键在于准确识别描述法表示的集合，根据题意求解方程组，准确表示成所求形式. 3．（2025高一·浙江·阶段练习）若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】利用集合中元素的特征和特殊四边形的性质判断即可. 【解析】因为，，，为集合的四个元素，所以两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以AD错；平行四边形的对边相等，所以B错. 故选：C. 4．（2025高一·全国·课后作业）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【解析】由题意可得 所以， 故选：A 5．（北师大版（2019）必修第一册数学奇书学业评价（二）集合的表示法）集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法与列举法的转换即可判定. 【解析】由题意可得， ∴，即用列举法为. 故选：B 6．（2025高一·全国·课后作业）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性即可确定元素的个数. 【解析】解：由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留， 所以有5个元素． 故选：C 7．（2025高一·全国·课后作业）设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是 A．0∈A B．aA C．a∈A D．a＝A 【答案】C 【解析】分析：根据集合A的表示，判断出a是A的元素，根据元素与集合的关系，是属于与不属于，从而得到答案. 详解：集合， . 故选C. 点睛：在解决元素与集合的关系时，注意它们的关系只有“属于”与“不属于”两种. 8．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求解即可 【解析】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合 故选：D 9．（2025高一·全国·课后作业）若集合A中有三个元素1，，a；集合B中有三个元素0，，b，集合A与集合B相等，则等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义，可推出的值，得解. 【解析】由题意可知且， ，， ，， 故. 故选：C. 10．（2025高一·全国·课后作业）由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】从集合中元素的互异性出发，按照、、分类，即可得解. 【解析】解：由于，， 因此当时，，集合含有1个元素； 当时，，，集合有2个元素； 当时，，，集合有2个元素； 所以集合中最多含有元素的个数为2. 故选：A. 11．（2025高一·全国·课后作业）下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 【答案】A 【解析】对于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,对于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合. 选A 二、多选题 12．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【答案】BCD 【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D. 【解析】对于A，，该集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合中有一个元素0，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误. 故答案为：BCD 13．（2025高一·全国·课后作业）集合中的元素满足，且，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．小于等于1 【答案】AB 【分析】由，且，可求出中的元素，再由可求得的值 【解析】因为，且， 所以的值为0，1，所以， 又，所以或. 故选：AB 14．（2025高一·辽宁锦州·期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【解析】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 三、填空题 15．（2025高一·全国·课后作业）若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合 (填“是”或“不是”)可倒数集，试写出一个含三个元素的可倒数集 .(答案不唯一) 【答案】 不是 【分析】本题首先可以明确可倒数集的含义，然后根据的倒数为得出集合不是可倒数集，最后写出一个满足可倒数集的含义的集合即可. 【解析】因为的倒数不在集合中， 所以集合不是可倒数集， 若可倒数集中有三个元素，则必有一个元素满足关系式，即， 故可取的集合为：， 故答案为：不是，. 【点睛】本题考查集合新定义，能否结合题意明确可倒数集的含义是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 16．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝ . 【答案】{0,1 } 【分析】对集合A中的元素求绝对值即可得到集合B. 【解析】因为集合A＝{－1，0，1}， 所以B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{0,1 }， 故答案为：B＝{0,1 } 【点睛】本题考查了根据集合中的条件求解集合的问题，属于简单题，解题中要注意集合中元素的互异性. 17．（2025高一·全国·课后作业）设集合，若，则集合用列举法表示为 . 【答案】. 【解析】先将代入，解出的值，然后求出方程的另外一个根并写出集合. 【解析】∵，∴，∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，属于简单题. 18．（2025高一·全国·课后作业）集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为 . 【答案】0，1，2 【分析】由元素x满足∈N，即6可被3 - x整除，而x∈N可求得元素x的值 【解析】当x＝0时，＝2； 当x＝1时，＝3； 当x＝2时，＝6； 而x ≥ 3时不符合题意 故答案为：0，1，2 【点睛】本题考查了集合，结合自然数，以及整除的性质求集合中的元素 19．（2025高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 ．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 【答案】② 【分析】根据集合的元素的互异性判定①错误；根据集合的元素的互异性判定②正确；根据集合的元素的无序性可判定③错误. 【解析】①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形． ③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 故答案为：②. 20．（2025高一·全国·课后作业）以方程和方程的根为元素的集合中共有 个元素. 【答案】3 【分析】先计算出两个方程的根，然后根据集合中元素的互异性取舍元素. 【解析】方程的根是2，3，方程的根是，2.根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素. 【点睛】本题考查集合中元素互异性的应用，难度较易.集合中要保证任意两个元素不相同，这就是元素互异性的体现. 21．（2025高一·江苏南京·阶段练习）已知集合A={x|2x+a＞0}，若1∉A，则实数a的取值范围是 ． 【答案】（﹣∞，﹣2] 【分析】先求集合A的解集为{x|x＞﹣}，又∵1∉A，由此﹣≥1得解 【解析】由题意可得 集合A的解集为{x|x＞﹣}，又∵1∉A，由此解得﹣≥1，解得a≤﹣2， 故答案为（﹣∞，﹣2]． 【点睛】元素和集合的关系有属于和不属于，属于表示在其内，不属于表示不在其内而属于其补集． 22．（2025高一·全国·课后作业）用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N*}为 . 【答案】{(0，3)，(1，2)，(2，1)} 【解析】集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1.故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}. 四、解答题 23．（2025高一·全国·课后作业）设集合. （1）试判断元素1和2与集合B的关系； （2）用列举法表示集合B. 【答案】（1）1∈B，2∉B；（2）B＝{0，1，4}. 【分析】（1）将代入，由此判断出和与集合的关系. （1）利用代入验证法确定集合. 【解析】（1）当x＝1时，＝2∈N； 当x＝2时，＝∉N， 所以1∈B，2∉B. （2）的因数有，而， 令x＝0，1，4代入∈N检验，可得B＝{0，1，4}. 24．（2025高一·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【解析】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 25．（2025高一·黑龙江·阶段练习）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【解析】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 26．（2025高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 【答案】(1)存在 (2)不一定存在，证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征即可求解， （2）根据集合中元素的特征，结合集合的运算即可求解. 【解析】（1）设， 令，，则. 故若，则存在，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 27．（2025高一·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【解析】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 28．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论； （2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论. 【解析】（1）由，由②知：， 由③知：； （2）先证：若，则， 由②知：若，且，又，则； 由③知：，则， 所以， 综上，， 再证：若则， 由，则， 所以， ，由③知：， ， . （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $