第7章 证明章末总结 课件-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

八上数学 BS 第七章 证明 章末小结 拓展到生活中的逻辑判断与论证 命题与证明 生活现象 认识证明 认识到证明的必要性 发现观察与猜想可能存在误差 观察与猜想 平行线的证明 直观感受 引发思考 知识梳理 一、命题与证明 1.定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义. 知识梳理 一、命题与证明 2. 命题 概念：判断一件事情的句子. ①陈述句 ②能对某一件事情做出判断——即能够判断真假 知识梳理 一、命题与证明 2. 命题 命题的构成：命题一般都由条件(题设)和结论两部分组成； 条件(题设)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 命题的分类：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. 知识梳理 一、命题与证明 3. 证明 概念：演绎推理的过程 基本格式：“因为…，所以…” 真命题的证明：依据定义、基本事实、定理、推论等. 假命题的证明：举反例. 知识梳理 一、命题与证明 4. 基本事实 ① 两点确定一条直线. ② 两点之间线段最短. ③ 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ④ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行). 知识梳理 一、命题与证明 4. 基本事实 ⑤ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. ⑥ 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. ⑦ 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. ⑧ 三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 知识梳理 1. 编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 则收割最快的一台收割机编号是 . 随堂练习 同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，得到C比A快； 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，得到B比D快； 同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时，得到E比B快； 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时，得到C比E快. 综上，收割最快的一台收割机编号是C. 随堂练习 1. 编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 则收割最快的一台收割机编号是 . C 随堂练习 2. 下列命题是真命题的有(　　) ① 当n取正整数时，n2+3n+1的值是质数； ② a2=b2，则a=b； ③ 如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2； ④ 以8，15，19为边长的三角形是直角三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 随堂练习 3. 说明命题“若m>n，则m2>n2”是假命题，所列举反例正确的是(　　) A．m=3，n=6 B．m=6，n=3 C．m=-3，n=-6 D．m=-6，n=-3 C 随堂练习 4. 下列命题：① 能被3整除的数也能被6整除；② 等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③ 一元一次方程x-1=0的根是x=1；④ 对顶角相等.其中可以作为定理的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析： ①是假命题； ②是假命题； ③ 是一个运算过程，不能作为定理. A 随堂练习 5. 证明：三个连续自然数之和能被3整除. 已知：有三个连续的自然数. 求证：它们的和能被3整除. 证明：设这三个自然数分别为k-1，k，k+1，其中k≥1. 所设三个自然数的和为(k-1)+k+(k+1)=3k， ∵ 3k能被3整除， ∴ 这三个自然数的和能被3整除. 随堂练习 a b 1 2 c 6. 证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图，a，b，c是同一平面内的三条直线，a⊥c，b⊥c. 求证：a∥ b. 证明：因为a⊥c(已知)， 所以∠1=90°(垂直的定义). 因为b⊥c(已知)， 所以∠2=90°(垂直的定义). 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥ b(同位角相等，两直线平行). 随堂练习 二、平行线的证明 1. 平行线的判定 判定的基本事实(同位角相等，两直线平行). 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 知识梳理 二、平行线的证明 2. 平行线的性质 性质定理：两直线平行，同位角相等. 性质定理：两直线平行，内错角相等. 性质定理：两直线平行，同旁内角互补. 平行于同一条直线的两条直线平行. 知识梳理 二、平行线的证明 3. 命题证明的一般步骤 根据题意，画出图形； 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 用数学符号和数学语言写出证明过程. 知识梳理 1. 如图所示，∠AOB的两边OA，OB表示平面镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数为( ) A. 55° B. 70° C. 110° D. 120° B 随堂练习 2. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠1=∠2.求证：∠ADG=∠B. 随堂练习 证明：∵ CD⊥AB，EF⊥AB(已知)， ∴ ∠CDB=∠EFB=90°(垂直的定义)， ∴ CD∥EF(同位角相等，两直线平行)， ∴ ∠DCB=∠1(两直线平行，同位角相等). 又∵ ∠1=∠2(已知)， ∴ ∠DCB=∠2(等量代换)， ∴ GD∥BC(内错角相等，两直线平行)， ∴ ∠ADG=∠B(两直线平行，同位角相等) 随堂练习 3. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. (1) 若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； 解：(1) 因为∠BCA＝∠DCE＝90°， ∠BCD＝150°， 所以∠ACD＝∠BCD-∠BCA＝150°-90°＝60°， 所以∠ACE＝∠DCE-∠ACD＝90°-60°＝30°. 随堂练习 3. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. (1) 若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； (2) 猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，说明理由； 随堂练习 (2) ∠BCD+∠ACE＝180°. 理由：因为∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∠ACE＝∠DCE-∠ACD＝90°-∠ACD， 所以∠BCD+∠ACE＝180°. 随堂练习 3. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°. (1) 若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； (2) 猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，说明理由； (3) 若固定三角板ABC不动，绕顶点C 转动三角 板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB， 并说明理由． 随堂练习 (3) 当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB. 理由：如图1，根据“同旁内角互补，两直线平行”， 当∠B＋∠BCD＝180°时，CD∥AB， 此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°. 如图2，根据“内错角相等，两直线平行”， 当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB. 图1 图2 随堂练习 4. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余． (1) 试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由； (2) 如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H.试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由． 图1 图2 随堂练习 解：(1) BE∥DF.理由： 因为BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线， 所以∠ABE＝∠ABC，∠ADF＝∠ADC. 因为∠ABC＋∠ADC＝180°， 所以∠ABE＋∠ADF＝90°. 因为∠ADF与∠AFD互余， 所以∠ADF＋∠AFD＝90°，所以∠ABE＝∠AFD， 所以BE∥DF. 随堂练习 4. 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余． (1) 试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由； (2) 如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H.试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由． 图1 图2 随堂练习 (2) ∠FBH＝∠GBH. 理由：由(1)，知BE∥DF， 所以BE∥DG， 所以∠EBH+∠DHB＝180°. 因为BH⊥FG，所以∠DHB＝∠EBH＝90°， 所以∠CBE+∠GBH＝180°-∠EBH＝90°. 因为∠ABE+∠ABH＝90°，∠ABE＝∠CBE， 所以∠ABH＝∠GBH，即∠FBH＝∠GBH. 随堂练习 $