18.5 分式方程 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十八章 分式 八上数学 RJ 第2课时 18.5 分式方程 1. 能根据具体问题中的数量关系列分式方程，检验方程的解的合理性. 2. 解决简单的实际问题，建立模型观念，增强应用意识. 学习目标 1.列方程解决实际问题的一般步骤： ； 2.我们所学过的应用题类型： （1）行程问题： 基本式： . （2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法. （3）工程问题： 基本式： . 审、设、列、解、验、答 路程=速度×时间 工作量=工作时间×工作效率 课堂导入 分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量，由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度. 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 甲队 甲队+乙队 1个月 半个月 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 . 方程两边乘6x，得 2x+x+3=6x. 解得 x=1. 检验：当x1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 设未知数的方法 (1)设直接未知数，即题中问什么就设什么； (2)设间接未知数，即设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数； (3)设辅助未知数，即设一个未知数无法表示等量关系时，可增设一个参数——辅助未知数，从而列出方程，而辅助未知数一般可以在求解过程中消去. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 跟踪训练 在学习“分式方程”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明同学所列方程中x表示_____________________________， 列方程所依据的等量关系是_______________________________ ; 小亮同学所列方程中y表示_______________________________， 列方程所依据的等量关系是______________________________. 乙队每天比甲队多修40m 甲队修路800 m与乙队修路1 200 m所用时间相等 甲队每天修路的长度 甲队修路800 m所用时间 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 (2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的问题. 解：（答案不唯一）选小明，设甲队每天修路x m. 根据题意，得方程. 两边乘x(x+40)，得800(x+40)=1 200x. 解得 x=80. 经检验，x=80 是原分式方程的解，且符合题意. 答：甲队每天修路的长度为80 m. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行(s+50)km所用时间．由此列方程，进而求出x. 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量). 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶 s km所用时间为h； 提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km，所用时间为 h. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 根据行驶时间的相等关系，得 . ① 方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50). 解得 . 检验：因为v，s都是正数， 所以当时，x(x+v)≠0. 所以，原分式方程的解为. 答:提速前列车的平均速度为km/h. 在例题中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现.方程①是以x为未知数的分式方程，其中v,s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 跟踪训练 为加快城市群的建设与发展，要在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km缩短至114 km，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快110 km，运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间. 建成后 现行 运行时间/h x ​x 运行路程/km 114 120 平均时速/km 等量关系 建成后的平均时速 - 现行的平均时速 = 110 km 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 解：设建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间为x h，则现行的运行时间为​x h. 根据题意，得110. 方程两边乘​x，得285-120=275x. 解得x=0.6. 当x=0.6时，​x ≠0，且符合题意. 所以原分式方程的解为x=0.6. 答：建成后的城际铁路在A，B两城市间的运行时间为0.6 h. 新知探究 知识点 列分式方程解决实际问题 1. 一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要超过规定日期4天才能完成，如果两组合作3天后，剩下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天? 解：设规定日期为x天， 根据题意，得, 解得 x=12. 经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意. 答：规定日期为12天. 随堂练习 2.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等.请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为多少. 解：设冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时,根据题意， 得， 解得x=40, 经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意. 答：该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时. 随堂练习 3.八年级学生去距学校30 km的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了5 min，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴的平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度. 解：设大巴的平均速度为x km/min，则中巴的平均速度为1.2x km/min.根据题意， 得=5. 解得 x=1. 经检验，x=1是分式方程的解，且符合题意. 答：大巴的平均速度为1 km/min. 随堂练习 4.甲、乙两人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 解：设甲每小时做零件x个，则乙每小时做零件(x-6)个. 根据题意，得 . 解得 x=18. 经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意. 所以 x-6=18-6=12. 答：甲、乙每小时分别做零件18个、12个. 随堂练习 列分式方程 解决实际问题 分式方程 分式方程的解 列方程 解方程 检验 课堂小结 $第十八章 分式 八上数学 RJ 第1课时 18.5 分式方程 1.能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程. 2.经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因，能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想. 学习目标 问题 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 解：设江水的流速为 v km/h， 则轮船顺流航行90 km所用的时间为 h， 逆流航行60 km所用的时间为 h， 由方程 ，可以解出v的值. 课堂导入 思考 观察方程，你发现了什么？ （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 新知探究 知识点1 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 分式方程必须满足的条件： （1）是方程； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数. 三者缺一不可. 新知探究 知识点1 分式方程的概念 例1 下列式子： ；；；； ； . 其中是关于x的分式方程的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 混淆未知数与字母的区别致错 分母中含有字母的方程不一定是分式方程.如关于x的方程=x(a≠0）,分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程. 新知探究 知识点1 分式方程的概念 思考 如何解分式方程呢？ 解分式方程的基本思路： 去分母 分式方程 整式方程 转化 新知探究 知识点2 分式方程的解法 .① 分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得 (30+v)(30-v)(30+v)(30-v). 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6. 检验：把v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是方程①的解. 由此可得，江水的流速为6 km/h. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程. ② 你发现了什么问题？ 类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，去分母得整式方程 (x-5)(x+5) · ·(x-5)(x+5) x+5=10 解得 x=5. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程. ② 你发现了什么问题？ 将x=5代入②，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解， 但不是分式方程的解. 实际上，这个分式方程无解. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ . ① ② 新知探究 知识点2 分式方程的解法 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）.方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. . ① ② 新知探究 知识点2 分式方程的解法 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解. . ① ② 新知探究 知识点2 分式方程的解法 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 解：方程两边乘x(x–3)，得 2x=3x–9. 解得 x=9. 检验：当x=9时，x(x–3)≠0. 所以，原分式方程的解为x=9. 例1 解方程 . 新知探究 知识点2 分式方程的解法 例2 . 解：方程两边同乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 x2+2x-(x2+x-2)=3 x2+2x-x2-x+2=3 x+2=3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 归纳 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验. 解分式方程的一般过程如下： 分式方程 整式方程 x=m x=m是分式方程的解 最简公分母不为0 x=m不是分式方程的解 最简公分母为0 去分母 解整式方程 检验 目标 新知探究 知识点2 分式方程的解法 教材延伸 分式方程的增根 将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 产生增根的原因 在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0.如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 跟踪训练 解下列方程：（1）   1方程两边同乘x(x+2)，得 . 解得 =8 新知探究 知识点2 分式方程的解法 跟踪训练 解下列方程：（1）   2对原方程两边同时取倒数，得 关于x的形如的方程，通过取倒数，可直接将分式方程转化为整式方程进行求解，但要注意最后仍需检验. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 跟踪训练 解下列方程：. 解：方程两边乘(x+1)(x-1)，得 . . 检验：当x=-1时， (x+1)(x-1)=0， 所以x=-1不是原分式方程的解， 所以原分式方程无解. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 含字母的分式方程的解法 1.含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程. 2.含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同. 需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件， 新知探究 知识点2 分式方程的解法 例3 解关于x的分式方程（ a≠0 ）. 解：方程两边乘(x-1)，得 a=x-1. 解得 x=a+1. 检验：当x=a+1时，x-1=a+1-1=a≠0. 所以原分式方程的解为x=a+1. 新知探究 知识点2 分式方程的解法 跟踪训练 解关于x的方程 =2 (m≠±n). 新知探究 知识点2 分式方程的解法 新知探究 知识点2 分式方程的解法 1.解方程：(1) ； (2) . 解：(1)方程两边乘x(x-2)， 得5(x-2)=7x， 解得x=-5， 检验：当x=-5时，x(x-2)≠0， 所以x=-5是原分式方程的解. 解：(2)方程两边乘(x+3)(x-1)， 得2(x-1)=x+3， 解得x=5， 检验：当x=5时，(x+3)(x-1)≠0， 所以x=5是原分式方程的解. 随堂练习 2.解方程： . 解：原方程可化为 ， 即 解法1 随堂练习 2.解方程 . 因为x2-10x+16≠x2-10x+24， 所以2x-10=0，解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x=5. 随堂练习 解法2 移项，得. 通分，得 所以x2-6x+8=x2-14x+48. 解得x=5. 经检验，x=5是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为x=5. 2.解方程 . 随堂练习 3. 当a为何值时，关于 x 的方程3 解：由方程，得x-4=3x，解得x=-2. 因为方程的解与方程=3的解相同， 所以x=-2也是方程的解. 把x=-2代入方程， 得，解得. 随堂练习 分式方程 定义 分母中含未知数的方程 解法 去分母，转化为整式方程 解整式方程 检验 代入原方程 代入最简公分母 课堂小结 $