18.4 整式指数幂 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十八章 分式 八上数学 RJ 第2课时 18.4 整数指数幂 1.会用科学记数法表示绝对值小于1的非零数. 2.理解科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系. 学习目标 我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示，例如，光速约为3×108 m/s，太阳的半径约为6.96×105 km. 那么，类似0.000 01，0.000 025 7， 0.000 000 025 7这样的数能不能也用科学记数法表示？ 课堂导入 根据负整数指数幂有 0.000 01 0.000 025 7 0.000 000 025 7 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数. 这种形式更便于比较数的大小和运算，例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10-6，纳对应10-9. 微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m. 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小，用科学记数法表示一个负数时，不要忘了前面带“-”号，用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带有单位. 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？ 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 . 你发现了什么规律吗？ 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤： 步骤 描述 1. 确定a a 是大于或等于 1 且小于 10 的数. 2. 确定n 方法一：n 等于原数中左起第一个非 0 数前 0 的个数（包括小数点前的那个 0）. 方法二：小数点向右移到第一个非 0 的数后，小数点移动了几位，n 就等于几. 3. 表示数 将原数表示为 a×10−n (其中 1≤a<10，n 是正整数). 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 例1 用科学记数法表示下列数： 0. 000 000 046 7; (2) -0. 000 020 8. 解：(1)0.000 000 046 7 =4.67×10-8. (2)-0.000 020 8=-2.08×10-5. 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 跟踪训练 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.000 16；_________ (2) -0.000 005 62；___________ (3) 0.000 000 010 2；__________ (4) 某种细胞的直径约为百万分之一米._________ 1.6×10-4 -5.62×10-6 1.02×10-8 1×10-6 0.000 001 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性.它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为2~20 nm.通常一根头发丝的直径约为70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？(1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m ) 解：70 μm=70×10-6 m， 2 nm=2×10-9 m，20 nm=20×10-9 m. (70×10-6)÷(2×10-9)=3.5×104. (70×10-6)÷(20×10-9)=3.5×103. 因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的3.5×103~3.5×104倍. 纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料. 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 跟踪训练 纳米(nm)是非常小的长度单位，1 nm=10-9 m，把1 nm3的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上. 1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体？(物体之间的间隙忽略不计) 解：1 mm=10-3 m，1 nm=10-9 m. (10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018 . 所以，1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体. 新知探究 知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的小数 1.将下列用科学记数法表示的数还原. （1）6×10-4； （2）-7.2×10-5； （3）5.68×10-6. 解：（1）6×10-4=0.000 6. （2）﹣7.2×10-5=﹣0.000 072. （3）5.68×10-6=0.000 005 68. 随堂练习 2.用科学记数法表示下列各数： 0.000 000 001，0.001 2，0.000 000 345，0.000 000 010 8. 解：0.000 000 001=1×10-9. 0.001 2=1.2×10-3. 0.000 000 345=3.45×10-7. 0.000 000 010 8=1.08×10-8. 随堂练习 3.计算： (1)(2×10-6)×(3.2×103)； (2)(2 × 10-6)2÷(10-4)3. 解：(1)(2×10-6)×(3.2×103) =2×3.2×10-6×103 =6.4×10-3. 解：(2)(2 × 10-6)2÷(10-4)3 =4×10-12÷10-12 =4. 随堂练习 4. 水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子.一个氢原子的质量约为1.674×10-27 kg，一个氧原子的质量约为2.657×10-26 kg，一个水分子的质量大约是( ) A.3.613 7 ×10-25 kg B. 2. 824 4 × 10-26 kg C. 2. 991 8 ×10-26 kg D. 3.613 7 × 10-27 kg 解析：2 ×1.674 × 10-27+2.657 ×10-26 =0.334 8 ×10-26 + 2.657 ×10-26 =2.991 8 ×10-26 (kg). C 随堂练习 5. . ， . . 随堂练习 科学记数法 确定n的方法 n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）. 表示较小的数 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数. 小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几. 课堂小结 $第十八章 分式 八上数学 RJ 第1课时 18.4 整数指数幂 1.通过约分和同底数幂的除法两方面解释负整数指数幂的合理性，理解负整数指数幂的意义. 2.会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，理解随着数的扩充，正整数指数幂的性质在整数范围内仍然成立，感悟运算的一致性，体会化归思想. 3.能根据整数指数幂的性质进行幂的运算，提高运算能力. 学习目标 复习回顾 同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 符号表示：(m，n都是正整数). 幂的乘方： 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 符号表示：(m，n都是正整数). 积的乘方： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 符号表示：(ab)n=anbn(n是正整数). 课堂导入 复习回顾 同底数幂的除法： 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 符号表示(a≠0，m，n都是正整数，m>n). 零指数幂的性质： 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 符号表示：. 分式的乘方： 分式的乘方要把分子、分母分别乘方. 符号表示：. 课堂导入 随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围. 同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂的符号的演变开始. 课堂导入 溯源 幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2，a3，a4的一些表示如图所示. △γ，Kγ，△γ△ 3世纪丢番图 韦达(1540-1603) 16世纪 Aq，Acu，Aqq aa，aaa，aaaa 17世纪 哈里奥特(1560-1621) a2，a3，a4 笛卡尔 1637年 an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 1676年，牛顿(1643-1727)提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，···写成a2，a3，a4，···，所以我将···写成a-1，a-2，a-3，···.” 新知探究 知识点 整数指数幂 思考 你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么？ 问题拆解一下！ 新知探究 知识点 整数指数幂 问题1 根据分式的约分，当a≠0 时，如何计算a3÷a5？ a3÷a5 = = = . 问题2 如果把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 情形也能使用，如何计算？ a3÷a5=a3-5=a-2. a-2 新知探究 知识点 整数指数幂 一般地，当n是正整数时， a-n 这就是说，a-n(a≠0)是an 的倒数． 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0. 新知探究 知识点 整数指数幂 例1 计算： (1) 2-1=______； (2) 2-2= ______； (3) (-2)-1= ______； (4) (-2)-2= ______. ﹣ 新知探究 知识点 整数指数幂 负整数指数幂运算结果 的符号的确定 负整数指数幂运算结果的符号的确定方法与正整数指数幂相同，即对于a-n, 当a<0时， 当a>0时，a-n>0. 新知探究 知识点 整数指数幂 思考 引入负整数指数和0指数后，am·an=am + n (m，n是正整数) 这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？ 新知探究 知识点 整数指数幂 ， 我们从特殊情形入手进行研究.例如， , . 新知探究 知识点 整数指数幂 一般地， am·an=am+n. 这条性质对于m，n是任意整数的情形都适用. 新知探究 知识点 整数指数幂 思考 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用. (m，n是正整数)；① (n是正整数)； ② (a≠0，m，n是正整数，m>n)； ③ (n是正整数)． ④ 新知探究 知识点 整数指数幂 (m，n是正整数)；① (n是正整数)； ② ()3 =3 = = = a-6 =a-2×3. ()-3 = = = a-6 =a2×(-3). () -3= = = = a-3 b-3. 新知探究 知识点 整数指数幂 (a≠0，m，n是正整数，m>n)； ③ (n是正整数)． ④ = = = a =a-2-(-3) =a-2+3 = a. = = = a-2b2. == b2 = = a-2b2. 新知探究 知识点 整数指数幂 幂的乘方：(a≠0，m，n是整数). 积的乘方：(a≠0，b≠0，n是整数). 同底数的幂的除法：(a≠0，m，n是整数). 分式的乘方：(a≠0，b≠0，n是整数)． 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数， 这些运算性质也推广到整数指数幂. 新知探究 知识点 整数指数幂 例1 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4). 解：(1) (2) (3) (4) 提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式. 新知探究 知识点 整数指数幂 跟踪训练 计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 解：(1) (2) = = . (3) (4) 新知探究 知识点 整数指数幂 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am ÷an=am-n， am·a-n=am+(-n)=am-n， 因此 am ÷an=am·a-n， 即同底数幂的除法am ÷an可以转化为同底数幂的乘法am·a-n． 特别地， =a ÷b=a·b-1， 所以 ，即商的乘方可以转化为积的乘方 (a·b-1)n． 新知探究 知识点 整数指数幂 (1) am ·an=am+n(m，n是整数)； (2)(am)n=amn(m，n是整数)； (3)(ab)n=ambn(n是整数). 于是，整数指数幂的运算性质可以归结为 新知探究 知识点 整数指数幂 1.填空： (1) 30=_________， 3-2= _________; (2) (-3) 0 = _________ ，(-3)-2= _________; (3) b0 = _________， b-2= _________. 1 1 1 随堂练习 2.计算： (1)x2y-3(x-1y)3; (2)(2ab2c-3)-2(a-2b)3 . 解：(2)(2ab2c-3)-2(a-2b)3 =a-2b-4c6÷a-6b3 =a4b-7c6. 解：(1)x2y-3(x-1y)3=x2y-3·x-3y3 =x2-3·y-3+3 =x-1 = 随堂练习 3.计算： 解： 随堂练习 4.计算： 解： 随堂练习 5. 已知：，求62n的值. 解： ∵ ， ∴ -n+3=4，解得n=-1. ∴ . 随堂练习 整数指数幂 整数指数幂的性质 am ·an=am+n(m，n是整数)； (am)n=amn(m，n是整数)； (ab)n=ambn(n是整数). 负整数指数幂 当n是正整数时，a-n= (a≠0). 课堂小结 $