18.1 分式及其基本性质 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十八章 分式 八上数学 RJ 18.1 分式及其基本性质 18.1.2分式的基本性质 第2课时 1.通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念. 2.掌握分式的约分与通分的方法和步骤，体会用类比转化的思想研究数学问题． 学习目标 复习 计算. （1）； （2）. 解：（1） = = . 解：（2） = = . 约分. 通分. 课堂导入 分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用.类似地，在分式的运算中，分式也需要约分和通分吗？ 课堂导入 思考 联想分数的约分，由(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？ 与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去了分子和分母的公因式，不改变分式的值. (1); (2). x 2x ÷3x ÷3x 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式． 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 例1 下列分式是最简分式的是( ) D 3 4 (x+y)(x-y) (x+y)(x-y) 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 跟踪训练 已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2-1，x-1，从中任意选两张卡片，其中两张卡片上的整式能组成的最简分式有_______个. 5 解析： ，，，，. 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 例2 约分： (1); (2); (3). 解：(1) (2) (3) = . . =2x-2y. 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 归纳 约分的一般方法： 若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式. 若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去. 分子、分母系数的最大公因数和分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积. 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 跟踪训练 约分：(1)；(2)；(3). 解：(1) 为避免约分时符号错误，不要写成(a-2)2 先分解因式 结果的“﹣”号一般写在分数线前面 (2) (3) ﹣ ﹣. . . 新知探究 知识点1 分式的约分、最简分式 思考 联想分数的通分，由(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？ 与分数的通分类似，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个分式化成分母相同的分式. (3); (4). a 2ab-b2 a a b b 新知探究 知识点2 分式的通分 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母. 新知探究 知识点2 分式的通分 例3 通分: (1)与; (2) 与 . 解：(1)最简公分母是6a2b2c. 解：(2)最简公分母是2(x＋5)(x5). , . , . 新知探究 知识点2 分式的通分 归纳 确定最简公分母的方法 (1)分母为单项式： ①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数； ③取单独出现的字母及其指数. (2)分母为多项式： ①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②对每个分母因式分解； ③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母. 新知探究 知识点2 分式的通分 跟踪训练 通分： （1）与 ； （2） 与. 解：(1)最简公分母是4b2d， ，. 解：(2)最简公分母是(x+y)2(x-y)， ，. 新知探究 知识点2 分式的通分 思考 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 分数和分式在约分时，都是约去分子和分母的最大公因数或最大公因式，分数或分式的值不变； 分数的通分是先找出各分数的分母的最小公倍数作为它们的公分母，分式的通分是找出各分式的分母的最简公分母作为它们的公分母，然后通分. 这些做法的根据是分数的基本性质和分式的基本性质. 新知探究 知识点2 分式的通分 1.下列各式中是最简分式的（ ） A. B. C. D. B 随堂练习 2.约分： （1） ； （2） . 解：(1) 3(x-1) 3x-3. 解：(2) . 随堂练习 3.通分： 解：(1)最简公分母是yz. ， . 解：(2)最简公分母是3(a-b)2. ，  . 随堂练习 约分 分式的约分和通分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 课堂小结 21 $第十八章 分式 八上数学 RJ 18.1.2 分式的基本性质 第1课时 18.1 分式及其基本性质 1.理解并掌握分式的基本性质. 2.能利用分式的基本性质将分式变形. 学习目标 复习 下列分数是否相等？若相等，可以进行变形的依据是什么？ ，，，，. 相等. 依据：分数的基本性质. 课堂导入 思考 回想一下，分数的基本性质是什么?请用符号表示分数的基本性质. 分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不为 0 的数，分数的值不变. 一般地，对于任意一个分数，有， (c≠0)， 其中a, b, c 是数． 新知探究 知识点1 分式的基本性质 思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗? 分式的基本性质： 　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质可以用式子表示为 = ， = ， 其中A，B，C（C≠0）是整式. 新知探究 知识点1 分式的基本性质 例1 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？ (1); (2). 解：(1) 分式的分子与分母乘同一个不等于0的整式c，分式的值不变，即. (2) 分式的分子与分母除以同一个不等于0的整式x，分式的值不变，即 新知探究 知识点1 分式的基本性质 (1); (2). 例2 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. x 2x ÷3x ÷3x 新知探究 知识点1 分式的基本性质 (3); (4). a 2ab-b2 a a b b 例2 填空： 新知探究 知识点1 分式的基本性质 跟踪训练 填空： （1）； （2）； （3）； （4） (m≠n). a2-ab x 2x (m-n)2 新知探究 知识点1 分式的基本性质 思考 分数﹣，，相等吗？ 分数，﹣，﹣，相等吗？ 类比分数，你能总结分式的符号法则吗？ 相等. 相等. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变. ﹣﹣ ， 或﹣ . 新知探究 知识点2 分式的符号法则 例3 分式﹣可变形为（ ） A. B.﹣ C. D.﹣ A 解析：﹣. 新知探究 知识点2 分式的符号法则 1.下列等式从左到右的变形一定正确的是( ) B 随堂练习 2. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( ) A.不变 B.缩小 C.扩大3倍 D.扩大9倍 A 随堂练习 3.利用分式的基本性质填空： （1） ； （2） . a-2 6a2 随堂练习 4.不改变分式的值，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母都不含“﹣”号. (1) ； (2) . 解：(1) 解：(2) . 随堂练习 分式的 基本性质 内容 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变. 分式的 符号法则 课堂小结 $第十八章 分式 八上数学 RJ 18.1.1 从分数到分式 18.1 分式及其基本性质 1.从实际问题的数量关系中抽象出分式的概念，能正确识别分式，提升抽象能力. 2.理解分式有意义、分式的值为0的条件，能利用这些条件求字母的取值范围、字母的值. 学习目标 整式可以表示一些问题中的数量和数量关系.在表示有些问题中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式. 课堂导入 问题 一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 解：设江水的流速为 v km/h， 则轮船顺流航行90km所用的时间为 h， 逆流航行60km所用的时间为 h， 由方程 ，可以解出v的值. 顺流速度=静水速度+水速. 逆流速度=静水速度-水速. 课堂导入 思考 (1) 长方形的面积为10，长为7，则宽为　　　；长方形的面积为S，长为a，宽应为______. (2) 在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行 a km用时 b h，则他的平均速度为_____km/h；若他在上坡滑行 a km比在平地滑行同样的距离多用 c h，则他的平均速度为_____km/h. 新知探究 知识点1 分式的概念 思考 式子 ，，以及， 有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 相同点：从形式上看都具有分数A÷B）的形式. 不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母. 新知探究 知识点1 分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 在分式中，A叫作分子，B叫作分母. 注意： ①分式是不同于整式的另一类代数式，分母中含有字母是分式的一大特点； ②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式比分数更具有一般性. 新知探究 知识点1 分式的概念 例1 下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，-2x2，，，，，(3x-y)，，， . 陷阱提示： 不能化简后判断. π是常数 新知探究 知识点1 分式的概念 思考 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0. 要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，因为除数不能为0， 所以分式的分母不能为0， 即当B≠0时，分式才有意义. 新知探究 知识点2 分式有意义的条件 例2 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) ；(3) ； (4) . 解：(1)要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0. (2)要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x≠1. (3)要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠. (4)要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y. 今后，如无特别说明，出现的分式都有意义. 新知探究 知识点2 分式有意义的条件 跟踪训练 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 解：(1)当5x-3≠0，即x ≠ 时，分式有意义. (2)∵不论x取什么值，都有x2+3>0， ∴x取任何实数，分式有意义. (3)当x+y≠0，即x≠-y时，分式有意义. (4)当|x|-1≠0，即x≠±1时，分式有意义. (5)当(x-2)(x+4)≠0，即x≠2且x≠-4时，分式有意义. 新知探究 知识点2 分式有意义的条件 根据分式有意义，求字母的取值的注意事项 (1)分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关. (2)一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论. 如跟踪训练(5)，不能只讨论x+4≠0. 新知探究 知识点2 分式有意义的条件 思考 我们知道，要使分式有意义，分式中的分母不能为0. 要使分式值为0，分式中的分子、分母应满足什么条件？ 分式的值为0的条件： 当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0， 即当A=0且B≠0时，=0. 保证分式有意义 新知探究 知识点3 分式的值为0的条件 例3 当x取什么值时，下列分式的值为0？ (1) ； (3) . 解：(1)由 得x=-2，∴当x=-2时，分式的值为0. (2)由得x=4，∴当x=4时，分式的值为0. (3)由 无解，∴没有使分式 的值为0的x的值. 新知探究 知识点3 分式的值为0的条件 跟踪训练 已知m=2时，分式无意义；当m=4时，分式的值为0，求a与b的值. 解: 由题意得 b=m=2. 当m=4时，m+2a=4+2a=0，则a=-2. ∴ a与b的值分别是-2和2. 新知探究 知识点3 分式的值为0的条件 1.列式表示下列各量： (1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为　　　hm2. (2)△ABC的面积为S，边BC的长为a，则高AD为　　　. 随堂练习 2.下列代数式中，哪些是整式，哪些是分式？ ， ， ， ， ， ， ，4y+3. 解：整式：， ， ， 4y+3. 分式：， ， . 随堂练习 3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 解：(1)当a≠0 时，有意义. (2)当x-1≠0，即x≠1时，有意义. (3)当3m+2≠0，即m≠时，有意义. (4)当x-y≠0，即x≠y时，有意义. (5)当3a-b≠0，即b≠3a时，有意义. (6)当(x+2)2≠0，即x≠-2时，有意义. 随堂练习 4.分式可以表示现实生活中的某些数量关系，请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示. 解：小明参加校运会100米比赛，他用a 秒跑完了全程， 他的平均速度用分式可以表示为米/秒.（答案不唯一） 随堂练习 分式 概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式. 在分式中，A叫作分子，B叫作分母. 分式有意义的条件 B≠0. 分式的值为0的条件 A=0且B≠0. 课堂小结 $