17.2 用公式法分解因式 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

第十七章 因式分解 八上数学 RJ 第3课时 17.2 用公式法分解因式 能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 学习目标 复习 前面我们学习了哪几种分解因式的方法？ 1.提公因式法. 2.公式法. 用完全平方公式分解因式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2 -2ab+b2=(a-b)2 . 用平方差公式分解因式： a2-b2=(a+b)(a-b). 对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法. 课堂导入 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                                                    (2)a³b-ab. 分析： 在(1)中，x⁴-y⁴可以写成(x²)²-(y²)²的形式，可用公式法分解因式. 对于(2)，a³b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式. 新知探究 知识点 解决较复杂的因式分解问题 例1 分解因式： (1)x⁴-y⁴;                                           (2)a³b-ab. 解：(1)x⁴-y⁴ =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)a³b-ab. =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1). 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 新知探究 知识点 解决较复杂的因式分解问题 例2 分解因式： (1)3ax²+6axy+3ay²;              (2)-ax²+2a²x-a³. 解：(1)3ax²+6axy+3ay² =3a(x²+2xy+y²) =3a(x+y)2.   解：(2)-ax²+2a²x-a³ =-a(x²-2ax+a2) =-a(x-a)2.  分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式. 新知探究 知识点 解决较复杂的因式分解问题 跟踪训练 把下列各式因式分解： (1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1); (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9. 解：(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1) =(y2-1)(x2+2x+1) = (y+1)(y-1)(x+1)2. 解：(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9 =(x2-1-3)2 =(x2-4)2 =(x+2)2(x-2)2. 新知探究 知识点 解决较复杂的因式分解问题 1.因式分解：a3+2a2+a=_____________. 2.分解因式：-2b3+4b2-2b=______________. a(a+1)2 -2b(b-1)2 随堂练习 解：(1)x2y-4y =y(x2-4) =y(x+2)(x-2). 3.分解因式： (1)x2y-4y; (2)a3-2a2+a; 解：(2)a3-2a2+a =a(a2-2a+1) =a(a-1)2. 随堂练习 解：(3)ax2+2a2x+a3 =a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2. 3.分解因式： (3)ax2+2a2x+a3; (4)-a4+16; 解：(4)-a4+16 =16-a4 =(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a). 随堂练习 解：(5)3a-6ax+3ax2 =3a(1-2x+x2) =3a(1-x)2. 3.分解因式： (5)3a-6ax+3ax2; (6)-4bx2+8bxy-4by2. 解：(6)-4bx2+8bxy-4by2 =-4b(x2-2xy+y2) =-4b(x-y)2. 随堂练习 4.分解因式： (1)(a-b)2+4ab; (2)(p-4)(p+1)+3p. 解：(1)(a-b)2+4ab =a2-2ab+b2+4ab =a2+2ab+b2 =(a+b)2. 解：(2)(p-4)(p+1)+3p =p2-3p-4+3p =p2-4 =(p+2)(p-2). 随堂练习 因式分解 的方法 提公因式法 公式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. a2-b2=(a+b)(a-b)↔乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. a²±2ab+b²=(a±b)²↔乘法公式：(a±b)²=a²±2ab+b². 课堂小结 $第十七章 因式分解 八上数学 RJ 第1课时 17.2 用公式法分解因式 经历通过乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的相反变形得出利用公式法分解因式的过程，理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别. 学习目标 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2. 复习 平方差公式： 填一填： (1) (x+5)(x-5)=__________. (2) (3x+y)(-y+3x)=__________. (3) (-3a+1)(-1-3a)=__________. x2-25 9x2-y2 9a2-1 课堂导入 思考 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 这个多项式是两个数的平方差形式，由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形， (a+b)(a-b)=a2-b2. 把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 a2-b2=(a+b)(a-b). 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 两个数的平方差， 等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. a2-b2=(a+b)(a-b). 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 例1 分解因式： （1）4x2-9； 解：（1）4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3). 分析：在(1)中，由于4x2=(2x)2，9=32，所以4x2-9=(2x)2-32， 即可以利用平方差公式分解因式. 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 例1 分解因式： （2）a2-25b2.　 分析：在(2)中，由于25b2=(5b)2，所以a2-25b2=a2-(5b)2, 即可以利用平方差公式分解因式. 解：（2）a2-25b2 =a2-(5b)2 =(a+5b)(a-5b). 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 运用平方差公式分解因式的步骤: 待分解式子的各项是否有公因式 提取公因式 确定公式中的“a”和“b” 套用公式分解因式 观察结果是否分解彻底 是 否 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 例2 分解因式： （1）x2-y4； （2）(x+p)2-(x+q)2.　 解：（1）x2-y4 =x2-(y2)2 =(x+y2)(x-y2)； 分析：在(1)中，由于y4=(y2)2，所以x2-y4=x2-(y2)2， 即可以利用平方差公式分解因式. 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 例2 分解因式： （1）x2-y4； （2）(x+p)2-(x+q)2.　 解：（2）(x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q). 分析：在(2)中，由于x+p和x+q各看成一个整体，设x+p=a，x+q=b，则原式化为a2-b2,即可以利用平方差公式分解因式. 新知探究 知识点 用平方差公式分解因式 1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　) A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2 C.(x+4)(x-4) D.x(x-4) A 随堂练习 2.下列各式中可以使用平方差公式因式分解的是(　　) A.-a2-b2 B.-a2+81 C.p2-(-q2) D.a2-b3 B 随堂练习 3.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？ (1)x2+y2; (2)x2-y2; (3)-x2+y2; (4)-x2-y2. 解：(1)(4)不能，因为它们不满足平方差公式的特点. (2)(3)能，因为它们满足平方差公式的特点. 随堂练习 4.下列因式分解中，结果正确的是(　　) A. x2-25=(x+5)(x-5) B. 1-(x+2)2=(x+1)(x+3) C. 4m2-n2=(2m+n)(m-n) D. x2-4=(x-2)2 A 随堂练习 5.分解因式： (1)36-m2; (2)49n2-1; (3)a2-b2; (4)81a2-16b4; (5)4b2-(b+c)2; (6)(m+2n)2-(m-2n)2. 解：(1)36-m2=(6+m)(6-m). 解：(2)49n2-1=(7n+1)(7n-1). 解：(3)a2-b2=(a+b)(a-b). 解：(4)81a2-16b4=(9a+4b2)(9a-4b2). 解：(5)4b2-(b+c)2 =(2b+b+c)(2b-b-c) =(3b+c)(b-c). 解：(6)(m+2n)2-(m-2n)2 =(m+2n+m-2n)(m+2n-m+2n) =2m·4n=8mn. 随堂练习 用平方差公式分解因式 a2-b2=(a+b)(a-b)， 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： ①多项式是二项式； ②每一项都能写成平方的形式，且符号相反. 课堂小结 $第十七章 因式分解 八上数学 RJ 第2课时 17.2 用公式法分解因式 经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的相反变形得出利用完全平方公式分解因式的过程. 学习目标 计算下列各式： ①(x+2)2=____________； ②(x-2)2=____________； ③(2x+3y)2=______________； ④(2x-3y)2=______________. 复习 完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a±b)2=a2±2ab＋b2. x2＋4x＋4 x2 - 4x＋4 4x2+12xy＋9y2 4x2-12xy＋9y2 课堂导入 思考 多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式. 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 (a+b)2 =a2+2ab+b2， (a-b)2 =a2-2ab+b2 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2 . 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同； 中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以. a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2 . 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 例1 分解因式： (1) x2+4x+4； x2+4x+4=x2+2·x·2+22 a2+2·a·b+b2 解：x2+4x+4 =x2+2·x·2+22 =(x+2)2. 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 例1 分解因式： (2) 16x2-24x+9.　 解：(2)16x2-24x+9 =(4x)2-2·4x·3+32 =(4x-3)2. 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 运用完全平方公式分解因式的步骤： 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m， 则原式可化为完全平方式m²-12m+36； 对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式. 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 例2 分解因式： (1) (a+b)²-12(a+b)+36; (2)-x²+4xy-4y². 解： (1)(a+b)-12(a+b)+36 =(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 解：(2) -x2+4xy-4y2 = -(x2-4xy+4y2) = -[x2-2·x·2y+(2y)2] = -(x-2y)2. 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 新知探究 知识点1 用完全平方公式分解因式 思考 x2+(p+q)x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式， 如何将这种类型的式子进行因式分解呢？ 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 回顾题目 计算： （1）(x+2)(x+3)； （2）(x-4)(x+1)； （3）(x+4)(x-2)； （4）(x-5)(x-3). = x2+5x+6. = x2-3x-4. = x2+2x-8. = x2-8x+15. x x p q x2 qx px pq 由上面计算的结果找规律， 观察右图，填空： (x+p)(x+q)=( )2 + ( )x + ( ). x p+q pq 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq. 这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出: (x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq =x2+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 探究 将式子x2+3x+2分解因式. 因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子. p=1，q=2. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 1 1 1 2 1×2+1×1=3 x2+3x+2=(x+1)(x+2). 十字相乘法 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 探究 将式子x2+3x+2分解因式. x x 1 2 1x+2x =3x (x+1)(x+2). 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8; x x 2 5 x5+x2=7x ∴x2+7x+10=(x+2)(x+5). x x -4 2 x2+ x(-4)=-2x ∴x2-2x-8=(x-4)(x+2). 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？ (3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18. y y -3 -4 y(-3)+y (-4)=-7y ∴y2-7y+12=(y-3)(y-4). x x -2 9 x9+ x(-2)=7x ∴x2+7x-18=(x-2)(x+9). 新知探究 知识点2 x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1)a2-4a+4; (2)1+4a2; (3)4b2+4b-1; (4)a2+ab+b2. 解：(1)是，a2-4a+4=(a-2)2. (2)不是，缺少一次项. (3)不是，4b2+4b-1=4b2+4b-12，平方项符号不一致. (4)不是，ab项没有系数2. 随堂练习 20 2.分解因式： (1)a2+2a+1； (2)x2-12x+36； (3)4x2-4x+1； (4)4p2+12pq+9q2； (5)(x+y)2-10(x+y)+25 ； (6)-2xy-x2-y2. 解：(1)a2+2a+1=(a+1)2. 解：(2)x2-12x+36=(x-6)2. 解：(3)4x2-4x+1=(2x-1)2. 解：(4)4p2+12pq+9q2=(2p+3q)2. 解：(5)(x+y)2-10(x+y)+25=(x+y-5)2. 解：(6)-2xy-x2-y2=-(x+y)2. 随堂练习 3.多项式x2-4x+4因式分解的结果是( ) A.x(x-4)+4 B.(x+2)(x-2) C.(x+2)2 D.(x-2)2 D 随堂练习 4.把多项式-x2-4y2+4xy分解因式，结果正确的是( ) A.(x-2y)2 B.(-x-2y)2 C.-(x-2y)2 D.-(x+2y)2 C 随堂练习 5.分解因式： (1)x2-3x+2; (2)x2+3x-10. 解：(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2). 解：(2)x2+3x-10=(x-2)(x+5). 随堂练习 24 海 (海) - 用完全平方公式分解因式 a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 . 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 多项式是三项式; 其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同; 中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以. 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). 课堂小结 $