17.1 用提公因式法分解因式 课件-2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解”核心知识点，系统讲解因式分解概念及提公因式法。课堂导入通过复习整式乘法运算，结合分解质因数类比，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其特色在于以类比迁移培养抽象能力，通过整式乘法与因式分解的反向变形辨析强化推理意识，结合利用因式分解简化计算的实际问题发展模型意识。这一设计助力学生构建知识体系，也为教师提供逻辑清晰的教学方案，高效提升教学效果。

第十七章 因式分解 八上数学 RJ 第1课时 17.1 用提公因式法分解因式 1.理解因式分解的概念，能说出因式分解和整式乘法之间的区别与联系. 2.理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式. 学习目标 复习 计算： x(x+1)=______________. (x+1)(x-1) =______________. (x+1)2=______________. x2+x x2-1 x2+2x+1 课堂导入 思考 你还记得分解质因数吗？ 把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫作分解质因数. 分解质因数. 33 42 33 3 11 33=3×11. 42 2 21 3 7 42=2×3×7. 课堂导入 类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式. 在学习单项式与多项式相乘时，我们知道 p(a+b+c)=pa+pb+pc,所以pa+pb+pc=p(a+b+c). 这表明多项式pa+pb+pc可以写成两个整式的乘积的形式. 新知探究 知识点1 因式分解 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式. （1）x2+x=___________； （2）x2-1=___________； （3）x2+2x+1=___________. x(x+1) (x+1)(x-1) (x+1)2 复习 计算： x(x+1)=______________. (x+1)(x-1) =______________. (x+1)2=______________. x2+x x2-1 x2+2x+1 新知探究 知识点1 因式分解 上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. pa+pb+pc p(a+b+c). 因式分解 整式乘法 可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 新知探究 知识点1 因式分解 例1 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有_______，不是的，请说明为什么？ ① am+bm+c=m(a+b)+c. ② 24x2y=3x ·8xy. ③ x2-1=(x+1)(x-1). ④ (2x+1)2=4x2+4x+1. ⑤ x2+x=x2(1+). ⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z). 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式，而不是单项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 ③⑥ 新知探究 知识点1 因式分解 思考 这个多项式有什么特点？ pa+pb+pc 它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 公因式 =p(a+b+c). 其中一个因式p是各项的公因式， 另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商. 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 注意 使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式. 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式 解：(1)mx2+my2 =m(x2+y2). 将x提出后，括号内的第三项为1. 例1 分解因式： (1)mx2+my2； (2)3x2-4xy2+x. 解：(2)3x2-4xy2+x =x·3x-x·4y2+x·1 =x(3x-4y2+1). 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式 总结 提公因式法步骤（分四步） 第一步：确定公因式.先确定系数，再确定字 母和字母的指数. 第二步：提取公因式.依据乘法分配律. 第三步：确定另一个因式 .用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式. 第四步：写成乘积的形式.相同因式的乘积写成幂的 形式. 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式 1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1) 4a(a+2b)=4a2+8ab; (2) a2-4=(a+2)(a-2); (3) x2-3x+2=x(x-3)+2. 解：(1)不是，等式右边不是整式的乘积的形式. (2)是，等式从左到右的变形符合因式分解的定义. (3)不是，等式右边不是整式的乘积的形式. 随堂练习 2.分解因式： (1) ax-ay； (2) a2-2a； (3) a2+ab； (4) xy-y2+yz. 解：(1) ax-ay=a(x-y). 解：(2) a2-2a=a(a-2). 解：(3) a2+ab=a(a+b). 解：xy-y2+yz=y(x-y+z). 随堂练习 3.利用因式分解计算： (1) 1.992+1.99×0.01； (2) 49×20.22+52×20.22-20.22； 解：(1)1.992+1.99×0.01 =1.99×(1.99+0.01) =1.99×2 =3.98. 解：(2)49×20.22+52×20.22-20.22 =20.22×(49+52-1) =20.22×100 =2 022. 随堂练习 3.利用因式分解计算： (3) 5×34+4×34+9×32. 解： (3)5×34+4×34+9×32 =(5+4)×34+9×32 =9×34+9×32 =9×32×(32+1) =9×9×10 =810. 随堂练习 因式分解 定义 用提公因式法 分解因式 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 课堂小结 $第十七章 因式分解 八上数学 RJ 第2课时 17.1 用提公因式法分解因式 1.能熟练地将公因式是单项式或多项式的多项式因式分解. 2.掌握提公因式法的步骤. 学习目标 复习 1.因式分解： 我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式. pa+pb+pc = p(a+b+c)(p，a，b，c都是单项式). 2.提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 课堂导入 例1 把8a3b2 +12ab3c分解因式. 8a3b2 +12ab3c 先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式. 我们看这两项的系数8与12，它们的最大公因数是4； 两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b,其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为要提出的公因式. a·a·a·b·b a·b·b·b·c 新知探究 知识点1 用提公因式法分解因式（公因式是单项式） 例1 把8a3b2 +12ab3c分解因式. 解：8a3b2 +12ab3c =4ab2·2a2+4ab2·3bc =4ab2(2a2+3bc). 分析：提出公因式4ab2后，另一个因式就不再有公因式了. =8a3b2 ÷(4ab2)+12ab3c÷(4ab2) =2a2+3bc. 新知探究 知识点1 用提公因式法分解因式（公因式是单项式） 最大公因式的确定： 取各项系数的最大公因数 新知探究 知识点1 用提公因式法分解因式（公因式是单项式） 确定公因式 提取公因式 确定另一个因式 写成乘积的形式 归纳 提公因式法的一般步骤： 先确定系数，再确定字母和字母的指数 乘法分配律 用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式 相同因式的乘积写成幂的形式 依据 其项数与待分解多项式的项数相同 新知探究 知识点1 用提公因式法分解因式（公因式是单项式） 跟踪训练 4x2y3+8x3y2+12x4y. 解：原式=4 x2 y =4x2y(y2+2xy+3x2). (4x2y3÷4x2y+8x3y2÷4x2y+12x4y÷4x2y) 新知探究 知识点1 用提公因式法分解因式（公因式是单项式） 例2 分解因式：（1）2a(b+c)-3(b+c)； 解：（1）2a(b+c)-3(b+c) =(2a-3)(b+c). 分析：在(1)中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式，可以用提公 因式法分解因式. 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式（公因式是多项式） 例2 分解因式：（2）4(a-b)3+8(b-a)2. 分析：在(2)中，因为(b-a)2=(a-b)2, 所以各项含有公因式4(a-b)2,也可以用提公因式法分解因式. 解：（2）4(a-b)3+8(b-a)2 =4(a-b)3+8(a-b)2 =4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2 =4(a-b)2(a-b+2). 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式（公因式是多项式） 跟踪训练 将下列各式分解因式： (1)3a(a-2b)+6b(2b-a); (2)5m(y-x)2-10(x-y)3. 解：(1)3a(a-2b)+6b(2b-a) =3a(a-2b)-6b(a-2b) =3(a-2b)(a-2b) =3(a-2b)2. 解：(2) 5m(y-x)2-10(x-y)3 =5m(x-y)2-10(x-y)3 =5(x-y)2[m-2(x-y)] =5(x-y)2(m-2x+2y). 新知探究 知识点2 用提公因式法分解因式（公因式是多项式） 1.分解因式： (1)8m2n+2mn; (2)4a2b+10ab-ab2. 解：(1)8m2n+2mn =2mn(4m+1). 解：(2)4a2b+10ab-ab2 =ab(4a+10-b) =ab(4a-b+10). 随堂练习 1.分解因式： (3)p(a2+b2)-q(a2+b2); (4)2a(y-z)3-4b(z-y)3. 解：(3)p(a2+b2)-q(a2+b2) =(a2+b2)(p-q). 解：(4)2a(y-z)3-4b(z-y)3 =2a(y-z)3+4b(y-z)3 =2(y-z)3(a+2b). 随堂练习 2.先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 解：4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3). 当a=-5，x=3时，原式=(3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97 =970. 随堂练习 3.用提公因式法将下列各式分解因式： (1) -4a3b2+12a2b-4ab; (2) (a2-ab)+c(a-b); 解：(2)(a2-ab)+c(a-b) =a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c). 解：(1)-4ab2+12a2b-4ab =-(4ab·a2b-4ab·3a+4ab) =-4ab(a2b-3a+1). 随堂练习 3.用提公因式法将下列各式分解因式： (3) (3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b). 解：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b) =(7a-8b)(3a-4b+11a-12b) =(7a-8b)(14a-16b) =2(7a-8b)(7a-8b) =2(7a-8b)2. 随堂练习 用提公因式法 分解因式 定义 步骤 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 一确定公因式； 二提取公因式； 三确定另一个因式； 四写成乘积的形式. 课堂小结 $