5.5 三元一次方程组 课件-2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第五章 二元一次方程组 八上数学 BS *5.5 三元一次方程组 1. 知道三元一次方程组的定义，会解简单的三元一次方程组. 2. 会用三元一次方程组解决简单的实际问题. 3. 通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元”进一步体会数学的化归思想. 学习目标 问题 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问：上、中、下禾实一秉各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗.上、中、下禾每束各可得米多少斗? 课堂导入 有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗.上、中、下禾每束各可得米多少斗? 在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意可得方程组： 知识点1 三元一次方程组 新知探究 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系? 区别：含有三个未知数；三个方程. 联系：含未知数的项的次数都是1；都是整式方程. 知识点1 三元一次方程组 新知探究 3x+2y+z=39，2x+3y+z=34和x+2y+3z=26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程. 知识点1 三元一次方程组 新知探究 知识点1 三元一次方程组 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组. 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 新知探究 跟踪训练 下列方程组中，不是三元一次方程组的是(　　)． 知识点1 三元一次方程组 B 　　A． B． 　 　　C． 　 D． 　　 . 新知探究 知识点1 三元一次方程组 三元一次方程组满足的条件： (1) 方程组中一共含有三个未知数； (2) 含未知数的项的次数都是1； (3) 必须是整式方程. 新知探究 怎样解上述这个三元一次方程组呢? 解二元一次方程组的基本思路是什么? 你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗? 解二元一次方程组的基本思路是消元，即“二元”化成“一元”， 用类似的思路可以求解这个三元一次方程组. 知识点2 解三元一次方程组 新知探究 例1 解方程组： 知识点2 解三元一次方程组 新知探究 解：由①，得 z=39-3x-2y. ④ 把④分别代入②③并化简，得 x-y=5， ⑤ 8x+4y=91. ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 把，代入④，得z=. 经检验，，，z=满足原方程组. 知识点2 解三元一次方程组 新知探究 例1 解方程组： （1）你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗? 知识点2 解三元一次方程组 新知探究 解：(1) 能. 由③，得 x=26-2y-3z. ④ 把④分别代入①②并化简，得 4y+8z=39. ⑤ y+5z=18. ⑥ 解由⑤⑥组成的方程组，得 知识点2 解三元一次方程组 把，z=代入①，得.所以原方程组的解为 新知探究 例1 解方程组： （2）你还有其他方法吗?并思考不同方法之间的区别和联系. (2) 有，也可以采用加减消元法进行求解. 不同方法之间的联系：都是通过消元解方程组. 知识点2 解三元一次方程组 新知探究 知识点2 解三元一次方程组 三元一次方程组 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 消元 一元一次方程 二元一次方程组 消元 新知探究 知识点2 解三元一次方程组 消元法解三元一次方程组的两点注意： (1) 确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数． (2) 消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的． 新知探究 1. 解三元一次方程组： 解：③×5-①，得 y+4z=-10， ④ ③×3-②，得 2y+7z=-7， ⑤ ④×2-⑤，得 z=-13， 把z=-13代入方程④，得y=42. 所以，原三元一次方程组的解 把y=42，z=-13代入方程③，得x=-31. 随堂练习 18 2. 在等式 y=ax2+bx+c 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=2 时，y=3；当 x=5 时，y=60．求 a，b，c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 随堂练习 19 解：根据题意，得三元一次方程组 ① ③ ② ②-①，得 a＋b＝1， ④ ③-①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 随堂练习 20 解这个方程组，得 即 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5． 把 代入①，得 c＝-5． 因此 随堂练习 21 3. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部. 随堂练习 22 解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部. x + y + z = 40， 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000， x - z = 24. 根据题意，得 x = 28， y = 8， z = 4. 解方程组，得 商场购买了甲型号手机28部，乙型号手机8部，丙型号手机4部. 随堂练习 23 三元一次方程组 代入消元法； 加减消元法 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组 定义 解法 三元一次方程 含有三个未知数； 含有未知数的项的次数都是1 课堂小结 $