第三章 实数 培优卷 2025-2026学年浙教版七年级数学上册

第三章《实数》培优卷—2025-2026浙教版七年级数学上册单元测 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．与 C．与 D．与 2．计算下列各式，值最小的是 (　　) A． B． C． D． 3．若，，则下列各式中正确的是 A． B． C． D． 4．如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　） A．第1段 B．第2段 C．第3段 D．第4段 5．如图，面积为 3的正方形ABCD的顶点 A 在数轴上，且表示的数为--1，以点 A 为圆心，AD 长为半径画圆，交数轴于点 E.则点 E 所表示的数为（　　） A． B． C． D． 6．已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．若实数a，b，c，d 满足 则a，b，c，d这四个实数中，最大的是(　　) A．a B．b C．c D．d 8．已知 ， ， ， .若n为整数且 ，则n的值为（　　） A．43 B．44 C．45 D．46 9．下列说法：①的相反数是 ②算术平方根等于它本身的数只有零；③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；④若a，b都是无理数，则 定是无理数.其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．对于实数a，b，定义 min{a，b}的含义：当a<b时， min{a，b}=a；当a>b时， min{a，b}=b，例如： min{1，-2}=-2.已知 且a和b为两个连续正整数，则2a-b的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知 则 　 　. 12．对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行次操作后变为，类似地，对只需进行　 　次操作后变为． 13．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为　 　． 14．小雨做了一个棱长为 6 cm的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子的体积比你的大127 cm3.”则小雪的盒子的棱长为　 　 cm. 15．已知m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则＋2(m＋n)－a的值是　 　． 16． （1） 若 (k是整数)，则k=　 　。 （2） 若 则满足条件的整数x有　 　个。 三、解答题（共8小题，共72分） 17．计算： （1） （2） （3） （4） 18． （1）用“<”“>”或“=”填空： 　 　， 　 　 （2）由以上可知：①　 　，②　 　 （3）计算： (结果保留根号) 19．已有数4，9，试再写出一个数，使得这三个数中，一个数是另外两个数的乘积的一个平方根．你能写出几个这样的数？请把所有可能的数写下来． 20．小华学习《实数》一章后，进行了如下探究： ①因为 和 都是36的算数平方根，而36 的算数平方根只有一个，所以 ②和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以 ▲ . （1）请仿照①帮助小华完成②的填空. （2）运用以上结论，计算 . （3）猜想 的计算结果为　 　. 21．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零.由此可得，如果 mx+n=0，其中m，n为有理数，x为无理数，那么m=0，n=0.运用上述知识解决下列问题： （1）如果 (m+1)+n-2=0，其中m，n为有理数，求m，n的值. （2）若m，n均为有理数，且 ，求|m+n|的算术平方根. 22．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9这三个数，3，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6。 （1）试判断2，8，50这三个数是否为“老根数”。如果是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”。 （2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值。 23．小强同学用两个小正方形纸片做剪拼构造大正方形的游戏：(他选用的两个小正方形的面积分别为 S1，S2). （1）如图1，S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1 边长为　 　； 如图 拼成的大正方形A2B2C2D2边长为　 　； 如图3 拼成的大正方形A3B3C3D3边长为　 　. （2）若将（1）中的图 3沿正方形 A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4 ：3的长方形? 若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由. 24．我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 ____ ____ 216 ____ ____ 729 103 106 （1）【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： （2）【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是　 　位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是　 　； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是　 　； ④确定立方根的值：由可得的值为　 　． （3）【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】1 12．【答案】3 13．【答案】 14．【答案】7 15．【答案】-1 16．【答案】（1）9 （2）4 17．【答案】（1）解： 原式 （2）解： 原式=-1+2÷2-18=-1+1-18=-18 （3）解： 原式 （4）解： 原式 18．【答案】（1）<；< （2）； （3）解：原式 19．【答案】解：设所写的数为x， 当4是另外两个数的乘积的一个平方根时， 可得42=9x， 解得x=； 当9是另外两个数的乘积的一个平方根时， 可得92=4x， 解得x=； 当x是另外两个数的乘积的一个平方根时， 可得x2=9×4， 解得x=±6， ∴所有满足已知条件的数为6，-6，，. 20．【答案】（1） （2）解： . （3）12 21．【答案】（1）解：其中m，n为有理数， 解得m=-1，n=2. （2）解：将原式整理，得 即 ∵m，n均为有理数， 当 时， 其算术平方根为2. 22．【答案】（1）解：是“老根数”。=20，∴2，8，50这三个数是“老根数”。其中“最小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是20。 （2）解：分三种情况讨论：①当a<16时，则②当16<a<36时，则34(不合题意，舍去)；③当时，则综上所述，a的值为9或64。 23．【答案】（1）；； （2）解：不能，理由如下： 设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x·3x=14.52， 所以x2=1.21， 即x=1.1(x>0)， 因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3， 因为(4.4)2=19.36>17， 所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形. 24．【答案】（1）解：补充表格如下， 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 __64__ __125__ 216 __343__ __512__ 729 103 106 （2）两；7；2；27 （3）解：设这个正方形棱长是x，根据题意得：，故，求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7；综合以上可得，，故这个正方形棱长是72． 1 学科网（北京）股份有限公司 $