22.3 实际问题与二次函数（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 一．选择题（共8小题） 1．（2025•滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 2．（2025•红桥区二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论： ①AD的长可以是10m； ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m； ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025•坪山区二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为h＝20t﹣5t2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 4．（2024秋•潮阳区期末）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（　　） A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元 5．（2025春•阜宁县月考）已知二次函数y＝（x+1）2+（x﹣3）2，当函数y取最小值时，x的值是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1 6．（2025•平塘县一模）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（单位：cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（单位：cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为10cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为2cm 7．（2024秋•南昌期末）约定：当x＝1时，代数式2x2+mx+n的值记为C（1）；当x＝2时，代数式2x2+mx+n的值记为C（2）．若C（m）＝C₍n+1₎，且m≠n+1，则C（1）+C（2）的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2024秋•巴林左旗期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 二．填空题（共5小题） 9．（2025•平桥区三模）假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y＝60t﹣t2，则经过 　 　 秒后，飞机停止滑行． 10．（2025•城东区校级三模）明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距离地面3.2m．身高1.6m的明明站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离8m的位置，她的头顶 　 　 碰到水柱．（填“能”或“不能”） 11．（2025•姑苏区校级一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　 　 ． 12．（2024秋•青县期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与水平地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2． （1）小球飞行的最大高度是 　 　 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 　 　 秒． 13．（2025•天津校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝40t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行　 　 秒才能停下来． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 15．（2025•雁塔区校级模拟）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 22.3 实际问题与二次函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 【考点】根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】D 【分析】由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x， ∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元． 根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 2．（2025•红桥区二模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD，其中一边AB是墙，且AB的长不超过21m，E，F分别为边AB，CD的中点，EF将其分成面积相等的两部分，在DF，FC上分别留出两个宽为1m的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是43m，有下列结论： ①AD的长可以是10m； ②当矩形菜园ABCD的面积为150m2时，BC的长为5m； ③当矩形菜园ABCD的面积最大时，BC的长为8m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】C 【分析】由题意可得 AD＝EF＝BC，AB＝CD，即得3AD+CD＝45，可得3AD≥45﹣21，得到AD≥8，即可判断①； 设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x，可得S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x），利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【解答】解：①：四边形ABCD是矩形，EF分别为边AB，CD的中点， ∴AD＝EF＝BC，AB＝CD， ∵篱笆的长度是43m， ∴AD+BC+EF+CD﹣2＝43， ∴3AD+CD＝45， ∵AB的长不超过21m， ∴3AD≥45﹣21， ∴AD≥8， ∴AD的长可以是10m，故①正确； ②设AD＝BC＝EF＝x m，则CD＝AB＝43﹣3x+2＝45﹣3x， ∴S矩形ABCD＝AD•CD＝x（45﹣3x）， 当x（45﹣3x）＝150时，解得x1＝5，x2＝10， ∵AD≥8， ∴x＝10， ∴BC的长为10m，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵AD＝x≥8， ∴当x＝8，即BC的长为8m时，矩形菜园ABCD的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有2个， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握以上性质是解题的关键． 3．（2025•坪山区二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒．水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为h＝20t﹣5t2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为（　　） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用． 【专题】函数思想；应用意识． 【答案】B 【分析】易得抛物线的开口向下，那么当x时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t，﹣5＜0， ∴当t2时，水火箭达到最高点． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：二次函数的二次项系数小于0，开口方向向下，当x时，二次函数有最大值． 4．（2024秋•潮阳区期末）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（　　） A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元 【考点】二次函数的应用． 【答案】C 【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x﹣90），销售量为500﹣10（x﹣100），根据：每个利润×销售量＝总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可． 【解答】解：设单价定为x，总利润为W， 则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90）， 由题意得，W＝（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝﹣10x2+2400x﹣135000＝﹣10（x﹣120）2+9000， 故可得当x＝120时，W取得最大，为9000元， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 5．（2025春•阜宁县月考）已知二次函数y＝（x+1）2+（x﹣3）2，当函数y取最小值时，x的值是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x＝2 D．x＝1 【考点】二次函数的最值． 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法． 【解答】解：将y＝（x+1）2+（x﹣3）2化简为y＝2x2﹣4x+10＝2（x﹣1）2+8， 于是其顶点坐标为（1，8）， 故函数y取最小值时， x的值是1． 故选：D． 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 6．（2025•平塘县一模）如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（单位：cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（单位：cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为10cm D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为2cm 【考点】二次函数的应用；二次函数的图象． 【专题】二次函数的应用． 【答案】C 【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落的最低点时弹簧的长度，小球速度最大时弹簧的长度，即可得出答案． 【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩2cm后小球开始减速，故此选项不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为6cm时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意； C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为12﹣2＝10（cm），故此选项符合题意； D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为6cm，此时弹簧的长度为12﹣6＝6（cm），故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象，解题关键是读懂题意，用数形结合思想解决问题． 7．（2024秋•南昌期末）约定：当x＝1时，代数式2x2+mx+n的值记为C（1）；当x＝2时，代数式2x2+mx+n的值记为C（2）．若C（m）＝C₍n+1₎，且m≠n+1，则C（1）+C（2）的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】B 【分析】设y＝2x2+mx+n，根据对称轴公式求出对称轴，然后根据C（m）＝C₍n+1₎，可知当x＝m和当x＝n+1时函数值相等，从而求出对称轴，得出关于m、n的方程，于是得出3m+2n＝﹣2，再把x＝1和x＝2分别代入解析式即可得出C（1）+C（2）的值． 【解答】解：设y＝2x2+mx+n， 由抛物线的对称性及C（m）＝C₍n+1₎可得， ∴3m+2n＝﹣2， ∴C（1）+C（2）＝2+m+n+8+2m+n＝10+3m+2n＝10﹣2＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 8．（2024秋•巴林左旗期末）用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（　　） A．9 B．8 C．6 D．不能确定 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】C 【分析】因为x＝1时，面积最大，为1.5，根据图形是矩形，由面积公式易得另一边为1.5米，从而得出a的值． 【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5， ∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米， 根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米）， ∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用．从图象中获取相关信息解决问题是学习函数的基本功，体现了数形结合的思想方法． 二．填空题（共5小题） 9．（2025•平桥区三模）假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y＝60t﹣t2，则经过 　30　 秒后，飞机停止滑行． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】当y取得最大值时，飞机停止滑行． 【解答】解：由题意可知：滑行距离达到最大值时，飞机停止滑行， y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣30）2+302， 当t＝30时，y可取得最大值， 即经过30s后，飞机停止滑行． 故答案为：30． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意并求出t的值，本题属于基础题型． 10．（2025•城东区校级三模）明明看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距离地面3.2m．身高1.6m的明明站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离8m的位置，她的头顶 　不能　 碰到水柱．（填“能”或“不能”） 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据顶点（5，3.2），得出抛物线的表达式，令x＝8，求得y的值，与1.6m比较即可求解． 【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为（5，3.2），水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间近似满足函数关系， 则抛物线的解析式为， 令x＝8，则， 故她的头顶不能碰到水柱． 故答案为：不能． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 11．（2025•姑苏区校级一模）小伟同学用几何画板软件在电脑上绘制的y＝﹣x2﹣2x+3（﹣2＜x≤2）图象，关于该图象下列四个说法：①图象与坐标轴有两个交点；②图象存在最高点，其横坐标为﹣1；③图象最高点和最低点的距离等于；④直线y＝3与该图象有两个交点．正确的是　①②③　 ． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】①②③． 【分析】令y＝0解一元二次方程，并确定与y轴上的交点，可判断①；求得最大值和最小值可判断②，可取得最大值和最小值的对应点坐标，利用两点坐标距离公式可判断③；求得y＝3时对应的x值可判断④，进而可得答案． 【解答】解：①令y＝0，由﹣x2﹣2x+3＝0得x1＝1，x2＝﹣3， ∵﹣2＜x≤2， ∴图象与x轴有一个交点，与y轴的交点为（0，3）， ∴故①正确，符合题意； ②由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，该图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵﹣2＜x≤2， ∴当x＝﹣1时，图象取得最大值，故②正确，符合题意； ③由②知，最高点坐标为（﹣1，4）； 当x＝2时，该图象取得最小值，此时最低点坐标为（2，﹣5）， ∴两点的距离等于，故③正确，符合题意； ④当y＝3时，由﹣x2﹣2x+3＝3解得x1＝0，x2＝﹣2，但x＝﹣2不在﹣2＜x≤2范围内， ∴直线y＝3与该图象有一个交点，故④错误，不符合题意， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 12．（2024秋•青县期末）如图，以40m/s的速度将小球沿与水平地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2． （1）小球飞行的最大高度是 　20　 米； （2）小球在高于15米（包括15米）的空中保持了 　2　 秒． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用． 【答案】20，2． 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，即可得到结论； （2）把h＝15代入函数关系式可得方程t2﹣4t+3＝0，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴抛物线的顶点坐标为（2，20）， ∴小球飞行的最大高度是20米； 故答案为：20； （2）当h＝15时，20t﹣5t2＝15， 整理得t2﹣4t+3＝0， 解得t1＝1，t2＝3， 3﹣1＝2（秒）， ∴小球在高于15米（包括15米）的空中保持了2秒． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意建立方程是解决问题的关键． 13．（2025•天津校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝40t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行　40　 秒才能停下来． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】40． 【分析】要求飞机从滑行到停止的时间，即求出函数的对称轴即可． 【解答】解：s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝40t﹣0.5t2， s＝40t﹣0.5t2＝﹣（t﹣40）2+800， ∴当t＝40时，最大值800米， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）1； （2）①1≤m≤4；②不存在，见解析． 【分析】（1）利用待定系数法，将（0，﹣3）代入函数解析式即可求出a； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的d1、d2即可比较即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． 将x＝0，y＝﹣3代入函数解析式可得： ﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝1； （2）①y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的开口方向向上，对称轴为直线x＝1，根据函数的性质可得： 抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝1时，y最小，y最小＝1﹣2﹣3＝﹣4； 当x＝﹣2时，y最大，y＝4+4﹣3＝5． ∴当m＝1时，﹣2≤x≤1时，函数y＝a（x+1）（x﹣3）的最大值4和最小值﹣5的差为d1＝4﹣（﹣5）＝9． 当x＝4时，y＝42﹣2×4﹣3＝5． ∴当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，且﹣4≤y≤5， 此时，d1的值保持不变，始终等于9， ∴m的取值范围是1≤m≤4， ②设x＝m时的函数值为y1，x＝m+1时的函数值为y2， I．当﹣2≤m≤0时，即﹣2≤m≤m+1≤1，则必有y1＞y2≥﹣4， 对应的最大值都是5．对应的最小值分别为y1，y2， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣y2， ∴d1＜d2 II．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，则必有y1＞﹣4，y2＞﹣4， 对应的最大值都是5．当﹣2≤m≤0时的最小值为y1＞﹣4，当﹣2≤x≤m+1时的最小值为﹣4， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣（﹣4）＝9， ∴d1＜d2； III．当1≤m≤3时，必有﹣4≤y1＜y2≤5， 对应的最大值都是5．对应的最小值都是﹣4． 此时d1＝d2＝9； IV．当3＜m≤4时，必有0＜y1≤5＜y2， 最小值都是﹣4．当﹣2≤m≤0时的最大值为5，当﹣2≤x≤m+1时的最大值为y2， 此时d1＝5﹣（﹣4）＝9；d2＝y2﹣（﹣4）＞9， ∴d1＜d2， V．当m＞4时，必有y1＜y2，对应的最小值都是﹣4．对应的最大值分别为y1，y2， 此时d1＝y1+4；d2＝y2+4， ∴d1＜d2， 综上所述，不存在d1＞d2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 15．（2025•雁塔区校级模拟）如图①，一个可调节高度的喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷射出的水流在平面直角坐标系中的示意图，其中喷灌架置于点O处，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）设置的是1米，当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求水流运行轨迹的函数解析式； （2）若在距喷灌架12米处有一棵3.5米高的果树，问：水流是否会碰到这棵果树？请通过计算说明． 【考点】二次函数的应用． 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【答案】（1）抛物线为：y（x﹣8）2+5． （2）不能，理由见解答部分． 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2+5，用待定系数法求得解析式； （2）将x＝12代入（1）中所求代数式，再跟3.5进行比较． 【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（8，5）， 设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5， 将点（0，1）代入可得a， ∴抛物线为：y（x﹣8）2+5． （2）不能，理由如下： 当x＝12时，y（12﹣8）2+5＝4＞3.5， ∴水流不能碰到这棵果树． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $