22.2 二次函数与一元二次方程（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 一．选择题（共8小题） 1．（2025•越秀区校级三模）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 2．（2025•成都二模）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣3 0 5 12 … A．对称轴为x＝1 B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0只有一个根x＝1 C．当x＜3时，y随x的减小而减小 D．二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4） 3．（2025•大石桥市校级三模）下列关于函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1（c为常数）的说法正确的是（　　） A．该函数的图象G与x轴始终有两个交点 B．该函数的图象G与x轴有一个或两个交点 C．该函数的图象G过一定点 D．该函数的图象的对称轴为直线 4．（2025•广东模拟）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则化简后的结果为（　　） A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1 5．（2025•新蔡县三模）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 6．（2025•阜阳三模）已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，则此抛物线可能经过（　　） A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N 7．（2025•扬州二模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2025•湖北模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根在2，3之间，正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•邯郸期末）如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　 　 ． 10．（2025•湖南模拟）二次函数y＝x2+3x+1的图象与x轴　 　 交点．（填“有”或“没有”） 11．（2025•景德镇模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣a的图象与x轴没有交点，直线y＝ax﹣a不经过第　 　 象限． 12．（2024秋•永川区期末）若二次函数y＝x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a值之和是　 　 ． 13．（2025•祁阳市校级模拟）如果抛物线y＝ax2+4ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•昆明三模）定义：若函数T在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数T是在m≤x≤n（m＜n）上的“极差函数”． 已知函数T：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）． （1）求证：函数T与x轴有两个不同的交点； （2）若函数T是在m+2≤x≤2m+1上的“极差函数”，且存在整数k、m，使得，求a的值． 15．（2025•驿城区模拟）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标． 22.2 二次函数与一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025•越秀区校级三模）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0，y随x的增大而减小 B．当x＝1时，y有最大值﹣3 C．图象的顶点（﹣1，﹣3） D．图象与x轴有两个交点 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】B 【分析】把二次函数化为顶点式y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【解答】解：把二次函数化为顶点式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3，根据顶点式即可对各选项进行判断如下： ∴顶点坐标为（1，﹣3），开口向下，对称轴为x＝1，当x＞1时y随x的增大而减小，故A选项错误； 当x＝1时，y有最大值﹣3，与x轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2025•成都二模）某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣3 0 5 12 … A．对称轴为x＝1 B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0只有一个根x＝1 C．当x＜3时，y随x的减小而减小 D．二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（﹣1，﹣4） 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】D 【分析】根据表格数据求得二次函数的解析式，逐项分析，即可求解． 【解答】解：将（0，﹣3），（1，0），（﹣1，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，得， ， 解得：， ∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，顶点坐标为（﹣1，﹣4），故D正确， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，故A不正确， 当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝4+12＝16＞0，x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等实数根，故B不正确， ∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的减小而减小，故C不正确， 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点问题，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025•大石桥市校级三模）下列关于函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1（c为常数）的说法正确的是（　　） A．该函数的图象G与x轴始终有两个交点 B．该函数的图象G与x轴有一个或两个交点 C．该函数的图象G过一定点 D．该函数的图象的对称轴为直线 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】B 【分析】分两种情况考虑：c2﹣1≠0时、c2﹣1＝0时，结合一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质对选项进行判断即可． 【解答】解：当c2﹣1≠0时， ∵一元二次方程（c2﹣1）x2+2cx+1＝0中，（2c）2﹣4×（c2﹣1）×1＝4c2﹣4c2+4＞0， ∴该一元二次方程有两个不等实数根， ∴函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1的图象与x轴始终有两个交点； 当c2﹣1＝0时， 函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1＝2cx+1，即为一次函数， 则该函数的图象与x轴只有一个交点， ∴函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1（c为常数）的图象G与x轴有一个或两个交点， ∴A选项错误，B选项正确； 当c2﹣1≠0时， 函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1过定点（0，1）； 当c2﹣1＝0时，即c＝±1， 函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1＝±2x+1为定直线，C选项错误； 当c2﹣1＝0时， 函数y＝（c2﹣1）x2+2cx+1＝2cx+1是一次函数，无对称轴，D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分情况讨论：c2﹣1≠0时及c2﹣1＝0时． 4．（2025•广东模拟）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则化简后的结果为（　　） A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】A 【分析】先结合关于x的二次函数 的图象与x轴有两个交点，得Δ＞0，代入数值化简得，结合，即可作答． 【解答】解：由题意可得： ∴， ∴2k＞﹣1， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次根式的性质化简，正确进行计算是解题关键． 5．（2025•新蔡县三模）对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】B 【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与x轴交点个数． 【解答】解：∵抛物线a＞0，所以开口向上，A选项错误；顶点坐标为（﹣1，2），所以C选项错误； 根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴没有交点， ∴D选项错误； 对称轴为直线x＝﹣1，B选项正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质以及抛物线与x轴交点个数． 6．（2025•阜阳三模）已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，则此抛物线可能经过（　　） A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】B 【分析】选项A、B、D分别将可能经过的两点代入解析式，求出a、b的值，再由二次函数的定义及Δ＝b2﹣4ac＞0进行判断，即可求解；选项C．由xQ＝xM＝2得直线PQ⊥x轴，即可判断；能熟练利用Δ＝b2﹣4ab判断抛物线与x轴交点个数是解题的关键． 【解答】解：A．∵点P和点Q， ∴， 解得， ∵a≠0， ∴矛盾，故不符合题意； B．同理可求， ∵Δ＝22﹣4×（﹣1）×2＝12＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，故符合题意； C．∵xQ＝xM＝2， ∴直线PQ⊥x轴， ∴抛物线不可能同时经过点Q和点M，故不符合题意； D．同理可求， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴没交点，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法，抛物线与x轴交点个数的判断，掌握以上性质是解题的关键． 7．（2025•扬州二模）已知A＝x2+a，B＝2x，若对于所有的实数，A的值始终比B的值大，则a的值可能是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】配方法；运算能力． 【答案】D 【分析】本题只需根据题意列出一元二次不等式，由抛物线与x轴交点个数建立不等式即可． 【解答】解：由题可得：∵A的值始终比B的值大， ∴有x2+a＞2x， 即x2﹣2x+a＞0， 即y＝x2﹣2x+a的函数图象与x轴无交点， ∴Δ＝4﹣4a＜0， ∴a＞1． 故选：D． 【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数，能够由题意判断抛物线与x轴无交点是解题的关键． 8．（2025•湖北模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根在2，3之间，正确的结论有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】图象法求一元二次方程的近似根；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵二次函数的部分图象与y轴的交点为（0，3）， ∴c＝3， 故①正确； 由条件可得， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②正确； 由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 故③错误； 由条件可知抛物线与x轴的另一个一个交点在2，3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个根在2，3之间， 故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•邯郸期末）如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　x＝﹣1　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】x＝﹣1． 【分析】二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此利用对称性求出二次函数与x轴的另一个交点的坐标即可得到答案． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1且与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握其性质是解题的关键． 10．（2025•湖南模拟）二次函数y＝x2+3x+1的图象与x轴　有　 交点．（填“有”或“没有”） 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】有． 【分析】根据Δ＝b2﹣4ac进行判断即可求解． 【解答】解：当y＝0时，x2+3x+1＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴有两个不同的交点， 故答案为：有． 【点评】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2025•景德镇模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣a的图象与x轴没有交点，直线y＝ax﹣a不经过第　三　 象限． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】三． 【分析】根据根的判别式求出a的取值范围，再根据一次函数的图象和性质即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣a的图象与x轴没有交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2+4a＝4+4a＜0， 解得a＜﹣1， ∴﹣a＞1， ∴直线y＝ax﹣a不经过第三象限， 故答案为：三． 【点评】本题主要考查二次函数以及一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．（2024秋•永川区期末）若二次函数y＝x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a值之和是　6　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；分式方程的解． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】6． 【分析】由二次函数y＝x2﹣3x﹣5+a与x轴有两个不同交点得（﹣3）2﹣4（﹣5+a）＞0，进而可得a的取值范围，再解分式方程得到且y≠2，最后结合非负整数可得答案． 【解答】解：由题意可得：（﹣3）2﹣4（﹣5+a）＞0， 即， 解关于y的分式方程，可得且y≠2， ∵解为非负整数， ∴，a≠4，a+2为3的倍数， 解得：a≥﹣2， ∴a＝﹣2或1或7， ∴满足条件的所有a值的和为：﹣2+1+7＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次函数与x轴交点个数和一元二次方程解的个数的关系、一元二次方程根的判别式以及分式方程的解，掌握以上知识点是解答本题的关键． 13．（2025•祁阳市校级模拟）如果抛物线y＝ax2+4ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是 　（﹣5，0）　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】（﹣5，0）． 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为直线x2，且抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣5，0）． 故答案为：（﹣5，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•昆明三模）定义：若函数T在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数T是在m≤x≤n（m＜n）上的“极差函数”． 已知函数T：y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）． （1）求证：函数T与x轴有两个不同的交点； （2）若函数T是在m+2≤x≤2m+1上的“极差函数”，且存在整数k、m，使得，求a的值． 【考点】抛物线与x轴的交点；一元一次不等式组的整数解；二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）求出Δ＝4a2＞0，即可得证； （2）由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝2，结合m+2≤x≤2m+1，可得m＞1，从而可得当m+2≤x≤2m+1时，y随着x的增大而增大，推出当x＝2m+1时，取得最大值，当x＝m+2时，取得最小值，根据，求出m＝3，再由ymax﹣ymin＝1，得出方程，解方程即可得解． 【解答】（1）证明：由题意可得：Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×3a＝16a2﹣12a2＝4a2， ∵a＞0， ∴Δ＝4a2＞0， 故函数T与x轴有两个不同的交点； （2）y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a（a＞0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵m+2≤x≤2m+1， ∴m+2＜2m+1 ∴m＞1， ∴2＜m+2≤x≤2m+1， ∴当m+2≤x≤2m+1时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝2m+1时，取得最大值，当x＝m+2时，取得最小值， ∴， 由题意可得：m＝3， ∵ymax﹣ymin＝1， ∴a（6+1）2﹣4a（6+1）+3a﹣[a（3+2）2﹣4a（3+2）+3a]＝1， 解得：． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数的最值，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（2025•驿城区模拟）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的点，过点P作PM∥y轴交BC于点M，求PM的最大值及此时点P的坐标． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）PM最大值为，此时． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线BC的解析式为yBC＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），（0＜x＜3），则M（x，x﹣3），即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣3），代入y＝ax2﹣2x+c（a≠0）得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）在二次函数y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为yBC＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入得， ，解得， ∴直线BC的解析式为yBC＝x﹣3， 设P（x，x2﹣2x﹣3），（0＜x＜3）， ∵PM∥y轴， ∴M（x，x﹣3）， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当时，PM最大值为，此时． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $