第02讲 力的合成与分解讲义（思维导图+知识点+技巧方法+题型归纳+巩固练习）-2025-2026学年高考物理一轮复习力学人教版（新高考通用）

第02讲 力的合成与分解 目录 思维导图 2 学习目标 2 知识点 3 技巧方法 9 题型分类 11 题型01：合力与分力的关系 11 题型02：合力的取值范围 12 题型03：力的平行四边形法则 15 题型04：两个成特殊角的力的合力计算 17 题型05：三角形法则 20 题型06：力按作用效果分解问题 22 题型07：正交分解 27 题型08：力的合成与分解在日常生活中的应用 35 题型09：力的合成与分解动态和极值问题 39 题型10：轻绳轻杆模型 42 题型11：力的分解的唯一性和多解性 45 题型12：验证力的平行四边形法则 46 题型13：力的合成与分解综合问题 56 巩固达标 93 高中力的合成与分解的核心学习目标是：掌握矢量运算的平行四边形定则和三角形定则，能解决共点力的合成、分解及实际应用问题，建立“等效替代”的物理思维。具体可分为以下三个维度： 1. 知识与技能 （1）理解力的合成与力的分解的概念，明确其“等效替代”的本质。 （2）熟练掌握力的合成与分解的核心法则：平行四边形定则（及衍生的三角形定则）。 （3）能运用上述定则，计算两个互成角度的共点力的合力（合成），并能将一个力按实际效果分解为两个分力（分解）。 （4）会用作图法和计算法（直角三角形三角函数、余弦定理）求解合力与分力的大小和方向。 2. 过程与方法 通过实验探究（如验证平行四边形定则），体验科学探究的过程，理解矢量运算与标量运算的区别。 学会从复杂的物理情境中抽象出共点力模型，培养物理建模能力。掌握“按实际效果分解力”的分析方法，例如斜面上物体重力的分解、拉（推）物体时力的分解等。 3. 情感态度与价值观 认识到“等效替代”是物理学中的重要研究方法，体会物理规律的简洁性和严谨性。 通过解决桥梁、机械等实际工程中的力学问题，感受物理学在生产生活中的广泛应用，提升学习兴趣。 知识点一：　共点力的合成 （一）．合力与分力 (1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力． (2)关系：合力与分力是等效替代关系． （二）．共点力 作用在一个物体上，作用线或作用线的延长线交于一点的几个力。如图所示均是共点力。 （三）．力的合成 (1)定义：求几个力的合力的过程． (2)运算法则 ①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力． ②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力． （四）共点力的合成 1．合力的大小范围的确定 (1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2. ①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小． ②当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2. (2)三个共点力的合成 ①三个力共线且同向时，其合力最大为 Fmax＝F1＋F2＋F3. ②任取两个力，求出其合力大小的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的代数和的绝对值．即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)． 2．几种特殊情况的共点力的合成 类型 作图 合力的计算 两力互相垂直 F＝ tan θ＝ 两力等大，夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为 两力等大且夹角为120° 合力与分力等大 【解题规律】 (1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小． (2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大． (3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力． 3.求合力的方法 作图法 作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小. 计算法 根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力. 知识点二： 力的分解 1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则． 2.力的分解两种方法 1．效果分解法 2．正交分解法 （一）按效果分解 (1)分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形． (2)基本思路 （2）解题步骤： (1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。 (2)再根据两个分力方向画出平行四边形。 (3)最后由三角形知识求出两个分力的大小和方向。 常见按力的作用效果分解实例 实例 产生效果分析 水平地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α. 质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin α，F2＝mgcos α. 质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. 质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝. 质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1，二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. （二）力的正交分解法 1.把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法．如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则 Fx＝Fcos α Fy＝Fsin α 2．正交分解法求合力 (1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上． (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示． (3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋…. (4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α则tan α＝. 正交分解常见模型 1.解决多力合成的问题 2.解决三力平衡的问题 3.静止状态下的正交分解 4.含摩擦因数μ的正交分解 5.立体视图下的拉力分析 6.多个力需要被正交分解 7.匀速运动求μ运用于下一次受力分析 8.抓住绳子的拉力相等 9.同时受力分析建立方程组 10.一道题多种受力分析的方法 知识点三：矢量、标量 (1)矢量 既有大小又有方向的物理量。运算时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。 (2)标量 只有大小没有方向的物理量。运算时按算术法则相加减。有的标量也有方向。 知识点四．实验：探究合力的方法 1．实验原理 等效思想：将橡皮条的一端固定，另一端用两个力，使其伸长一定长度，再用一个力F作用于橡皮条的同一点，使其伸长同样的长度，那么F与的作用效果相同，F是的合力；若记下的大小和方向，画出各个力的图示，就可以研究F与的关系了。 2．实验目的： （1）探究求合力的方法； （2）学会用作图法处理实验数据。 3．实验器材：方木板一块，白纸，弹簧测力计两个，橡皮条，细绳和细绳套各两个，三角板，刻度尺，图钉几个，铅笔。 4．实验步骤： （1）在实验桌上平放一块方木板，然后在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上； （2）用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端系上两条细绳，两条细绳的另一端各系着绳套； （3）用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O； （4）用铅笔记下O点的位置和两条细绳的方向。读出并记录两个弹簧测力计的示数，即两力的大小和方向； （5）只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到同一位置O，读出并记录弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，即记下与，作用效果相同的力F的大小和方向； （6）选定标度，作出力F、的图示； （7）以：为邻边作平行四边形，并作出对角线 ； （8）结论：F和对角线在误差范围内重合，说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。 5．注意事项： （1）两拉力夹角应适当大些； （2）在记录结点位置O和细绳的方向时，所用铅笔的笔尖要细，在记录细绳方向时，所用细绳应适当长一些，不要直接沿细绳方向画直线，在靠近细绳两端在白纸上画两个射影点，再过这两个射影点连直线，这样画出的力的方向误差较小； （3）在画力的合成图时，所选标度大小要适当； （4）严格按力的图示画图。 力的合成与分解解题的核心技巧是：先明确研究对象，再根据“等效替代”原则，用平行四边形定则（或三角形定则），结合“按实际效果分解”或“正交分解”策略求解。 以下是具体解题方法与步骤： 一、通用解题步骤（四步走） 1. 确定研究对象，进行受力分析 明确要分析哪个物体，画出其受力示意图（重力、弹力、摩擦力等），确保不遗漏、不重复。标注各力的大小（已知量）和方向（与已知方向的夹角）。 2. 判断问题类型，选择“合成”或“分解” 优先用“合成”的情况：已知多个分力，求合力（如求共点力的合力）；或已知部分力，求某一个力的等效合力以简化问题（如三力平衡时，可将其中两个力合成，与第三个力等大反向）。优先用“分解”的情况：已知一个力，求它在某个方向上的作用效果（如斜面上重力分解为沿斜面向下和垂直斜面的分力）；或需要将所有力分解到两个垂直方向（正交分解），列方程求解。 3. 运用核心定则运算 平行四边形定则：适用于两个分力的合成（以两分力为邻边作平行四边形，对角线为合力）和一个力的分解（以该力为对角线，按实际效果确定两个分力的方向，作平行四边形）。 三角形定则：适用于多个力的合成（将各力首尾相连，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的有向线段为合力），或三力平衡问题（三力构成封闭三角形）。 计算方法： 若为直角三角形（分力垂直或分解到垂直方向），直接用三角函数（sinθ、cosθ、tanθ）计算。 若为任意三角形，用余弦定理（合力²=分力1²+分力2²-2×分力1×分力2×cosθ，θ为两分力夹角的补角）或正弦定理。 4. 结合物理规律，列方程求解 若物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），则合力为零（或正交分解后，x、y方向的合力均为零）。 若物体有加速度，根据牛顿第二定律，合力=质量×加速度（或正交分解后，x、y方向分别列 F合=ma 的方程）。 二、两大高频解题策略 1. 按“实际效果”分解力（最常用） 核心思路：根据力产生的实际作用效果，确定两个分力的方向，再分解。 2. 正交分解法（复杂问题通用） 核心思路：将所有力分解到相互垂直的x轴和y轴上，使矢量运算转化为代数运算，适用于三个及以上共点力的问题。 操作步骤： 1. 建立直角坐标系（通常以加速度方向或运动方向为x轴，垂直方向为y轴，尽量使更多力落在坐标轴上，减少分解量）。 2. 将每个力分解到x轴和y轴上，规定正方向，用正负号表示分力方向。 3. 分别计算x轴和y轴上的合力 Fx合 和 Fy合。 4. 根据平衡条件（Fx合=0，Fy合=0）或牛顿第二定律（Fx合=ma，Fy合=0，若加速度沿x轴）列方程求解。 三、易错点提醒 分解力时，分力是“等效替代”原力，不能同时考虑原力和分力。注意力的方向：合成时两分力的夹角是“共点时的夹角”，分解时分力方向需符合实际效果，不能随意设定。正交分解时，坐标系的建立会影响计算难度，优先让加速度或未知力落在坐标轴上。 题型01：合力与分力的关系 【例题1-1】下列关于合力和分力的说法中，正确的是（　　） A．若一个物体受3个力作用而保持平衡，则其中一个力就是另外两个力的合力 B．一个力只可能有两个分力 C．当两个分力在一条直线上时不遵循平行四边形定则 D．合力不一定大于分力 【答案】D 【解析】A．若一个物体同时受到3个力的作用而保持平衡，则这三个力的合力为零，其中一个力的大小与另外两个力的合力的大小相等，方向相反，故A错误； B．一个力可以根据需要分解为多个力，故B错误； C．当两个分力在一条直线上时仍然遵循平行四边形定则，故C错误； D．合力可以大于、等于、小于分力，故D正确。 故选D。 【变式训练1-1】关于分力和合力，下列说法正确的是（　　） A．合力和分力同时作用在同一物体上 B．分力作用于物体上共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的 C．各个分力一定是同一性质的力才可以进行合成 D．各个分力可以是同一个物体不同时刻受到的力 【答案】B 【解析】合力是各个分力的等效替代，作用效果相同，合力和分力不能同时作用于物体上，A错误，B正确；各个分力可以是不同性质的力，也可以是同一性质的力，C错误；各个分力必须是同一时刻同一物体受到的力，D错误． 【变式训练1-2】关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的有（　　） A．合力一定大于每一个分力 B．合力的大小可能比两个分力都小 C．两个分力的大小同时增加10N，合力大小随之增加10N D．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角的减小而减小 【答案】B 【解析】AB．由力的合成三角形定则知两个力及它们的合力构成一个矢量三角形，合力可以小于任何一个分力，也可以大于任何一个分力，可能比两个分力都小，故A错误，B正确； C．F1、F2同时增加10N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10N，故C错误； D．当夹角θ＜180°时，由余弦定理的公式，合力大小为 可得两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角的减小而增大，故D错误。 故选B。 题型02：合力的取值范围 【例题2-1】 两个力Fl和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F．以下说法正确的是（ ） A.若Fl和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小 B.合力F可能比分力中的任何一个力都小 C.合力F总比分力中的任何一个力都大 D.如果夹角θ不变，Fl大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大 【答案】 B 【解析】 A、若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误； B、二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，故B正确； C、由力的合成方法可知，两力合力的范围|F1﹣F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故C错误； D、如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F可以减小，也可以增加，故D错误； 【例题2-2】F1、F2是力F的两个分力．若F＝10N，则下列不可能是F的两个分力的是（ ） A.F1＝10 N，F2＝10 N B.F1＝20 N，F2＝20 N C.F1＝2 N，F2＝6 N D.F1＝20 N，F2＝30 N 【答案】 C 【解析】 A、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，10N和10N的合力范围为[0N，20N]，可能为10N．故A正确。 B、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，20N和20N的合力范围为[0N，40N]，可能为10N．故B正确。 C、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，2N和6N的合力范围为[4N，8N]，不可能为10N．故C错误。 D、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，20N30N的合力范围为[10N，50N]，可能为10N．故D正确。 【变式训练2-1】 关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是（ ） A.两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角的减小而增大 B.合力大小随两力夹角增大而增大 C.合力一定大于每一个分力 D.合力的大小不能小于分力中最小者 【答案】 A 【解析】 A、B、当夹角θ＜180°时，由公式可知随着θ减小而增大，故A正确．B错误； C、由力的合成三角形定则知两个力及它们的合力构成一个矢量三角形，合力不一定大于任何一个分力，故C错误； D、由力的合成三角形定则知两个力及它们的合力构成一个矢量三角形，合力可以小于任何一个分力，故D错误 【变式训练2-2】三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是（ ） A.F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3 B.F的大小至少比F1、F2、F3中的某一个大 C.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力F为零 D.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力F为零 【答案】 B 【解析】 当三个力同向时，合力最大，为：Fmax＝5N＋8N＋15N＝28N； 5N、8N合成时合力范围为：3N≤F12≤13N，当合力为13N时，再与第三个力合成，合力最小为15N－13N＝2N， 因此合力的范围是2N≤F≤28N，故B正确、ACD错误。 【变式训练2-3】大小不同的三个共点力同时作用在一个小球上，以下各组力中，可能使小球平衡的一组是 A．2N，3N，6N B．35N，10N，15N C．3N，4N，6N D．5N，15N，25N 【答案】C 【解析】A．分力2N和3N的合力范围1N≤F≤5N，6N不在合力范围之内，则三力不能平衡，选项A错误； B．分力35N和10N的合力范围25N≤F≤45N，15N不在合力范围之内，则三力不能平衡，选项B错误； C．分力3N和4N的合力范围1N≤F≤7N，6N在合力范围之内，则三力能平衡，选项C正确； D．分力5N和15N的合力范围10N≤F≤20N，25N不在合力范围之内，则三力不能平衡，选项D错误。 故选C。 【变式训练2-4】一个物体受到三个共点力的作用，在下列给出的几组力中，能使物体所受合力为零的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】A．和的合力范围 但是不在合力范围之内，则三力合力不能为零，选项A错误； B．和的合力范围 但是不在合力范围之内，则三力合力不能为零，选项B错误； C．和的合力范围 在合力范围之内，则三力合力可能为零，选项C正确； D．和的合力范围 但是不在合力范围之内，则三力合力不能为零，选项D错误。 故选C。 【变式训练2-5】（多选题） 三个力，F1＝4N，F2＝6N，F3＝9N，关于三个力的合力，下列说法正确的是（ ） A.三个力的合力的最小值为0N B.三个力的合力的最大值为19N C.三个力的合力可能为9N D.三个力的合力不可能为3N 【答案】 A B C 13、【变式训练2-6】已知两个共点力的合力F为10N，分力F1的大小为5N．则另一个分力F2（ ） A.F2的大小是唯一的 B.F2的大小可以是任意值 C.F2的方向与合力F的方向一定成30°角 D.F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30°角 【答案】 D 【解析】 ABC、有两个共点力的合力大小为10N，若其中一个分为大小为5N，另一个分力的大小应在5N≤F≤15N范围，所以F2的大小不是唯一的，F2的方向也不是唯一的。故ABC错误； D、由几何关系可知，合力F为10N，分力F1的大小为5N，F2的方向与合力的方向之间的最大夹角是30°．故D正确 【变式训练2-7】已知一个力F=10N，可分解为两个分力F1和F2，已知F1方向与F夹角为30°（如图所示），F2的大小为10N，则F1的大小可能是（ ） A.5N B.10N C.15N D.20N 【答案】 D 【解析】 已知合力F=10N，F1方向与F夹角为30°，F2的大小为10N，以F的箭头处为圆心，以F2的大小为半径做圆，则该圆与F1的交点即F1的大小， 如图，所以 F1的长度为OA时： 所以：∠OAF=120° 则：∠OFA=180°﹣30°﹣120°=30° 所以：F1=F2=10N F1的长度为OB时： 所以：∠OBF=60° 则：∠OFA=180°﹣30°﹣60°=90° 所以：F1==20N，故ABC错误，D正确. 题型03：力的平行四边形法则 【例题3-1】[多选题] 如图所示，一个大人与一个小孩在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1＝400N，方向与河中心线的夹角为30°，若要大人小孩合力使船向正东方向行驶，下列说法正确的是（ ） A.小孩施加的最小拉力为200N B.小孩施加的最小拉力为 C.小孩施加的最小拉力方向为正北 D.小孩施加的最小拉力方向为东偏北60° 【答案】 A C 【解析】 合力的方向沿河流中间直线，即已知合力的方向和一分力大小和方向，求另一分力的最小值。如图， 当小孩的拉力垂直于河岸时，拉力最小，最小拉力，方向正北。故A、C正确，B、D错误。 【例题3-2】在“互成角度的两个共点力的合成”实验中，两弹簧秤的拉力在图中已作出，图中方格每边长表示1N，O是橡皮条的一个端点，请在图中作出合力F的图示，最后得到的合力F的大小为________N。 【答案】 6.7 【解析】 以F1、F2为邻边，作出平行四边形，如图所示，由图可知：合力为F＝1.0×6.7＝6.7N； 【变式训练3-1】如图所示，互相垂直的两个分力F1、F2，将F2绕O点顺时针旋转至和F1重合，则合力在________（“增大”，“减小”），同时方向在________（“改变”，“不变”）． 【答案】 增大；改变 【解析】 由题意，结合力的合成法则，则可知，随着将F2绕O点顺时针旋转至和F1重合，其合力的大小增大，方向在改变。 【变式训练3-2】如图，有五个力作用于同一点，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知，则这五个力的合力大小为（　　） A．60N B．70N C．80N D．90N 【答案】D 【详解】如图所示 根据平行四边形定则，与的合力等于，与的合力等于，这五个力的合力为 已知，根据几何关系可知 联立可得 故选D。 题型04：两个力成特殊角合力计算 【例题4-1】两个分力互相垂直时，合力大小等于；两个分力反向时，合力大小等于，则当两个分力间的夹角为时，两个分力的合力大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意有 ， 解得 ， 当两个分力间的夹角为时，两个分力的合力大小 解得 故选C。 【变式训练4-1】两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为F，它们的夹角变为120°时，合力的大小为（    ） A．2F B． C． D． 【答案】C 【解析】当两个力的夹角90°时，合力 所以 F1=F2=F 当两个力的夹角为120°时，根据平行四边形定则，可知合力 F合′=2F1cos60°＝F 故选C。 【变式训练4-2】已知两个共点力，，方向水平向右，，方向竖直向上，如图所示。 （1）求这两个力的合力F的大小和方向； （2）若将绕O点顺时针旋转角，求这时合力F的大小和方向。 【答案】（1）14.14N，合力的方向与的夹角为；（2）17.3N，合力的方向与的夹角 【解析】（1）当与垂直时，由平行四边形定则作出平行四边形，由勾股定理可得 合力的方向与的夹角θ为 解得 （2）当与互成角时，作出平行四边形，由于，故所得平行四边形为菱形，所以F平分、的夹角，有 合力的方向与F1的夹角 【变式训练4-3】在蒸汽机发明以前，大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船，其情景如图所示。假设河两岸每边10个人，每个人沿绳方向的拉力为600N，绳与河岸方向的夹角为30°，试作出力的合成的图示并利用计算法分别求出船受到的拉力。（）（结果用科学记数法表示，保留3位有效数字） 【答案】见解析 【解析】船受到每条绳子的拉力均为 则根据几何关系可得船受到的合力大小为 画出力的合成的图示为 【变式训练4-4】天津滨海高速海河大桥位于滨海新区海河入海口，由两座主桥组成，两座主桥均为独塔斜拉桥，如图甲所示。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104N，则它们对塔柱的合力大小和方向为（　　） 甲                              乙 A．5.2×102N，方向竖直向上 B．5.2×102N，方向竖直向下 C．5.2×104N，方向竖直向上 D．5.2×104N，方向竖直向下 【答案】D 【解析】根据力的平行四边形作图： 则它们对塔柱的合力大小为 方向竖直向下。 故选D。 题型05：三角形法则 【例题5-1】如图所示，大小分别为、、的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角），下列四个图中，这三个力的合力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在力的矢量三角形中，其中两个力“首尾”相连，第三个力的“首”与第一个力的“首”相连，与第二个力的“尾”相连，则这第三个力即为另外两个力的合力，但若三个力首尾相连构成闭合的矢量三角形，则这三个力的合力为零。 A．根据以上分析可知，为与的合力，不是最小，故A错误； B．根据以上分析可知，、、这三个力“首尾”相连，合力为零，为最小值，故B正确； C．根据以上分析可知，为与的合力，为最大值，故C错误； D．根据以上分析可知，为与的合力，不是最小，故D错误。 故选B。 【变式训练5-1】将F=40N的力分解为F₁和F₂，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则（　　）    A．当F₂<20N时，一个F₂有一个 F₁的值相对应 B．当F₂=20N时 ，F₁的值是 C．当F₂>40N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应 D．当10N<F₂<20N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应 【答案】B 【解析】AD．根据矢量三角形法则，如图所示    当F2的方向与F1垂直时F2最小，最小值为 当F₂<20N时，无解，故AD错误； B．当F₂=20N时 ，F₁的值是 故B正确； C．根据A选项分析可知，当F₂>40N时，此时F2只能处于图中F2最小值右侧，故此时一个F₂只有一个F₁的值与它相对应，故C错误。 故选B。 【变式训练5-2】将一个F＝10N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力方向与F成30°角，则关于另一个分力，下列说法正确的是（　　） A．的方向可能与F平行 B．的大小不可能小于5N C．的大小可能小于5N D．的方向与垂直时最小 【答案】D 【解析】A．由题意将一个力F分解为两个分力，已知其中一个不是零的分力方向与F成30°角，由力合成的平行四边形定则可知，第二个分力的方向一定不可能与合力F平行，A错误； BCD．由力的矢量三角形定则，如图所示，当的方向与的方向垂直时，有最小值，最小值为 此时大于5N；由矢量三角形图可知，若大于5N，则有可能小于5N，BC错误，D正确。 故选D。 题型06：力按效果分解问题 【例题6-1】 静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个分力，下列的说明正确的是（ ） A.F1作用在物体上，F2作用在斜面上 B.F2的性质是弹力 C.F2就是物体对斜面的正压力 D.F1和F2是与物体的重力等效的力，实际存在的就是重力 【答案】 D 【解析】 AD、物体受重力、支持力与摩擦力。而F1、F2是重力的两个分力，实际不存在，实际受到的就是重力作用在物体上。所以A错误，D正确； BC、F2是使物体紧压斜面的分力，不是物体对斜面的正压力，根据平衡条件，与斜面对物体的支持力相等，所以BC错误。 【变式训练6-1】 超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠（其余两颗未画出），工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防资扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的側向压力为（不计摩擦以及小铁珠的重力）（ ） A. B. C.F D. 【答案】 C 【解析】 以一个铁珠为研究对象，将力F按照作用效果进行分解如图所示： 根据几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力为： 。 故C正确、ABD错误。 【变式训练6-2】[多选题] 将物体所受重力按力的效果进行分解，下列各图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A B D 【解析】 A、重力产生了使物体下滑的效果及压斜面的效果；故两分力即图中所示；故A正确； B、重力产生了向两边拉绳的效果，故B正确； C、重力产生了向两墙壁的挤压的效果，故两分力应垂直于接触面；故C错误； D、重力产生了拉绳及挤压斜面的效果，故作图正确；故D正确； 【变式训练6-3】如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为μ，两轻杆等长，且杆长为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为θ，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，试求： （1）地面对物体A的静摩擦力大小； （2）无论物块C的质量多大，都不能使物块A或B沿地面滑动，则μ至少要多大？ 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）将C的重力按照作用效果分解，如图所示： 根据平行四边形定则，有： 对A分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有： ； （2）以整体为研究对象，竖直方向根据平衡条件可得A受到的支持力 则无论物块C的质量多大，都不能使物块A或B沿地面滑动时满足：μN≥f 即； 解得 当m→∞大时，有 故μ至少要等于时，无论物块C的质量多大，都不能使物块A或B沿地面滑动。 【变式训练6-4】明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　) A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大 C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 【答案】BC　 【解析】如图所示，把力F分解在垂直于木楔两侧的方向上，根据力的作用效果可知，F1＝F2＝FN＝，由此式可见，B、C项正确，A、D项错． 【变式训练6-5】如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 【答案】C 【解析】解法一：(力的合成法)小球受mg、FN、F三个力作用而静止．其中FN、F的合力与mg等大反向，即2Fcos 30°＝mg F＝kx，所以x＝，故C正确． 解法二：(力的效果分解法) 将mg沿垂直斜面方向和沿弹簧方向进行分解． 两个分力分别为F1、F2，其中F1大小等于弹簧弹力F.则2Fcos 30°＝mg，F＝kx，所以x＝，故C正确． 解法三：(正交分解法) 将FN、F沿x、y轴进行分解． Fsin 30°＝FNsin 30°，Fcos 30°＋FNcos 30°＝mg，F＝kx，联立得x＝，故C正确． 题型07：力的正交分解问题 【例题7-1】 如图所示，光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法中正确的是（ ） A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力 B.物体受到mg、FN、F1、F2四个力的作用 C.F1＝mgcos θ，F2＝mgsinθ D.物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用 【答案】 D 【解析】 A、F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2不是物体对斜面的压力，因为物体对斜面的压力受力物体是斜面，不是物体，而F2作用在物体上。故A错误。 B、物体只受到重力mg和斜面的支持力FN两个力的作用。F1、F2是重力的分效果，不是实际受到的力，故B错误D正确； C、根据平行四边形定则可知，F1＝mgsinθ，F2＝mgcosθ，故C错误； 【变式训练7-1】 如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即：F＝μmg； 当拉力倾斜时，物体受力分析如图，有： f＝μFN FN＝mg－Fsinθ 可知摩擦力为：f＝μ（mg－Fsinθ） 代入数据为： 联立可得：。 【变式训练7-2】 如图所示，完全相同的、质量为m的A、B两球，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩了（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【变式训练7-3】[多选题] 质量为m的木块在与水平方向成θ角的推力F的作用下，在水平地面上作匀速运动，已知木块与地面间的摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为（ ） A.μmg B.μ（mg＋Fsinθ） C.μ（mg－Fsinθ） D.Fcosθ 【答案】 B D 【解析】 由于物体做匀速运动，对物体受力分析知， 水平方向 Fcosθ＝f 竖直方向 FN＝mg＋Fsinθ 滑动摩擦力 f＝μFN＝μ（mg＋Fsinθ）。 故BD正确，AC错误。 【变式训练7-4】 放在水平地面上的物体P的重量为GP＝10N，与P相连的细绳通过光滑的滑轮挂了一个重物Q拉住物体P，重物Q的重量为GQ＝2N，此时两物体保持静止状态，绳与水平方向成30°角，则物体P受到地面对它的摩擦F1与地面对它的支持力F2各为多大？ 【答案】 ；9N 【解析】 如图所示P的受力图，根据平衡条件得： 水平方向 F1＝Fcos30°－－－－① 竖直方向 F2＋Fsin30°＝GP－－－② 又F＝GQ＝2N－－－－－－－－－－③ 联合①②③解得，F2＝9N 答：物体P受到地面对它的摩擦F1与地面对它的支持力F2各是和9N。 【变式训练7-5】如图所示，用一水平向右的恒力F作用于滑块，使一质量为m＝2kg的滑块能在倾角为θ＝37°的足够长的斜面上匀速下滑，已知物块m与斜面间的滑动摩擦因素为0.5，g取10m／s2，求恒力F的大小。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8） 【答案】 【解析】 对滑块受力分析后得，沿斜面方向上，mgsin37°＝Fcos37°＋Ff， 垂直斜面方向上，mgcos37°＋Fsin37°＝FN， 又Ff＝μFN， 解得。 【变式训练7-6】 如图所示，人重400N，物体重300N，物体与水平地面的动摩擦因数为0.3，当人竖直向下拉绳子时，人对地面的压力为300N，人和物体均处于静止状态，求： （1）地面对物体的支持力的大小与方向 （2）物体受到的摩擦力的大小与方向 【答案】 （1）250N；竖直向上 （2）N；水平向左 【解析】 （1）对人的受力分析如图 由平衡条件得：G人＝F＋FN1 F＝100N 物体的受力分析如下图所示，木箱受到了四个力的作用。将拉力F按水平方向与竖直方向分解为两个分力F1和F2， 得：F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ。 在竖直方向上：G物＝F2＋FN2＝FN2＋Fsinθ 联立以上各式解得：FN2＝250N．方向：竖直向上． （2）在水平方向上由二力平衡可得 F1＝Ff＝Fcosθ① Ff＝N，方向：水平向左． 【变式训练7-7】 质量为30kg的小孩坐在8kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg），求： （1）地面对雪橇的摩擦力； （2）地面对雪橇的支持力大小； （3）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小 【答案】 （1）80N （2）320N （3）0.25 【解析】 经对小孩和雪橇整体受力分析得： 竖直方向：Fsinθ＋N＝mg， 水平方向：Fcosθ－f＝0， 其中：f＝μN， 解得支持力为：N＝mg－Fsinθ＝380－100×0.6＝320N， 摩擦力为：f＝Fcosθ＝100×0.8＝80N， 动摩擦因素为： 【变式训练7-8】如图所示，一物体受四个力的作用：重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力； (2)物体所受到的合力大小及方向。 【答案】(1)竖直方向上，水平方向上；(2)合力大小，方向水平向右。 【解析】(1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力 (2)竖直方向上 水平方向上 物体所受到的合力大小 方向水平向右。 【变式训练7-9】）同在xOy平面内的六个力如图所示，大小分别为F1=10N，，F3=12N，，F5=30N，F6=12N，求合力的大小和方向。    【答案】10N，沿x正方向 【解析】根据平行四边形定则将各力垂直分解到两个坐标轴上，则可得x轴方向的合力为 y轴方向的合力为 所以合力大小为 方向沿x正方向。 【变式训练7-10】 (1)如图甲所示在同一平面内的三个共点力、、互成120°角，求它们的合力的大小和方向； (2)在同一平面内的四个共点力、、、，方向如图乙所示，求它们的合力大小和方向。（，，要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明） 【答案】(1)20N，方向沿方向 (2)，合力方向与夹角为45°斜向右下方 【解析】（1）以垂直于方向为x轴，沿方向为y轴，如图所示；由于、沿x轴方向的分力大小相等，方向相反，则、和的合力大小为 方向沿方向。 （2）建立如图所示的坐标轴； 由图可知，沿x轴方向的合力 沿y轴方向的合力 则合力大小为 方向与x轴的夹角满足 解得 即合力方向与夹角为45°斜向右下方 题型08：力的合成与分解在实际生活中的应用 【例题8】“千斤顶”顾名思义能顶起非常重的物体。如图所示，摇动把手使千斤顶的两臂靠拢，当汽车恰好被顶起时，千斤顶两臂间的夹角为，且对汽车的支持力大小为，此时千斤顶每臂受到的压力的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由牛顿第三定律可知，此时千斤顶对汽车的支持力大小等于汽车对千斤顶的压力大小，即 将汽车对千斤顶的压力分解为沿两臂的两个分力，如图 根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等，有 解得此时千斤顶每臂受到的压力大小均为 故选B。 【点睛】 【变式训练8-1】如图所示，水平地面上固定倾角为30°的斜面体B，B的斜面上垂直固定挡板C，光滑小球A静止放置在斜面体与挡板之间，球A对斜面的压力大小为F，则球A对挡板的压力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将球A的重力沿着垂直挡板方向和垂直斜面方向分解，重力沿着垂直挡板方向的分力大小等于球A对挡板的压力，沿着垂直斜面方向的分力大小等于球A对斜面的压力，设球A对挡板的压力为，根据几何关系 解得 故选A。 【变式训练8-2】 如图所示，跳伞运动员打开降落伞后，经过一段时间将在空中保持沿竖直方向匀速降落，已知运动员和他身上装备（不含降落伞）的总重量为G1，球冠形降落伞的重量为G2，有8条相同的拉线，一端与运动员相连，另一端与伞面边沿均匀分布地相连接（图中没有画出所有的拉线），每根拉线都与竖直方向成30°角，不计拉线的重力和空气对人的阻力，则每根拉线上的拉力的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 对运动员受力分析，受重力、8根细绳有8个沿细绳方向的拉力F，匀速下降时，合力为零，将每根细绳的拉力沿水平和竖直方向正交分解，如图 根据共点力平衡条件，有 8Tcos30°＝G1 解得： 【变式训练8-3】[多选题] 如图所示，用一根细绳和一根轻直杆组成三角支架，绳的一端绕在手指上B点，杆的一端顶在掌心O处，当在A处挂上重物时，整个系统处于静止状态，此时杆OA处于水平状态，绳与杆分别对手指和手掌有力的作用，对这两个作用力的说法正确的是（　　） A.绳对手指的拉力沿AB方向（与图示方向相反） B.绳对手指的拉力沿BA方向（如图示方向） C.绳子对A点的作用力和杆对A点的作用力的合力方向竖直向上 D.绳子对A点的作用力和杆对A点的作用力的合力大小大于重物的重力 【答案】 B C 【解析】 A、重物受绳子的拉力及物体本身的重力而处于平衡，故绳子的拉力等于物体的重力；而绷紧的绳子各处的拉力相等，故绳子对手指有大小为mg的拉力，方向沿绳的方向背离手指的方向，即沿BA方向故A错误B正确； C、结点A处受绳子向下的拉力及沿绳向上的拉力，二力的合力应沿杆的方向向里压杆，故杆对手掌有向里的压力，根据平衡条件，绳子对A点的作用力和杆对A点的作用力的合力与重力等大反向，即方向竖直向上，故C正确D错误； 【变式训练8-4】如图，光滑斜面固定在水平面上，斜面的倾角为，有两个相同的小球，小球的重力为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面，求：A处小球对挡板的压力和对斜面的压力，B处小球对挡板的压力和对斜面的压力。 【答案】，，， 【解析】根据题意可知，球1的重力有两个作用效果，使小球欲沿水平方向推开挡板和使小球压紧斜面，将重力分解如图所示 由几何关系可得 ， 球2的重力有两个作用效果，使小球垂直挤压挡板和使小球压紧斜面，将重力分解如图所示 由几何关系可得 ， 【变式训练8-5】 楼道中的电灯被细绳拉成如图所示的状态，其中0B水平，AO与水平方向的夹角θ＝45°，电灯的重力为G，OA绳拉力为F1，OB绳拉力为F2．求F1、F2的大小． 【答案】 ；G 【解析】 对O点受力分析，画出受力分析图，如图所示， 根据平衡条件，有：，F2＝Gtan45°＝G 故：F1、F2的大小分别为和G． 【变式训练8-6】 如图所示，斜面静止于水平地面上，光滑的A球分别与斜面和竖直墙面接触，且处于静止状态，已知球A和斜面的质量均为m，斜面的倾角为θ，重力加速度为g．求： （1）求A球对斜面的压力大小？ （2）地面对斜面的支持力和摩擦力的大小？ 【答案】 （1） （2）2mg； 【解析】 （1）将A物体重力分解如图 根据解三角形可得： （2）斜面受力如图 竖直方向有： 联立以上可得：FN＝2mg 水平方向由受力平衡得：Ff＝F1sinθ 联立以上可得：F1＝mgtanθ 题型09：力的合成与分解的动态和极值问题 【例题9-1】将一个的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力方向与F成角，另一个分力为，则下列说法正确的是（　　） A．的大小不可能等于10N B．的大小不可能小于6N C．的大小不可能小于6N D．的方向可能与F平行 【答案】C 【解析】AB．两个分力和合力只要能组成一个矢量三角形都是有可能的（即满足两边之和大于第三边），所以的大小有可能小于6N，也有可能等于10N，故AB错误; C．合力与两个分力组成一个矢量三角形，由题图可得,当的方向与垂直时，有最小值，大小为 故C正确； D．根据力的合成法则可知，不在一条直线上的两个分力和合力组成一个矢量三角形，所以的方向不可能与F平行，故D错误。 故选C。 【变式训练9-1】质量为 m 的小球在空中运动时，受到空气的作用力，沿与竖直方向成30 o 角的方向斜向下做直线运动，如图所示，空气作用力的最小值大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于小球做直线运动，所以此时小球所受的合力应该与速度方向共线，此时已知合力的方向和重力的大小和方向可得当空气作用力与合力方向垂直的时候最小，如图所示。 所以可得。 故选C。 【变式训练9-2】将大小为40N的力F分解为F1和F2，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则（　　） A．当时，有一个F1的值与它相对应 B．当时，F1的值是40N C．当时，只有一个F1的值与它相对应 D．当时，有两个F1的值与它相对应 【答案】C 【解析】AD．画出矢量三角形，如图所示 当F2的方向与F1垂直时，F2最小，最小值为 当时，没有与它相对应的F1的值，故AD错误； B．当时，有 故B错误； C．结合A选项分析可知，当时，此时F2只能处于图中F2最小值右侧，故此时只有一个F1的值与它相对应，故C正确。 故选C。 题型10：轻绳、轻杆模型 【例题10-1】 在如图所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接，下列说法正确的是（ ） A.图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙 B.图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁 C.图中的BC杆可以用与之等长的轻绳替代的有乙、丙 D.图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁 【答案】 B 【解析】 由图看出，甲、丙、丁中，AB杆对B点产生的是拉力，当用轻绳代替时效果不变，仍能使装置平衡，故图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有，甲、丙、丁。 同理可知，图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的只有丙。 【例题10-2】 如图所示，竖直悬挂于C点的小球，另两根细绳BC、AC与竖直方向的夹角分别是30°、60°，静止时三根绳子的拉力分别为F1、F2、F3（如图标示），关于三个拉力的大小关系，下列判断正确的是（　　） A.F1＞F2＞F3 B.F1＜F2＜F3 C.F2＞F3＞F1 D.F2＜F1＜F3 【答案】 D 【解析】 对结点C受力分析，运用合成法作图，如图： 可见F2＜F1＜F3 故选：D 【变式训练10-1】 如图所示，轻杆BC一端带有光滑的定滑轮，B端固定在竖直墙上，BC与墙面垂直，轻绳一端系于墙上A点，并通过定滑轮在另一端系有质量为m的物体，轻绳与竖直墙的夹角为60°，整个装置处于静止状态，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ） A.杆上的作用力沿杆，大小为mg B.杆上的作用力沿杆，大小为mg C.杆上的作用力不沿杆，大小为mg D.杆上的作用力不沿杆，大小为mg 【答案】 C 【解析】 球受力平衡，故绳子的张力等于球的重力，即T=mg； 将绳子的拉力进行合成，如图所示： 故绳子对滑轮的压力F=mg； 滑轮受绳子的压力和杆的支持力而平衡，故杆对滑轮的作用力大小为mg，方向不沿杆的方向，故C正确； 故选：C 【变式训练10-2】如图所示，细绳AO与OB所能承受的最大拉力相同，则在不断增加重物G的重力过程中（吊重物的绳不会断）（　　） A.OA绳先被拉断 B.OB绳先被拉断 C.OA绳和OB绳同时被拉断 D.条件不足，无法判断 【答案】 B 【解析】 O点受力平衡，对O点进行受力分析，受到重物的拉力，OA绳的拉力和OB绳的拉力，合力为零，根据平行四边形定则及边长的关系得：OB绳的拉力大于OA绳的拉力，所以当重力逐渐增大，OB绳先达到最大拉力，OB绳先断．故ACD错误，B正确；故选：B． 【变式训练10-3】 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（g取10m/s2）（ ） A.50N B.100N C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意可得，对绳B点受力分析： 滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力， 因同一根绳张力处处相等，都等于物体的重量，即为：F1＝F2＝G＝mg＝100 N。 用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，则有合力F＝100 N， 所以滑轮受绳的作用力为100 N．方向与水平方向成30°角斜向下。 题型11：力的分解的唯一性和多解性 【例题11-1】、[多选题] 把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力，但方向未知，则F1的大小可能是（ ） A.F B.F C.F D.F 【答案】 A D 【解析】 由题意可知，F2的大小为F，大于F，因此有两种分解结果； 根据平行四边形定则得，如图， 又因一个分力F1跟F成30°角，且F2的大小为F， 由几何关系得，或．故AD正确，BC错误。 【变式训练11-1】[多选题] 如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，若已知F1的大小，已知F2与F之间的夹角α，且α为锐角．在求解F2大小时（ ） A.若F1＞Fsinα时，则F2一定有两解 B.若F1＝Fsinα时，则F2有唯一解 C.若F1＜Fsinα时，则F2无解 D.若F1＞F时，则F2一定无解 【答案】 B C 【解析】 当时，根据平行四边形定则，如图， 有两组解．若F1＞F，只有一组解，故AD错误；当F1＝Fsinα时，两分力和合力恰好构成三角形，有唯一解，故B正确；F1＜Fsinα时，分力和合力不能构成三角形，无解，故C正确。所以BC正确，AD错误。 【变式训练11-2】已知合力的大小和方向，以及一个分力的大小，且，但的方向未知，则另一个分力与的最大夹角是多少 【答案】 知合力大小和方向，以及分力的大小，则分力的轨迹即如图所示的圆： F F2 F1 则根据几何关系，另一个分力与的最大夹角是 【解析】 由题意，的方向的变化，但合力的方向仍不变，因此根据力的合成与分解，结合平行四边形定则，即可求解 题型12：验证力的平行四边形法则实验 【例题12-1】某实验小组探究“两个互成角度的力的合成规律”，操作如下： (1)首先进行如下操作： ①如图甲，橡皮条的一端系两细绳套，另一端固定在水平木板上，橡皮条的原长为GE； ②如图乙，用手通过两个弹簧测力计拉橡皮条。橡皮条和细绳套的连接点在拉力的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长EO； ③撤去，改用一个力F单独拉住其中一根细绳套，仍使其位于O点，如图丙。 同学们发现，力F单独作用与共同作用的效果是一样的，所以F等于的合力。本实验采用的科学方法是________。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 (2)然后实验小组探究了合力F与分力的关系，某个弹簧测力计指针位置如图戊所示，其读数为 N。 (3)若是以为邻边构成的平行四边形的对角线，一定沿GO方向的是 （填F或）。 【答案】(1)B (2)3.15（3.14~3.16） (3)F 【解析】解析：（1）本实验采用的科学方法是等效替代法，故B正确。 （2）弹簧测力计最小刻度0.1N，则指针读数为3.15N。 （3）是以为邻边构成的平行四边形的对角线，即是两个力合力的理论值；F是实验值，可知一定沿GO方向的是F。 【变式训练12-1】某学习小组用如图所示的装置探究“两个互成角度的力的合成规律”。如图1所示，在竖直平面内，橡皮条的一端固定，另一端挂一轻质小圆环，橡皮条原长为GE，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环。 (1)实验过程中，小王将弹簧测力计向上拉测量拉力大小，而非将橡皮条挂在上方，向下拉弹簧测力计测量拉力大小，这样做的好处为________。 A．可以保证弹簧拉力和细线在同一直线上 B．方便调零且较为准确地测量拉力大小 C．可以不用考虑弹簧测力计外壳的重力影响 (2)本实验采用的科学方法是等效替代法，具体操作指的是________。 A．橡皮条沿同一方向伸长 B．橡皮条伸长到相同长度 C．橡皮条沿同一方向伸长相同长度 D．两个弹簧测力计拉力大小之和等于一个弹簧测力计拉力的大小 (3)小黄则是在水平桌面上做实验（如图2所示），通过实验小黄确定了的方向，如图3所示，并记录三个力的大小，其中测量F时弹簧测力计示数如图4所示，读数为 N。 (4)小黄绘制结果如图5所示，F与两力中 （填“F”或“”）为合力的实际值。 【答案】(1)B (2)C (3)1.80 (4)F 【解析】解析：（1）实验过程中，小王将弹簧测力计向上拉测量拉力大小，而非将橡皮条挂在上方，向下拉弹簧测力计测量拉力大小，这样做的好处是方便调零且较为准确地测量拉力大小，B正确。 （2）本实验采用的科学方法是等效替代法，具体操作指的是橡皮条沿同一方向伸长相同长度，C正确。 （3）由题图4可知弹簧测力计最小刻度为0.1N，则读数为1.80N。 （4）F与两力中，F为合力的实际值，即用一个弹簧测力计拉橡皮条时的拉力的值；是利用力的平行四边形定则求得的两个力合力的理论值。 【变式训练12-2】“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图： （1）图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。 （2）对于该实验，下列说法正确的是________。 A．两细绳套必须等长 B．若将细绳换成橡皮筋，对实验结果有影响 C．记录弹簧测力计拉力的方向时应用铅笔沿细绳画直线 D．实验中，把橡皮筋伸长到O点时，两弹簧测力计之间的夹角不能太大 （3）在此实验中，假如F1的大小及方向确定，那么为了使橡皮筋仍然伸长到O点，对F2来说，下面几种说法中正确的是________。 A．F2可以有多个方向 B．F2的方向和大小可以有多个值 C．F2的方向和大小都是唯一确定值 D．F2的方向是唯一的，但大小可有多个值 【答案】 （1）F′ （2）CD （3）C 【解析】 （1）由图可知，F是由平行四边形定则得出的，由于会存在误差，故F不一定与AO同向；而F′是通过实验得出的，即F′一定与AO的拉力大小相等方向相反，即F′一定沿AO方向； （2）A、本实验中我们只需使两个力的效果与一个力的效果相同即可，细绳的长度是否相等与本实验无关，故A错误； B、实验中我们只需使两个力的效果与一个力的效果相同即可，若将细绳换成橡皮筋，对实验结果没有影响。故B错误； C、根据实验原理可知，记录弹簧测力计拉力的方向时应用铅笔沿细绳画直线，故C正确； D、实验中，把橡皮筋伸长到O点时，两弹簧测力计之间的夹角不能太大，故D正确； （3）因一个弹簧秤的拉力大小、方向不变，而橡皮筋伸长到O点，说明合力不变，则由平行四边形定则可知另一个大小方向也唯一确定，故ABD错误，C正确。 【变式训练12-3】 一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。 ①如图（a），在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶________时电子秤的示数F； ②如图（b），将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶杯带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、________和电子秤的示数F1； ③如图（c），将另一颗墙钉B钉在与O同一水平位置上，并将L1拴在其上。手握电子秤沿着②中L2的方向拉开细线L2，使________和三根细线的方向与②中重合，记录电子秤的示数F2； ④在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若________，则平行四边形定则得到验证。 【答案】 ①静止；②三细线的方向；③结点O的位置；④F和F′在误差范围内重合 【解析】 ①要测量装满水的水壶的重力，则记下水壶静止时电子秤的示数F； ②要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O的位置的同时也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1； ③已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O点位置不能变化，力的方向也都不能变化，所以应使结点O的位置和三根细线的方向与②中重合，记录电子秤的示数F2； ④根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F和F′在误差范围内重合，则平行四边形定则得到验证。 【变式训练12-4】某同学用橡皮筋与弹簧测力计验证“力的平行四边形定则”，实验装置如图甲所示。其中A为固定橡皮筋的图钉，OB和OC为细绳。 (1)本实验中两次拉橡皮筋的过程，主要体现的科学方法是__________。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)某次实验时，左侧弹簧测力计的示数如图丙所示，则弹簧测力计的示数为 N。 (3)如果没有操作失误，图乙中的F与两力中，方向一定沿AO方向的是 （填“F”或“”）。 (4)实验中某次拉力的示意图如图丁所示，图中。若保证O点位置不变，且拉力的大小不变，现将角减少少许，则角应 ，的大小应 。（填“增大”或“减小”） 【答案】(1)B (2)3.6 (3) (4) 减小 减小 【解析】（1）本实验中两次拉橡皮筋的过程都把结点拉到同一点，主要体现的科学方法是等效替代法，故选B。 （2）弹簧测力计的最小刻度为0.2N，则示数为3.6N； （3）图中的F是两个分力合力的理论值；F＇是两个分力合力的实验值，则方向一定沿AO方向的是F＇； （4）[1][2]若保证O点位置不变，即F1和F2合力不变，且拉力F1的大小不变，现将角α减少少许，如图所示 由图可知，角β应减小，F2的大小应减小。 【变式训练12-5】 做“探究求合力的方法”的实验时： （1）除已有的器材（方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须有________和________。 （2）在做上述实验时，在水平放置的木板上垫上一张白纸，把橡皮条的一端固定在板上，另一端结两个细绳套，通过细绳用两个互成角度的弹簧测力计拉橡皮条，使结点移到某一位置O，此时需记下：①________；②________；③________。然后用一个弹簧测力计把橡皮条拉长，使结点到达________，再记下________。 （3）在某次实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置。图中________是力F1与F2的合力的理论值；________是力F1与F2的合力的实验值。通过把________和________进行比较，验证平行四边形定则。 【答案】 （1）三角板；橡皮条 （2）O点位置；细绳所指方向；相应弹簧测力计读数；同一位置O点；弹簧测力计读数和细绳方向 （3）F；F′；F；F' 【解析】 （1）做探究共点力合成的规律实验：我们是让两个力拉橡皮条和一个力拉橡皮条产生的作用效果相同，测出两个力的大小和方向以及一个力的大小和方向，用力的图示画出这三个力，用平行四边形做出两个力的合力的理论值，和那一个力进行比较。所以我们需要的实验器材有：方木板（固定白纸），白纸（记录方向画图）、刻度尺（选标度）、绳套（弹簧秤拉橡皮条）、弹簧测力计（测力的大小）、图钉（固定白纸）、三角板（画平行四边形），橡皮条（让力产生相同的作用效果的）。所以还必须有：橡皮条、三角板。 （2）该实验采用了“等效”法，要求两次拉橡皮筋要到同一位置O，因此要记录O点的位置，同时记录力时，要记录力的大小和方向，这样才能正确的画出平行四边形。 （3）F1、F2合力的理论值是指通过平行四边形定则求出的合力值，而其实验值是指一个弹簧拉橡皮条时所测得的数值，由此可知F是F1、F2合力的理论值，F'是合力的实验值；该实验的实验目的就是比较F'和F是否相等。 【变式训练12-6】在“探究求合力的方法”的实验中，橡皮条的一端固定，先用一个弹簧测力计通过细线拉橡皮条的另一端，将其结点拉到O点，记下拉力F；再用两个弹簧测力计通过细线拉橡皮条，将其结点同样拉到O点，记下拉力F1、F2．回答下列问题。 （1）先后两次将橡皮条结点拉到同一点O，其目的是________。 （2）如图甲所示，用两个弹簧测力计拉橡皮条的实验中，下列说法中正确的是________。 A．两根细线与橡皮条必须在同一平面内 B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下，且不能超过测力计的量程 C．橡皮条必须保持水平 D．为了便于计算，F1、F2方向间夹角必须为90° （3）根据实验数据画出力的图示，并以F1、F2为邻边作平行四边形，其对角线为F′，根据图乙你能得出的结论是________；其依据是________。 【答案】 （1）力的作用效果相同 （2）A （3）力的合成遵循平行四边形定则；F与F′非常接近 【变式训练12-7】在“验证力的平行四边形定则”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，先用一个弹簧秤拉橡皮条的另一端到某一点并记下该点的位置；再将橡皮条的另一端系两根细绳，细绳的另一端都有绳套，用两个弹簧秤分别勾住绳套，并互成角度地拉像皮条。 （1）某同学认为在此过程中必须注意以下几点： A．两根细绳必须等长 B．橡皮条应与两绳夹角的角平分线在同一直线上 C．在使用弹簧秤时要注意使弹簧秤与木板平面平行 D．在用两个弹簧秤同时拉细绳时要注意使两个弹簧秤的读数相等 E．在用两个弹簧秤同时拉细绳时必须将橡皮条的另一端拉到用一个弹簧秤拉时记下的位置其中正确的是________．（填入相应的字母） （2）在“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，两弹簧秤将结点O拉至图示位置。图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的示意图。 ①图乙中的F与F′ 两力中，方向一定沿AO方向的是________。 ②本实验采用的科学方法是______ A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 （3）某同学在坐标纸上画出了如图所示的两个已知力F1和F2，图中小正方形的边长表示2N，两力的合力用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，关于F1与F2、θ1和θ2关系正确的是________（填选项前的字母） A．F1＝4N B．F＝12N C．θ1＝45 D．θ1＜θ2 【答案】 （1）CE （2）①F′；②B （3）BC 【变式训练12-8】某同学利用如图示的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3，回答下列问题： （1）改变钩码个数，实验能完成的是：________ A．钩码个数N1＝N2＝2，N3＝4 B．钩码个数N1＝N3＝3，N2＝4 C．钩码个数N1＝N2＝N3＝4 D．钩码个数N1＝2，N2＝3，N3＝8 （2）在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是________ A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向 B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度 C．用量角器量出三段绳子之间的夹角 D．用天平测出钩码的质量 （3）在作图时，你认为图中________是正确的．（填“甲”或“乙”） 【答案】 （1）BC （2）A （3）甲 【解析】 （1）对O点受力分析 OA，OB，OC分别表示三个力的大小，由于三共点力处于平衡，所以OC等于OD．因此三个力的大小构成一个三角形． A、以钩码的个数表示力的大小，则不能构成三角形，故A错误； B、以钩码的个数表示力的大小，则三力为边构成等腰三角形，故B正确； C、以钩码的个数表示力的大小，则三力为边构成等边三角形，故C正确； D、以钩码的个数表示力的大小，则不能构成三角形，故D错误． （2）为验证平行四边形定则，必须作受力图，所以先明确受力点，即标记结点O的位置，其次要作出力的方向并读出力的大小，最后作出力的图示，因此要做好记录，是从力的三要素角度出发，要记录砝码的个数和记录OA、OB、OC三段绳子的方向，故A正确，BCD错误． （3）以O点为研究对象，F3的是实际作用效果在OC这条线上，由于误差的存在，F1、F2的理论值要与实际值有一定偏差，故甲图符合实际，乙图不符合实际． 【变式训练12-9】 某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M．弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。 （1）本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________N。 （2）下列能减小实验误差的措施是________。（请填写选项前对应的字母） A．让重物M的质量适当大一些 B．弹簧测力计应在使用前校零 C．弹簧测力计B所拉的细绳套应尽可能保持水平方向 D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置 （3）某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请你提出两个解决办法。 方法一：________，方法二：________。 【答案】 （1）3.80 （2）AB （3）减小重物M的重量；将弹簧测力计B绕O点顺时针转过一个角度 【解析】 （1）弹簧测力计A的最小分度值是0.1N，所以图中A的示数为3.80N。 （2）A、让重物M的质量适当大一些，弹簧测力计的读数大些，测量的相对误差小些，故A正确； B、弹簧测力计在使用前校零，能减小实验误差，故B正确； C、弹簧测力计B所拉的细绳套不一定要水平，只要每次O点能拉到同一点就行，故C错误； D、改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置，这是实验方法：等效替代法的要求，但不能实验误差，故D错误； （3）当弹簧测力计A超出其量程，说明弹簧测力计B的拉力与重力的合力已偏大。解决办法： 方法一：减小重物M的重量。 方法二：将弹簧测力计B绕O点顺时针转过一个角度。 方法三：将弹簧测力计A绕P点逆时针转过一个角度。 方法四：将A更换为量程较大的测力计（任意两个） 题型13：力的合成与分解综合问题 【例题13-1】如图所示，小孩与冰车静止在冰面上，大人用F=20N的恒定拉力，使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°，小孩与冰车的总质量m=20kg，冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小孩与冰车所受的支持力； （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力。 【答案】（1）188N，方向竖直向上；（2）6.6N，方向水平向右。 【解析】（1）小孩与冰车竖直方向合外力为0，小车竖直方向受重力、支持力FN；列出竖直方向力学方程为 FN+Fsin37°-mg=0 代入数据解得支持力为 FN=188N 方向竖直向上。 （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力 方向水平向右。 【例题13-2】某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕A处的环转动，两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高时，B、C两点的间距，B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为 重力加速度大小取 ，忽略A处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为多少? 【答案】1470N 【解析】该同学站在A点时，重力产生两个作用效果力、，如图所示 设、，与竖直方向夹角为θ，则有 在B点将分解，如图所示 则水平推力为 由几何关系得 联立并代入数据可得 【例题13-3】科学地佩戴口罩，对于奥密克戎、流感等呼吸道传染病具有预防作用。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k=200N/m的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了2.5cm。此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求耳朵受到口罩带的作用力。    【答案】，方向与x轴负（水平）方向成45°角 【解析】由胡克定律 设耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力为FAB、FED，则有 FAB=FED=5N 水平方向合力 竖直方向合力 所以耳朵受到口罩带的作用力 方向与x轴负（水平）方向成45°角。    【变式训练13-1】如图所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)(　　) A．50 N B．100 N C．20 N D．100 N 【答案】B　 【解析】由题意可得，对滑轮B点受力分析如图所示，滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳子张力处处相等，都等于重物的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N。用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，由几何关系可得F＝100 N，所以滑轮受绳子的作用力大小为100 N，方向与水平方向成30°斜向下。故选项B正确。 【变式训练13-2】如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则(　　) A．Ff变小　　　B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大 【答案】BD　 【解析】将两木块与重物视为整体，竖直方向上受力平衡，则2Ff＝(2m＋M)g，故Ff不变，选项A错误，B正确；设硬杆对转轴的弹力大小均为FN1，硬杆与竖直方向的夹角为θ，对轴点O进行受力分析可知，竖直方向上2FN1cos θ＝Mg，对木块m进行受力分析可知，水平方向上FN＝FN1sin θ，联立解得FN＝Mgtan θ，当挡板间距离稍许增大时，θ增大，FN增大，选项C错误，D正确。 【变式训练13-3】如图所示，固定在水平面上的容器半球形内壁光滑，O为球心，质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设OP与水平方向的夹角为θ，则F的大小为（　　） A、mgsinθ B． C． D．mgtanθ 【答案】C 【解析】：滑块的受力情况如图所示，由物体的平衡条件可得： FNsinθ=mg， FNcosθ=F， 联立解得：F=，故ABD错误，C正确； 故选：C。 【变式训练13-4】如图所示，在光滑的水平杆上穿两个重力均为2N的球A、B，在两球之间夹一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m，用两条等长的线将球C与A、B相连，此时弹簧被压短了10cm，两条线的夹角为60°，则（　　） A． 弹簧的弹力大小为0.5N B．细线拉力大小为2 N B． C球的重力为N D．杆对A球的支持力为（4+2）N 【答案】B 【解析】：A、根据胡克定律得，弹簧的弹力大小为F=kx=10×0.1N=1N，故A错误； BD、分析A球的受力情况，如图所示，根据平衡条件得： Tcos60°=F N=G+Tsin60° 解得，T=2N，N=（2+）N，即杆对A球支持力为（2+）N，故B正确，D错误； C、对C球：2Tsin60°=GC，解得，C球重力GC=2N，故C错误； 故选：B。 【变式训练13-5】如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，小滑轮P被一根细线系于天花板上的O点。B放在粗糙的水平桌面上，O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，aO′、bO′与cO′夹角如图所示。细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态。若悬挂小滑轮的细线OP的张力是20N，g取10m/s2，则下列说法中错误的是（　　） A． 重物A的质量为2kg B．桌面对B物体的摩擦力为10N B． 重物C的质量为1kg D．OP与竖直方向的夹角为60° 【答案】D 【解析】：设悬挂小滑轮的斜线中的拉力与O′a绳的拉力分别为T1和T，则有： 2Tcos30°=T1 得：T=20N。 重物A的质量mA==2kg，故A正确； 结点O′为研究对象，受力如图，根据平衡条件得，绳子的弹力为：F1=Tcos60°=10N。 mcg=10N mc=1kg，故C正确； 根据平衡条件桌面对B物体的摩擦力与O′b的拉力相等，即：F2=Tsin60°=20•N=10N，故B正确。 D、由于动滑轮两侧绳子的拉力大小相等，根据对称性可知，细线OP与竖直方向的夹角为30°．故D错误。 题目要求选错误的，故选：D。 【变式训练13-6】如图所示，质量为m的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向θ=30°角，PB在水平方向，且连在质量为M的木块上，木块静止于倾角也为θ=30°的斜面上，则（　　） A． 细绳PB的拉力大小为mg B细绳PA 的拉力大小为2mg C.木块所受斜面的摩擦力大小为（M+m）g D.木块所受斜面的弹力大小为Mg 【答案】C 【解析】：AB、对结点P受力分析，由平衡条件得： FB=mgtan30°=mg； FA==mg，故AB错误； CD、对斜面上的物体，由平衡条件可得： 平行斜面方向：f=Mgsin30°+FBcos30° 解得：f=（M+m）g 垂直斜面方向：FN+FBsin30°=Mgcos30° 解得：FN=，故C正确、D错误。 故选：C。 【变式训练13-7】如图所示，物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮，A静止在倾角为45°的粗糙斜面上，B悬空。已知质量mA=3mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°缓慢减小到30°，那么下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小将增大 B．物体A对斜面的压力将减少 C．物体A受到的静摩擦力将减小 D．弹簧的弹力及A受到的静摩擦力都不变 【答案】C 【解析】解：A、对物体B受力分析，受重力和拉力，由二力平衡得到：T=mBg，则知弹簧的弹力不变，故A错误； BCD、原来有3mBgsin 45°﹣mBg=f1，后来3mBgsin 30°﹣mBg＜f1，可见物体A并未滑动，弹簧弹力不变，而且静摩擦变小。 物体A对斜面的压力为：N=mAgcosθ，θ减小，N将增大，故C正确。BD错误。 故选：C。 　 【变式训练13-8】如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A、B通过光滑滑轮O用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B球质量为m，O点在半圆柱体圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角，OA长度与半圆柱体半径相等，OB与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是（　　） A．小球A、B受到的拉力TOA与TOB相等，且TOA=TOB=mg B．弹簧弹力大小mg C．A球质量为m D．光滑半圆柱体对A球支持力的大小为mg ．【答案】C 【解析】：AB、隔离对B分析，根据共点力平衡得： 水平方向有：TOBsin45°=F 竖直方向有：TOBcos45°=mg， 则 TOB=mg，弹簧弹力 F=mg， 根据定滑轮的特性知：TOA与TOB相等；故A、B错误； CD、对A分析，如图所示，由几何关系可知拉力TOA和支持力N与水平方向的夹角相等，夹角为60°， 则N和T相等，有：2TOAsin60°=mAg， 解得 mA=m 由对称性可得：N=TOA=mg，故C正确，D错误。 故选：C。 　 【变式训练13-9】如图所示，一个质量为m的滑块置于倾角为30°的固定粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上的p点，直线PQ与斜面垂直，滑块保持静止。则（　　） A．弹簧可能处于原长状态 B．斜面对滑块的摩擦力大小可能为零 C．斜面对滑块的支持力大小可能为零 D．滑块一定受到四个力作用 【答案】A 【解析】：弹簧的方向垂直于斜面，因为弹簧的形变情况未知，所以斜面与滑块之间的弹力大小不确定，所以滑块可能只受重力、斜面支持力和静摩擦力三个力的作用而平衡，此时弹簧弹力为零，处于原长状态；物块也可能受到重力、支持力、斜面的支持力和弹簧的弹力四个力作用，由于物块受到的摩擦力不可能为零，则支持力一定不为零，故A正确，BCD错误； 故选：A。 【变式训练13-10】如图所示，倾角为θ=30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水平力F的作用下静止于光滑斜面上，此时水平力的大小为F；若将力F从水平方向逆时针转过某一角度后，仍保持F的大小不变，且小球和斜面依然保持静止，此时水平地面对斜面体的摩擦力为Ff，那么F和Ff的大小分别是（　　） A． F=G，Ff=G B、F=G，Ff=G C．F=G，Ff=G D．F=G，Ff=G 【答案】D 【解析】：先研究第一种情况：对物体受力分析如图所示。 由平衡条件得：N与F的合力F′与重力G大小相等， 由三角函数关系得：F=Gtanθ=G； 转过一角度后，由F大小不变，小球静止，支持力与F的合力不变，故此时转动后F转方向如图： 根据几何知识可得F转过的角度是2θ。 对整体受力分析并正交分解如图： 水平方向：f=Fcos2θ=Gcos60°=G 故选：D。 【变式训练13-11】将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，3、4两块固定在地基上，1、2块间的接触面竖直，每个石块的两个侧面所夹的圆心角均为30°，不考虑石块间的摩擦力，则石块1、2间的作用力F1和石块1、3间的作用力F2的大小之比为（　　） A． B．1：2 C． D． 【答案】A 【解析】：如图对第一个石块进行受力分析，由几何关系知：θ=60°， 所以有F1 ：F2=sin60°=．故A正确，BCD错误 故选：A。 【变式训练13-12】如图所示，重为mg的小球放在倾角为30°的光滑斜面上，一根细线一端系在小球上，另一端固定在竖直杆的P点，细线与杆的夹角也为30°，则斜面对小球的弹力大小为（　　） A．m B．mg C．mg D．mg 【答案】A 【解析】：以小球为研究对象进行受力分析如图所示，根据图中几何关系可得：α=β=30°， 则绳子拉力F与斜面对小球的弹力N大小大小相等，即F=N； 在竖直方向根据平衡条件可得： Fcosβ+Ncosα=mg， 解得：N=mg，故A正确、BCD错误。 故选：A。 【变式训练13-13】如图所示为建筑工地上使用的简易拔桩机示意图。若在某次拔桩过程中，建筑工人在长绳上的E点施加一竖直向下的拉力F时，绳CE部分被水平拉直，CA部分被竖直拉直，绳DE、BC与竖直方向的夹角分别为α、β，则绳CA拔桩的作用力大小为（　　） A． Ftanα•cotβ B．Ftanα•tanβ C．Fcotα•cotβ D．Fcotα•tanβ 【答案】B 【解析】：以结点E为研究对象，分析受力情况，如图1所示，由平衡条件得：绳子CE的拉力大小为：TCE=Ftanα 再以C点为研究对象，分析受力情况，如图2所示，则有：TAC=TCEtanβ=Ftanαtanβ．故ACD错误，B正确。 故选：B。 .【答案】D 【解析】解：若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面没有相互作用力，所以物体就只受到2个力作用：重力和推力F； 若拉力F大于物体的重力时，则斜面对物体产生支持力和静摩擦力，故物体应受到4个力作用，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式训练13-14】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　） A．2﹣ B． C． D． 【答案】C 【解析】：当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即：F=μmg； 当拉力倾斜时，物体受力分析如图，有： f=μFN FN=mg﹣Fsinθ 可知摩擦力为：f=μ（mg﹣Fsinθ） f=F 代入数据为： μmg=μ（mg﹣F） 联立可得：μ= 故选：C。 【变式训练13-15】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为(　　) A. B.m C．m D．2m 【答案】C 【解析】： 对a受力分析如图甲所示，其中虚线三角形为等边三角形，由正交分解法可得Fsin α＝mgsin 30°，又知F＝mg，故α＝30°；对小物块的悬挂点受力分析如图乙所示，由力的合成可得2Fcos(α＋30°)＝Mg，故可得M＝m，C正确． 【变式训练13-16】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，且与水平线成30°角．已知B球的质量为2kg，求细绳对B球的拉力和A球的质量．（g取10m/s2） 【答案】 40N； 4kg 【解析】：对B球受力分析如下图所示， 物体B处于平衡状态有：Tsin30°=mBg T=2mBg=2×2×10 N=40 N 物体A处于平衡状态有： 在水平方向：Tcos30°=NAsin30° 在竖直方向：NAcos30°=mAg+Tsin30° 由上两式解得：mA=2mB=4 kg 答：细绳对B球的拉力为40N；A的质量为4kg． 【变式训练13-17】2025年，成都市政府为民完成了一件“功在当代，利在千秋”的惠民工程﹣﹣健身步道的建设，它的建成大力提升了市民的幸福指数．图中吊床便是步道上的一角，吊床用绳子拴在两棵树上的等高位置．某人先坐在吊床上，后躺在吊床上，均处于静止状态．设吊床两端系绳中的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2，则（　　） A． 躺着比坐着时F1大 B． 坐着比躺着时F1大 C． 坐着比躺着时F2大 D． 躺着比坐着时F2大 【答案】 B 【解析】：根据平衡条件得知：吊床对人的作用力与重力等值反向，所以躺着和坐在时，F2不变． 坐在吊床上时，吊床两端绳的拉力与竖直方向上的夹角较大，根据共点力平衡有：2Fcosθ=G，θ越大，则绳子的拉力越大；而躺着时，绳子的拉力较小．故B正确，ACD错误． 故选：B． 【变式训练13-18】如图所示，左侧是倾角为60°的斜面，右侧是圆弧面的物体固定在水平地面上，圆弧面底端的切线水平，跨过其顶点上小定滑轮的轻绳两端系有质量分别为m1、m2的小球．当它们处于平衡状态时，连接m2的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两小球可视为质点．则m1：m2等于（　　） A． 1：1 B．2：3 C．3：2 D．3：4 【答案】 B 【解析】：：先以m1球为研究对象，由平衡条件得知，绳的拉力大小为： T=m1gsin60°…① 再以m2球为研究对象，分析受力情况，如图，由平衡条件可知，绳的拉力T与支持力N的合力与重力大小相等、方向相反，作出两个力的合力，由对称性可知，T=N， 2Tcos30°=m2g…② 由①②解得： ml：m2=2：3 故选：B 【变式训练13-19】如图所示，倾角为60°的斜面固定在水平面上，轻杆B端用铰链固定在竖直墙上，A端顶住质量为m、半径为R的匀质球并使之在图示位置静止，此时A与球心O的高度差为，不计一切摩擦，轻杆可绕铰链自由转动，重力加速度为g，则有（　　） A．轻杆与水平面的夹角为60° B．轻杆对球的弹力大小为2mg C．斜面对球的弹力大小为mg D．球所受的合力大小为mg，方向竖直向上 【答案】 V 【解析】： B、对球受力分析如图： 由几何知识得：轻杆对球的弹力大小N2=mg，故B错误； C、如上图，由几何知识可得斜面对球的弹力大小为mg，C正确； D、球处于静止，平衡状态，所受的合力大小为0，D错误； 故选：C． 【变式训练13-20】如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．用F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后木板静止时（　　） A．F1变大B．F1变小C．F2变大 D．F2变小 【答案】 C 【解析】：木板静止时，受重力和两个拉力而平衡，故三个力的合力为零，即：F1=0，不变； 根据共点力平衡条件，有：2F2cosθ=mg 解得：F2=， 当细线变短时，细线与竖直方向的夹角θ增加，故cosθ减小，拉力F2变大，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式训练13-21】如图所示，A、B两物体叠放在一起，让它们靠在竖直墙边，然后由静止释放，它们同时沿粗糙的墙面向下运动，已知mA＞mB，空气阻力不计，则物体B在运动过程中（　　） A．只受重力 B． 受到重力和摩擦力 C． 受到重力、弹力和摩擦力 D． 受到重力、摩擦力和两个弹力 【答案】 A 【解析】：解：A、B整体同时沿竖直墙面下滑，受到总重力，墙壁对其没有支持力，如果有，将会向右加速运动，因为没有弹力，故也不受墙壁的摩擦力，即只受重力，做自由落体运动； 由于整体做自由落体运动，处于完全失重状态，故A、B间无弹力，再对物体B受力分析，只受重力； 故选：A。 【变式训练13-21】如图所示，水平细杆上套一A环，A环与B球间用一轻质绳相连，质量分别为mA、mB，由于B球受到风力作用，A环与B球一起向右匀速运动。已知细绳与竖直方向的夹角为θ，则下列说法中正确的是（　　） A．B球受到的风力F等于mBgtanθ B． 风力增大时，轻质绳对B球的拉力保持不变 C.杆对A环的支持力随着风力的增加而增加 D.A环与水平细杆间的动摩擦因数为 【答案】 A 【解析】：A、B、对球B受力分析，受重力、风力和拉力，如图 球B在三个力作用下平衡，由平衡条件可得： T=，F=mBgtanθ 风力增大时，θ增大，cosθ减小，则轻质绳对B球的拉力T增大。故A正确，B错误； C、D、把环和球当作一个整体，对其受力分析，受重力（mA+mB）g，支持力N、风力F和向左的摩擦力f，如图，根据共点力平衡条件可得： N=（mA+mB）g，保持不变。f=F。 A球与水平细杆间的动摩擦因数为：μ==，故C错误，D错误。 故选：A。 【变式训练13-22】叠罗汉是一种游戏，体育活动或表演，由六人叠成的三层静态造型如图所示，假设每位杂技运动员的体重均为G，下面五人弯腰后背部呈水平状态，双腿伸直张开支撑，夹角均为θ，则（　　） A．当θ=45°时，最上层的运动员单脚受到的支持力大小为G B．当θ增大时，最上层的运动员受到的合力最大 C． 最底层三位运动员的每只脚对水平地面的压力均为G D.最底层正中间的运动员在一只脚对水平地面的压力为 【答案】 D 【解析】：解：最上面的人受到的竖直向下重力为G，所以每个腿上的力的竖直分力都是，中间层最左边的人，受到竖直向下的力为G+=，所以每个腿上的力的竖直分力都是 ，由对称性，中间层最右边的人每个腿上的力的竖直分力也是。 最底层中间的人，受到竖直向下的力为G++=，所以其每条腿上的力的竖直分力为； 故最底层正中间的运动员在一只脚对水平地面的压力为；故ABC错误，D正确 故选：D。 【变式训练13-23】如图所示，一光滑半圆形碗固定在水平面上，质量为m1的小球用轻绳跨过碗口并连接质量分别为m2和m3的物体，平衡时碗内小球恰好与碗之间没有弹力，两绳与水平方向夹角分别为53°、37°，则m1：m2：m3的比值为（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）（　　） A．5：4：3 B．4：3：5 C．3：4：5 D．5：3：4 【答案】 A 【解析】：：对碗内的小球m1受力分析，受重力、两个细线的两个拉力，由于碗边缘光滑，故相当于动滑轮，故细线对物体m2的拉力等于m2g，细线对物体m1的拉力等于m1g，如图： 根据共点力平衡条件，两个拉力的合力与重力等值、反向、共线，有 G2=G1cos37° G3=G1sin37° 故 m1：m2：m3=5：4：3 故选：A。 【变式训练13-24】（多选）如图所示，静止在粗糙水平面上的半径为4R的半球的最高点A处有一根水平细线系着质量为m、半径为R的光滑小球。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细线对小球的拉力大小为0.75mg B． 地面对半球的摩擦力的方向水平向右 C保持小球的位置不变，将A点沿半球逐渐下移，半球对小球的支持力逐渐减小 D剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为0.6g 【答案】 AD 【解析】：A、对小球受力分析，如图所示： 根据平衡条件，有：F=，T=mgtanθ 其中cosθ=，tanθ=， 故：F=，T=mg．A正确 B、对整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力，故B错误； C、保持小球的位置不变，将A点沿半球逐渐下移，则绳子的拉力与重力之间的夹角减小，由合力与分力之间的关系可知，半球对小球的支持力逐渐增大。故C错误； D、剪断细线，则小球只受到重力和支持力，其合力沿半球的切线方向，则：ma=mgsinθ=0.6mg 所以：a=0.6g。故D正确； 故选：AD。 【变式训练13-25】已知小球a的质量为m，小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为．则下列说法正确的是（　　） A．拉力F的大小一直增大 B．拉力F的大小先减小后增大 C．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大 D．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2﹣）mg 【答案】 AD 【解析】：：AB 、设a的质量为m，则b的质量为2m；以b为研究对象，竖直方向受力平衡，可得绳子拉力始终等于b的重力，即T=2mg，保持不变； 以a为研究对象，受力如图所示， 设绳子与水平方向夹角为θ，支持力FN=2mgsinθ﹣mg，向右缓慢拉动的过程中，θ角逐渐减小； 水平方向：F=f+2mgcosθ=2mgcosθ+μ（2mgsinθ﹣mg）=2mg（cosθ+μsinθ）﹣μmg 由于：== 由于θ从90°开始逐渐减小，可知θ增大，则（60°+θ）从150°逐渐减小时sin（60°+θ）逐渐增大； 当θ＜30°后，F=f+2mgcosθ=2mgcosθ+μ（mg﹣2mgsinθ）=2mg（cosθ﹣μsinθ）+μmg 由于：== 当θ从30°逐渐减小的过程中，cos（60°+θ）逐渐增大，所以当θ从30°逐渐减小的过程中F仍然逐渐增大。 可知水平拉力一直增大。故A正确，B错误； C、向右缓慢拉动的过程中，两个绳子之间的拉力逐渐增大，绳子的拉力不变，所以绳子的合力减小，则绳子对滑轮的作用力逐渐减小，根据共点力平衡的条件可知，支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大；故C错误； D、当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为：F=2mg（cosθ+μsinθ）﹣μmg==（2﹣）mg．故D正确； 故选：AD。 【变式训练13-26】如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根原长为l0、劲度系数为k的轻弹簧，静止时两根细线之间的夹角为2θ，（重力加速度为g） 求：（1）细线的拉力T；（2）弹簧的长度1。 【解析】：：A物体的受力如图所示有： （1）由平衡知识可知细线的拉力为：； （2）根据几何关系可得弹簧的弹力：F=mgtanθ 根据胡克定律可得： 则弹簧的长度： 答：（1）细线的拉力为； （2）弹簧的长度为。 　 【变式训练13-27】如图所示，质量为mB=14kg的木板B放在水平地面上，质量为mA=10kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在地面的木桩上，绳绷紧时与水平面的夹角为θ=37°．已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1=0.5，木板B与地面之间的动摩擦因数μ2=0.4．重力加速度g取10m/s2．现用水平力F将木板B从木箱A下面匀速抽出，试求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （1）绳上张力T的大小；（2）拉力F的大小． 【解析】：（1）对物体A受力分析及建立直角坐标系，如图所示： ∵A静止，受力平衡 ∴在x轴上：Tcosθ=f1…① 在y轴上：N1=Tsinθ+mAg…② 又∵f1=μ1 N1…③ ∴由①②③得： T=100 N 即绳上张力T的大小为100N． （2）对物体B受力分析及建立直角坐标系，如图所示： ∵B静止，受力平衡 ∴在x轴上：F=f1+f2…④ 在y轴上：N2=N1+mBg…⑤ 又∵f2=μ2N2…⑥ ∴由④⑤⑥得： F=200 N 即拉力F的大小为200N． 匀速运动求μ运用于下一次受力分析 【变式训练13-28】．如图所示，质量为m=4kg的物体放在水平地面上，给物体施加一个水平恒力F1=32N时，恰好可以匀速滑动（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）求： (1)物体与水平面间的动摩擦因数； (2)若把原来的水平力改成与水平面成的斜向下力F2，为了让物体匀速运动，F2应为多大？ 【答案】(1)0.8；(2) 100N 【解析】 (1)物体做匀速直线运动时，有 f=F1=32N 支持力 N=mg=40N 则动摩擦因数 (2)在水平方向上有 F2cos37°=f′ 竖直方向上有 N=F2sin37°+mg 代入数据联立解得 F2=100N 【变式训练13-29】．如图，质量为6.6 kg的木块放在水平地面上，在大小为30 N，方向与水平成37°斜向上拉力作用下恰好沿水平地面匀速滑动．求：（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g=10N/kg） （1）物体所受的摩擦力大小及物体和地面的动摩擦因数。 （2）如果去掉拉力而给物体施加一个水平推力，物体恰能匀速运动，则水平推力为多少？ 【答案】（1）24N；0.5（2）33N 【解析】 （1）水平方向，物体所受的摩擦力大小 竖直方向： 物体和地面的动摩擦因数 （2）如果去掉拉力而给物体施加一个水平推力，物体恰能匀速运动，则 【变式训练13-30】．如图所示，质量m=2kg的物体放在一固定斜面上，斜面倾角θ=30°，物体能沿斜面匀速下滑。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2。 (1)求物体受到的摩擦力大小f及方向； (2)求物体与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若对物体施加一方向沿斜面向上、大小为F1的恒力，物体恰好能沿斜面匀速向上运动，求F1的大小。 【答案】(1)10N；方向沿斜面向上；(2)；(3)20N 【解析】 (1)将物体受到的重力沿斜面和垂直斜面正交分解，根据平衡条件得 解得 f=10N 方向沿斜面向上。 (2)以物体为研究对象，由平衡条件得 解得 (3)若对物体施加一方向沿斜面向上、大小为F1的恒力，物体恰好能沿斜面匀速向上运动，以物体为研究对象，由平衡条件得： 解得 F1=20N 【变式训练13-31】．如图甲所示，在倾角为37°的固定斜面上有一物体，质量为10kg。当给它施加沿斜面向下大小为4N的力时，物体刚好静止在斜面上（最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)如果改用与斜面成30°向上的力拉物体，如图乙所示，物体将会沿斜面向上匀速运动，则所施加的拉力多大？（本小问计算结果保留两位小数） 【答案】(1)0.8；(2)97.95N 【解析】 (1)当给它施加沿斜面向下大小为4N的力时，物体静止在斜面上，摩擦力向上 解得 (2)当物体沿斜面向上被匀速拉动时，设拉力为F2 联立解得 【变式训练13-32】．质量的木块放在水平木板上，在的水平拉力作用下恰好能沿水平面匀速滑行（如图甲所示）。（已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，） （1）则木块与木板之间的动摩擦因数为多少？ （2）若将木板垫成倾角为斜面（如图乙所示），要使木块仍能沿斜面匀速向上滑行，则施加沿水平向右的拉力应多大？ （3）若将木板竖直（如图丙所示），要使木块仍能沿着竖直木板作匀速直线运动，现施加与水平方向成角的斜向上的推力，则推力应多大？ 【答案】（1）0.5；（2）80N；（3）或 【解析】 （1）依题意，可得 代入数据求得 （2）依题意，木块沿斜面匀速向上滑行，利用正交分解法，由平衡条件可得 代入数据求得 （3）依题意，若木块沿木板匀速向上滑行，利用正交分解法，由平衡条件可得 代入数据求得 若木块沿木板匀速向下滑行，利用正交分解法，由平衡条件可得 代入数据求得 抓住绳子的拉力相等 【变式训练13-33】．如图所示，质量为10kg截面为等腰直角三角形的斜面C静止在水平面上，在直角顶点处固定一光滑小滑轮，滑轮质量可以忽略，通过滑轮将质量为3kg滑块A和滑块B用细绳相连接，两绳分别和两斜面平行。改变滑块B的质量，当B的质量为A的一半时，滑块A恰好匀速下滑，两滑块与斜面间动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2。求 （1）滑块与斜面间动摩擦因数均为多少； （2）斜面C对地面的压力多大； （3）绳子对小滑轮的作用力。 【答案】（1）；（2）145N；（3）20N，方向竖直向下 【解析】 （1）滑块A恰好匀速下滑分别对两物块受力分析有 分析滑块A的受力，有 分析滑块B的受力，有 由牛顿第三定律知 T=T′ 解得 （2）对A、B、C整体受力分析知地面的支持力为 代人数据得 N=145N 根据牛顿第三定律有，斜面对地面的压力为145N，方向竖直向下 （3）根据（1）解得 对滑轮受力分析知二力的合力方向竖直向下大小为 代入数据解得 F=20N 方向竖直向下。 【变式训练13-34】．如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为0.5，物体A、B用跨过光滑轻质动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力斜向上提动滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°角，拉B物体的绳子与水平面成37°角，A、B两个物体仍处于平衡状态，此时若继续增大向上的力，A、B两个物体将同时开始运动，则A、B两个物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos7°=0.8，g=10m/s2）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 对A、B两物体，由平衡条件得 FTcos53°=μ（mAg－FTsin53°），FTcos37°=μ（mBg－FTsin37°） 解得 故选B。 【变式训练13-35】．如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉B物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） A． B． C． D． 【答案】B 本题考查共点力的平衡中隔离法的应用以及对物理临界状态的理解 【详解】 分别对A、B两个物体进行受力分析，如图所示，对A的受力进行正交分解，则有 ， ， 而AB恰好达到平衡，说明此时AB所受的静摩擦力均达到最大静摩擦力，即 ； 再对B的受力进行正交分解，有 ， ， ， 联立方程组解得，故本题正确答案应选B． 同时受力分析建立方程组 【变式训练13-36】．如图，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为和时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当木板倾角是时，物块受到是静摩擦力，其大小等于mgsin，当木板倾角是时，物块受到是滑动摩擦力，其大小等于μmgcos，由题意可得 解得 故选C。 【变式训练13-37】．质量为m的木箱置于水平面上，水平推力F即可使木箱做匀速直线运动。现保持F的大小不变，方向改为与水平方向成60°斜向上拉木箱，仍能使其做匀速直线运动，如图所示。则木箱与水平面间的动摩擦因数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当施加水平推力时，由平衡条件可得 当拉力与水平方向成60°斜向上时，由平衡条件可得，水平、竖直方向分别满足 联立解得 故选C。 【变式训练13-38】．如图（a），滑块在与水平方向夹角为37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做匀速直线运动。将该桌面倾斜成与水平方向夹角为37°，保持拉力的方向不变，大小变为2F，如图（b），滑块恰好沿倾斜桌面向上做匀速直线运动。滑块与桌面间的动摩擦因数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设滑块质量为m，当滑块沿水平桌面做匀速直线运动，据平衡条件可得，在水平、竖直方向分别有 当滑块沿倾斜桌面向上做匀速直线运动，沿斜面方向、垂直斜面方向分别有 联立可解得 A正确。 故选A。 一道题多种受力分析的方法 【变式训练13-39】．如图所示，物块A悬挂在绳和的结点上，偏离竖直方向角，水平，且经光滑定滑轮与木块B相连，连接B的绳与水平方向的夹角为。已知A质量，B质量，木块B静止在水平面上。试求： (1)绳的拉力大小？ (2)木块B与水平面间的摩擦力大小和地面对木块B的支持力大小？ (3)如果物体B和水面间的动摩擦因数为0.5，要保证物体B相对地面静止，那么物体A的质量不能超过多大？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，） 【答案】(1)10N；(2)3.6N；19.2N；(3)1.6kg 【解析】 (1)如图甲所示，对P点受力分析，由平衡条件 FPO cos37°=mAg 解得 Fc=mAgtan37°=8×0.75N=6N (2)对B点受力分析如图乙所示，水平方向根据共点力的平衡条件可得 f=Fccos53°=6×0.6N=3.6N 竖直方向根据共点力的平衡条件可得 NB+Fcsin53°=mBg 解得 NB=mBg-Fcsin53°=24N-6×0.8N=19.2N (3)如果物体B和水面间的动摩擦因数为0.5，则 μ（mBg-F′csin53°)=F′ccos53° F′c=m′Agtan37° 解得 m′A=1.6kg 【变式训练13-40】．如图所示，质量为的重物C上系着一条细绳，细绳的另一端连着一个轻质小圆环，小圆环套在水平直杆上并且可以滑动，设小圆环所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力；另有一条细绳一端固定在重物C上，另一端跨过一轻质小定滑轮，定滑轮固定在距离圆环50cm的地方。若在细绳的末端挂上重物D时小圆环恰好刚要沿水平直杆滑动，此时细绳OA与杆夹角为53°，两细绳之间的夹角为90°，试求（，，） （1）小圆环与直杆间的动摩擦因数； （2）细绳OA中张力大小； （3）重物D的质量。 【答案】（1）0.75；（2）8.0N；（3）0.60kg 【解析】 （1）因为圆环将要开始滑动，所受的静摩擦力刚好达到最大值，有 对环进行受力分析，则有 解得 （2）（3）如图所示 选取坐标轴，根据物体C处于平衡状态，则有 解得 【变式训练13-41】．如图所示，用细线的一端将质量的物体系住，另一端用细线结在一起，O为结点，A端系竖直墙壁上，与墙壁间的夹角为，B端与另一个质量的物体相连，M放在倾角为的粗糙斜面上，与斜面平行，整个系统恰好处于静止状态，最大静摩擦力可认为与滑动摩擦力相等，当地的重力加速度。求： (1)线的拉力大小； (2)B与斜面间动摩擦因数。 【答案】(1)10N；10N；(2) 【解析】 (1)O点受力平衡，对结点O进行受力分析，如图所示 根据平衡条件得 OA的拉力 OB的拉力 (2)对M进行受力分析，如图所示 M处于静止状态，受力平衡，沿着斜面方向受力平衡，则 解得 【变式训练13-42】．如图所示，质量的物块悬挂在轻绳和的结点上并处于静止状态，与竖直方向的夹角，沿水平方向；质量的木块与相连，静止于倾角为的斜面上。取，，。求： （1）轻绳拉力的大小； （2）木块受斜面的静摩擦力方向和大小。 （3）现将物体固定，三根绳子的能承受的最大拉力均为，为避免绳子断裂，求物体的最大质量？ 【答案】（1）；（2），沿斜面向上；（3）80kg 【解析】 （1）如图甲所示分析P点受力 由平衡条件可得 解得 （2）再分析木块的受力情况，如图乙所示 由物体的平衡条件可得，沿斜面方向有 由牛顿第三定律 可求得 方向为沿斜面向上； （3）设P点下方绳子拉力为Fc，由（1）中分析可知 ，， 知P点三力平衡时FA最大，故m质量最大时FA达到最大承受力1000N，则 解得 =80kg 【变式训练13-43】．质量为的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为37°，PB沿水平方向。质量为的木块与PB相连，M在平行于斜面向上的力F作用下，静止于倾角为37°的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，如图所示。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，）求： （1）轻绳PA和轻绳PB各自产生拉力的大小？ （2）拉力F的最大值与最小值？ 【答案】（1）10N；6N；（2）29.2N；6.8N 【解析】 （1）对P点受力分析由平衡条件得 代入数据，解得 （2）当M所受摩擦力沿斜面向上且为最大静摩擦力时，F最小，设为，则有 联立以上各式解得 当M所受摩擦力沿斜面向下且为最大静摩擦力时，F最大，设为，则有 代入数据，解得 【变式训练13-44】．如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L0=0.9m，劲度系数k=300N/m。轻绳的OC段长1m与竖直方向的夹角θ=37°，斜面倾角α=30°，物块A的质量mA=5kg，物块B的质量mB=4kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （1）求弹簧伸长量Δx大小； （2）求物块A受到的摩擦力的大小和方向 （3）如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小和方向？ 【答案】（1） 0.1m；（2） 25N，方向沿斜面向下；（3），沿斜面向下 【解析】 （1）对O点受力分析，如图所示，并正交分解， 据平衡条件有 k△x=mBgtanθ 解得 △x=0.1m （2）假设摩擦力沿斜面向下，则对物块A受力分析如图所示并正交分解， 据平衡条件有 所以 解得 Ff=25N 方向沿斜面向下； （3）由几何关系可知 所以 解得 物块A受到的摩擦力 方向沿斜面向下。 巩固练习 一、单选题 1．两个力和之间的夹角为，其合力为F。下列说法正确的是（　　） A．若和大小不变，角越大，合力F就越大 B．合力F总比分力、中的任何一个力都大 C．合力F的大小范围是 D．若夹角不变，大小不变，增大，合力F可能先减小后增大 【答案】D 【解析】A．根据平行四边形定则可知，若和大小不变，角越大，合力F就越小，故A错误； B．合力F可能比分力、中的任何一个力都大，也可能比分力、中的任何一个力都小，还可能等于分力、中的其中一个，故B错误； C．合力F的大小范围是，故C错误； D．若夹角不变，大小不变，增大，若夹角大于，根据平行四边形定则可知，合力F可能先减小后增大，故D正确。 故选D。 2、有三个力，一个力是12 N，一个力是6 N，一个力是7 N，则关于这三个力的合力，下列说法正确的是(　　) A．合力的最小值为1 N B．合力的最小值为0 C．合力不可能为20 N D．合力可能为30 N 【答案】　B 【解析】　三个力方向相同时合力最大Fmax＝25 N， 6 N、7 N两力的合力范围1 N≤F合≤13 N，当合力F合＝12 N，且方向与第三个力相反时，三力的合力为零，即三力的合力范围是0≤F总≤25 N，所以A、C、D错，B对． 3．一物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列力的合力不可能为零的是（　　） A．4N，8N，9N B．7N，4N，3N C．1N，5N，10N D．1N，8N，8N 【答案】C 【解析】A．4N，8N的合力范围为 则4N，8N，9N的合力可能为零，故A错误； B．7N，4N的合力范围为 则7N，4N，3N的合力可能为零，故B错误； C．1N，5N的合力范围为 则1N，5N，10N的合力不可能为零，故C正确； D．1N，8N的合力范围为 则1N，8N，8N的合力可能为零，故D错误。 故选C。 4．如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知，求这5个力的合力大小（    ） A．40N B．30N C．20N D．10N 【答案】B 【解析】根据平行四边形定则可知，图中、的合力等于；图中、的合力等于；则这5个力的合力大小为 故选B。 5、如图所示，将光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　 　) A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力 B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用 C．物体只受重力mg和支持力FN的作用 D．力FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg的作用效果相同 【答案】　C 【解析】　物体受到重力的施力物体是地球；支持力的施力物体是斜面；F1、F2是将重力按效果分解所得的两个分力，实际不存在，综上可知，C正确，A、B、D错误． 6、将物体所受重力按力的效果进行分解，下列选项中错误的是(　　) 【答案】　C 【解析】　A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2； B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项画得正确． C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力G1和G2，故C项画错． D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项画得正确． 7．生活中经常用刀来劈开物体。图中是刀刃的横截面，是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为，对外界产生的推力为，不计刀的重力及摩擦力，则下列关于的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】受力分析如图所示 根据几何关系可得 故选B。 8．如图所示，重力为G的物体静止在倾角为的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力和平行斜面向下的力，那么（　　） A．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、和 共五个力的作用 B．就是物体受到的静摩擦力 C．物体对斜面的压力方向与 方向相同，大小为 D．就是物体对斜面的压力 【答案】C 【解析】A．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力三个力作用，和 是重力的两个分力，不单独分析，A错误； B．不是物体受到的静摩擦力，而是重力的一个分力，大小等于物体受到的静摩擦力，B错误； C．物体对斜面的压力方向垂直于斜面向下，与的方向相同，根据几何知识得：物体对斜面的压力大小等于，C正确。 D．物体对斜面压力的施力物体是物体，受力物体是斜面，而是重力的一个分力，受力物体是物体，所以不是物体对斜面的压力，但大小等于物体对斜面的压力，D错误。 故选C。 9．已知两个共点力、的合力为，分力的方向与合力的方向成角，下列说法正确的是（　　） A．若的大小为，则大小一定等于 B．若的大小为，则大小一定等于 C．若的大小为，则大小只有一个可能值 D．若的大小为，则大小可能有两个值 【答案】B 【解析】B．已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角（如图中的虚线代表的分力的方向） 根据三角形法则，当与垂直时，力有唯一最小值，为 此时 故B正确； ACD．根据矢量三角形定则可知，当时，没有解；当时，有两个可能值；当时，只有一个值；故ACD错误。 故选B。 10．如图耕地过程中，耕索与水平方向成θ角，牛通过耕索拉犁的力为，犁对耕索的拉力为，忽略耕索质量，则（　　） A．耕索对犁拉力的水平分力为 B．耕索对犁拉力的竖直分力为 C．犁匀速前进时，和的合力为零 D．犁加速前进时，和大小相等 【答案】D 【解析】AB．将力进行正交分解可得，耕索对犁拉力的水平分力为，竖直分力为，A错误，B错误； C．耕索拉犁的力和犁对耕索的拉力为一对相互作用力，作用在两个物体上，不能够进行合成，C错误； D．根据牛顿第三定律，耕索拉犁的力和犁对耕索的拉力为一对相互作用力，大小相等，方向相反，D正确。 故选D。 二、多选题 1．一个力分解为两个分力，下列情况中，可能使力的分解结果不唯一的有（　　） A．已知两个分力的方向 B．已知两个分力的大小 C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向 D．已知一个分力的大小和方向 【答案】BC 【解析】AD．根据平行四边形定则可知，如果力的分解唯一的，则以合力F为邻边的平行四边形定则只有一个，或只能画出一个三角形，根据以上分析可知，已知两个力的方向，已知一个分力的大小和方向，力F的分解都是唯一的，故AD不符合题意； B．已知合力与两个分力的大小，根据三角形定则，如下图所示    可知力的分解结果可能不唯一，故B符合题意； C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向，根据平行四边形定则，如图所示 可知力的分解结果可能不唯一，故C符合题意。 故选BC。 2、如图所示，AO和BO悬挂一个重物，现将绳子AO由如图所示的位置移到竖直，该过程中，OB绳子始终保持水平，则下列说法中正确的是（　　） A. OA绳子拉力减小 B. OA绳子拉力先减小后增大 C. OB绳子拉力减小 D. OB绳子拉力增大 答案：AC 3、如图所示，A、B两个物体的重力分别是GA=5N、GB=8N，弹簧的重力不计，整个装置沿竖直方向处于静止状态，这时弹簧的弹力F=4N，则天花板受到拉力和地面受到的压力有可能是（　　） A. 1N、12N B. 3N、13N C.9N、4N D.5N、8N 【答案】AC 提示：弹簧的弹力有可能是压缩引起的，也有可能是拉伸引起的。 4、下列关于合力的叙述中正确的是( ) A.合力是原来几个力的等效代替,合力的作用效果与分力的共同作用效果相同 B.两个力夹角为θ（0≤θ≤π），它们的合力随θ增大而增大　　 C.合力的大小总不会比分力的代数和大 D.不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成的运算 答案:AC 5、关于合力和分力的关系，下列说法正确的是( ) A.合力的作用效果与其分力分别单独作用效果相同 B.合力大小一定等于其分力的代数和 C.合力可能小于它的任一分力 D.合力可能等于某一分力大小 答案:CD A、合力与分力的关系是等效替代的关系，对于分力应指“共同作用效果”，故A错误． B、合力的大小等于分力的矢量和．故B错误． C、合力的大小可能大于任一分力，可能小于任一分力，可能等于某一分力．故C、D正确．故选CD． 6、在“探究求合力的方法”的实验中,使用弹簧测力计代替钩码来做实验, 实验的可操作性更好,但必须注意( ) A.测量前应检查弹簧测力计的指针是否指零 B.测量前应把两弹簧测力计互相对拉,观察它们的示数是否相同,应选用示数相同的一对测力计 C.在用弹簧测力计拉橡皮条时,弹簧测力计的轴线不一定与橡皮条共面 D.在用弹簧测力计拉橡皮条时,细线和弹簧测力计的轴线应在同一条直线上 【答案】ABD 7、(多选)人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，如图所示，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中．下列说法正确的是(　 　) A．绳的拉力不断增大 B．绳的拉力保持不变 C．船受到的浮力保持不变 D．船受到的浮力不断减小 【答案】　AD 【解析】　小船受力如图，根据正交分解： 水平方向上Fsinθ＝f ① 竖直方向上Fcosθ＋N＝mg ② 船靠岸过程中θ减小，由①知F增大，再由②得N减小，所以应选A、D. 8．图甲为斧头劈开树桩的实例，此过程可简化成图乙中力学模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，斧头受到竖直向下的力F，并处于平衡状态，下列说法正确的有（　　） A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大 B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大 C．力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大 D．力F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 【答案】AC 【解析】将力F分解为垂直截面的两个分力，则有 解得 则斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大；施加的力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大。 故选AC。 9．已知力F一个分力F1跟F成30°角，大小未知；另一个分力F2大小为，方向未知。则F1的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可知，F2的大小为，可知 因此有两种分解结果； 根据平行四边形定则得，如图， 又因一个分力F1跟F成30°角，且F2的大小为，由几何关系得 或 故选AC。 10．唐代《耒耜经》记载了曲辕犁的示意图如图所示，耕地时牛通过耕索拉犁，拉力与竖直方向的夹角为α，忽略耕索的质量，耕地过程中，下列说法正确的是   （　　） A．若该拉力的大小为F，将其分解成水平向右和竖直向上的两个分力，则水平分力的大小为Fcosα B．若该拉力的大小为F，将其分解成水平向右和竖直向上的两个分力，则竖直分力的大小为Fcosα C．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力 D．曲辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力大小相等 【答案】BD 【解析】AB．若该拉力的大小为F，将其分解成水平向右和竖直向上的两个分力，则水平分力的大小为Fsinα，竖直分力的大小为Fcosα，选项A错误，B正确； CD．耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对相互作用力，无论是曲辕犁匀速前进还是加速前进，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力总是大小相等，方向相反，选项C错误，D正确。 故选BD。 11．如图所示是李强同学设计的一个小实验。他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止。下列正确的说法是（　　） A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的 B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由A指向B D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大 【答案】AD 【解析】A．由题图可知，物体重力的作用效果是：一方面拉紧细绳，另一方面，压缩杆，A正确； BC．杆对手掌的作用力方向沿杆由A指向C，绳对手指的作用力由B指向A，BC错误； D．将重力mg分解为沿绳方向的力F1和沿杆方向的力F2，如图所示，由图可得    可知重物的质量越大，F1、F2也越大，可知绳和杆对手的作用力也越大，D正确。 故选AD。 12．一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1面的弹力大小记为F₁，凿子作用于木板2面的力为，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F₁的大小为 B．F₁和F₂的比值为tanθ C．力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂ D．增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值也增大 【答案】AC 【解析】A．将力在木板1、2面分解如图 可得 选项A正确； BC．由图可知 可得F₁和F₂的比值为 力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂，选项B错误，C正确； 选项B错误； D．由以上分析可知，增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值不变，选项D错误。 故选AC。 三、实验题 1在“探究力的合成规律”的实验中： (1)采用的科学方法是（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 (2)下列是某同学在做该实验的一些看法，其中正确的是（　　） A．拉橡皮筋的绳线要细长，实验中弹簧秤、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行 B．拉橡皮筋结点到某一位置时，拉力要适当大些，读数时视线要正对弹簧秤刻度 C．拉橡皮筋结点到某一位置时，两个弹簧秤之间夹角应取以便于算出合力大小 D．实验中，橡皮筋应该与两个弹簧秤之间夹角的平分线在同一直线上 (3)实验中的情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，和为绳线。为橡皮筋与绳线的结点。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。图乙中的与两力中，方向一定沿方向的是 （填或）。 (4)若两个弹簧秤的读数均为4N，且两弹簧秤拉力的方向相互垂直，则 （选填“能”或“不能”）用一个量程为的弹簧秤测量出它们的合力。 【答案】(1)B (2)AB (3)F′ (4)不能 【解析】（1）该实验是要互成角度的两个力与一个力产生相同的效果，采用的科学方法是等效替代法。 故选B。 （2）A．拉橡皮筋的绳线要细长，便于确定拉力的方向；要准确地表示拉力的大小和方向，故实验中弹簧秤、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行，故A正确； B．为了减小误差，拉橡皮筋结点到某一位置O时，拉力要适当大些，读数时视线要正对弹簧秤刻度，故B正确； C．拉橡皮筋结点到某一位置O时，两个弹簧秤之间夹角适当就好，不需要取，故C错误； D．实验中，拉橡皮筋结点到某一位置O时，两个弹簧秤的示数不一定相同，所以橡皮筋不一定与两个弹簧秤之间夹角的平分线在同一直线上，故D错误。 故选AB。 （3）由图乙可知，F是通过、作平行四边形得到的合力理论值，由于存在一定的误差，F方向不一定沿AO方向；而力是用一个弹簧测力计拉橡皮筋得到的合力实际值，根据二力平衡可知，方向一定沿AO方向的是。 （4）若两个弹簧秤的读数均为4N，且两弹簧秤拉力的方向相互垂直，则合力为 故不能用一个量程为5N的弹簧秤测量出它们的合力。 2．如图甲所示为“验证力的平行四边形定则”的实验装置图，其中为固定橡皮筋的图钉，为橡皮筋与细绳的结点，和为细绳。实验器材有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳和弹簧测力计。 (1)下列是某同学在做该实验时的一些想法，其中正确的是_____。（填正确选项前的字母） A．拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行 B．为了便于计算合力大小，两细绳间夹角应取30°、45°、90°等特殊角度 C．当把结点拉到某一设定位置点时，拉力和的夹角越大越好 D．在每组实验中点位置不可以改变 (2)图乙中的与两力中，方向一定沿方向的是 。 (3)图丙是某次实验记录的部分信息，其中合力，分力方向确定、与合力的夹角，则另一分力的最小值为 。 【答案】(1)AD (2) (3)5 【解析】（1）A．拉橡皮条时，弹簧测力计、橡皮条、细绳应贴近木板且与木板平面平行，保证力在同一平面内，故A正确； B．两绳间夹角可取任意角度，适中即可，故B错误； C．当把结点拉到某一设定位置O点时，拉力F1和F2的夹角适中，不是越大越好，故C错误； D．每组实验中要保证两个拉力的作用效果和一个拉力的作用效果相同，O点位置不可以改变，故D正确。 故选AD。 （2）根据图乙，合力F是根据平行四边形定则作出的合力的理论值，由于实验实验误差，合力F不一定沿橡皮筋方向；是一个弹簧测力计将橡皮筋拉到O点的方向，测出的合力的时间值，因此方向一定沿AO方向。 （3）根据题意，由矢量三角形可知，当F1与F2垂直时，F1最小，如图所示 根据数学知识，分力 四、解答题 1．（1）如图所示在同一平面内的三个共点力F1＝10N、F2＝10N、F3＝20N互成120°角，求它们的合力的大小和方向； （2）如图所示在同一平面内的四个共点力F1＝20N、F2＝30N、F3＝22N、F4＝40N，方向如图所示，求它们的合力大小和方向。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明）      【答案】（1），方向沿方向；（2）见解析 【解析】（1）以垂直于方向为轴，沿方向为轴，如图所示 由于、沿轴的分力大小相等，方向相反；则、和的合力大小为 方向沿方向。 （2）建立如图所示的坐标轴 由图可知，沿轴方向的合力为 沿轴方向的合力为 如图所示 可知合力大小为 方向与轴的夹角满足 解得 2．如图所示，一轻质三脚架的B处悬挂一定滑轮(质量不计)。一体重为500 N的人通过拉跨过定滑轮的轻绳匀速提起一重为300 N的物体。 （1）此时地面对人的支持力是多大？ （2）斜杆BC、横杆AB所受的力各是多大？    【答案】（1）200 N；（2）400N，200N 【解析】（1）物体匀速运动，绳上的拉力为T＝300N，对人进行受力分析，如图所示。    根据平衡条件 G＝T＋N N＝G－T＝500N－300N＝200N （2）B点受到绳子向下的拉力F＝600 N，产生的作用效果如图所示    FBC＝＝400N FAB＝Ftan 30°＝200N 3．在实际问题中进行力的分解时，应先弄清该力产生了怎样的效果，然后再分解这个力。如图所示的两种情况中，各接触均光滑，质量分布均匀重为5kg的两个球都处于静止状态，∠θ=30°。请作出两图中球所受重力的分解图，并分别求出两个分力的大小。    【答案】答案见详解 【解析】重力的分解图如图所示    重力的两个分力分别为 重力的分解图如图所示    重力的两个分力分别为 4．如图所示，一物体受四个力的作用，重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）画出物体的受力示意图； （2）力F在竖直方向的分力和水平方向的分力大小； （3）物体所受到的合力大小及方向。    【答案】（1）  ；（2）36N，48N；（3）32N，方向水平向右 【解析】（1）受力示意如图所示    （2）力F在竖直方向的分力和水平方向的分力大小分别为 （3）竖直方向上有 水平方向上有 则物体所受到的合力大小为 合力方向水平向右。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 力的合成与分解 目 录 思维导图 2 学习目标 2 知识点 3 技巧方法 9 题型分类 11 题型01：合力与分力的关系 11 题型02：合力的取值范围 11 题型03：力的平行四边形法则 13 题型04：两个成特殊角的力的合力计算 14 题型05：三角形法则 16 题型06：力按作用效果分解问题 22 题型07：正交分解 17 题型08：力的合成与分解在日常生活中的应用 19 题型09：力的合成与分解动态和极值问题 22 题型10：轻绳轻杆模型 25 题型11：力的分解的唯一性和多解性 27 题型12：验证力的平行四边形法则 28 题型13：力的合成与分解综合问题 35 巩固达标 49 高中力的合成与分解的核心学习目标是：掌握矢量运算的平行四边形定则和三角形定则，能解决共点力的合成、分解及实际应用问题，建立“等效替代”的物理思维。具体可分为以下三个维度： 1. 知识与技能 （1）理解力的合成与力的分解的概念，明确其“等效替代”的本质。 （2）熟练掌握力的合成与分解的核心法则：平行四边形定则（及衍生的三角形定则）。 （3）能运用上述定则，计算两个互成角度的共点力的合力（合成），并能将一个力按实际效果分解为两个分力（分解）。 （4）会用作图法和计算法（直角三角形三角函数、余弦定理）求解合力与分力的大小和方向。 2. 过程与方法 通过实验探究（如验证平行四边形定则），体验科学探究的过程，理解矢量运算与标量运算的区别。 学会从复杂的物理情境中抽象出共点力模型，培养物理建模能力。掌握“按实际效果分解力”的分析方法，例如斜面上物体重力的分解、拉（推）物体时力的分解等。 3. 情感态度与价值观 认识到“等效替代”是物理学中的重要研究方法，体会物理规律的简洁性和严谨性。 通过解决桥梁、机械等实际工程中的力学问题，感受物理学在生产生活中的广泛应用，提升学习兴趣。 知识点一：　共点力的合成 （一）．合力与分力 (1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力． (2)关系：合力与分力是等效替代关系． （二）．共点力 作用在一个物体上，作用线或作用线的延长线交于一点的几个力。如图所示均是共点力。 （三）．力的合成 (1)定义：求几个力的合力的过程． (2)运算法则 ①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力． ②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量．如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力． （四）共点力的合成 1．合力的大小范围的确定 (1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2. ①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小． ②当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2. (2)三个共点力的合成 ①三个力共线且同向时，其合力最大为 Fmax＝F1＋F2＋F3. ②任取两个力，求出其合力大小的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的代数和的绝对值．即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)． 2．几种特殊情况的共点力的合成 类型 作图 合力的计算 两力互相垂直 F＝ tan θ＝ 两力等大，夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为 两力等大且夹角为120° 合力与分力等大 【解题规律】 (1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小． (2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大． (3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力． 3.求合力的方法 作图法 作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小. 计算法 根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力. 知识点二： 力的分解 1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则． 2.力的分解两种方法 1．效果分解法 2．正交分解法 （一）按效果分解 (1)分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形． (2)基本思路 （2）解题步骤： (1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。 (2)再根据两个分力方向画出平行四边形。 (3)最后由三角形知识求出两个分力的大小和方向。 常见按力的作用效果分解实例 实例 产生效果分析 水平地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α. 质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin α，F2＝mgcos α. 质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧挡板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. 质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝. 质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1，二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝. （二）力的正交分解法 1.把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法．如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则 Fx＝Fcos α Fy＝Fsin α 2．正交分解法求合力 (1)建立直角坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上． (2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示． (3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：Fx＝F1x＋F2x＋…，Fy＝F1y＋F2y＋…. (4)求共点力的合力：合力大小F＝，设合力的方向与x轴的夹角为α则tan α＝. 正交分解常见模型 1.解决多力合成的问题 2.解决三力平衡的问题 3.静止状态下的正交分解 4.含摩擦因数μ的正交分解 5.立体视图下的拉力分析 6.多个力需要被正交分解 7.匀速运动求μ运用于下一次受力分析 8.抓住绳子的拉力相等 9.同时受力分析建立方程组 10.一道题多种受力分析的方法 知识点三：矢量、标量 (1)矢量 既有大小又有方向的物理量。运算时遵从平行四边形定则(或三角形定则)。 (2)标量 只有大小没有方向的物理量。运算时按算术法则相加减。有的标量也有方向。 知识点四．实验：探究合力的方法 1．实验原理 等效思想：将橡皮条的一端固定，另一端用两个力，使其伸长一定长度，再用一个力F作用于橡皮条的同一点，使其伸长同样的长度，那么F与的作用效果相同，F是的合力；若记下的大小和方向，画出各个力的图示，就可以研究F与的关系了。 2．实验目的： （1）探究求合力的方法； （2）学会用作图法处理实验数据。 3．实验器材：方木板一块，白纸，弹簧测力计两个，橡皮条，细绳和细绳套各两个，三角板，刻度尺，图钉几个，铅笔。 4．实验步骤： （1）在实验桌上平放一块方木板，然后在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸固定在方木板上； （2）用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端系上两条细绳，两条细绳的另一端各系着绳套； （3）用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O； （4）用铅笔记下O点的位置和两条细绳的方向。读出并记录两个弹簧测力计的示数，即两力的大小和方向； （5）只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到同一位置O，读出并记录弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，即记下与，作用效果相同的力F的大小和方向； （6）选定标度，作出力F、的图示； （7）以：为邻边作平行四边形，并作出对角线 ； （8）结论：F和对角线在误差范围内重合，说明两个力合成时，用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线所代表的力与合力的大小和方向是相同的。 5．注意事项： （1）两拉力夹角应适当大些； （2）在记录结点位置O和细绳的方向时，所用铅笔的笔尖要细，在记录细绳方向时，所用细绳应适当长一些，不要直接沿细绳方向画直线，在靠近细绳两端在白纸上画两个射影点，再过这两个射影点连直线，这样画出的力的方向误差较小； （3）在画力的合成图时，所选标度大小要适当； （4）严格按力的图示画图。 力的合成与分解解题的核心技巧是：先明确研究对象，再根据“等效替代”原则，用平行四边形定则（或三角形定则），结合“按实际效果分解”或“正交分解”策略求解。 以下是具体解题方法与步骤： 一、通用解题步骤（四步走） 1. 确定研究对象，进行受力分析 明确要分析哪个物体，画出其受力示意图（重力、弹力、摩擦力等），确保不遗漏、不重复。标注各力的大小（已知量）和方向（与已知方向的夹角）。 2. 判断问题类型，选择“合成”或“分解” 优先用“合成”的情况：已知多个分力，求合力（如求共点力的合力）；或已知部分力，求某一个力的等效合力以简化问题（如三力平衡时，可将其中两个力合成，与第三个力等大反向）。优先用“分解”的情况：已知一个力，求它在某个方向上的作用效果（如斜面上重力分解为沿斜面向下和垂直斜面的分力）；或需要将所有力分解到两个垂直方向（正交分解），列方程求解。 3. 运用核心定则运算 平行四边形定则：适用于两个分力的合成（以两分力为邻边作平行四边形，对角线为合力）和一个力的分解（以该力为对角线，按实际效果确定两个分力的方向，作平行四边形）。 三角形定则：适用于多个力的合成（将各力首尾相连，从第一个力的起点指向最后一个力的终点的有向线段为合力），或三力平衡问题（三力构成封闭三角形）。 计算方法： 若为直角三角形（分力垂直或分解到垂直方向），直接用三角函数（sinθ、cosθ、tanθ）计算。 若为任意三角形，用余弦定理（合力²=分力1²+分力2²-2×分力1×分力2×cosθ，θ为两分力夹角的补角）或正弦定理。 4. 结合物理规律，列方程求解 若物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），则合力为零（或正交分解后，x、y方向的合力均为零）。 若物体有加速度，根据牛顿第二定律，合力=质量×加速度（或正交分解后，x、y方向分别列 F合=ma 的方程）。 二、两大高频解题策略 1. 按“实际效果”分解力（最常用） 核心思路：根据力产生的实际作用效果，确定两个分力的方向，再分解。 2. 正交分解法（复杂问题通用） 核心思路：将所有力分解到相互垂直的x轴和y轴上，使矢量运算转化为代数运算，适用于三个及以上共点力的问题。 操作步骤： 1. 建立直角坐标系（通常以加速度方向或运动方向为x轴，垂直方向为y轴，尽量使更多力落在坐标轴上，减少分解量）。 2. 将每个力分解到x轴和y轴上，规定正方向，用正负号表示分力方向。 3. 分别计算x轴和y轴上的合力 Fx合 和 Fy合。 4. 根据平衡条件（Fx合=0，Fy合=0）或牛顿第二定律（Fx合=ma，Fy合=0，若加速度沿x轴）列方程求解。 三、易错点提醒 分解力时，分力是“等效替代”原力，不能同时考虑原力和分力。注意力的方向：合成时两分力的夹角是“共点时的夹角”，分解时分力方向需符合实际效果，不能随意设定。正交分解时，坐标系的建立会影响计算难度，优先让加速度或未知力落在坐标轴上。 题型01：合力与分力的关系 【例题1-1】下列关于合力和分力的说法中，正确的是（　　） A．若一个物体受3个力作用而保持平衡，则其中一个力就是另外两个力的合力 B．一个力只可能有两个分力 C．当两个分力在一条直线上时不遵循平行四边形定则 D．合力不一定大于分力 【答案】D 【解析】A．若一个物体同时受到3个力的作用而保持平衡，则这三个力的合力为零，其中一个力的大小与另外两个力的合力的大小相等，方向相反，故A错误； B．一个力可以根据需要分解为多个力，故B错误； C．当两个分力在一条直线上时仍然遵循平行四边形定则，故C错误； D．合力可以大于、等于、小于分力，故D正确。 故选D。 【变式训练1-1】关于分力和合力，下列说法正确的是（　　） A．合力和分力同时作用在同一物体上 B．分力作用于物体上共同产生的效果与合力单独作用时产生的效果是相同的 C．各个分力一定是同一性质的力才可以进行合成 D．各个分力可以是同一个物体不同时刻受到的力 【变式训练1-2】关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的有（　　） A．合力一定大于每一个分力 B．合力的大小可能比两个分力都小 C．两个分力的大小同时增加10N，合力大小随之增加10N D．两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角的减小而减小 题型02：合力的取值范围 【例题2-1】 两个力Fl和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F．以下说法正确的是（ ） A.若Fl和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小 B.合力F可能比分力中的任何一个力都小 C.合力F总比分力中的任何一个力都大 D.如果夹角θ不变，Fl大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大 【答案】 B 【解析】 A、若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误； B、二力平衡时，合力为零，此时合力F比分力中的任何一个力都小，故B正确； C、由力的合成方法可知，两力合力的范围|F1﹣F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故C错误； D、如果夹角不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F可以减小，也可以增加，故D错误； 【例题2-2】F1、F2是力F的两个分力．若F＝10N，则下列不可能是F的两个分力的是（ ） A.F1＝10 N，F2＝10 N B.F1＝20 N，F2＝20 N C.F1＝2 N，F2＝6 N D.F1＝20 N，F2＝30 N 【答案】 C 【解析】 A、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，10N和10N的合力范围为[0N，20N]，可能为10N．故A正确。 B、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，20N和20N的合力范围为[0N，40N]，可能为10N．故B正确。 C、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，2N和6N的合力范围为[4N，8N]，不可能为10N．故C错误。 D、根据|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，20N30N的合力范围为[10N，50N]，可能为10N．故D正确。 【变式训练2-1】 关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是（ ） A.两个分力夹角小于180°时，合力大小随夹角的减小而增大 B.合力大小随两力夹角增大而增大 C.合力一定大于每一个分力 D.合力的大小不能小于分力中最小者 【变式训练2-2】三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是（ ） A.F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3 B.F的大小至少比F1、F2、F3中的某一个大 C.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力F为零 D.若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力F为零 【变式训练2-3】大小不同的三个共点力同时作用在一个小球上，以下各组力中，可能使小球平衡的一组是 A．2N，3N，6N B．35N，10N，15N C．3N，4N，6N D．5N，15N，25N 【变式训练2-4】一个物体受到三个共点力的作用，在下列给出的几组力中，能使物体所受合力为零的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练2-5】（多选题） 三个力，F1＝4N，F2＝6N，F3＝9N，关于三个力的合力，下列说法正确的是（ ） A.三个力的合力的最小值为0N B.三个力的合力的最大值为19N C.三个力的合力可能为9N D.三个力的合力不可能为3N 13、【变式训练2-6】已知两个共点力的合力F为10N，分力F1的大小为5N．则另一个分力F2（ ） A.F2的大小是唯一的 B.F2的大小可以是任意值 C.F2的方向与合力F的方向一定成30°角 D.F2的方向与合力F的方向的最大夹角为30°角 【变式训练2-7】已知一个力F=10N，可分解为两个分力F1和F2，已知F1方向与F夹角为30°（如图所示），F2的大小为10N，则F1的大小可能是（ ） A.5N B.10N C.15N D.20N 题型03：力的平行四边形法则 【例题3-1】[多选题] 如图所示，一个大人与一个小孩在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1＝400N，方向与河中心线的夹角为30°，若要大人小孩合力使船向正东方向行驶，下列说法正确的是（ ） A.小孩施加的最小拉力为200N B.小孩施加的最小拉力为 C.小孩施加的最小拉力方向为正北 D.小孩施加的最小拉力方向为东偏北60° 【答案】 A C 【解析】 合力的方向沿河流中间直线，即已知合力的方向和一分力大小和方向，求另一分力的最小值。如图， 当小孩的拉力垂直于河岸时，拉力最小，最小拉力，方向正北。故A、C正确，B、D错误。 【例题3-2】在“互成角度的两个共点力的合成”实验中，两弹簧秤的拉力在图中已作出，图中方格每边长表示1N，O是橡皮条的一个端点，请在图中作出合力F的图示，最后得到的合力F的大小为________N。 【答案】 6.7 【解析】 以F1、F2为邻边，作出平行四边形，如图所示，由图可知：合力为F＝1.0×6.7＝6.7N； 【变式训练3-1】如图所示，互相垂直的两个分力F1、F2，将F2绕O点顺时针旋转至和F1重合，则合力在________（“增大”，“减小”），同时方向在________（“改变”，“不变”）． 【变式训练3-2】如图，有五个力作用于同一点，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知，则这五个力的合力大小为（　　） A．60N B．70N C．80N D．90N 题型04：两个力成特殊角合力计算 【例题4-1】两个分力互相垂直时，合力大小等于；两个分力反向时，合力大小等于，则当两个分力间的夹角为时，两个分力的合力大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意有 ， 解得 ， 当两个分力间的夹角为时，两个分力的合力大小 解得 故选C。 【变式训练4-1】两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为F，它们的夹角变为120°时，合力的大小为（    ） A．2F B． C． D． 【变式训练4-2】已知两个共点力，，方向水平向右，，方向竖直向上，如图所示。 （1）求这两个力的合力F的大小和方向； （2）若将绕O点顺时针旋转角，求这时合力F的大小和方向。 【变式训练4-3】在蒸汽机发明以前，大运河中逆水行船经常用纤夫来拉船，其情景如图所示。假设河两岸每边10个人，每个人沿绳方向的拉力为600N，绳与河岸方向的夹角为30°，试作出力的合成的图示并利用计算法分别求出船受到的拉力。（）（结果用科学记数法表示，保留3位有效数字） 【变式训练4-4】天津滨海高速海河大桥位于滨海新区海河入海口，由两座主桥组成，两座主桥均为独塔斜拉桥，如图甲所示。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×104N，则它们对塔柱的合力大小和方向为（　　） 甲                              乙 A．5.2×102N，方向竖直向上 B．5.2×102N，方向竖直向下 C．5.2×104N，方向竖直向上 D．5.2×104N，方向竖直向下 题型05：三角形法则 【例题5-1】如图所示，大小分别为、、的三个力恰好围成封闭的直角三角形（顶角为直角），下列四个图中，这三个力的合力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在力的矢量三角形中，其中两个力“首尾”相连，第三个力的“首”与第一个力的“首”相连，与第二个力的“尾”相连，则这第三个力即为另外两个力的合力，但若三个力首尾相连构成闭合的矢量三角形，则这三个力的合力为零。 A．根据以上分析可知，为与的合力，不是最小，故A错误； B．根据以上分析可知，、、这三个力“首尾”相连，合力为零，为最小值，故B正确； C．根据以上分析可知，为与的合力，为最大值，故C错误； D．根据以上分析可知，为与的合力，不是最小，故D错误。 故选B。 【变式训练5-1】将F=40N的力分解为F₁和F₂，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则（　　）    A．当F₂<20N时，一个F₂有一个 F₁的值相对应 B．当F₂=20N时 ，F₁的值是 C．当F₂>40N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应 D．当10N<F₂<20N时，一个F₂就有两个F₁的值与它相对应 【变式训练5-2】将一个F＝10N的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力方向与F成30°角，则关于另一个分力，下列说法正确的是（　　） A．的方向可能与F平行 B．的大小不可能小于5N C．的大小可能小于5N D．的方向与垂直时最小 题型06：力按效果分解问题 【例题6-1】 静止在斜面上的重物的重力可以分解为沿斜面方向向下的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个分力，下列的说明正确的是（ ） A.F1作用在物体上，F2作用在斜面上 B.F2的性质是弹力 C.F2就是物体对斜面的正压力 D.F1和F2是与物体的重力等效的力，实际存在的就是重力 【答案】 D 【解析】 AD、物体受重力、支持力与摩擦力。而F1、F2是重力的两个分力，实际不存在，实际受到的就是重力作用在物体上。所以A错误，D正确； BC、F2是使物体紧压斜面的分力，不是物体对斜面的正压力，根据平衡条件，与斜面对物体的支持力相等，所以BC错误。 【变式训练6-1】 超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠（其余两颗未画出），工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防资扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的側向压力为（不计摩擦以及小铁珠的重力）（ ） A. B. C.F D. 【变式训练6-2】[多选题] 将物体所受重力按力的效果进行分解，下列各图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式训练6-3】如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，滑块与粗糙水平面间的动摩擦因数为μ，两轻杆等长，且杆长为L，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，杆与水平面间的夹角为θ，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态。重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，试求： （1）地面对物体A的静摩擦力大小； （2）无论物块C的质量多大，都不能使物块A或B沿地面滑动，则μ至少要多大？ 【变式训练6-4】明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则(　　) A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大 C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 【变式训练6-5】如图所示，质量为m的小球置于倾角为30°的光滑斜面上，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在小球上，另一端固定在墙上的P点，小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则弹簧的伸长量为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 题型07：力的正交分解问题 【例题7-1】 如图所示，光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法中正确的是（ ） A.F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力 B.物体受到mg、FN、F1、F2四个力的作用 C.F1＝mgcos θ，F2＝mgsinθ D.物体只受到重力mg和斜面的支持力FN的作用 【答案】 D 【解析】 A、F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2不是物体对斜面的压力，因为物体对斜面的压力受力物体是斜面，不是物体，而F2作用在物体上。故A错误。 B、物体只受到重力mg和斜面的支持力FN两个力的作用。F1、F2是重力的分效果，不是实际受到的力，故B错误D正确； C、根据平行四边形定则可知，F1＝mgsinθ，F2＝mgcosθ，故C错误； 【变式训练7-1】 如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（ ） A. B. C. D. 【变式训练7-2】 如图所示，完全相同的、质量为m的A、B两球，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根劲度系数为k的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩了（ ） A. B. C. D. 【变式训练7-3】[多选题] 质量为m的木块在与水平方向成θ角的推力F的作用下，在水平地面上作匀速运动，已知木块与地面间的摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为（ ） A.μmg B.μ（mg＋Fsinθ） C.μ（mg－Fsinθ） D.Fcosθ 【变式训练7-4】 放在水平地面上的物体P的重量为GP＝10N，与P相连的细绳通过光滑的滑轮挂了一个重物Q拉住物体P，重物Q的重量为GQ＝2N，此时两物体保持静止状态，绳与水平方向成30°角，则物体P受到地面对它的摩擦F1与地面对它的支持力F2各为多大？ 【变式训练7-5】如图所示，用一水平向右的恒力F作用于滑块，使一质量为m＝2kg的滑块能在倾角为θ＝37°的足够长的斜面上匀速下滑，已知物块m与斜面间的滑动摩擦因素为0.5，g取10m／s2，求恒力F的大小。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8） 【变式训练7-6】 如图所示，人重400N，物体重300N，物体与水平地面的动摩擦因数为0.3，当人竖直向下拉绳子时，人对地面的压力为300N，人和物体均处于静止状态，求： （1）地面对物体的支持力的大小与方向 （2）物体受到的摩擦力的大小与方向 【变式训练7-7】 质量为30kg的小孩坐在8kg的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg），求： （1）地面对雪橇的摩擦力； （2）地面对雪橇的支持力大小； （3）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小 【变式训练7-8】如图所示，一物体受四个力的作用：重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)力F在竖直方向的分力和水平方向的分力； (2)物体所受到的合力大小及方向。 【变式训练7-9】）同在xOy平面内的六个力如图所示，大小分别为F1=10N，，F3=12N，，F5=30N，F6=12N，求合力的大小和方向。    【变式训练7-10】 (1)如图甲所示在同一平面内的三个共点力、、互成120°角，求它们的合力的大小和方向； (2)在同一平面内的四个共点力、、、，方向如图乙所示，求它们的合力大小和方向。（，，要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明） 题型08：力的合成与分解在实际生活中的应用 【例题8】“千斤顶”顾名思义能顶起非常重的物体。如图所示，摇动把手使千斤顶的两臂靠拢，当汽车恰好被顶起时，千斤顶两臂间的夹角为，且对汽车的支持力大小为，此时千斤顶每臂受到的压力的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由牛顿第三定律可知，此时千斤顶对汽车的支持力大小等于汽车对千斤顶的压力大小，即 将汽车对千斤顶的压力分解为沿两臂的两个分力，如图 根据对称性可知，两臂受到的压力大小相等，有 解得此时千斤顶每臂受到的压力大小均为 故选B。 【点睛】 【变式训练8-1】如图所示，水平地面上固定倾角为30°的斜面体B，B的斜面上垂直固定挡板C，光滑小球A静止放置在斜面体与挡板之间，球A对斜面的压力大小为F，则球A对挡板的压力大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练8-2】 如图所示，跳伞运动员打开降落伞后，经过一段时间将在空中保持沿竖直方向匀速降落，已知运动员和他身上装备（不含降落伞）的总重量为G1，球冠形降落伞的重量为G2，有8条相同的拉线，一端与运动员相连，另一端与伞面边沿均匀分布地相连接（图中没有画出所有的拉线），每根拉线都与竖直方向成30°角，不计拉线的重力和空气对人的阻力，则每根拉线上的拉力的大小是（ ） A. B. C. D. 【变式训练8-3】[多选题] 如图所示，用一根细绳和一根轻直杆组成三角支架，绳的一端绕在手指上B点，杆的一端顶在掌心O处，当在A处挂上重物时，整个系统处于静止状态，此时杆OA处于水平状态，绳与杆分别对手指和手掌有力的作用，对这两个作用力的说法正确的是（　　） A.绳对手指的拉力沿AB方向（与图示方向相反） B.绳对手指的拉力沿BA方向（如图示方向） C.绳子对A点的作用力和杆对A点的作用力的合力方向竖直向上 D.绳子对A点的作用力和杆对A点的作用力的合力大小大于重物的重力 【变式训练8-4】如图，光滑斜面固定在水平面上，斜面的倾角为，有两个相同的小球，小球的重力为G，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面，求：A处小球对挡板的压力和对斜面的压力，B处小球对挡板的压力和对斜面的压力。 【变式训练8-5】 楼道中的电灯被细绳拉成如图所示的状态，其中0B水平，AO与水平方向的夹角θ＝45°，电灯的重力为G，OA绳拉力为F1，OB绳拉力为F2．求F1、F2的大小． 【变式训练8-6】 如图所示，斜面静止于水平地面上，光滑的A球分别与斜面和竖直墙面接触，且处于静止状态，已知球A和斜面的质量均为m，斜面的倾角为θ，重力加速度为g．求： （1）求A球对斜面的压力大小？ （2）地面对斜面的支持力和摩擦力的大小？ 题型09：力的合成与分解的动态和极值问题 【例题9-1】将一个的力分解为两个分力，如果已知其中一个不为零的分力方向与F成角，另一个分力为，则下列说法正确的是（　　） A．的大小不可能等于10N B．的大小不可能小于6N C．的大小不可能小于6N D．的方向可能与F平行 【答案】C 【解析】AB．两个分力和合力只要能组成一个矢量三角形都是有可能的（即满足两边之和大于第三边），所以的大小有可能小于6N，也有可能等于10N，故AB错误; C．合力与两个分力组成一个矢量三角形，由题图可得,当的方向与垂直时，有最小值，大小为 故C正确； D．根据力的合成法则可知，不在一条直线上的两个分力和合力组成一个矢量三角形，所以的方向不可能与F平行，故D错误。 故选C。 【变式训练9-1】质量为 m 的小球在空中运动时，受到空气的作用力，沿与竖直方向成30 o 角的方向斜向下做直线运动，如图所示，空气作用力的最小值大小为（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2】将大小为40N的力F分解为F1和F2，其中F1的方向与F的夹角为30°，如图所示，则（　　） A．当时，有一个F1的值与它相对应 B．当时，F1的值是40N C．当时，只有一个F1的值与它相对应 D．当时，有两个F1的值与它相对应 题型10：轻绳、轻杆模型 【例题10-1】 在如图所示的四幅图中，AB、BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接，下列说法正确的是（ ） A.图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙 B.图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁 C.图中的BC杆可以用与之等长的轻绳替代的有乙、丙 D.图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁 【答案】 B 【解析】 由图看出，甲、丙、丁中，AB杆对B点产生的是拉力，当用轻绳代替时效果不变，仍能使装置平衡，故图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有，甲、丙、丁。 同理可知，图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的只有丙。 【例题10-2】 如图所示，竖直悬挂于C点的小球，另两根细绳BC、AC与竖直方向的夹角分别是30°、60°，静止时三根绳子的拉力分别为F1、F2、F3（如图标示），关于三个拉力的大小关系，下列判断正确的是（　　） A.F1＞F2＞F3 B.F1＜F2＜F3 C.F2＞F3＞F1 D.F2＜F1＜F3 【答案】 D 【解析】 对结点C受力分析，运用合成法作图，如图： 可见F2＜F1＜F3 故选：D 【变式训练10-1】 如图所示，轻杆BC一端带有光滑的定滑轮，B端固定在竖直墙上，BC与墙面垂直，轻绳一端系于墙上A点，并通过定滑轮在另一端系有质量为m的物体，轻绳与竖直墙的夹角为60°，整个装置处于静止状态，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ） A.杆上的作用力沿杆，大小为mg B.杆上的作用力沿杆，大小为mg C.杆上的作用力不沿杆，大小为mg D.杆上的作用力不沿杆，大小为mg 【变式训练10-2】如图所示，细绳AO与OB所能承受的最大拉力相同，则在不断增加重物G的重力过程中（吊重物的绳不会断）（　　） A.OA绳先被拉断 B.OB绳先被拉断 C.OA绳和OB绳同时被拉断 D.条件不足，无法判断 【变式训练10-3】 水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一光滑的小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为（g取10m/s2）（ ） A.50N B.100N C. D. 题型11：力的分解的唯一性和多解性 【例题11-1】、[多选题] 把一个已知力分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力，但方向未知，则F1的大小可能是（ ） A.F B.F C.F D.F 【答案】 A D 【解析】 由题意可知，F2的大小为F，大于F，因此有两种分解结果； 根据平行四边形定则得，如图， 又因一个分力F1跟F成30°角，且F2的大小为F， 由几何关系得，或．故AD正确，BC错误。 【变式训练11-1】[多选题] 如图所示，将力F分解为F1和F2两个分力，若已知F1的大小，已知F2与F之间的夹角α，且α为锐角．在求解F2大小时（ ） A.若F1＞Fsinα时，则F2一定有两解 B.若F1＝Fsinα时，则F2有唯一解 C.若F1＜Fsinα时，则F2无解 D.若F1＞F时，则F2一定无解 【变式训练11-2】已知合力的大小和方向，以及一个分力的大小，且，但的方向未知，则另一个分力与的最大夹角是多少 题型12：验证力的平行四边形法则实验 【例题12-1】某实验小组探究“两个互成角度的力的合成规律”，操作如下： (1)首先进行如下操作： ①如图甲，橡皮条的一端系两细绳套，另一端固定在水平木板上，橡皮条的原长为GE； ②如图乙，用手通过两个弹簧测力计拉橡皮条。橡皮条和细绳套的连接点在拉力的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长EO； ③撤去，改用一个力F单独拉住其中一根细绳套，仍使其位于O点，如图丙。 同学们发现，力F单独作用与共同作用的效果是一样的，所以F等于的合力。本实验采用的科学方法是________。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 (2)然后实验小组探究了合力F与分力的关系，某个弹簧测力计指针位置如图戊所示，其读数为 N。 (3)若是以为邻边构成的平行四边形的对角线，一定沿GO方向的是 （填F或）。 【答案】(1)B (2)3.15（3.14~3.16） (3)F 【解析】解析：（1）本实验采用的科学方法是等效替代法，故B正确。 （2）弹簧测力计最小刻度0.1N，则指针读数为3.15N。 （3）是以为邻边构成的平行四边形的对角线，即是两个力合力的理论值；F是实验值，可知一定沿GO方向的是F。 【变式训练12-1】某学习小组用如图所示的装置探究“两个互成角度的力的合成规律”。如图1所示，在竖直平面内，橡皮条的一端固定，另一端挂一轻质小圆环，橡皮条原长为GE，用两个弹簧测力计共同拉动小圆环。 (1)实验过程中，小王将弹簧测力计向上拉测量拉力大小，而非将橡皮条挂在上方，向下拉弹簧测力计测量拉力大小，这样做的好处为________。 A．可以保证弹簧拉力和细线在同一直线上 B．方便调零且较为准确地测量拉力大小 C．可以不用考虑弹簧测力计外壳的重力影响 (2)本实验采用的科学方法是等效替代法，具体操作指的是________。 A．橡皮条沿同一方向伸长 B．橡皮条伸长到相同长度 C．橡皮条沿同一方向伸长相同长度 D．两个弹簧测力计拉力大小之和等于一个弹簧测力计拉力的大小 (3)小黄则是在水平桌面上做实验（如图2所示），通过实验小黄确定了的方向，如图3所示，并记录三个力的大小，其中测量F时弹簧测力计示数如图4所示，读数为 N。 (4)小黄绘制结果如图5所示，F与两力中 （填“F”或“”）为合力的实际值。 【变式训练12-2】“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图： （1）图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。 （2）对于该实验，下列说法正确的是________。 A．两细绳套必须等长 B．若将细绳换成橡皮筋，对实验结果有影响 C．记录弹簧测力计拉力的方向时应用铅笔沿细绳画直线 D．实验中，把橡皮筋伸长到O点时，两弹簧测力计之间的夹角不能太大 （3）在此实验中，假如F1的大小及方向确定，那么为了使橡皮筋仍然伸长到O点，对F2来说，下面几种说法中正确的是________。 A．F2可以有多个方向 B．F2的方向和大小可以有多个值 C．F2的方向和大小都是唯一确定值 D．F2的方向是唯一的，但大小可有多个值 【变式训练12-3】 一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。 ①如图（a），在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶________时电子秤的示数F； ②如图（b），将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶杯带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、________和电子秤的示数F1； ③如图（c），将另一颗墙钉B钉在与O同一水平位置上，并将L1拴在其上。手握电子秤沿着②中L2的方向拉开细线L2，使________和三根细线的方向与②中重合，记录电子秤的示数F2； ④在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若________，则平行四边形定则得到验证。 【变式训练12-4】某同学用橡皮筋与弹簧测力计验证“力的平行四边形定则”，实验装置如图甲所示。其中A为固定橡皮筋的图钉，OB和OC为细绳。 (1)本实验中两次拉橡皮筋的过程，主要体现的科学方法是__________。 A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 (2)某次实验时，左侧弹簧测力计的示数如图丙所示，则弹簧测力计的示数为 N。 (3)如果没有操作失误，图乙中的F与两力中，方向一定沿AO方向的是 （填“F”或“”）。 (4)实验中某次拉力的示意图如图丁所示，图中。若保证O点位置不变，且拉力的大小不变，现将角减少少许，则角应 ，的大小应 。（填“增大”或“减小”） 【变式训练12-5】 做“探究求合力的方法”的实验时： （1）除已有的器材（方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须有________和________。 （2）在做上述实验时，在水平放置的木板上垫上一张白纸，把橡皮条的一端固定在板上，另一端结两个细绳套，通过细绳用两个互成角度的弹簧测力计拉橡皮条，使结点移到某一位置O，此时需记下：①________；②________；③________。然后用一个弹簧测力计把橡皮条拉长，使结点到达________，再记下________。 （3）在某次实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置。图中________是力F1与F2的合力的理论值；________是力F1与F2的合力的实验值。通过把________和________进行比较，验证平行四边形定则。 【变式训练12-6】在“探究求合力的方法”的实验中，橡皮条的一端固定，先用一个弹簧测力计通过细线拉橡皮条的另一端，将其结点拉到O点，记下拉力F；再用两个弹簧测力计通过细线拉橡皮条，将其结点同样拉到O点，记下拉力F1、F2．回答下列问题。 （1）先后两次将橡皮条结点拉到同一点O，其目的是________。 （2）如图甲所示，用两个弹簧测力计拉橡皮条的实验中，下列说法中正确的是________。 A．两根细线与橡皮条必须在同一平面内 B．弹簧测力计拉细线时，拉力方向必须竖直向下，且不能超过测力计的量程 C．橡皮条必须保持水平 D．为了便于计算，F1、F2方向间夹角必须为90° （3）根据实验数据画出力的图示，并以F1、F2为邻边作平行四边形，其对角线为F′，根据图乙你能得出的结论是________；其依据是________。 【变式训练12-7】在“验证力的平行四边形定则”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，先用一个弹簧秤拉橡皮条的另一端到某一点并记下该点的位置；再将橡皮条的另一端系两根细绳，细绳的另一端都有绳套，用两个弹簧秤分别勾住绳套，并互成角度地拉像皮条。 （1）某同学认为在此过程中必须注意以下几点： A．两根细绳必须等长 B．橡皮条应与两绳夹角的角平分线在同一直线上 C．在使用弹簧秤时要注意使弹簧秤与木板平面平行 D．在用两个弹簧秤同时拉细绳时要注意使两个弹簧秤的读数相等 E．在用两个弹簧秤同时拉细绳时必须将橡皮条的另一端拉到用一个弹簧秤拉时记下的位置其中正确的是________．（填入相应的字母） （2）在“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，两弹簧秤将结点O拉至图示位置。图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的示意图。 ①图乙中的F与F′ 两力中，方向一定沿AO方向的是________。 ②本实验采用的科学方法是______ A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 （3）某同学在坐标纸上画出了如图所示的两个已知力F1和F2，图中小正方形的边长表示2N，两力的合力用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，关于F1与F2、θ1和θ2关系正确的是________（填选项前的字母） A．F1＝4N B．F＝12N C．θ1＝45 D．θ1＜θ2 【变式训练12-8】某同学利用如图示的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3，回答下列问题： （1）改变钩码个数，实验能完成的是：________ A．钩码个数N1＝N2＝2，N3＝4 B．钩码个数N1＝N3＝3，N2＝4 C．钩码个数N1＝N2＝N3＝4 D．钩码个数N1＝2，N2＝3，N3＝8 （2）在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是________ A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向 B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度 C．用量角器量出三段绳子之间的夹角 D．用天平测出钩码的质量 （3）在作图时，你认为图中________是正确的．（填“甲”或“乙”） 【变式训练12-9】 某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M．弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。 （1）本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________N。 （2）下列能减小实验误差的措施是________。（请填写选项前对应的字母） A．让重物M的质量适当大一些 B．弹簧测力计应在使用前校零 C．弹簧测力计B所拉的细绳套应尽可能保持水平方向 D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置 （3）某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请你提出两个解决办法。 方法一：________，方法二：________。 题型13：力的合成与分解综合问题 【例题13-1】如图所示，小孩与冰车静止在冰面上，大人用F=20N的恒定拉力，使小孩与冰车沿水平冰面一起滑动。已知拉力方向与水平冰面的夹角θ=37°，小孩与冰车的总质量m=20kg，冰车与冰面间的动摩擦因数μ=0.05，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）小孩与冰车所受的支持力； （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力。 【答案】（1）188N，方向竖直向上；（2）6.6N，方向水平向右。 【解析】（1）小孩与冰车竖直方向合外力为0，小车竖直方向受重力、支持力FN；列出竖直方向力学方程为 FN+Fsin37°-mg=0 代入数据解得支持力为 FN=188N 方向竖直向上。 （2）小孩与冰车在水平方向所受的合外力 方向水平向右。 【例题13-2】某同学周末在家大扫除，移动衣橱时，无论怎么推也推不动，于是他组装了一个装置，如图所示，两块相同木板可绕A处的环转动，两木板的另一端点B、C分别用薄木板顶住衣橱和墙角，该同学站在该装置的A处。若调整装置A点距地面的高时，B、C两点的间距，B处衣橱恰好移动。已知该同学的质量为 重力加速度大小取 ，忽略A处的摩擦，则此时衣橱受到该装置的水平推力为多少? 【答案】1470N 【解析】该同学站在A点时，重力产生两个作用效果力、，如图所示 设、，与竖直方向夹角为θ，则有 在B点将分解，如图所示 则水平推力为 由几何关系得 联立并代入数据可得 【例题13-3】科学地佩戴口罩，对于奥密克戎、流感等呼吸道传染病具有预防作用。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k=200N/m的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了2.5cm。此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求耳朵受到口罩带的作用力。    【答案】，方向与x轴负（水平）方向成45°角 【解析】由胡克定律 设耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力为FAB、FED，则有 FAB=FED=5N 水平方向合力 竖直方向合力 所以耳朵受到口罩带的作用力 方向与x轴负（水平）方向成45°角。    【变式训练13-1】如图所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)(　　) A．50 N B．100 N C．20 N D．100 N 【变式训练13-2】如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则(　　) A．Ff变小　　　B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大 【变式训练13-3】如图所示，固定在水平面上的容器半球形内壁光滑，O为球心，质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设OP与水平方向的夹角为θ，则F的大小为（　　） A、mgsinθ B． C． D．mgtanθ 【变式训练13-4】如图所示，在光滑的水平杆上穿两个重力均为2N的球A、B，在两球之间夹一弹簧，弹簧的劲度系数为10N/m，用两条等长的线将球C与A、B相连，此时弹簧被压短了10cm，两条线的夹角为60°，则（　　） A． 弹簧的弹力大小为0.5N B．细线拉力大小为2 N B． C球的重力为N D．杆对A球的支持力为（4+2）N 【变式训练13-5】如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，小滑轮P被一根细线系于天花板上的O点。B放在粗糙的水平桌面上，O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，aO′、bO′与cO′夹角如图所示。细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态。若悬挂小滑轮的细线OP的张力是20N，g取10m/s2，则下列说法中错误的是（　　） A． 重物A的质量为2kg B．桌面对B物体的摩擦力为10N B． 重物C的质量为1kg D．OP与竖直方向的夹角为60° 【变式训练13-6】如图所示，质量为m的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向θ=30°角，PB在水平方向，且连在质量为M的木块上，木块静止于倾角也为θ=30°的斜面上，则（　　） A． 细绳PB的拉力大小为mg B细绳PA 的拉力大小为2mg C.木块所受斜面的摩擦力大小为（M+m）g D.木块所受斜面的弹力大小为Mg 【变式训练13-7】如图所示，物体A、B用细绳与弹簧连接后跨过滑轮，A静止在倾角为45°的粗糙斜面上，B悬空。已知质量mA=3mB，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°缓慢减小到30°，那么下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的弹力大小将增大 B．物体A对斜面的压力将减少 C．物体A受到的静摩擦力将减小 D．弹簧的弹力及A受到的静摩擦力都不变 【变式训练13-8】如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A、B通过光滑滑轮O用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B球质量为m，O点在半圆柱体圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角，OA长度与半圆柱体半径相等，OB与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是（　　） A．小球A、B受到的拉力TOA与TOB相等，且TOA=TOB=mg B．弹簧弹力大小mg C．A球质量为m D．光滑半圆柱体对A球支持力的大小为mg 【变式训练13-9】如图所示，一个质量为m的滑块置于倾角为30°的固定粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上的p点，直线PQ与斜面垂直，滑块保持静止。则（　　） A．弹簧可能处于原长状态 B．斜面对滑块的摩擦力大小可能为零 C．斜面对滑块的支持力大小可能为零 D．滑块一定受到四个力作用 【变式训练13-10】如图所示，倾角为θ=30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水平力F的作用下静止于光滑斜面上，此时水平力的大小为F；若将力F从水平方向逆时针转过某一角度后，仍保持F的大小不变，且小球和斜面依然保持静止，此时水平地面对斜面体的摩擦力为Ff，那么F和Ff的大小分别是（　　） A． F=G，Ff=G B、F=G，Ff=G C．F=G，Ff=G D．F=G，Ff=G 【变式训练13-11】将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，3、4两块固定在地基上，1、2块间的接触面竖直，每个石块的两个侧面所夹的圆心角均为30°，不考虑石块间的摩擦力，则石块1、2间的作用力F1和石块1、3间的作用力F2的大小之比为（　　） A． B．1：2 C． D． 【变式训练13-12】如图所示，重为mg的小球放在倾角为30°的光滑斜面上，一根细线一端系在小球上，另一端固定在竖直杆的P点，细线与杆的夹角也为30°，则斜面对小球的弹力大小为（　　） A．m B．mg C．mg D．mg 【变式训练13-13】如图所示为建筑工地上使用的简易拔桩机示意图。若在某次拔桩过程中，建筑工人在长绳上的E点施加一竖直向下的拉力F时，绳CE部分被水平拉直，CA部分被竖直拉直，绳DE、BC与竖直方向的夹角分别为α、β，则绳CA拔桩的作用力大小为（　　） A． Ftanα•cotβ B．Ftanα•tanβ C．Fcotα•cotβ D．Fcotα•tanβ 【变式训练13-14】如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为（　　） A．2﹣ B． C． D． 【变式训练13-15】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为(　　) A. B.m C．m D．2m 【变式训练13-16】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，且与水平线成30°角．已知B球的质量为2kg，求细绳对B球的拉力和A球的质量．（g取10m/s2） 【变式训练13-17】2025年，成都市政府为民完成了一件“功在当代，利在千秋”的惠民工程﹣﹣健身步道的建设，它的建成大力提升了市民的幸福指数．图中吊床便是步道上的一角，吊床用绳子拴在两棵树上的等高位置．某人先坐在吊床上，后躺在吊床上，均处于静止状态．设吊床两端系绳中的拉力为F1、吊床对该人的作用力为F2，则（　　） A． 躺着比坐着时F1大 B． 坐着比躺着时F1大 C． 坐着比躺着时F2大 D． 躺着比坐着时F2大 【变式训练13-18】如图所示，左侧是倾角为60°的斜面，右侧是圆弧面的物体固定在水平地面上，圆弧面底端的切线水平，跨过其顶点上小定滑轮的轻绳两端系有质量分别为m1、m2的小球．当它们处于平衡状态时，连接m2的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两小球可视为质点．则m1：m2等于（　　） A． 1：1 B．2：3 C．3：2 D．3：4 【变式训练13-19】如图所示，倾角为60°的斜面固定在水平面上，轻杆B端用铰链固定在竖直墙上，A端顶住质量为m、半径为R的匀质球并使之在图示位置静止，此时A与球心O的高度差为，不计一切摩擦，轻杆可绕铰链自由转动，重力加速度为g，则有（　　） A．轻杆与水平面的夹角为60° B．轻杆对球的弹力大小为2mg C．斜面对球的弹力大小为mg D．球所受的合力大小为mg，方向竖直向上 【变式训练13-20】如图所示，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变．用F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后木板静止时（　　） A．F1变大B．F1变小C．F2变大 D．F2变小 【变式训练13-21】如图所示，A、B两物体叠放在一起，让它们靠在竖直墙边，然后由静止释放，它们同时沿粗糙的墙面向下运动，已知mA＞mB，空气阻力不计，则物体B在运动过程中（　　） A．只受重力 B． 受到重力和摩擦力 C． 受到重力、弹力和摩擦力 D． 受到重力、摩擦力和两个弹力 【变式训练13-21】如图所示，水平细杆上套一A环，A环与B球间用一轻质绳相连，质量分别为mA、mB，由于B球受到风力作用，A环与B球一起向右匀速运动。已知细绳与竖直方向的夹角为θ，则下列说法中正确的是（　　） A．B球受到的风力F等于mBgtanθ B． 风力增大时，轻质绳对B球的拉力保持不变 C.杆对A环的支持力随着风力的增加而增加 D.A环与水平细杆间的动摩擦因数为 【变式训练13-22】叠罗汉是一种游戏，体育活动或表演，由六人叠成的三层静态造型如图所示，假设每位杂技运动员的体重均为G，下面五人弯腰后背部呈水平状态，双腿伸直张开支撑，夹角均为θ，则（　　） A．当θ=45°时，最上层的运动员单脚受到的支持力大小为G B．当θ增大时，最上层的运动员受到的合力最大 C． 最底层三位运动员的每只脚对水平地面的压力均为G D.最底层正中间的运动员在一只脚对水平地面的压力为 【变式训练13-23】如图所示，一光滑半圆形碗固定在水平面上，质量为m1的小球用轻绳跨过碗口并连接质量分别为m2和m3的物体，平衡时碗内小球恰好与碗之间没有弹力，两绳与水平方向夹角分别为53°、37°，则m1：m2：m3的比值为（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）（　　） A．5：4：3 B．4：3：5 C．3：4：5 D．5：3：4 【变式训练13-24】（多选）如图所示，静止在粗糙水平面上的半径为4R的半球的最高点A处有一根水平细线系着质量为m、半径为R的光滑小球。已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．细线对小球的拉力大小为0.75mg B． 地面对半球的摩擦力的方向水平向右 C保持小球的位置不变，将A点沿半球逐渐下移，半球对小球的支持力逐渐减小 D剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为0.6g 【变式训练13-25】已知小球a的质量为m，小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为．则下列说法正确的是（　　） A．拉力F的大小一直增大 B．拉力F的大小先减小后增大 C．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大 D．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2﹣）mg 【变式训练13-26】如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m，用两根等长的细线悬挂在O点，两球之间夹着一根原长为l0、劲度系数为k的轻弹簧，静止时两根细线之间的夹角为2θ，（重力加速度为g） 求：（1）细线的拉力T；（2）弹簧的长度1。 【变式训练13-27】如图所示，质量为mB=14kg的木板B放在水平地面上，质量为mA=10kg的木箱A放在木板B上．一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在地面的木桩上，绳绷紧时与水平面的夹角为θ=37°．已知木箱A与木板B之间的动摩擦因数μ1=0.5，木板B与地面之间的动摩擦因数μ2=0.4．重力加速度g取10m/s2．现用水平力F将木板B从木箱A下面匀速抽出，试求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （1）绳上张力T的大小；（2）拉力F的大小． 匀速运动求μ运用于下一次受力分析 【变式训练13-28】．如图所示，质量为m=4kg的物体放在水平地面上，给物体施加一个水平恒力F1=32N时，恰好可以匀速滑动（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2）求： (1)物体与水平面间的动摩擦因数； (2)若把原来的水平力改成与水平面成的斜向下力F2，为了让物体匀速运动，F2应为多大？ 【变式训练13-29】．如图，质量为6.6 kg的木块放在水平地面上，在大小为30 N，方向与水平成37°斜向上拉力作用下恰好沿水平地面匀速滑动．求：（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g=10N/kg） （1）物体所受的摩擦力大小及物体和地面的动摩擦因数。 （2）如果去掉拉力而给物体施加一个水平推力，物体恰能匀速运动，则水平推力为多少？ 【变式训练13-30】．如图所示，质量m=2kg的物体放在一固定斜面上，斜面倾角θ=30°，物体能沿斜面匀速下滑。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10m/s2。 (1)求物体受到的摩擦力大小f及方向； (2)求物体与斜面间的动摩擦因数μ； (3)若对物体施加一方向沿斜面向上、大小为F1的恒力，物体恰好能沿斜面匀速向上运动，求F1的大小。 【变式训练13-31】．如图甲所示，在倾角为37°的固定斜面上有一物体，质量为10kg。当给它施加沿斜面向下大小为4N的力时，物体刚好静止在斜面上（最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)如果改用与斜面成30°向上的力拉物体，如图乙所示，物体将会沿斜面向上匀速运动，则所施加的拉力多大？（本小问计算结果保留两位小数） 【变式训练13-32】．质量的木块放在水平木板上，在的水平拉力作用下恰好能沿水平面匀速滑行（如图甲所示）。（已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，） （1）则木块与木板之间的动摩擦因数为多少？ （2）若将木板垫成倾角为斜面（如图乙所示），要使木块仍能沿斜面匀速向上滑行，则施加沿水平向右的拉力应多大？ （3）若将木板竖直（如图丙所示），要使木块仍能沿着竖直木板作匀速直线运动，现施加与水平方向成角的斜向上的推力，则推力应多大？ 抓住绳子的拉力相等 【变式训练13-33】．如图所示，质量为10kg截面为等腰直角三角形的斜面C静止在水平面上，在直角顶点处固定一光滑小滑轮，滑轮质量可以忽略，通过滑轮将质量为3kg滑块A和滑块B用细绳相连接，两绳分别和两斜面平行。改变滑块B的质量，当B的质量为A的一半时，滑块A恰好匀速下滑，两滑块与斜面间动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2。求 （1）滑块与斜面间动摩擦因数均为多少； （2）斜面C对地面的压力多大； （3）绳子对小滑轮的作用力。 【变式训练13-34】．如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为0.5，物体A、B用跨过光滑轻质动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力斜向上提动滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°角，拉B物体的绳子与水平面成37°角，A、B两个物体仍处于平衡状态，此时若继续增大向上的力，A、B两个物体将同时开始运动，则A、B两个物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos7°=0.8，g=10m/s2）（　　） A． B． C． D． 【变式训练13-35】．如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉B物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） A． B． C． D． 同时受力分析建立方程组 【变式训练13-36】．如图，物块A放在倾斜的木板上，已知木板的倾角α分别为和时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为（　　） A． B． 【变式训练13-37】．质量为m的木箱置于水平面上，水平推力F即可使木箱做匀速直线运动。现保持F的大小不变，方向改为与水平方向成60°斜向上拉木箱，仍能使其做匀速直线运动，如图所示。则木箱与水平面间的动摩擦因数为（     ） A． B． C． D． 【变式训练13-38】．如图（a），滑块在与水平方向夹角为37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做匀速直线运动。将该桌面倾斜成与水平方向夹角为37°，保持拉力的方向不变，大小变为2F，如图（b），滑块恰好沿倾斜桌面向上做匀速直线运动。滑块与桌面间的动摩擦因数是（　　） A． B． C． D． 一道题多种受力分析的方法 【变式训练13-39】．如图所示，物块A悬挂在绳和的结点上，偏离竖直方向角，水平，且经光滑定滑轮与木块B相连，连接B的绳与水平方向的夹角为。已知A质量，B质量，木块B静止在水平面上。试求： (1)绳的拉力大小？ (2)木块B与水平面间的摩擦力大小和地面对木块B的支持力大小？ (3)如果物体B和水面间的动摩擦因数为0.5，要保证物体B相对地面静止，那么物体A的质量不能超过多大？（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，） 【变式训练13-40】．如图所示，质量为的重物C上系着一条细绳，细绳的另一端连着一个轻质小圆环，小圆环套在水平直杆上并且可以滑动，设小圆环所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力；另有一条细绳一端固定在重物C上，另一端跨过一轻质小定滑轮，定滑轮固定在距离圆环50cm的地方。若在细绳的末端挂上重物D时小圆环恰好刚要沿水平直杆滑动，此时细绳OA与杆夹角为53°，两细绳之间的夹角为90°，试求（，，） （1）小圆环与直杆间的动摩擦因数； （2）细绳OA中张力大小； （3）重物D的质量。 【变式训练13-41】．如图所示，用细线的一端将质量的物体系住，另一端用细线结在一起，O为结点，A端系竖直墙壁上，与墙壁间的夹角为，B端与另一个质量的物体相连，M放在倾角为的粗糙斜面上，与斜面平行，整个系统恰好处于静止状态，最大静摩擦力可认为与滑动摩擦力相等，当地的重力加速度。求： (1)线的拉力大小； (2)B与斜面间动摩擦因数。 【变式训练13-42】．如图所示，质量的物块悬挂在轻绳和的结点上并处于静止状态，与竖直方向的夹角，沿水平方向；质量的木块与相连，静止于倾角为的斜面上。取，，。求： （1）轻绳拉力的大小； （2）木块受斜面的静摩擦力方向和大小。 （3）现将物体固定，三根绳子的能承受的最大拉力均为，为避免绳子断裂，求物体的最大质量？ 【变式训练13-43】．质量为的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角为37°，PB沿水平方向。质量为的木块与PB相连，M在平行于斜面向上的力F作用下，静止于倾角为37°的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，如图所示。（sin37°=0.6，cos37°=0.8，）求： （1）轻绳PA和轻绳PB各自产生拉力的大小？ （2）拉力F的最大值与最小值？ 【变式训练13-44】．如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L0=0.9m，劲度系数k=300N/m。轻绳的OC段长1m与竖直方向的夹角θ=37°，斜面倾角α=30°，物块A的质量mA=5kg，物块B的质量mB=4kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（sin37°=0.6，cos37°=0.8） （1）求弹簧伸长量Δx大小； （2）求物块A受到的摩擦力的大小和方向 （3）如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小和方向？ 巩固练习 一、单选题 1．两个力和之间的夹角为，其合力为F。下列说法正确的是（　　） A．若和大小不变，角越大，合力F就越大 B．合力F总比分力、中的任何一个力都大 C．合力F的大小范围是 D．若夹角不变，大小不变，增大，合力F可能先减小后增大 2、有三个力，一个力是12 N，一个力是6 N，一个力是7 N，则关于这三个力的合力，下列说法正确的是(　　) A．合力的最小值为1 N B．合力的最小值为0 C．合力不可能为20 N D．合力可能为30 N 3．一物体同时受到同一平面内的三个力的作用，下列力的合力不可能为零的是（　　） A．4N，8N，9N B．7N，4N，3N C．1N，5N，10N D．1N，8N，8N 4．如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知，求这5个力的合力大小（    ） A．40N B．30N C．20N D．10N 5、如图所示，将光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　 　) A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力 B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用 C．物体只受重力mg和支持力FN的作用 D．力FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg的作用效果相同 6、将物体所受重力按力的效果进行分解，下列选项中错误的是(　　) 7．生活中经常用刀来劈开物体。图中是刀刃的横截面，是作用在刀背上的力，若刀刃的横截面是等腰三角形，刀刃两侧面的夹角为，对外界产生的推力为，不计刀的重力及摩擦力，则下列关于的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，重力为G的物体静止在倾角为的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力和平行斜面向下的力，那么（　　） A．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、和 共五个力的作用 B．就是物体受到的静摩擦力 C．物体对斜面的压力方向与 方向相同，大小为 D．就是物体对斜面的压力 9．已知两个共点力、的合力为，分力的方向与合力的方向成角，下列说法正确的是（　　） A．若的大小为，则大小一定等于 B．若的大小为，则大小一定等于 C．若的大小为，则大小只有一个可能值 D．若的大小为，则大小可能有两个值 10．如图耕地过程中，耕索与水平方向成θ角，牛通过耕索拉犁的力为，犁对耕索的拉力为，忽略耕索质量，则（　　） A．耕索对犁拉力的水平分力为 B．耕索对犁拉力的竖直分力为 C．犁匀速前进时，和的合力为零 D．犁加速前进时，和大小相等 二、多选题 1．一个力分解为两个分力，下列情况中，可能使力的分解结果不唯一的有（　　） A．已知两个分力的方向 B．已知两个分力的大小 C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向 D．已知一个分力的大小和方向 2、如图所示，AO和BO悬挂一个重物，现将绳子AO由如图所示的位置移到竖直，该过程中，OB绳子始终保持水平，则下列说法中正确的是（　　） A. OA绳子拉力减小 B. OA绳子拉力先减小后增大 C. OB绳子拉力减小 D. OB绳子拉力增大 3、如图所示，A、B两个物体的重力分别是GA=5N、GB=8N，弹簧的重力不计，整个装置沿竖直方向处于静止状态，这时弹簧的弹力F=4N，则天花板受到拉力和地面受到的压力有可能是（　　） A. 1N、12N B. 3N、13N C.9N、4N D.5N、8N 4、下列关于合力的叙述中正确的是( ) A.合力是原来几个力的等效代替,合力的作用效果与分力的共同作用效果相同 B.两个力夹角为θ（0≤θ≤π），它们的合力随θ增大而增大　　 C.合力的大小总不会比分力的代数和大 D.不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成的运算 5、关于合力和分力的关系，下列说法正确的是( ) A.合力的作用效果与其分力分别单独作用效果相同 B.合力大小一定等于其分力的代数和 C.合力可能小于它的任一分力 D.合力可能等于某一分力大小 6、在“探究求合力的方法”的实验中,使用弹簧测力计代替钩码来做实验, 实验的可操作性更好,但必须注意( ) A.测量前应检查弹簧测力计的指针是否指零 B.测量前应把两弹簧测力计互相对拉,观察它们的示数是否相同,应选用示数相同的一对测力计 C.在用弹簧测力计拉橡皮条时,弹簧测力计的轴线不一定与橡皮条共面 D.在用弹簧测力计拉橡皮条时,细线和弹簧测力计的轴线应在同一条直线上 7、(多选)人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，如图所示，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中．下列说法正确的是(　 　) A．绳的拉力不断增大 B．绳的拉力保持不变 C．船受到的浮力保持不变 D．船受到的浮力不断减小 8．图甲为斧头劈开树桩的实例，此过程可简化成图乙中力学模型，斧头截面为等腰三角形，斧锋夹角为θ，斧头受到竖直向下的力F，并处于平衡状态，下列说法正确的有（　　） A．斧锋夹角越小，斧头对木桩的侧向压力越大 B．斧锋夹角越大，斧头对木桩的侧向压力越大 C．力F越大，斧头对木桩的侧向压力越大 D．力F越小，斧头对木桩的侧向压力越大 9．已知力F一个分力F1跟F成30°角，大小未知；另一个分力F2大小为，方向未知。则F1的大小可能是（　　） A． B． C． D． 10．唐代《耒耜经》记载了曲辕犁的示意图如图所示，耕地时牛通过耕索拉犁，拉力与竖直方向的夹角为α，忽略耕索的质量，耕地过程中，下列说法正确的是   （　　） A．若该拉力的大小为F，将其分解成水平向右和竖直向上的两个分力，则水平分力的大小为Fcosα B．若该拉力的大小为F，将其分解成水平向右和竖直向上的两个分力，则竖直分力的大小为Fcosα C．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力 D．曲辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力大小相等 11．如图所示是李强同学设计的一个小实验。他将细绳的一端系在手指上，绳的另一端系在直杆的A端，杆的左端顶在掌心上，组成一个“三角支架”。在杆的A端悬挂不同重物，并保持静止。下列正确的说法是（　　） A．绳子是被拉伸的，杆是被压缩的 B．杆对手掌施加作用力的方向沿杆由C指向A C．绳对手指施加作用力的方向沿绳由A指向B D．所挂重物质量越大，绳和杆对手的作用力也越大 12．一凿子两侧面与中心轴线平行，尖端夹角为θ，当凿子竖直向下插入木板中后，用锤子沿中心轴线竖直向下以力F敲打凿子上侧时，凿子仍静止，侧视图如图所示。若敲打凿子时凿子作用于木板1面的弹力大小记为F₁，凿子作用于木板2面的力为，忽略凿子受到的重力及摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．F₁的大小为 B．F₁和F₂的比值为tanθ C．力F不变，减小θ，可以同时增大F₁和F₂ D．增大力F，F₁和F₂均增大，且F₁和F₂比值也增大 三、实验题 1在“探究力的合成规律”的实验中： (1)采用的科学方法是（　　） A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．建立物理模型法 (2)下列是某同学在做该实验的一些看法，其中正确的是（　　） A．拉橡皮筋的绳线要细长，实验中弹簧秤、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行 B．拉橡皮筋结点到某一位置时，拉力要适当大些，读数时视线要正对弹簧秤刻度 C．拉橡皮筋结点到某一位置时，两个弹簧秤之间夹角应取以便于算出合力大小 D．实验中，橡皮筋应该与两个弹簧秤之间夹角的平分线在同一直线上 (3)实验中的情况如图甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，和为绳线。为橡皮筋与绳线的结点。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。图乙中的与两力中，方向一定沿方向的是 （填或）。 (4)若两个弹簧秤的读数均为4N，且两弹簧秤拉力的方向相互垂直，则 （选填“能”或“不能”）用一个量程为的弹簧秤测量出它们的合力。 2．如图甲所示为“验证力的平行四边形定则”的实验装置图，其中为固定橡皮筋的图钉，为橡皮筋与细绳的结点，和为细绳。实验器材有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳和弹簧测力计。 (1)下列是某同学在做该实验时的一些想法，其中正确的是_____。（填正确选项前的字母） A．拉橡皮筋时，弹簧测力计、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板平面平行 B．为了便于计算合力大小，两细绳间夹角应取30°、45°、90°等特殊角度 C．当把结点拉到某一设定位置点时，拉力和的夹角越大越好 D．在每组实验中点位置不可以改变 (2)图乙中的与两力中，方向一定沿方向的是 。 (3)图丙是某次实验记录的部分信息，其中合力，分力方向确定、与合力的夹角，则另一分力的最小值为 。 四、解答题 1．（1）如图所示在同一平面内的三个共点力F1＝10N、F2＝10N、F3＝20N互成120°角，求它们的合力的大小和方向； （2）如图所示在同一平面内的四个共点力F1＝20N、F2＝30N、F3＝22N、F4＝40N，方向如图所示，求它们的合力大小和方向。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，要求写出求解过程即画图加表达式或写出足够清楚的文字说明）      2．如图所示，一轻质三脚架的B处悬挂一定滑轮(质量不计)。一体重为500 N的人通过拉跨过定滑轮的轻绳匀速提起一重为300 N的物体。 （1）此时地面对人的支持力是多大？ （2）斜杆BC、横杆AB所受的力各是多大？    3．在实际问题中进行力的分解时，应先弄清该力产生了怎样的效果，然后再分解这个力。如图所示的两种情况中，各接触均光滑，质量分布均匀重为5kg的两个球都处于静止状态，∠θ=30°。请作出两图中球所受重力的分解图，并分别求出两个分力的大小。    4．如图所示，一物体受四个力的作用，重力G=100N、与水平方向成37°角的拉力F=60N、水平地面的支持力FN=64N、水平地面的摩擦力f=16N，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： （1）画出物体的受力示意图； （2）力F在竖直方向的分力和水平方向的分力大小； （3）物体所受到的合力大小及方向。    2 学科网（北京）股份有限公司 $