解析几何：椭圆复习讲义-2026届高三数学一轮复习

解析几何：椭圆复习讲义 解析几何：椭圆复习讲义 考点目录 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 焦点三角形 点、直线与椭圆的位置关系 弦长问题 中点弦问题 椭圆与直线的距离问题 考点一 椭圆的定义与标准方程 【知识点解析】 1. 椭圆的定义 （1）集合的定义 平面内与两个定点、的距离的和等于定值（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为． 长轴两个交点之间的距离叫做椭圆的长轴长，记为. 短轴两个交点之间的距离叫做椭圆的短轴长．记为. （2）椭圆的集合描述：设点是椭圆上任意一点，点、是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合 ． 2. 椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为； （2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为． （3）无论焦点在轴上还是在轴上，均满足. 3.求椭圆焦点方程的方法 （1）利用定义法求椭圆的标准方程 ①由焦点坐标求出，并确定方程形式. ②由椭圆的定义求出. ③由求出．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）． （2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法) ①确定椭圆焦点的位置. ②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． ※若不确定焦点在哪个轴上，需进行分类讨论，或直接设为. 【例题分析】 考向一 椭圆的定义与相关概念 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 2．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D 3．（24-25高二下·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 【答案】D 【详解】由椭圆方程可知：椭圆的长半轴长为， 所以点到的两个焦点的距离之和为． 故选：D. 4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 【答案】A 【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2， 又，则点的轨迹就是线段. 故选：A 5．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则点到的距离，， 由得，， ∴点的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，其中， 根据椭圆定义得，. 故选：D. 考向二 椭圆的标准方程 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆和圆的圆心、半径分别为，，，， 由可知圆内含于圆， 设动圆半径为R，由题意可得，，两式相加可得， 故P点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，， 所以，， 所以椭圆方程为， 故选：D. 3．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 4．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 5．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 【答案】 【详解】因为，而， 所以， 则顶点的轨迹为以为焦点的椭圆（除去与共线的两点）， 其中，得， 得， 由于椭圆的焦点在轴上， 则椭圆的标准方程为：， 故答案为： 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ． 【答案】或 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设动点，由点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 得，即， 整理得：，点P的轨迹方程为. 故答案为： 9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 【答案】 【详解】设椭圆标准方程为：， 由已知且，解得，， 所以标准方程为：. 故答案为： 10．（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 考向三 根据椭圆的标准方程求参数范围 1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 【答案】D 【详解】方程变形可得， 因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：D 2．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 【答案】 【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得： ，解得：. 所以的取值围为：. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 【答案】9 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则，，， 所以，解得， 故答案为：9 考点二 椭圆的几何性质 【知识点解析】 1. 范围 对于椭圆，易知，故，即；同理． 故椭圆位于直线和所围成的矩形框里． 2. 对称性 在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变. 故椭圆关于轴、轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心． 3. 顶点 椭圆与轴、轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点． 对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为，短轴长为． 对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，长轴长为，短轴长为． 说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． 4. 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：. 离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆． 5.通径 过椭圆的焦点做垂线与椭圆交于上下两点，垂线称为通径，. 【例题分析】 1．（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】依题意，，即，则的焦点在轴上， 因此，所以，故的短轴长为. 故选：B． 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 【答案】D 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线， 令，则，所以， 令，则，所以， 又因为，所以， 则该椭圆的离心率. 故选：B. 5．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 6．（24-25高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【答案】BD 【详解】方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 故选：BD. 7．（2025·陕西安康·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 【答案】BC 【详解】由题意有，所以椭圆方程为，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误； 离心率为，故B正确； 又因为，故C正确； 设，， 所以， 又，所以，又，故D错误， 故选：BC. 8．（24-25高二上·河南郑州·期中）椭圆的焦距为 . 【答案】 【详解】因为，即， 可知，则， 所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 【答案】16 【详解】椭圆的标准方程为，焦距为，焦点在轴上， ， ， 故答案为：16． 10．（24-25高三下·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 . 【答案】8 【详解】当时，椭圆的焦距为，得，不符合题意； 当时，椭圆的焦距为，得，符合题意. 故答案为：. 11．（24-25高二上·湖北·期中）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【详解】根据椭圆方程可知， 所以长轴长为， 故答案为： 12．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ． 【答案】 【详解】设，易知， 结合，可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，所以的短轴长为． 故答案为：. 考点三 椭圆的离心率 【知识点解析】 1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：. 2.意义：离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆． 3.求解方法： ①直接求出椭圆的，进而求出离心率. ②构造关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的齐次方程，进行求解. ③常见构造齐次方程方法：如果能表示边，可以用椭圆定义、勾股定理、余弦定理、公共角、补角构造方程. 如果能表示点的坐标，则可利用椭圆方程、斜率、向量等构造方程. 【例题分析】 考向一 直接求出椭圆的，进而求出离心率 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 2．（25-26高三上·广东·开学考试）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，椭圆参数，则离心率. 故选：C 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】令，得，显然点不可能是的一个顶点， 令，得，所以点是的一个顶点， 所以，故椭圆的离心率. 故答案为： 5．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为. 故答案为：. 考向二 构造关于的齐次方程，进而求出离心率 1．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得， 则，而点在椭圆上，于是，解得， 所以的离心率为. 故选：A 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的平分线交于点D，设 则， 所以， 而 设，则，于是﹐ 所以， 在，由余弦定理可得：﹐ 则，则， 所以椭圆离心率， 故选：C． 6．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 易知：，，所以. 因为，所以直线的斜率为：. 又直线经过点，所以直线的方程为：. 将代入椭圆方程：，得， 整理得：. 设，，则，. 所以. 所以. 所以. 又， 所以. 化简得： 所以，即. 所以，即椭圆的离心率为. 故选：A 7．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设为椭圆C的左焦点，由椭圆的定义，得， 又，. 则在和中， 由余弦定理，得， 化简得，所以离心率. 故答案为：    9．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】已知，设. 根据椭圆的定义： ，且， 则，得到. 在中，根据余弦定理， 可得：， 化简得到，即， 则，则或， 当，则， 在中，，，，， 根据余弦定理， 可得： ， 可得：，则， 可得. 当时，，不合题意，舍去， 故答案为：. 考点四 焦点三角形 【知识点解析】 椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。 性质1：周长为定值：. 性质2：当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大. ※椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当在短轴端点时顶角最大. 性质3：三角形面积：，，即与短轴端点重合时面积最大. 性质4：焦半径公式：，. 性质5：焦点三角形的内切圆：（为焦点三角形的面积）. 【例题分析】 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 2．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选：A 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即. 设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为， 可得其内切圆的半径. 在中，根据椭圆的定义， 又，由余弦定理得 ， 解得， 所以 即. 又，得，故， 由正弦定理知的外接圆半径为， 所以的外接圆的面积为. 故选：D. 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为，点的纵坐标为， 根据面积相等得， 所以，解得．    故选：C. 6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 7．（25-26高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【详解】由题意，，则， 所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，， 由，则，则， 则，即， 则，整理得，即， 又，则，即， 则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故选：B. 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】BC 【详解】由题意知，，，， 对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确； 对于C，由焦半径性质可得，，C正确； 对于D，焦半径范围为，即． 若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误． 故选：BC. 11．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左右焦点为，直线过原点与椭圆交于，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】 因为椭圆是关于原点成中心对称，所以， 所以与面积相等，当为短轴的顶点时面积的最大值， 且最大面积为， 故答案为： 12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】法一：由椭圆方程可得，，则． 在焦点三角形中，因为，， 由余弦定理得，， 即，所以． 设点，因为， 所以，代入椭圆方程得到， 即点的坐标为或． 法二：设点，则椭圆焦点三角形的面积为． 因为，，， 所以，代入椭圆方程得到，即点的坐标为或． 故答案为：或． 13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 14．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 15．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 16．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ． 【答案】4 【详解】如图所示，椭圆，可得，，则，因为点P在椭圆C上，可得，又由，可得．联立方程组，可得，所以的面积为． 故答案为：4. 考点五 点、直线与椭圆的位置关系 【知识点解析】 1．点与椭圆的位置关系：已知点与椭圆 （1）在椭圆内⇔. （2）在椭圆上⇔. （3）在椭圆外⇔. 2．直线与椭圆的位置关系：已知直线与椭圆 ，联立得二次方程，判别式为. （1）直线与椭圆相离⇔. （2）直线与椭圆相切⇔. （3）直线与椭圆相交⇔. 【例题分析】 1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立方程消去y后整理为， 有， 整理可得，由，有， 可得． 故选:B． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【详解】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 故答案为：. 5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 6．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 考点六 弦长问题 【知识点解析】 1.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程. 当时，直线与椭圆相交于、两点. 此时. 其中于可由二次方程的韦达定理得到. 2.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程. 当时，直线与椭圆相交于、两点. 此时. 其中于可由二次方程的韦达定理得到. 3.已知直线过椭圆的焦点，直线与椭圆相交于、两点. 则最大值为，最小值为：. 【例题分析】 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，线段为椭圆的通径， 所以. 故选：D 3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 5．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 【答案】 【详解】由，得， 解得或，则或， 所以直线被椭圆截得的弦长为. 故答案为：. 6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得， 解得，，所以， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为. 设，， 由，得， 所以，，由得. 由， 得，满足，所以，， 所以. 7．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． （2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. （2） 由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 9．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意知，椭圆的离心率为， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，椭圆，可得，所以右焦点， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，则， 所以， 又由点到的距离， 所以的面积， 解得或（舍），所以， 所以的方程为或， 即直线的方程为或．    考点七 中点弦问题 【知识点解析】 点差法：直线与椭圆交于两点，为弦的中点. 设，， 由 化简可得： ，即，即，化简得 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即. 故选：C. 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设椭圆的标准方程为， 联立，消元得， 设两个交点分别为，，则弦中点横坐标为， 则结合韦达定理得，即①， 因为焦点，所以有②， 由①②得， 所以椭圆方程为， 故答案为： 7．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 【答案】/0.4 【详解】易知，，设椭圆中心为O， 不妨设坐标为，则， 两式作差可得：， 设，OM的斜率， 则，解得． 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点． (1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程； (2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）椭圆C：的左焦点为，设直线的方程为，， 由消去并整理得， 由M为弦AB的中点，得，， 由直线OM的斜率为，得，解得， 所以直线l的方程为，即. （2）由（1）知，令点关于轴对称点为， 直线交椭圆于点，设， 由，得，于是， 令，则，解得， ，令，则， 令函数，求导得， 而，则， 函数在上单调递增，，即，即； 令函数，求导得， 而，则， 函数在上单调递减，，即，即， 所以的取值范围是. 考点八 椭圆与直线的距离问题 【知识点解析】 已知直线与椭圆不相交，点在椭圆上运动，求点到直线距离的最值： （1）联立方程法： 设与直线平行的直线为，将直线与椭圆，化简得二次方程，令二次方程的判别式，求出与直线平行且与椭圆相切的直线，最值为切线与原直线的距离. （2）参数方程法： 设椭圆上的点为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，进而利用三角函数求距离的最值. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，， 故选:C. 2．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【详解】方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 3．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】由椭圆，可得， 故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为， 代入椭圆方程整理，得， 则，解得， 当时，与之间的距离为； 当时，与间的距离为， 故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为， 故答案为： 4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立得，, 则， 解得或， 由椭圆和的位置关系，取离直线远的切线， 此时切点M是椭圆上到直线的距离最大的点， 等于两平行直线的距离， 故答案为： 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 . 【答案】/ 【详解】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0， ∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±， 切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－， ∴所求最大距离为d＝＝. 故答案为： 课后提升训练 1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，设椭圆方程为， 则，， 所以该椭圆离心率为. 故选：C 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，设椭圆方程为， 易知，， 则，， 又，则， 则，易知，即， 由，，三点共线， 则，所以，则， 即，又在椭圆上，即，即， 则， 故选：C. 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为曲线上任意一点，可设， 所以 当时，最大. 故选：C. 4．（24-25高三上·山西太原·期末）椭圆的焦距为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由，可得， 即，即， 即椭圆的焦距为 故选：B 5．（24-25高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得， 故椭圆方程为， 故选：A 6．（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题，又，. ，即（t为参数）， 取上顶点时最大，此时. 不会为直角，只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点P的个数为4. 故选：C. 7．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对称性知，四个顶点必在直线上， 由于C在y轴上的两顶点距离为2， 故正方形的边长不可能大于或等于2， 又因为正方形的边长为整数，故其只能为1， 因此点在C上，代入C的方程得， 解得，故C：， 故C的离心率为． 故选：D 8．（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由知为圆的直径，所以， 由题设，若，则，故， 故，而， 故，解得， 则，故直线的斜率为. 故选：B 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（   ） A．椭圆的标准方程为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】 对于选项A，由题意可知，，即， 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为，故A正确； 对于选项B，因为，设，且， 则， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C，因为， 当且仅当三点共线时等号成立，取到最小值， 由，，， 所以， 所以的最小值为3，故C正确； 对于选项D，设切点为，由椭圆的光学性质可知，三点共线， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 则表示点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以点到直线距离最大值为，最大值为， 所以的取值范围为,故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（   ） A．若且，则 B．若，则最大值为 C．是圆的切线 D．若为线段的中点，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设，因为且，则， ，故A正确； 对于B，由椭圆的定义可得，由得， 由余弦定理可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，最大值为，故B不正确； 对于C，由圆与轴相切于点，得，因为直线（为坐标原点）垂直于直线， 由圆的性质知为的垂直平分线，得，所以≌， 所以，所以是圆的切线，故C正确； 对于D，因为为线段的中点，所以，又， 所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·浙江·一模·多选）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 【答案】ABD 【详解】 对于A，根据椭圆极点、极线定义，直线l关于椭圆存在极点，即为直线MN的定点（证明后续提供）， 设极点为，则直线l的方程为，又由于直线l的方程为：， 故直线l关于椭圆的极点（定点）为，故A正确； 对于B，设，则Q点处的切线方程为，令，得，， 而，故，同理，即四点共圆，故B正确； 对于C，当时，直线MN的方程为，可以验证此时有，故C不正确； 对于D，由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知， 等号在Q为短轴端点时取到，故D正确. 故选：ABD. 12．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】连接，，由题意得，， 所以四边形为矩形，所以，故， 又，由勾股定理得， 即， 则，故， 即，即，解得， 又点P在直线上，且，所以，即， 所以，，解得， 综上，椭圆C的离心率的取值范围是. 13．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知P是椭圆上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，则，由M恰好为PN的中点，则, 则，，则， 由，则，则. 故答案为：. 14．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 15．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为． (1)求直线与的斜率之积； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可设直线：，，． 联立，消去，得． 当，即时，有，． ∴，，即， 可得，∴． （2）由（1）可知． 又点O到直线l的距离，∴的面积． 设，则，∵，∴， ，当且仅当，即时等号成立， ∴的面积最大值为． 16．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线的方程为，代入椭圆， 解得点的坐标是. 因为，且，得. 又因为，所以. 因为，所以. 得. 所以，椭圆的方程为. （2）由题意知，，直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 由，消去并整理得， 解得（舍去）或，此时， 故点的坐标为 所以. 又由题知，点的坐标为. 设点到直线的距离为， 则. 故. 17．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【答案】(1)椭圆的方程为，短轴长为 (2) 【详解】（1）已知椭圆 的标准方程为：， 因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； （2）将直线的方程代入椭圆的方程得， 可得，整理得， 设直线与椭圆的交点为和， 所以， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为， 因为，即，所以， 因为 和 ，代入得， 化简， 展开分子 ， 所以， 所以 ， 又， 所以，整理得，解得. 18．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． (1)求的方程； (2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，故，则两焦点的坐标为，． 由椭圆的定义得，故， 故，故C的方程为． （2） 证明：由（1）得．设，， 直线的方程为， 联立方程组，得， 易知恒成立，由韦达定理得，故， 代入直线得，又是的中点，故， 故直线的方程为，又直线与直线交于点，故， 故，又因，故，故， 故直线的方程为， 因直线与直线交于点，故， 故，又，故， 故．设直线交直线于点，直线交于点, 故无论为何值，均有. 19．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合．    (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线， 联立方程消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴． （ⅱ）解法一：∵，中点坐标为， ∴垂直平分线方程为， 由得，垂直平分线方程为①． 同理得，垂直平分线方程为②． 由可得，即， ①+②得：， ∴， 由②-①得：， ∵直线过点，∴，即， ∴，故， ∴， ∵，∴，故． 解法二：设圆， ∵在圆上，∴ ∵直线与圆交于， ∴联立得（*），其中是方程（*）的两根． 由（ⅰ）可知是方程的两根， 此两方程为同解方程，则有， 解得， ∴圆心， ∴， ∵，∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：椭圆复习讲义 解析几何：椭圆复习讲义 考点目录 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 焦点三角形 点、直线与椭圆的位置关系 弦长问题 中点弦问题 椭圆与直线的距离问题 考点一 椭圆的定义与标准方程 【知识点解析】 1. 椭圆的定义 （1）集合的定义 平面内与两个定点、的距离的和等于定值（大于）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距，记为． 长轴两个交点之间的距离叫做椭圆的长轴长，记为. 短轴两个交点之间的距离叫做椭圆的短轴长．记为. （2）椭圆的集合描述：设点是椭圆上任意一点，点、是椭圆的焦点，则由椭圆的定义，椭圆就是集合 ． 2. 椭圆的标准方程： （1）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为； （2）焦点在轴上的椭圆的标准方程为，焦点为、，焦距为． （3）无论焦点在轴上还是在轴上，均满足. 3.求椭圆焦点方程的方法 （1）利用定义法求椭圆的标准方程 ①由焦点坐标求出，并确定方程形式. ②由椭圆的定义求出. ③由求出．（也可采用待定系数法进行求解，主要步骤可归纳为：先定型，再定量）． （2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法) ①确定椭圆焦点的位置. ②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． ※若不确定焦点在哪个轴上，需进行分类讨论，或直接设为. 【例题分析】 考向一 椭圆的定义与相关概念 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025·山西晋城·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西·开学考试）设是椭圆上的动点，则点到的两个焦点的距离之和为（    ） A．80 B．10 C．20 D．40 4．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 5．（24-25高三上·山东威海·期末）设直线，点，已知点到的距离与它到的距离之比为，则（    ） A． B． C． D． 考向二 椭圆的标准方程 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆和圆，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·安徽合肥·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ． 6．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 7．（24-25高二下·上海徐汇·期中）一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是 ． 8．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，则点P的轨迹方程为 ． 9．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是 . 10．（24-25高二上·陕西西安·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 11．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 考向三 根据椭圆的标准方程求参数范围 1．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A．[4，5] B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 4．（24-25高二下·上海松江·期末）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 5．（24-25高二下·上海静安·期中）设，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值围是 ． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则＝ ． 考点二 椭圆的几何性质 【知识点解析】 1. 范围 对于椭圆，易知，故，即；同理． 故椭圆位于直线和所围成的矩形框里． 2. 对称性 在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改变. 故椭圆关于轴、轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心． 3. 顶点 椭圆与轴、轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点． 对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为，短轴长为． 对于椭圆，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，长轴长为，短轴长为． 说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． 4. 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：. 离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆． 5.通径 过椭圆的焦点做垂线与椭圆交于上下两点，垂线称为通径，. 【例题分析】 1．（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西百色·期末·多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 7．（2025·陕西安康·模拟预测·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B均在C上，其中，则（   ） A．椭圆C的长轴长为 B．椭圆C的离心率为 C．点在椭圆C内 D．的值可以是6 8．（24-25高二上·河南郑州·期中）椭圆的焦距为 . 9．（23-24高二上·江西赣州·期中）椭圆的标准方程为，焦点在轴上，焦距为，则 ． 10．（24-25高三下·湖南·开学考试）椭圆的焦距为4，则 . 11．（24-25高二上·湖北·期中）椭圆的长轴长为 ． 12．（24-25高二上·广东河源·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，上顶点为，若，则的短轴长为 ． 考点三 椭圆的离心率 【知识点解析】 1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记为，即．范围：. 2.意义：离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，越大椭圆越扁，越小椭圆越圆． 3.求解方法： ①直接求出椭圆的，进而求出离心率. ②构造关于的齐次方程，进而构造出关于离心率的齐次方程，进行求解. ③常见构造齐次方程方法：如果能表示边，可以用椭圆定义、勾股定理、余弦定理、公共角、补角构造方程. 如果能表示点的坐标，则可利用椭圆方程、斜率、向量等构造方程. 【例题分析】 考向一 直接求出椭圆的，进而求出离心率 1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东·开学考试）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川泸州·模拟预测）已知直线经过椭圆的一个顶点，则的离心率为 . 5．（2025·河南·二模）已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为 . 考向二 构造关于的齐次方程，进而求出离心率 1．（2024·广东广州·一模）设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 8．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知F为椭圆C：的右焦点，为原点，A为C上一点，若，则C的离心率为 . 9．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，线段与轴相交于点．若，且，则的离心率为 ． 考点四 焦点三角形 【知识点解析】 椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形:。 性质1：周长为定值：. 性质2：当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大. ※椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当在短轴端点时顶角最大. 性质3：三角形面积：，，即与短轴端点重合时面积最大. 性质4：焦半径公式：，. 性质5：焦点三角形的内切圆：（为焦点三角形的面积）. 【例题分析】 1．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 2．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 7．（25-26高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 10．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．若，则的面积为 B．存在点，使得 C．若直线交椭圆于另一点，则 D．使得为等腰三角形的点共有4个 11．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）椭圆的左右焦点为，直线过原点与椭圆交于，则面积的最大值为 ． 12．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，若，则点的坐标为 ． 13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 14．（24-25高二下·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 15．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 16．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ． 考点五 点、直线与椭圆的位置关系 【知识点解析】 1．点与椭圆的位置关系：已知点与椭圆 （1）在椭圆内⇔. （2）在椭圆上⇔. （3）在椭圆外⇔. 2．直线与椭圆的位置关系：已知直线与椭圆 ，联立得二次方程，判别式为. （1）直线与椭圆相离⇔. （2）直线与椭圆相切⇔. （3）直线与椭圆相交⇔. 【例题分析】 1．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·福建厦门·期中）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 考点六 弦长问题 【知识点解析】 1.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程. 当时，直线与椭圆相交于、两点. 此时. 其中于可由二次方程的韦达定理得到. 2.已知直线与椭圆 ，联立消得关于的二次方程. 当时，直线与椭圆相交于、两点. 此时. 其中于可由二次方程的韦达定理得到. 3.已知直线过椭圆的焦点，直线与椭圆相交于、两点. 则最大值为，最小值为：. 【例题分析】 1．（24-25高二上·山西晋中·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江·期中）直线被椭圆截得的弦长为 . 6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 7．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 9．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的离心率为． (1)求的方程； (2)过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 考点七 中点弦问题 【知识点解析】 点差法：直线与椭圆交于两点，为弦的中点. 设，， 由 化简可得： ，即，即，化简得 【例题分析】 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程为 ． 7．（24-25高二上·河北邯郸·期末）若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 8．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 9．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点． (1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程； (2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围． 考点八 椭圆与直线的距离问题 【知识点解析】 已知直线与椭圆不相交，点在椭圆上运动，求点到直线距离的最值： （1）联立方程法： 设与直线平行的直线为，将直线与椭圆，化简得二次方程，令二次方程的判别式，求出与直线平行且与椭圆相切的直线，最值为切线与原直线的距离. （2）参数方程法： 设椭圆上的点为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，进而利用三角函数求距离的最值. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 3．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ． 4．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 . 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为 . 课后提升训练 1．（24-25高三上·河南周口·期末）如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知椭圆的对称中心为，左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交于另一点．若，则的离心率等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南南阳·期末）已知点，Q为曲线上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西太原·期末）椭圆的焦距为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（24-25高三上·江苏·期末）已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南永州·模拟预测）设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线交C于A、B两点，其中点A在第一象限，且.若P是C上的动点，则满足是直角三角形的点P的个数为（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．（24-25高三上·广东·期末）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：上，则c的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·江西·期末）已知椭圆()的左、右焦点分别为，圆 与C在第一象限交于点A，直线与C的另一个交点为B，若 ，则直线的斜率为（   ） A．2 B． C． D． 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点．现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为，．一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为4，且椭圆的离心率为，上顶点为，定点，点为椭圆上的动点，动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，，下列说法正确的是（   ） A．椭圆的标准方程为 B．的最大值为 C．的最小值为3 D．的取值范围为 10．（24-25高三上·浙江金华·期末·多选）已知，为椭圆的右顶点和上顶点，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，圆的圆心在第一象限，且与轴相切于点，直线与圆的另一个交点为，直线（为坐标原点）垂直于直线，记椭圆的离心率为，则（   ） A．若且，则 B．若，则最大值为 C．是圆的切线 D．若为线段的中点，则 11．（2025·浙江·一模·多选）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 12．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，其中，直线与椭圆C交于P，Q两点，记的面积为S，若时，，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 13．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知P是椭圆上第一象限内的点，M在y轴的正半轴上，连接PM，并延长与x轴交于点N，且M恰好为PN的中点，点P关于x轴的对称点为Q，连接QM，设直线PM，QM的斜率分别为，，若，则椭圆E的离心率为 ． 14．（24-25高三上·江苏·期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 15．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为． (1)求直线与的斜率之积； (2)求面积的最大值． 16．（24-25高三上·山东枣庄·期末）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点.点分别是椭圆的右顶点和上顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是椭圆的右焦点，直线与相交于点，求的面积. 17．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 18．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，． (1)求的方程； (2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有． 19．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合．    (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $