21.1-21.2一元二次方程及解一元二次方程 同步练习2025－2026学年人教版数学九年级上册

第一部分 重难点突破 第二十一章 一元二次方程 突破1 一元二次方程根的定义 类型一 定义求值 1、(2024二中广雅)如果正数a 是一元二次方程 的一个根,-a是一元二次方程 的一个根,那么a 的值是 . 2、(2025光谷外校)若关于x 的方程. 与方程 有且只有一个相同的根,则b的值为 . 类型二 逆定义求根 3.已知4a+c=2b,则一元二次方程 必有一根是 . 4.(2025二中广雅)已知 则方程 一定有一个根为 . 类型三 整体求值 5.(2024福州)设m 是方程. 的一个根,则 的值为 . 类型四 降次求值 6.(2024华一光谷)若 m 是方程 的一个根,则代数式 的值为 . 类型五 换元法求根 7.(2025江汉)若关于 x 的方程 的两个根为1 和-2,则关于 x 的方程 的解为 .1 学科网(北京)股份有限公司 突破2 解一元二次方程 类型一 换元法 (一)换整式 1.(2024 泉州)解方程: (二)换根式 2.(2024南京)解方程: (三)换分式 3.(2025七一华源)已知实数x 满足 则 的值为 . 类型二 消元法 4.(2025 武汉外校)已知实数x,y 满足 且 则x 的值为 . 类型三 含参方程 5.解下列关于x 的一元二次方程: (1)(2025 武汉一初) 类型四 绝对值方程 6.(2025武钢实验)解方程: 学科网(北京)股份有限公司 突破 3 配方法的运用 类型一 判定代数式的符号 1.(2025 武汉三初)判定代数式 的符号. 2.(2024福建中考)已知实数a,b,c,m,n 满足 求证3 为非负数. 类型二 配方求值 3.(2025二中广雅)若 ABC 的三边分别为a,b,c,其中c=3,且a,b 满足 41=0,求 ABC 的面积S. 类型三 配方求最值 4.(2024武汉外校)求代数式 的最大值. 5.(2024江汉)已知实数m,n 满足( 则2m+3n的值为 . 类型四 配方比较大小(求差法) 6,(2025七一华源)已知 其中x>2. (1)求证:M<N; (2)比较M和Q的大小. 学科网(北京)股份有限公司 突破4 根的判别式 类型一 判定方程根的情况 1.(2024 雅礼)判定方程 根的情况。 2.(2024大连)已知关于x 的方程 有两个实数根,试判断方程(m— 根的情况. 3.(2025 遂宁)已知关于x 的方程( 只有一个实数根,试判断关于 x的方程( 的根的情况. 4.(2024二中广雅)若a+b+3c=0,i请说明关于x 的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根. 类型二 知根的情况求参数范围(值) 5.(2025七一华源)已知关于x 的方程( 有两个实数根,则m 的取值范围是 . 6.(2025武汉一初)若关于x 的方程( 有实数解,则m 的取值范围为 . 类型三 判别式法求最值 7.若 (x,y为实数),则w 的最小值为 . 4 学科网(北京)股份有限公司 突破5 根系关系(一)求对称式的值 类型一 直接求值 1.(2025硚口)已知x₁,x₂是方程 的两个实数根,求下列各式的值: (4)x₁-x₂. 类型二 结合根的定义求值 2.(2024武珞路中学)已知 , 是方程 的两个根,则 2 022 +1)的值为( ) A.2 020 B.2022 C.2 D.4 3.(2024武昌)已知a,b是方程 的两根,则代数式 的值为 . 类型三 判定根的符号再求值 4.(2025华一光谷)已知a,b 是方程 的两根,则 的结果是() A.2 5.(2024洪山)已知a,b是方程 的两个实数根,则 的值为 . 5 学科网(北京)股份有限公司 突破6 根系关系(二)求非对称式的值 类型一 代换一根整体求值 1.(2025七一华源)若a,b 是关于x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根,则 的值为 . 2.(2024 武汉六中)若 , 是方程、 的两个实数根,则代数式 的值为( ) A.-2 011 B.-2 013 C.2 011 D.2 023 类型二 代换两根降次求值 3.(2025 东湖高新)已知 m,n 是方程 的两根,则 的值为 。 4.(2025 武汉三初)已知a,b 是方程 的两根,则 的值为() A.14 B.15 C.19 D.20 类型三 倒数代换整体求值 5.(2024光谷实验)若m,n 是方程 的两根,则 的值为 类型四 转化对称整体求值 6.(2025 武钢实验)若 , 是方程 的两根( > ),则 的值为 . 6 学科网(北京)股份有限公司 突破7 根系关系(三)求参数的值 类型一 先 定范围,再取舍 1.(2024武钢实验)已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根. (1)求k 的取值范围; (2)设方程两实数根分别为x₁,x₂,且满足 求 k 的值. 2.(2025光谷外校)设x₁,x₂是关于x 的方程 的两个实数根. (1)求k 的取值范围; (2)当k 为何值时, 取得最小值? 类型二 先求值,再用 检验 3.已知关于 x 的一元二次方程 的两个根互为倒数,求m 的值; 类型三 先求根,再求参 4.(2025 武钢实验)已知关于 x 的方程 的两根 , 满足 求t 的值. 5.(2024武昌)已知关于 x 的方程 若这个方程的两个实根满足 求m 的值及相应的两根, 7 学科网(北京)股份有限公司 突破8 根系关系(四)去绝对值技巧 类型一 平方法去绝对值 1.(2025 武昌)如果关于x 的一元二次方程 有两个实数根,且其中一根比另一根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”,已知关于 x 的方程 (1)求证:无论 m 为何实数,方程总有实数根; (2)若该方程是“邻根方程”,求m 的值. 类型二 隐含条件去绝对值 2.(2024 鄂州期末)已知关于x 的方程 有两个实数根 (1)求实数 k 的取值范围; (2)若. 满足 求k 的值. 类型三 分类讨论去绝对值 3.(2024二中广雅)已知关于 x 的一元二次方程 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两实数根分别为、 且 求 m 的值及方程的根. 学科网(北京)股份有限公司 突破 9 根系关系(五)构一元二次方程 类型一 定义逆用构方程 1.(2025江岸)已知两个不等的实数m,n 满足等式 求 的值. 2.(2025襄阳)已知四个不同的实数a,b,m,n分别满足等式(a+m)(a+n)=7,(b+m)(b+n)=7,求(a+n)(b+n)的值. 类型二 转化等式构方程 3.(2024武钢实验)已知实数a,b满足 且a≠3b,求 ab 的值. 4.(2025武汉外校)已知a,b(ab≠1)满足等式 ,求 的值. 类型三 根系关系构方程 5.(2025青山)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, abc=54.若c>0,求c的最小值. 6.(2024 达州)已知实数m,n 满足 求实数a 的最大整数值. 9 学科网(北京)股份有限公司 突破10 根系关系(六)几何运用(数形结合) 1.(2024广西)已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根. (1)求m 的取值范围; (2)若 Rt ABC 的两条直角边AC,BC 的长恰好是此方程的两个实数根,斜边.AB=6,求 ABC 的周长。 2.(2024 七一华源)已知关于x 的一元二次方程. 的两个根为a,b. (1)若a,b分别为菱形的两条对角线的长,且菱形的面积为5,求m 的值; (2)若a,b分别为菱形的两条对角线的长,且菱形的边长为 求m 的值. 3.(2025华宜寄)已知矩形甲的长、宽、周长( 和面积S 分别如图所示. (1)设矩形乙的长为x,宽为y(x≥y),,它的周长 和面积 满足等式 求x,y 的值; (2)在(1)的条件下,是否存在矩形丙,使它的周长( 和面积S丙满足等式 若存在,请求矩形丙的长和宽;若不存在,请说明理由. 21.1-21.2一元二次方程及解一元二次方程 突破1 一元二次方程根的定义 类型一 定义求值 1.(2024二中广雅)如果正数a 是一元二次方程 的一个根,一a 是一元二次方程 的一个根,那么a 的值是 3 . 解:根据题意,得a -3a+m=0,① a -3a-m=0,② ①+②,得 ,解得a=0或a=3.∵a>0,∴a=3. 2.(2025 光谷外校)若关于x 的方程 与方程 有且只有一个相同的根,则b 的值为 1 . 解:设两方程相同的一个根为t,则t -bt-2=0,① t -2t-b +b=0,② ①-②,得( ,即(2-b)t+(b-2)(b+1)=0, ∴(2-b)(t-b-1)=0.∴b=2(舍去)或t=b+1,把t=b+1代入①得,b=1. 类型二 逆定义求根 3.已知4a+c=2b,则一元二次方程 必有一根是 x=-2 . 4.(2025二中广雅)已知 则方程 一定有一个根为 x=3 .解: 类型三 整体求值 5.(2024福州)设m 是方程 的一个根,则 的值为 2023 。 解:由根的定义,得 原式 类型四 降次求值 6.(2024华一光谷)若 m 是方程 的一个根,则代数式 的值为 29 . 解:∵m 是方程 的一个根, 4=29. 类型五 换元法求根 7.(2025江汉)若关于 x 的方程 的两个根为1 和-2,则关于 x 的方程 的解为 解:令x-1=t,则方程( 可化为 或 突破 2 解一元二次方程 类型一 换元法 (一)换整式 1.(2024 泉州)解方程: 解:设 则原方程转化为 解得 当y=4时, 当y=-3时, 此时该方程无解. ∴原方程的解为 (二)换根式 2.(2024南京)解方程: 解:设 则原方程变形为 解得 ∴t=1,即 解得 (三)换分式 3.(2025七一华源)已知实数x 满足 则 的值为 2 . 解:原方程可化为 设 则方程变形为 解得 当 则 即 此方程无实数根;当. 则 即 =0,解得 经检验,x=1是原方程的根,∴原方程的根是 类型二 消元法 4.(2025武汉外校)已知实数x,y 满足 且 则x 的值为 3 .解:由 得 即 或 类型三 含参方程 5.解下列关于 x 的一元二次方程: (1)(2025武汉一初 解:(1)因式分解,得( (2)整理,得 因式分解,得( 类型四 绝对值方程 6.(2025武钢实验)解方程: 解:原方程可化为2|x| +|x|-3=0,∴(2|x|+3)(|x|-1)=0. ∵2|x|+3>0,∴|x|-1=0,即| 突破3 配方法的运用 类型一 判定代数式的符号 1.(2025武汉三初)判定代数式 的符号. 答案解:原式 ∴代数式 2.(2024福建中考)已知实数a,b,c,m,n 满足 求证: 为非负数. 证明: 9m -6mn+n =(3m-n) ≥0,∵a≠0,∴a >0,∴b -12ac≥0. 即 为非负数. 类型二 配方求值 3.(2025二中广雅)若 ABC 的三边分别为a,b,c,其中c=3,且a,b 满足 41=0,求 ABC 的面积S. 解:∵ 是直角三角形, 类型三 配方求最值 4.(2024武汉外校)求代数式 的最大值. 解: 当x=1时, 有最大值,最大值是一1. 5.(2024江汉)已知实数m,n 满足 则2m+3n的值为 -1 . 解:∵n 5. 又 ∴m+2=0,n-1=0,∴m=-2,n=1, ∴2m+3n=2 (-2)+3 1=-1. 类型四 配方比较大小(求差法) 6.(2025七一华源)已知 其中x>2. (1)求证:M<N; (2)比较 M 和Q 的大小。 解:(1) . M<N; (2) 当2<x<3时, 则Q<M;当x=3时,( ,则Q=M;当x>3时, ,则Q>M, 突破4 根的判别式 类型一 判定方程根的情况 1.(2024雅礼)判定方程 根的情况. 答案解: ∴无论m 为何值,A>0,故方程 总有两个不相等的实数根。 2.(2024大连)已知关于x 的方程 有两个实数根,试判断方程(m一 根的情况. 解:依题意,得 解得 m≤0,∴方程( 为一元二次方程,∴ ,∴方程( 没有实数根. 3.(2025 遂宁)已知关于x 的方程( 只有一个实数根,试判断关于 x的方程 的根的情况. 解:由题意,得k- 0,∴该方程有两个相等的实数根. 4.(2024二中广雅)若a+b+3c=0,请说明关于x 的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根. 解:∵ c . ∵a≠0,∴ >0,∴关于x 的一元二次方程( 一定有两个不相等的实数根, 类型二 知根的情况求参数范围(值) 5.(2025七一华源)已知关于x 的方程( 有两个实数根,则m 的取值范围是 且m≠2 . 解:由题知,m-2≠0且, 解得 且m≠2. 6.(2025 武汉一初)若关于 x 的方程( 有实数解,则m 的取值范围为 m≤2 . 解:分两种情况:①当m-1=0,即m=1时,方程为一元一次方程2x+1=0,此时方程有解,解为 ②当m-1≠0时,方程为一元二次方程,当 =4-4(m-1)≥0时,解得m≤2且m≠1,方程有实数根。综合上述,当m≤2时,关于 x 的方程( 有实数解. 类型三 判别式法求最值 7.若 (x,y为实数),则w 的最小值为 -2 . 解: 整理,得 y为实数,∴A=(4x+2) -4(5x +8x+3-w)=16x +16x+4-20x -32x-12+4w=-4x -16x+4w-8= 即 故w 的最小值为一2. 突破5 根系关系(一)求对称式的值 类型一 直接求值 1.(2025硚口)已知x₁,x₂是方程 的两个实数根,求下列各式的值: 解:∵x₁,x₂是方程 的两个实数根, … 类型二 结合根的定义求值 2.(2024武珞路中学)已知 , 是方程 的两个根,则 2 022 +1)的值为(D) A.2 020 B.2 022 C.2 D.4 解:∵ , 是方程. 的两个根,. ∴( 3=4.故选 D. 3.(2024武昌)已知a,b 是方程 的两根,则代数式 的值为 1 . 答案解:∵a,b是一元二次方程. 的根, ,且a+b=3, ab=1,即 类型三 判定根的符号再求值 4.(2025华一光谷)已知a,b 是方程. 的两根,则 的结果是(B) 解 且 ∴原式 5.(2024 洪山)已知a,b 是方程 的两个实数根,则 的值为 2 024 .解:∵a+b=-2024, ab=1,∴a<0,b<0, 学科网(北京)股份有限公司 突破 6 根系关系(二)求非对称式的值 类型一 代换一根整体求值 1.(2025 七一华源)若a,b 是关于x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根,则 的值为 4 043 . 答案解: 即 ∴2a +5a+b+1=2(a +2a)+(a+b)+1=2 2022+(-2)+1=4043. 2.(2024武汉六中)若 , 是方程 的两个实数根,则代数式 的值为(C) A.-2 011 B.-2 013 C.2 011 D.2 023 解:∵ 、 是方程 的两个实数根, 1.故选 C. 类型二 代换两根降次求值 3.(2025东湖高新)已知 m,n 是方程 的两根,则 的值为 12 . 解:∵m,n 是方程. 的两根, 原式=2(3m+1)+3n+1-3m=3(m+n)+3=3 3+3=12. 4.(2025 武汉三初)已知a,b是方程 的两根,则 的值为(B) A.14 B.15 C.19 D.20 解:∵a,b 是方程 的两根, ∴原式=2a(a+1)+3b(b+1)+5a+3b+1=2a +3b +7a+6b+1=2(a+1)+3(b+1)+7a+6b+1=9(a+b)+6=9 1+6=15.故选 B. 类型三 倒数代换整体求值 5.(2024 光谷实验)若m,n 是方程 的两根,则 的值为 -5 . 解:∵m,n 是方程 的两根,, 、∴原式:=-n(2n+1)+2n +2(2m+1)-5m-5=-(m+n)-3=-5. 类型四 转化对称整体求值 6.(2025武钢实验)若 , 是方程 的两根( > ),则 的值为 解:由题意知 + =7, =-1.设 则 (-1)+7=58,① A-B=( - )-( - )=( - )( + -1)=6( - )=6√( + ) -4 = ② 由①+②,得 突破7 根系关系(三)求参数的值 类型一 先 定范围,再取舍 1.(2024武钢实验)已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根. (1)求k 的取值范围; (2)设方程两实数根分别为x₁,x₂,且满足 求k 的值. 答案解:(1)∵关于x 的一元二次方程. 有两个实数根, ∴ ≥0,即 ,解得 (2)∵x₁+x₂=2k-1,x₁x₂=k -3,∴x +x =(x₁+x₂) -2x₁x₂=(2k-1) -2(k -3)=2k -4k+7. 解得k=4或 舍去,∴k=-2. 2.(2025 光谷外校)设x₁,x₂ 是关于x 的方程 的两个实数根. (1)求k 的取值范围; (2)当k 为何值时, 取得最小值? 解:(1)∵方程有两个实数根 即 当 时, 取得最小值. 类型二 先求值,再用 检验 3.已知关于 x 的一元二次方程 的两个根互为倒数,求m 的值; 解:根据题意,得 则 解得 当 m=2时,原方程化为 此时方程没有实数根; 当m=-3时,原方程化为x +4x+1=0, =16-4=12>0,.此时方程有两个不相等的实数根; ∴m 的值为-3. 类型三 先求根,再求参 4.(2025 武钢实验)已知关于x 的方程 的两根 , 满足 3 =2 ,求 t 的值. 解:设 =2k,则 5.(2024武昌)已知关于 x 的方程 若这个方程的两个实根满足 求 m 的值及相应的两根. 解: 又 解得 解得m=0或m=2,∴当m=0时, 解得 当m=2时, 解得 学科网(北京)股份有限公司 突破8 根系关系(四)去绝对值技巧 类型一 平方法去绝对值 1.(2025 武昌)如果关于x 的一元二次方程 有两个实数根,且其中一根比另一根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.已知关于x 的方程 (1)求证:无论 m 为何实数,方程总有实数根; (2)若该方程是“邻根方程”,求m 的值. 答案解:(1) 0, ∴无论m 为何实数,方程总有实数根; (2)设该方程的两根为x₁,x₂,则依题意,得 ∵ ∴m=0或m=-2. 类型二 隐含条件去绝对值 2.(2024 鄂州期末)已知关于x 的方程 有两个实数根x₁,x₂。 (1)求实数k 的取值范围; (2)若x₁,x₂满足| 求k 的值. 解:(1)根据题意,得 ,解得 (2)根据题意,得) 整理,得 解得 类型三 分类讨论去绝对值 3.(2024 二中广雅)已知关于 x 的一元二次方程 (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)设方程的两实数根分别为x₁,x₂,.且 求m 的值及方程的根. 解:(1)由题意,彳 ∴方程总有两个不相等的实数根; (2)由题意,得. 当m=0时,原方程为 解得 则 不成立。 当m≠0时, ∴方程的两根异号, ①若x₁ -2; ②若 综上所述,m的值为一2 或4. 突破9 根系关系(五)构一元二次方程 类型一 定义逆用构方程 1.(2025江岸)已知两个不等的实数m,n 满足等式 求 的值. 答案解:∵m=n、∴m、n是方程. 的两个根,∴m+n=2. ∴原式=2m+2025+2n=2(m+n)+2025=2 029. 2.(2025 襄阳)已知四个不同的实数a,b,m,n 分别满足等式((a+m)(a+n)=7,(b+m)(b+n)=7,求(a+n)(b+n)的值. 解:∵a≠b,∴由题意知a,b是关于x的方程(x+m)(x+n)=7的两个根, 即 的两根为a,b,∴a+b=-(m+n), ab= mn-7, ∴原式 类型二 转化等式构方程 3.(2024武钢实验)已知实数a,b 满足 且a≠3b,求 ab 的值. 解: ∴a,3b 可看作一元二次方程. 的两根, ∴a 3b=-3,∴ab=-1. 4.(2025武汉外校)已知a,b(ab≠1)满足等式 求 的值. 解:∵ ∴a, /b为一元二次方程: 的两根, 类型三 根系关系构方程 5.(2025青山)已知实数a,b,c满足a+b+c=0, abc=54.若c>0,求c 的最小值. 解:由题意,得 当a≠b时,∴a,b可看作为关于x 的方程 的两根、 当a=b时, 综上所述,c的最小值为6. 6.(2024达州)已知实数m,n 满足 求实数a 的最大整数值. 解: ∴m,n为关于x的一元二次方程 的两根, 解得 实数a 的最大整数值为10. 学科网(北京)股份有限公司 $