22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 题型专练　2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版（2024）九年级上册 22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 题型专练 【题型1】抛物线平移规律 【典型例题】将抛物线y=-x²+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有（　　）种． A.6 B.5 C.4 D.3 【举一反三1】将抛物线y=2x²-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　） A.y=-2x²-12x+16 B.y=-2x²+12x-16 C.y=-2x²+12x-20 D.y=-2x²+12x-19 【举一反三2】抛物线y=3x²+2x-1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（　　） A.y=3x²+2x-5 B.y=3x²+2x-4 C.y=3x²+2x+3 D.y=3x²+2x+4 【举一反三3】抛物线y=ax²+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位后的新图上有两点A（x1，y1），B（x²，y2），在此函数图象上，如果x1＜x²＜0．则y1与y2的大小关系是___________． 【举一反三4】抛物线y=x²-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_________________________． 【举一反三5】已知二次函数y＝2x²﹣4x+5． （1）将y＝2x²﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）抛物线y＝2x²﹣4x+5可以由抛物线y＝2x²经过平移得到，请写出一种平移方式． 【题型2】二次函数y=ax²＋bx＋c的性质 【典型例题】已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（　　） A.只能是x=-1 B.可能是y轴 C.可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D.可能在y轴左侧且在直线x=-2的右侧 【举一反三1】已知抛物线y＝﹣ax²+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A.若a＜0，则y3＞y2＞y1 B.若a＞0，则y1＞y3＞y2 C.若a＜0，则y1＞y3＞y2 D.若a＞0，则y2＞y1＞y3 【举一反三2】已知抛物线y＝x²﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x＝2 C.抛物线的顶点坐标为（2，1） D.当x＜2时，y随x的增大而减小 【举一反三3】已知点A（-3，7）在抛物线y=x²+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　） A.（0，7） B.（-1，7） C.（-2，7） D.（-3，7） 【举一反三4】若抛物线y＝x²﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　  　． 【举一反三5】如果二次函数y＝x²﹣4x+1的图象的一部分是下降的，那么x的取值范围是 　       　． 【举一反三6】如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是________________（只要写出一个符合条件的解析式）． 【举一反三7】已知二次函数y＝x²+2x． （1）求二次函数的图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 【题型3】由顶点式确定二次函数的解析式 【典型例题】二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（　　） A.y=2x²-4x B.y=-x（x-2） C.y=-（x-1）2+2 D.y=-2x²+4x 【举一反三1】若所求的二次函数图象与抛物线y=2x²-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（　　） A.y=-x²+2x-5 B.y=ax²-2ax+a-3（a＞0） C.y=-2x²-4x-5 D.y=ax²-2ax+a-3（a＜0） 【举一反三2】如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　） A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 【举一反三3】抛物线的对称轴为直线x=3，y的最大值为-5，且与y=x²的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A.y=-（x+3）2+5 B.y=-（x-3）2-5 C.y=（x+3）2+5 D.y=（x-3）2-5 【举一反三4】一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（　　） A.y=-2（x+2）2+4 B.y=-2（x-2）2+4 C.y=2（x+2）2-4 D.y=2（x-2）2-4 【举一反三5】如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　） A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 【举一反三6】如图，已知抛物线的顶点在第四象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4． （1）求该抛物线的解析式； （2）若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′，试判断点A′是否在该抛物线上，并说明理由． 【举一反三7】某二次函数过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6.求其表达式. 【题型4】由交点式确定二次函数的解析式 【典型例题】如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-x-2 B.y=-x²-x-2或y=x²+x+2 C.y=-x²+x+2 D.y=x²-x-2或y=-x²+x+2 【举一反三1】若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A.y=x²+1 B.y=x²-1 C.y=-x²+1 D.y=-x²-1 【举一反三2】抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　） A.y=2x²-2x-4 B.y=-2x²+2x-4 C.y=x²+x-2 D.y=2x²+2x-4 【举一反三3】已知函数y=ax²+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（　　） A.y=-x²+2x+3 B.y=x²-2x-3 C.y=-x²-2x+3 D.y=-x²-2x-3 【举一反三4】如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-x-2 B.y=-x²-x-2或y=x²+x+2 C.y=-x²+x+2 D.y=x²-x-2或y=-x²+x+2 【举一反三5】抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点．求抛物线的表达式； 【举一反三6】如图：已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PB+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型5】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象 【典型例题】已知二次函数y＝ax²+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax²+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax²+bx﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】已知二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（　　） A.a＝﹣1，b＝2，c＝3 B.a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3 C.a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3 D.a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 【举一反三3】一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】如图，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　  　． 【举一反三5】如图所示的抛物线y＝x²﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 　  　． 【举一反三6】已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0， 其中正确的是_________（填编号） 【举一反三7】已知二次函数y＝x²﹣5x+4． 填写下列表格： （2）在下列平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【题型6】由一般式确定二次函数的解析式 【典型例题】已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A.y=-6x²+3x+4 B.y=-2x²+3x-4 C.y=x²+2x-4 D.y=2x²+3x-4 【举一反三1】已知二次函数的最大值为0，其图象经过点（1，-2）和点（0，-），则它的关系式是（　　） A.y=-x²-x+ B.y=-x²+x- C.y=-x²-x- D.y=-x²+x+ 【举一反三2】抛物线y=ax²+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 小聪观察上表，得出下面结论： ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax²+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 其中正确有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三3】有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点： 甲：对称轴是直线x=2； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式___________________． 【举一反三4】如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为______________． 【举一反三5】如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x²+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为________________． 【举一反三6】在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（4，13）．求抛物线的解析式. 人教版（2024）九年级上册 22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】抛物线平移规律 【典型例题】将抛物线y=-x²+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y=x+b与此新图象的交点个数的情况有（　　）种． A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【解析】如图1所示：函数图象没有交点． 如图2所示：函数图象有1个交点． 如图3所示，图象有两个交点． 如图4所示函数图象有3个交点． 如图5所示，图象有4个交点．综上所述，共有5种情况． 【举一反三1】将抛物线y=2x²-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（　　） A.y=-2x²-12x+16 B.y=-2x²+12x-16 C.y=-2x²+12x-20 D.y=-2x²+12x-19 【答案】C 【解析】∵y=2x²-12x+16=2（x-3）2-2， ∴抛物线y=2x²-12x+16的顶点坐标为（3，-2）， ∵抛物线y=2x²-12x+16绕它的顶点旋转180°， ∴新抛物线的解析式为y=-2（x-3）2-2=-2x²+12x-20． 【举一反三2】抛物线y=3x²+2x-1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（　　） A.y=3x²+2x-5 B.y=3x²+2x-4 C.y=3x²+2x+3 D.y=3x²+2x+4 【答案】C 【解析】抛物线y=3x²+2x-1向上平移4个单位长度的函数解析式为y=3x²+2x-1+4=3x²+2x+3． 【举一反三3】抛物线y=ax²+2ax+c（a＜0）向右平移2个单位后的新图上有两点A（x1，y1），B（x²，y2），在此函数图象上，如果x1＜x²＜0．则y1与y2的大小关系是___________． 【答案】y1＜y2 【解析】∵抛物线y=ax²+2ax+c（a＜0）的对称轴是x=-=-1， ∴该抛物线向右平移2个单位后的对称轴为x=1． 又∵该抛物线的开口方向向下， ∴在x＜1上，y随x的增大而增大， ∴当x1＜x²＜0，y1＜y2的． 【举一反三4】抛物线y=x²-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_________________________． 【答案】y=x²-8x+20 【解析】y=x²-2x+3=（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2）． 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的解析式是y=（x-4）2+4=x²-8x+20． 【举一反三5】已知二次函数y＝2x²﹣4x+5． （1）将y＝2x²﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）抛物线y＝2x²﹣4x+5可以由抛物线y＝2x²经过平移得到，请写出一种平移方式． 【答案】解：（1）y＝2x²﹣4x+5 ＝2（x²﹣2x）+5 ＝2（x﹣1）2+3； （2）∵抛物线y＝2x²的顶点为（0，0），抛物线y＝2x²﹣4x+5的顶点（1，3）， ∴将抛物线y＝2x²先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到y＝2x²﹣4x+5． 【题型2】二次函数y=ax²＋bx＋c的性质 【典型例题】已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（　　） A.只能是x=-1 B.可能是y轴 C.可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D.可能在y轴左侧且在直线x=-2的右侧 【答案】D 【解析】∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过（-2，0），（2，3）两点， ∴点（-2，0）关于对称轴的对称点横坐标x²满足：-2＜x²＜2， ∴-2＜＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=-2的右侧． 【举一反三1】已知抛物线y＝﹣ax²+4ax+c（a≠0）经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列说法正确的是（　　） A.若a＜0，则y3＞y2＞y1 B.若a＞0，则y1＞y3＞y2 C.若a＜0，则y1＞y3＞y2 D.若a＞0，则y2＞y1＞y3 【答案】C 【解析】解：由题意，∵抛物线为y＝﹣ax²+4ax+c， ∴对称轴是直线x＝﹣＝2． 若a＜0，则﹣a＞0， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y1＞y3＞y2，故A错误，C正确． 若a＞0，则﹣a＜0， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大 ∵经过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点， 又2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2， ∴y2＞y3＞y1，故B、D错误． 故选：C． 【举一反三2】已知抛物线y＝x²﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x＝2 C.抛物线的顶点坐标为（2，1） D.当x＜2时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】解：y＝x²﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， A、a＝1＞0，抛物线开口向上，正确，不合题意； B、抛物线的对称轴为直线x＝2，正确，不合题意； C、顶点坐标为（2，﹣1），错误，符合题意； D、当x＜2时，y随x的增大而减小，正确，不合题意． 故选：C． 【举一反三3】已知点A（-3，7）在抛物线y=x²+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　） A.（0，7） B.（-1，7） C.（-2，7） D.（-3，7） 【答案】B 【解析】对称轴为直线x=-=-2， 设点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（x，7）， 则=-2，解得x=-1， 所以对称点为（-1，7）． 【举一反三4】若抛物线y＝x²﹣3x+ax+2的对称轴是y轴，则a的值是 　  　． 【答案】3 【解析】解：∵抛物线y＝x²﹣2x+ax+2的对称轴是y轴， ∴﹣＝0． ∴a＝3． 故答案为：3． 【举一反三5】如果二次函数y＝x²﹣4x+1的图象的一部分是下降的，那么x的取值范围是 　       　． 【答案】x≤2 【解析】c'k解：由题意，∵y＝x²﹣4x+1＝（x²﹣4x+4）﹣3＝（x﹣2）2﹣3，且抛物线开口向上， ∴当x≤2时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x＞2时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升． ∵二次函数y＝2x²﹣4x+1的图象的一部分是下降的， ∴x≤2． 故答案为：x≤2． 【举一反三6】如果一个二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，且在对称轴右侧y随x的增大而减小，那么这个二次函数的解析式可以是________________（只要写出一个符合条件的解析式）． 【答案】y=-x²+2x 【解析】根据抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则a＜0；根据二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，-＞0，则b＞0，即可得到解析式． 【举一反三7】已知二次函数y＝x²+2x． （1）求二次函数的图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （3）当x在什么范围时，y随着x的增大而减小？ 【答案】解：（1）∵y＝x²+2x＝（x²+2x+1）﹣1＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为 （﹣1，﹣1）； （2）当x＝0时，y＝x²+2x＝0，（0，0） 当y＝0时，x²+2x＝0 解得 x1＝0，x²＝﹣2，则抛物线与x轴的交点坐标为 （﹣2，0）， （﹣1，﹣1），描出特殊点（0，0）（﹣1，﹣1），（﹣2，0），画出图象如下： （3）当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小． 【题型3】由顶点式确定二次函数的解析式 【典型例题】二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（　　） A.y=2x²-4x B.y=-x（x-2） C.y=-（x-1）2+2 D.y=-2x²+4x 【答案】D 【解析】根据图象得抛物线的顶点坐标为（1，2）， 设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2， 将（2，0）代入解析式得0=a+2，解得a=-2， 则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x²+4x． 【举一反三1】若所求的二次函数图象与抛物线y=2x²-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（　　） A.y=-x²+2x-5 B.y=ax²-2ax+a-3（a＞0） C.y=-2x²-4x-5 D.y=ax²-2ax+a-3（a＜0） 【答案】D 【解析】抛物线y=2x²-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下． A．抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-4），故选项错误； B．抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-3），故选项错误； C．抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误； D．抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确． 【举一反三2】如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　） A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 【答案】C 【解析】根据题意=±3，解得c=8或14． 【举一反三3】抛物线的对称轴为直线x=3，y的最大值为-5，且与y=x²的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　） A.y=-（x+3）2+5 B.y=-（x-3）2-5 C.y=（x+3）2+5 D.y=（x-3）2-5 【答案】B 【解析】设抛物线解析式为y=a（x-3）2-5， 因为所求抛物线与y=x²的图象开口大小相同，所以a=-， 所以这条抛物线解析式为y=-（x-3）2-5． 【举一反三4】一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（　　） A.y=-2（x+2）2+4 B.y=-2（x-2）2+4 C.y=2（x+2）2-4 D.y=2（x-2）2-4 【答案】B 【解析】∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4）， ∴设这个二次函数的解析式为y=a（x-2）2+4，把（0，-4）代入得a=-2， ∴这个二次函数的解析式为y=-2（x-2）2+4． 【举一反三5】如果抛物线y=x²-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　） A.8 B.14 C.8或14 D.-8或-14 【答案】C 【解析】根据题意=±3，解得c=8或14． 【举一反三6】如图，已知抛物线的顶点在第四象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4． （1）求该抛物线的解析式； （2）若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′，试判断点A′是否在该抛物线上，并说明理由． 【答案】解：（1）根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，-3）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-3，由于抛物线经过原点，即4a-3=0，解得a=． 故抛物线的解析式为y=（x-2）2-3； （2）设点A′坐标为（x，y），则直线OA′的解析式为y=-x①， 根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，即x²+y2=16②， 由①②可得x=2，y=-2，即点A′坐标为（2，-2）， 把点A′坐标为（2，-2）代入解析式y=（x-2）2-3；-2≠（2-2）2-3， 即点A′不在该抛物线上． 【举一反三7】某二次函数过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6.求其表达式. 【答案】解：设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2+6. ∵函数图象过点(2，4)， ∴a(2－1)2+6＝4，解得a＝-2， ∴此二次函数的解析式为y＝-2(x－1)2+6. 【题型4】由交点式确定二次函数的解析式 【典型例题】如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-x-2 B.y=-x²-x-2或y=x²+x+2 C.y=-x²+x+2 D.y=x²-x-2或y=-x²+x+2 【答案】D 【解析】设抛物线解析式为y=a（x-2）（x+1）， ∵OC=2，∴C点坐标为（0，2）或（0，-2）， 把C（0，2）代入y=a（x-2）（x+1）得a•（-2）•1=2，解得a=-1， 此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），即y=-x²+x+2； 把C（0，-2）代入y=a（x-2）（x+1）得a•（-2）•1=-2，解得a=1， 此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x²-x-2． 即抛物线解析式为y=-x²+x+2或y=x²-x-2． 【举一反三1】若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（　　） A.y=x²+1 B.y=x²-1 C.y=-x²+1 D.y=-x²-1 【答案】C 【解析】设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1）， 把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1， 所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x²+1． 【举一反三2】抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点（2，8），它的关系式为（　　） A.y=2x²-2x-4 B.y=-2x²+2x-4 C.y=x²+x-2 D.y=2x²+2x-4 【答案】D 【解析】由题意，设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+2）， 将（2，8）代入，可得8=a（2-1）（2+2），解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2（x-1）（x+2）， 化简得y=2x²+2x-4． 【举一反三3】已知函数y=ax²+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（　　） A.y=-x²+2x+3 B.y=x²-2x-3 C.y=-x²-2x+3 D.y=-x²-2x-3 【答案】A 【解析】由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）； 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有 a（0+1）（0-3）=3，a=-1； 即y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3． 【举一反三4】如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-x-2 B.y=-x²-x-2或y=x²+x+2 C.y=-x²+x+2 D.y=x²-x-2或y=-x²+x+2 【答案】D 【解析】设抛物线解析式为y=a（x-2）（x+1）， ∵OC=2，∴C点坐标为（0，2）或（0，-2）， 把C（0，2）代入y=a（x-2）（x+1）得a•（-2）•1=2，解得a=-1， 此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），即y=-x²+x+2； 把C（0，-2）代入y=a（x-2）（x+1）得a•（-2）•1=-2，解得a=1， 此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x²-x-2． 即抛物线解析式为y=-x²+x+2或y=x²-x-2． 【举一反三5】抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点．求抛物线的表达式； 【答案】解：解法一： 设所求抛物线表达式为y=a(x-x1)(x-x²)，由题知，x1=-2，x²=3， ∴y=a[x-(-2)](x-3)即y=a(x+2)(x-3) 把C（0，6）代入上式，得6=a(0+2)(0-3) 解得a=-1 所求抛物线解析式为y=-1(x+2)(x-3)=﹣x²+x+6 解法二： 将A，B，C三点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的表达式为y＝﹣x²+x+6． 【举一反三6】如图：已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PB+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）根据题意设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 代入C（0，-5）得-5=-3a，解得a=． 故二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-x-5； （2）作抛物线的对称轴l，交BC于P， ∵抛物线的对称轴x=-=1，∴P点的横坐标为1． 设直线BC的函数表达式为y=kx+t（k≠0）． ∵由B（3，0），C（0，-5），∴，解得． ∴直线BC的函数表达式为y=x-5． 将x=1代入得y=-． ∴P点的坐标为（1，-）． 【题型5】二次函数y=ax²＋bx＋c的图象 【典型例题】已知二次函数y＝ax²+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax²+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵二次函数y＝ax²+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标为m、n， ∴二次函数y＝ax²+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标为m、n， ∴在同一坐标系中y1＝ax²+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是A， 故选：A． 【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax²+bx﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：观察函数图象可知：a＞0，b＜0，c＞0， ∴二次函数y＝ax²+bx﹣c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴． 故选：C． 【举一反三2】已知二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（　　） A.a＝﹣1，b＝2，c＝3 B.a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3 C.a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3 D.a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 【答案】A 【解析】解：由二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象可知a＜0，ab＜0，c＞0， 故选项A符合题意， 故选：A． 【举一反三3】一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B．由抛物线可知，a＞0，x=-＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C．由抛物线可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D．由抛物线可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 【举一反三4】如图，二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　  　． 【答案】4 【解析】解：∵图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1， ∴﹣1﹣b+c＝0，b＝2， ∴b＝2，c＝3， ∴y＝﹣x²+2x+3， ∴当x＝1时，y＝4， ∴顶点C的坐标为（1，4）， ∴CD的长为4． 故答案为：4． 【举一反三5】如图所示的抛物线y＝x²﹣bx+b2﹣9的图象，那么b的值是 　  　． 【答案】3 【解析】解：由图可知，抛物线经过原点（0，0）， 所以，02﹣b×0+b2﹣9＝0， 解得b＝±3， ∵抛物线的对称轴在y轴的右边， ∴﹣＞0， ∴b＞0， ∴b＝3． 故答案为：3． 【举一反三6】已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0， 其中正确的是_________（填编号） 【答案】②③ 【解析】根据图象可知 当x=1时，y=a+b+c＞0，故①错误； 当x=-1时，y=a-b+c＜0，故②正确； ∵抛物线开口朝下，∴a＜0， ∵对称轴x=-（0＜x＜1）， ∴2a＜-b，∴b+2a＜0，故③正确； ∵对称轴x=-（0＜x＜1）， ∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0，∴abc＜0，故④错误． 【举一反三7】已知二次函数y＝x²﹣5x+4． 填写下列表格： （2）在下列平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． 【答案】解：（1）当x＝0时，y＝0﹣0+4＝4， 当x＝2时，y＝4﹣10+4＝﹣2， 当x＝3时，y＝9﹣15+4＝﹣2， 当x＝4时，y＝16﹣20+4＝0， 当x＝5时，y＝25﹣25+4＝4， 故答案为：4，﹣2，﹣2，0，4； （2）二次函数图象如图所示： 【题型6】由一般式确定二次函数的解析式 【典型例题】已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　） A.y=-6x²+3x+4 B.y=-2x²+3x-4 C.y=x²+2x-4 D.y=2x²+3x-4 【答案】D 【解析】设所求函数的解析式为y=ax²+bx+c，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入， 得，解得． 故所求的函数的解析式为y=2x²+3x-4． 【举一反三1】已知二次函数的最大值为0，其图象经过点（1，-2）和点（0，-），则它的关系式是（　　） A.y=-x²-x+ B.y=-x²+x- C.y=-x²-x- D.y=-x²+x+ 【答案】C 【解析】设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c， 根据题意得，解得或． 所以抛物线解析式为y=-x²+3x-或y=-x²-x-． 【举一反三2】抛物线y=ax²+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： 小聪观察上表，得出下面结论： ①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax²+bx+c的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x＝； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 其中正确有（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】D 【解析】根据图表，当x=-2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（-2，0）和（3，0）； ∴抛物线的对称轴是直线x==， 根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0或1对应的函数值6， 并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大． 所以①③④正确，②错． 【举一反三3】有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位同学分别说出了它的特点： 甲：对称轴是直线x=2； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式___________________． 【答案】y=±（x+1）（x-5）答案不唯一 【解析】对称轴是直线x=2，则一次项系数与二次项系数的比是-4， 因而可设函数解析式是y=ax²-4ax+ac， 与y轴交点的纵坐标也是整数，因而ac是整数， y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x+c），与x轴两个交点的横坐标都是整数， 即方程x²-4x+c=0有两个整数解，设是-1和+5，则c=-5， 则y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x-5）， ∵以这三个交点为顶点的三角形的面积为3，∴a=±． 【举一反三4】如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为______________． 【答案】3 【解析】∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（-1，0），（1，-2）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x²-x-2， 令y=0，得x²-x-2=0，解得x1=-1，x²=2， ∴C（2，0），∴AC=2-（-1）=3． 【举一反三5】如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=-x²+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为________________． 【答案】l=-2m2+8m+12 【解析】把x=m代入抛物线y=-x²+6x中，得AD=-m2+6m把y=-m2+6m代入抛物线y=-x²+6x中，得-m2+6m=-x²+6x，解得x1=m，x²=6-m，∴C的横坐标是6-m，故AB=6-m-m=6-2m，∴矩形的周长是l=2（-m2+6m）+2（6-2m），即l=-2m2+8m+12． 【举一反三6】在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（4，13）．求抛物线的解析式. 【答案】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+4经过点（4，13）， ∴13＝（4﹣1）2×a+4， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4. 学科网（北京）股份有限公司 $