22.1.3 二次函数y=a(x-h)²＋k的图象和性质 题型专练　2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版（2024）九年级上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质 题型专练 【题型1】二次函数y=ax²＋k与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】将二次函数y=x²的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（　　） A.y=x²-1 B.y=x²+1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【举一反三1】将抛物线y=x²向上平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-1 B.y=x²+1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【举一反三2】抛物线y=x²+1关于原点对称的抛物线的解析式为（　　） A.y=x²-1 B.y=-x²-1 C.y=-x²+1 D.y=-（x+1）2 【举一反三3】将抛物线y=2x²的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为___________． 【举一反三4】二次函数y=3x²的图象向上平移2个单位，得到函数的解析式为________． 【举一反三5】已知二次函数y=ax²与y=-2x²+c. （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a=          ；若抛物线y=ax²沿y轴向下平移2个单位就能与y=-2x²+c的图象完全重合，则c=       ； （3）二次函数y=-2x²+c中x、y的几组对应值如下表： 表中m、n、p的大小关系为             （用“＜”连接）． 【举一反三6】若抛物线y=ax²+c是由y=ax²向下平移4个单位而得到的，且该抛物线与直线y=-2x+1交于点（-1，m）． （1）求抛物线y=ax²+c的解析式，并写出它的对称轴，顶点坐标及最值； （2）求（1）中的抛物线与直线y=2x+1的交点坐标AB两点（点A在B点的左侧），并求出顶点C与AB构成的三角形的面积． （3）求出（1）中抛物线与x轴的交点坐标． 【题型2】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【典型例题】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（   ） A. B. C. D.0 【举一反三1】已知函数y=-(x-2)2的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（    ） A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 【举一反三3】已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是      ． 【举一反三4】抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______. 【举一反三5】已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 【题型3】二次函数y=a(x-h)2与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】将抛物线y=x²平移得到抛物线y=（x+3）2，则这个平移过程正确的是（　　） A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位 【举一反三1】将某抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y=x²，则该抛物线为（　　） A.y=x²+1 B.y=x²-1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【举一反三2】将抛物线y=-x²平移得到抛物线y=-（x-2）2，则这个平移过程正确的是（　　） A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 【举一反三3】若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？（　　） A.向上平移１个单位 　 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位 【举一反三4】若二次函数y=2x²的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h=_______． 【举一反三5】在平面直角坐标系中，将二次函数y=-2x²的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数关系式是______________. 【举一反三6】函数y=（x+1）2的图象，可以由函数y=（x-1）2的图象向_______平移_____个单位得到． 【举一反三7】如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1． （1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式； （2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标． 【举一反三8】已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（-1，0），且过点A（-2，-）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点B（2，-2）在这个函数图象上吗？ （3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案． 【题型4】二次函数y=ax²＋k的图象 【典型例题】在同一坐标系中，作y=2x²+2、y=-2x²-1、y＝x²的图象，则它们（　　） A.都是关于y轴对称 B.顶点都在原点 C.都是抛物线开口向上 D.以上都不对 【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-kx+1与二次函数y=x²+k的大致图象可以是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x²+m的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】若二次函数y=mx²+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【举一反三5】若函数y=mx+5（m≠0）的图象不经过第四象限，那么二次函数y=mx²+m的图象可能出现在（　　） A.三、四象限 B.一、二、三、四象限 C.一、三、四象限 D.一、二象限 【举一反三6】（1）请在如图中的坐标系中画出函数y=x²-x和y=x+1的图象； （2）观察图象，直接写出方程x²-2x-1=0的根． 【举一反三7】在同一直角坐标系中画出二次函数y=x²+1与二次函数y=-x²-1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【题型5】与二次函数y=a(x-h) 2＋k有关的综合性问题 【典型例题】已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 【举一反三1】已知抛物线y=-（x-1）2+m（m是常数），点A（x1，y1），B（x²，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x²，x1+x²＞2，则下列大小比较正确的是（　　） A.m＞y1＞y2 B.m＞y2＞y1 C.y1＞y2＞m D.y2＞y1＞m 【举一反三2】已知点A（a，3），B（b，3），C（c，8）都在抛物线 y＝（x﹣2）2﹣k上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　） A.若c＜0．则c＜a＜b B.若c＜0，则a＜c＜b C.若c＞0，则c＜a＜b D.若c＞0，则a＜c＜b 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　　） A. B. C. D. 【举一反三4】将抛物线y=2x²先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点（1，5），则新抛物线与y轴交点的坐标             ． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为_____________. 【举一反三6】如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8cm，四边形ABCD的面积最大值为 　  　cm2． 【举一反三7】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． （1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式； （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？ 【举一反三8】如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上，二次函数y＝(x-h)2+k的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围； （3）设m＜，且A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，试比较y1、y2的大小，并简要说明理由． 【题型6】与二次函数y=ax²＋k有关的综合性问题 【典型例题】两条抛物线y1=-x²+b，y2=-x²-b与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的部分的面积为8，则b等于（　　） A.1 B.-3 C.4 D.-1或3 【举一反三1】如图，抛物线y=2x²-1与直线y=x+2交于B、C两点，抛物线顶点为A，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】已知抛物线y1=-2x²+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0． 下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越大； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是-或． 其中正确结论的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三3】若二次函数y=ax²+4，当x分别取x1、x²（x1≠x²）时，函数值相等，则当x取（x1+x²）时，函数值为___________． 【举一反三4】若点P（-1，a）和Q（1，b）都在抛物线y=-x²+1上，则线段PQ的长为_____. 【举一反三5】如图，在坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，函数y=x²+c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，则c的取值范围是____________． 【举一反三6】如图，抛物线y=-x²+4交x轴于A、B两点，顶点为C． （1）求△ABC的面积； （2）在抛物线上求点P，使S△PAB=S△ABC． 【举一反三7】如图，抛物线y=-x²+3与x轴交于A，B两点，与直线y=-x+b相交于B，C两点，连结A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【题型7】二次函数y=a(x-h) 2＋k的图象和性质 【典型例题】下列抛物线顶点坐标为（1，0）的是（　　） A.y＝x²+1 B.y＝x²﹣1 C.y＝（x+1）2 D.y＝（x﹣1）2 【举一反三1】二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A.7 B.﹣7 C.2 D.﹣2 【举一反三2】二次函数y=（x-2）2+1的图象上的顶点坐标是（　　） A.（-2，-1） B.（2，1） C.（1，2） D.（-1，-2） 【举一反三3】对于抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，下列判断正确的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点坐标为（1，﹣2） C.抛物线对称轴为x＝﹣1 D.当x＝4时，y＞0 【举一反三4】如果二次函数y=（x+k）2+k2-4的对称轴是x=3，那么k=_______ 【举一反三5】二次函数y=（x-1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为____________． 【举一反三6】如图，已知直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 【举一反三7】已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3． （1）该抛物线开口向 　   　，对称轴是 　   　，顶点坐标是 　   　． （2）在直角坐标系中画出的图象． （2）①列表： ②描点、连线： 【题型8】二次函数y=a(x-h) 2＋k与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】抛物线y=x²向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A.y=（x+2）2+3 B.y=（x-2）2+3 C.y=（x-2）2-3 D.y=（x+2）2-3 【举一反三1】将二次函数y=-2（x+1）2-5的图象向右移动一个单位，再向上移动5个单位后得到的二次函数解析式为（　　） A.y=-2x² B.y=-2（x-2）2 C.y=-2（x-2）2-10 D.y=-2x²-10 【举一反三2】要得到抛物线y=2（x-4）2-1，可以将抛物线y=2x²（　　） A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【举一反三3】将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A.y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B.y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C.y＝﹣（x﹣5）2+11 D.y＝﹣（x﹣1）2+11 【举一反三4】已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的图象与x轴有一个交点的横坐标为1，将此抛物线关于y轴对称得到抛物线C2，则C2的解析式为________________． 【举一反三5】把抛物线y=（x+3）2-5向左平移3个单位，再向上平移6个单位平移所得的新的抛物线解析式为             ． 【举一反三6】将抛物线y=2x²经过适当的平移，得到抛物线y=2（x﹣5）2+3，那么应该怎样平移？ 【题型9】二次函数y=ax²＋k的性质 【典型例题】抛物线y=-2x²-3与y轴交点的纵坐标为（　　） A.-3 B.-4 C.-5 D.-1 【举一反三1】抛物线y=3x²，y=-3x²，y=x²+3共有的性质是（　　） A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 【举一反三2】下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（　　） A.y=3x²+1 B.y=-2x²+1 C.y=x+1 D.y=-5x+1 【举一反三3】抛物线y=x²-2在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而            ．（填“增大”或“减小”） 【举一反三4】对于抛物线y=-x²+3，下列说法： ①开口向下；②对称轴是y轴；③顶点在x轴上； ④顶点是（0，3）；⑤顶点是（0，-3）；⑥有最低点， 其中正确的说法有________.（填序号） 【举一反三5】已知函数y=ax²（a≠0）与直线y=2x-3交于A（1，b）． 求：（1）a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数y=ax²中的y随x的增大而增大； （3）求抛物线y=ax²与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标． 人教版（2024）九年级上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2＋k的图象和性质 题型专练（参考答案） 【题型1】二次函数y=ax²＋k与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】将二次函数y=x²的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（　　） A.y=x²-1 B.y=x²+1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【答案】A 【解析】将二次函数y=x²的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y=x²-1． 【举一反三1】将抛物线y=x²向上平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是（　　） A.y=x²-1 B.y=x²+1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【答案】B 【解析】解：由题意，根据二次函数的变化规律“左加右减，上加下减”， 又抛物线y=x²向上平移一个单位， ∴新抛物线的解析式是y=x²+1． 故选：B． 【举一反三2】抛物线y=x²+1关于原点对称的抛物线的解析式为（　　） A.y=x²-1 B.y=-x²-1 C.y=-x²+1 D.y=-（x+1）2 【答案】B 【解析】∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=x²+1关于原点对称的抛物线的解析式为-y=（-x）2+1，即y=-x²-1． 【举一反三3】将抛物线y=2x²的图象向上平移1个单位后，所得抛物线的解析式为___________． 【答案】y=2x²+1 【解析】∵抛物线y=2x²的图象向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为y=2x²+1． 【举一反三4】二次函数y=3x²的图象向上平移2个单位，得到函数的解析式为________． 【答案】y=3x²+2 【解析】∵图象沿y轴向上平移2个单位，∴y=3x²+2．故所得图象的函数解析式是y=3x²+2． 【举一反三5】已知二次函数y=ax²与y=-2x²+c. （1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变； （2）若这两个函数图象的形状相同，则a=          ；若抛物线y=ax²沿y轴向下平移2个单位就能与y=-2x²+c的图象完全重合，则c=       ； （3）二次函数y=-2x²+c中x、y的几组对应值如下表： 表中m、n、p的大小关系为             （用“＜”连接）． 【答案】解：（1）二次函数y=ax²的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y=-2x²+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）； （2）∵函数y=ax²与函数y=-2x²+c的形状相同， ∴a=±2， ∵抛物线y=ax²沿y轴向下平移2个单位得到y=ax²-2，与y=-2x²+c的图象完全重合， ∴c=-2， 故答案为±2，-2． （3）由函数y=-2x²+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴， 当x分别等于-2，1，5时，对应的m，n，p的值分别为： m=-8+c，n=-2+c，p=-50+c ∵-50<-8<-2 ∴-50+c<-8+c<-2+c ∴p＜m＜n, 故答案为p＜m＜n. 【举一反三6】若抛物线y=ax²+c是由y=ax²向下平移4个单位而得到的，且该抛物线与直线y=-2x+1交于点（-1，m）． （1）求抛物线y=ax²+c的解析式，并写出它的对称轴，顶点坐标及最值； （2）求（1）中的抛物线与直线y=2x+1的交点坐标AB两点（点A在B点的左侧），并求出顶点C与AB构成的三角形的面积． （3）求出（1）中抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】解：（1）∵y=ax²向下平移4个单位得到y=ax²-4， 而抛物线y=ax²+c是由y=ax²向下平移4个单位而得到的，∴c=-4． 将点（-1，m）代入y=-2x+1，得m=-2×（-1）+1=3， 将点（-1，3）代入y=ax²-4，得3=a×（-1）2-4，解得a=7， ∴抛物线y=ax²+c的解析式为y=7x²-4， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为（0，-4），有最小值-4； （2）由，解得，， ∵点A在B点的左侧，∴A（-，-），B（1，3）．设直线y=2x+1与y轴的交点为D， 则D（0，1）． ∵C（0，-4），∴△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积=×5×+×5×1=5； （3）∵y=7x²-4，∴当y=0时，7x²-4=0，解得x=±， ∴（1）中抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（-，0）． 【题型2】二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【典型例题】已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（   ） A. B. C. D.0 【答案】A 【解析】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 【举一反三1】已知函数y=-(x-2)2的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵函数y=-(x-2)2， ∴图象开口向下，对称轴为直线x=2， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵1<2<， ∴， 故选：C． 【举一反三2】已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（    ） A.2或4 B.0或4 C.2或3 D.0或3 【答案】B 【解析】解：函数的对称轴为：x=h， ①当时，x=3时，函数取得最小值1，即， 解得h=4或h=2（舍去）； ②当时，x=1时，函数取得最小值1，即， 解得h=0或h=2（舍去）； ③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立， 综上，h=4或h=0， 故选：B． 【举一反三3】已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是      ． 【答案】 【解析】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，即， 二次函数解析式为， 当时，， 故答案为：-16． 【举一反三4】抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______. 【答案】6 【解析】∵抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B， ∴0=(x-3)2，解得x=3， 当x=0，y=4，∴A（3，0），B（0，4）， ∴△AOB的面积为×3×4=6． 【举一反三5】已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得，解得， 解析式为y=-x+4． （2）设M点的坐标为（m，n）， ∵S△AMP=3，∴（4-1）n=3，解得n=2， 把M（m，2）代入为2=-m+4得，m=2，M（2，2）， ∵抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0）， 可得y=a（x-1）2，把M（2，2）代入y=a（x-1）2得2=a（2-1）2， 解得a=2，函数解析式为y=2（x-1）2． 【题型3】二次函数y=a(x-h)2与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】将抛物线y=x²平移得到抛物线y=（x+3）2，则这个平移过程正确的是（　　） A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移3个单位 【答案】A 【解析】抛物线y=x²的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0）， ∵点（0，0）向左平移3个单位可得到（-3，0）， ∴将抛物线y=x²向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2． 【举一反三1】将某抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y=x²，则该抛物线为（　　） A.y=x²+1 B.y=x²-1 C.y=（x-1）2 D.y=（x+1）2 【答案】C 【解析】将某抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线解析式为y=x²，则该抛物线为y=-（x-1）2． 【举一反三2】将抛物线y=-x²平移得到抛物线y=-（x-2）2，则这个平移过程正确的是（　　） A.向左平移2个单位 B.向右平移2个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 【答案】B 【解析】解：根据“左加右减”规律了，将抛物线y=x²平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2个单位， 故选：B． 【举一反三3】若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？（　　） A.向上平移１个单位 　 B.向下平移１个单位 C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位 【答案】D 【解析】据题意E（x，）这个函数是y==（x－1）²，E（x，）是y=x²，根据二次函数图象的性质知，y==（x－1）²的图象可以由y=x²的图象向右平移１个单位得到. 【举一反三4】若二次函数y=2x²的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h=_______． 【答案】2 【解析】二次函数y=2x²的图象向左平移2个单位长度得到y=2（x+2）2，即h=2. 【举一反三5】在平面直角坐标系中，将二次函数y=-2x²的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数关系式是______________. 【答案】y=-2（x-1）2 【解析】原抛物线y=-2x²的顶点为（0，0），向右平移1个单位长度，那么新抛物线的顶点为（1，0）； 可设新抛物线的解析式为y=-2（x-h）2，代入得y=-2（x-1）2． 【举一反三6】函数y=（x+1）2的图象，可以由函数y=（x-1）2的图象向_______平移_____个单位得到． 【答案】左；2 【解析】函数y=（x+1）2的图象，可以由函数y=（x-1）2的图象向左平移2个单位得到． 【举一反三7】如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1． （1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式； （2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标． 【答案】解：（1）由题意可知，A（1，0），A1（2，0），B1（2，1）， 设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-1）2； ∵此抛物线过点B1（2，1）， ∴1=a（2-1）2，∴a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x-1）2； （2）∵当x=0时，y=（0-1）2=1， ∴D点坐标为（0，1）， 由题意得OB在第一象限的角平分线上， 故可设C（m，m）， 代入y=（x-1）2；得m=（m-1）2； 解得m1=＜1，m2=＞1（舍去）． 故C点坐标为（，）． 【举一反三8】已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（-1，0），且过点A（-2，-）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点B（2，-2）在这个函数图象上吗？ （3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案． 【答案】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（-1，0）， ∴m=1， ∴二次函数y=a（x+1）2， 把点A（-2，-）代入y=a（x+1）2，得a=-， 则抛物线的解析式为：y=-（x+1）2． （2）把x=2代入y=-（x+1）2得y=-≠-2， 所以，点B（2，-2）不在这个函数的图象上； （3）根据题意设平移后的解析式为y=-（x+1+m）2， 把B（2，-2）代入得-2=-（2+1+m）2， 解得m=-1或-5， 所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B． 【题型4】二次函数y=ax²＋k的图象 【典型例题】在同一坐标系中，作y=2x²+2、y=-2x²-1、y＝x²的图象，则它们（　　） A.都是关于y轴对称 B.顶点都在原点 C.都是抛物线开口向上 D.以上都不对 【答案】A 【解析】经过观察可得3个二次函数的一次性系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴． 【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-kx+1与二次函数y=x²+k的大致图象可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由y=x²+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意； ∵二次函数y=x²+k与y轴交于负半轴，则k＜0， ∴-k＞0， ∴一次函数y=-kx+1的图象经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意； 故选：A． 【举一反三2】在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x²+m的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，-m＜0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，-m＞0，正确． 【举一反三3】在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限． 【举一反三4】若二次函数y=mx²+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由二次函数y=mx²+n的图象可得：m＜0，n＞0， 所以，一次函数y=mx+n的图象过一、二、三象限． 故选：B． 【举一反三5】若函数y=mx+5（m≠0）的图象不经过第四象限，那么二次函数y=mx²+m的图象可能出现在（　　） A.三、四象限 B.一、二、三、四象限 C.一、三、四象限 D.一、二象限 【答案】D 【解析】解：∵函数y=mx+5（m≠0）的图象不经过第四象限， ∴m＞0， ∴函数y=mx²+m的图象为开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，m）的抛物线， ∴函数y=mx²+m的图象在第一、二象限． 故选：D． 【举一反三6】（1）请在如图中的坐标系中画出函数y=x²-x和y=x+1的图象； （2）观察图象，直接写出方程x²-2x-1=0的根． 【答案】解：列表得： （2）写出方程的根为-0.4，2.4． 【举一反三7】在同一直角坐标系中画出二次函数y=x²+1与二次函数y=-x²-1的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【答案】解：如图： （1）y=x²+1与y=-x²-1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，y=x²+1与y=-x²-1的不同点是：y=x²+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y=-x²-1开口向下，顶点坐标是（0，-1）； （2）性质的相同点：开口程度相同；不同点：y=x²+1，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；y=-x²-1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 【题型5】与二次函数y=a(x-h) 2＋k有关的综合性问题 【典型例题】已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 【答案】B 【解析】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时， 当x＝1时，y取得最小值5， （1﹣h）2+1＝5， h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h， 当x＝3时，y取得最小值5， （3﹣h）2+1＝5， h＝5或h＝1（不合题意，舍去）， 故选：B． 【举一反三1】已知抛物线y=-（x-1）2+m（m是常数），点A（x1，y1），B（x²，y2）在抛物线上，若x1＜1＜x²，x1+x²＞2，则下列大小比较正确的是（　　） A.m＞y1＞y2 B.m＞y2＞y1 C.y1＞y2＞m D.y2＞y1＞m 【答案】A 【解析】∵y=-（x-1）2+m， ∴a=-1＜0，有最大值为m， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线y=-（x-1）2+m对称轴为直线x=1， 设A（x1，y1）的对称点为A′（x0，y1）， ∴=1，∴x1+x0=2， ∵x1+x²＞2，∵x1＜1＜x²， ∴1＜x0＜x²，∴m＞y1＞y2． 【举一反三2】已知点A（a，3），B（b，3），C（c，8）都在抛物线 y＝（x﹣2）2﹣k上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（　　） A.若c＜0．则c＜a＜b B.若c＜0，则a＜c＜b C.若c＞0，则c＜a＜b D.若c＞0，则a＜c＜b 【答案】A 【解析】解：∵y＝（x﹣2）2﹣k， ∴对称轴为直线x＝2，且开口向上， ∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大， ∵点A（a，3），B（b，3），A在点B左侧 ∴a＜b，A与B关于直线x＝2对称，且点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， 当c＞0时， ∵8＞3＞2， ∴y随x的增大而增大， ∴a＜b＜c， 当c＜0时， ∵8＞3＞2， ∴y随x的增大而减小， ∴c＜a＜b， 故选：A． 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）．在运动过程中，四边形PABQ的面积最小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：设点P的运动时间为x，四边形PABQ面积为y， 则AP＝x，CQ＝2x， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴CA＝＝3cm． ∴CP＝3﹣x， ∴y＝×3×4﹣×2x（3﹣x）＝（x﹣）2+． ∴当x＝时，y有最小值， 故选：C． 【举一反三4】将抛物线y=2x²先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点（1，5），则新抛物线与y轴交点的坐标             ． 【答案】（0，15） 【解析】解：将抛物线y=2x²先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线为y=2（x-m）2-3， ∵抛物线经过点（1，5）， ∴2（1-m）2-3=5， 解得m1=-1，m2=3． ∵m＞0， ∴m=-1（舍去），得到m=3． ∴新抛物线的表达式为y=2（x-3）2-3． 将x=0代入到新抛物线中，得到：y=15， ∴与y轴的交点坐标为（0，15）． 故答案为：（0，15）． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点C是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上另一点，且BC∥x轴，以CB为边向上作等边三角形ABC，BC边上的高AD交抛物线于点E，则阴影部分图形的面积为_____________. 【答案】 【解析】根据抛物线y=a（x-3）2+k得BC=2×3=6， ∵△ABC是等边三角形，∴AD=3， 根据二次函数图象的对称性得S阴影=S△ABD=×3×3=. 【举一反三6】如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC+BD＝8cm，四边形ABCD的面积最大值为 　  　cm2． 【答案】8 【解析】解：设AC＝x cm，四边形ABCD面积为S，则BD＝（8﹣x）cm， 则：S＝AC•BD＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+8， 当x＝4时，S最大＝8； 所以，四边形ABCD的面积最大值为8cm2， 故答案为：8． 【举一反三7】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米． （1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式； （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？ 【答案】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出， ∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6， 解得a=-，故y与x的关系式为y=-（x-6）2+2.6； （2）当x=9时，y=-（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 当y=0时，-（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x²=6-2（舍去），故会出界； （3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）， 代入解析式得，解得， 此时二次函数解析式为y=-（x-6）2+，此时球若不出边界h≥， 当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43）， 抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）， 代入解析式得，解得，此时球要过网h≥， 故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥． 【举一反三8】如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上，二次函数y＝(x-h)2+k的图象经过B、C两点． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围； （3）设m＜，且A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，试比较y1、y2的大小，并简要说明理由． 【答案】解：（1）∵正方形OABC的边长为2， ∴点B、C的坐标分别为（2，-2），（0，-2），对称轴x=h==1， 把C（0，-2）代入二次函数y＝(x-h)2+k， 解得k=-，∴二次函数的顶点坐标为（1，-）； （2）当y=0时，（x-1）2-=0，解得x1=-1，x²=3， ∴当y＞0时，x＜-1或x＞3； （3）点A（m，y1）关于x=1对称点为（2-m，y1）， ∵m＜，∴m+1＜2-m，∴y1＞y2． 【题型6】与二次函数y=ax²＋k有关的综合性问题 【典型例题】两条抛物线y1=-x²+b，y2=-x²-b与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的部分的面积为8，则b等于（　　） A.1 B.-3 C.4 D.-1或3 【答案】A 【解析】∵两解析式的二次项系数相同， ∴两抛物线的形状完全相同， ∴y1-y2=-x²+b-（-x²-b）=2b； ∴2b×|2-（-2）|=8b=8， ∴b=1． 【举一反三1】如图，抛物线y=2x²-1与直线y=x+2交于B、C两点，抛物线顶点为A，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】易知：y=2x²-1的顶点A的坐标为（0，-1），直线y=x+2于y轴的交点为（0，2）， 联立两函数的解析式，得，解得，． 所以B（-1，1），C（，）． S△ABC=×（1+2）×1+×（1+2）×=． 【举一反三2】已知抛物线y1=-2x²+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0． 下列判断： ①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越大； ③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是-或． 其中正确结论的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】∵x＞0时，函数y2的图象在上面，∴y2＞y1，故①错误． 当x＜0时，M的值=y1或y2，∵x＜0，y随x增大而增大，∴x值越大，M值越大，故②正确． 观察图象可知M的最大值为2，∴使得M大于2的x值不存在，故③正确. y2=1时，x=-，y1=1时，x=±，观察图象可知：x=-或时，M=1，故④正确． 【举一反三3】若二次函数y=ax²+4，当x分别取x1、x²（x1≠x²）时，函数值相等，则当x取（x1+x²）时，函数值为___________． 【答案】4 【解析】∵二次函数y=ax²+4的对称轴为y轴，x分别取x1，x²时函数值相等，∴x1+x²=0， ∴当x取x1+x²时，函数值y=4． 【举一反三4】若点P（-1，a）和Q（1，b）都在抛物线y=-x²+1上，则线段PQ的长为_____. 【答案】2 【解析】因为抛物线y=-x²+1的对称轴是y轴，已知点P（-1，a）和Q（1，b）都在抛物线y=-x²+1上，所以P、Q关于y轴对称，到y轴距离相等；将x=1代入函数式可得y=1；则线段PQ的长为2×1=2． 【举一反三5】如图，在坐标系中，点O是边长为2的正方形ABCD的中心，函数y=x²+c，使它的图象与正方形ABCD有公共点，则c的取值范围是____________． 【答案】-2≤c≤1 【解析】∵点O是边长为2的正方形ABCD的中心， ∴AB与y轴的交点为（0，1），点D的坐标为（1，-1）， 把（0，1）代入y=x²+c得c=1，把（1，-1）代入y=x²+c得c=-2， ∴-2≤c≤1． 【举一反三6】如图，抛物线y=-x²+4交x轴于A、B两点，顶点为C． （1）求△ABC的面积； （2）在抛物线上求点P，使S△PAB=S△ABC． 【答案】解：（1）设y=0，则y=-x²+4=0，∴x=±2， 设x=0，则y=4， ∴A（-2，0），B（2，0），C（0，4）． ∴S△ABC=×4×4=8． 所以△ABC的面积是8． （2）∵S△PAB=S△ABC，∴点P的纵坐标为±2， 当y=2时，代入抛物线有2=-x²+4，得x=±． 当y=-2时，代入抛物线有-2=-x²+4，得x=±． 所以点P的坐标为（，2），（-，2），（，-2），（-，-2）． 【举一反三7】如图，抛物线y=-x²+3与x轴交于A，B两点，与直线y=-x+b相交于B，C两点，连结A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】解：（1）令y=0，则-x²+3=0，解得x=±2，所以点B的坐标为（2，0）， 代入y=-x+b得，-×2+b=0，解得b=，所以直线BC的解析式为y=-x+． （2）联立，解得，， 所以点C的坐标为（-1，）， ∵AB=2-（-2）=2+2=4，∴S△ABC ==. 【题型7】二次函数y=a(x-h) 2＋k的图象和性质 【典型例题】下列抛物线顶点坐标为（1，0）的是（　　） A.y＝x²+1 B.y＝x²﹣1 C.y＝（x+1）2 D.y＝（x﹣1）2 【答案】D 【解析】解：A、y＝x²+1的顶点为（0，1）， B、y＝x²﹣1的顶点为（0，﹣1）； C、y＝x²﹣1的顶点是（﹣1，0）； D、y＝（x﹣1）2的顶点是（1，0）； 故选：D． 【举一反三1】二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的最大值是（　　） A.7 B.﹣7 C.2 D.﹣2 【答案】A 【解析】解：在二次函数的y＝﹣（x﹣2）2+7中，a＝﹣1＜0，顶点坐标（2，7）， 则函数y＝﹣（x﹣2）2+7有最大值7． 故选：A． 【举一反三2】二次函数y=（x-2）2+1的图象上的顶点坐标是（　　） A.（-2，-1） B.（2，1） C.（1，2） D.（-1，-2） 【答案】B 【解析】二次函数y=（x-2）2+1的图象的顶点坐标是（2，1）． 【举一反三3】对于抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，下列判断正确的是（　　） A.抛物线开口向上 B.抛物线的顶点坐标为（1，﹣2） C.抛物线对称轴为x＝﹣1 D.当x＝4时，y＞0 【答案】C 【解析】解：∵y＝﹣3（x+1）2﹣2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，﹣2）， 当x＝4时，y＝﹣3×25﹣2＜0， 故C符合题意． 故选：C． 【举一反三4】如果二次函数y=（x+k）2+k2-4的对称轴是x=3，那么k=_______ 【答案】-3 【解析】由y=（x+k）2+k2-4可知二次函数的对称轴为x=-k， 又对称轴是x=3，即k=-3． 【举一反三5】二次函数y=（x-1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为____________． 【答案】-1＜x≤0或2≤x＜3 【解析】当y=2时，（x-1）2+1=2，解得x=0或x=2， 当y=5时，（x-1）2+1=5，解得x=3或x=-1， 又抛物线对称轴为x=1，∴-1＜x≤0或2≤x＜3． 【举一反三6】如图，已知直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M． （1）求直线l的函数解析式； （2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式． 【答案】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b， 把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得，解得， 解析式为y=-x+4． （2）设M点的坐标为（m，n）， ∵S△AMP=3，∴（4-1）n=3，解得n=2， 把M（m，2）代入为2=-m+4得，m=2，M（2，2）， ∵抛物线y=a（x-h）2的顶点为P（1，0）， 可得y=a（x-1）2， 把M（2，2）代入y=a（x-1）2得，2=a（2-1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x-1）2． 【举一反三7】已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3． （1）该抛物线开口向 　   　，对称轴是 　   　，顶点坐标是 　   　． （2）在直角坐标系中画出的图象． （2）①列表： ②描点、连线： 【答案】解：（1）由抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3可知， a＝﹣1＜0，开口向下， 对称轴是：直线x＝2， 顶点坐标为：（2，3）； 故答案为：下，x＝2，（2，3）； （2）①列表： 故答案为：0；1；2；3；4；﹣1；2；3；2；﹣1； ②描点、连线： 【题型8】二次函数y=a(x-h) 2＋k与y=ax²图象之间的平移 【典型例题】抛物线y=x²向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A.y=（x+2）2+3 B.y=（x-2）2+3 C.y=（x-2）2-3 D.y=（x+2）2-3 【答案】B 【解析】函数y=x²向右平移2个单位，得y=（x-2）2； 再向上平移3个单位，得y=（x-2）2+3． 【举一反三1】将二次函数y=-2（x+1）2-5的图象向右移动一个单位，再向上移动5个单位后得到的二次函数解析式为（　　） A.y=-2x² B.y=-2（x-2）2 C.y=-2（x-2）2-10 D.y=-2x²-10 【答案】A 【解析】抛物线y=-2（x+1）2-5的顶点坐标是（-1，-5），将其图象向右移动一个单位，再向上移动5个单位后得到新抛物线的顶点坐标是（0，0），则新抛物线的解析式为y=-2x²． 【举一反三2】要得到抛物线y=2（x-4）2-1，可以将抛物线y=2x²（　　） A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【解析】∵y=2（x-4）2-1的顶点坐标为（4，-1），y=2x²的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=2x²向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2（x-4）2-1． 【举一反三3】将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A.y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B.y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C.y＝﹣（x﹣5）2+11 D.y＝﹣（x﹣1）2+11 【答案】A 【解析】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1． 故选：A． 【举一反三4】已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的图象与x轴有一个交点的横坐标为1，将此抛物线关于y轴对称得到抛物线C2，则C2的解析式为________________． 【答案】y=（2-x）2-5 【解析】 ∵抛物线C1：y=a（x+2）2-5的图象与x轴有一个交点的横坐标为1， ∴0=a（1+2）2-5，解得a=，∴此抛物线的解析式为y=（x+2）2-5． ∵抛物线C1与C2关于y轴对称，∴C2的解析式为y=（2-x）2-5． 【举一反三5】把抛物线y=（x+3）2-5向左平移3个单位，再向上平移6个单位平移所得的新的抛物线解析式为             ． 【答案】y=（x+6）2+1 【解析】解：抛物线y=（x+3）2-5的顶点坐标为（-3，-5），将其向左平移3个单位，再向上平移6个单位后的顶点坐标为（-6，1）， 所以，所得抛物线解析式为y=（x+6）2+1． 故答案为：y=（x+6）2+1． 【举一反三6】将抛物线y=2x²经过适当的平移，得到抛物线y=2（x﹣5）2+3，那么应该怎样平移？ 【答案】解：∵y=2（x﹣5）2+3的顶点坐标为（5，3），y=2x²的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=2x²向右平移5个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y=2（x﹣5）2+3． 【题型9】二次函数y=ax²＋k的性质 【典型例题】抛物线y=-2x²-3与y轴交点的纵坐标为（　　） A.-3 B.-4 C.-5 D.-1 【答案】A 【解析】解：当x=0时，y=-3． 所以，抛物线y=-2x²-3与y轴交点的纵坐标为-3， 故选：A． 【举一反三1】抛物线y=3x²，y=-3x²，y=x²+3共有的性质是（　　） A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】y=3x²开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；y=-3x²开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；y=x²+3开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为（0，3）． 【举一反三2】下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（　　） A.y=3x²+1 B.y=-2x²+1 C.y=x+1 D.y=-5x+1 【答案】C 【解析】解：A、函数y=3x²+1在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数y=-2 x²+1中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数y=x+1中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数y=-5x+1中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【举一反三3】抛物线y=x²-2在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而            ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】解：∵y=x²-2， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴x＜0时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【举一反三4】对于抛物线y=-x²+3，下列说法： ①开口向下；②对称轴是y轴；③顶点在x轴上； ④顶点是（0，3）；⑤顶点是（0，-3）；⑥有最低点， 其中正确的说法有________.（填序号） 【答案】①②④ 【举一反三5】已知函数y=ax²（a≠0）与直线y=2x-3交于A（1，b）． 求：（1）a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数y=ax²中的y随x的增大而增大； （3）求抛物线y=ax²与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标． 【答案】解：（1）把点A（1，b）代入y=2x-3得b=2×1-3=-1， 把点A（1，-1）代入y=ax²得a=-1； （2）∵a=-1，∴二次函数y=ax²为y=-x²，它的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大； （3）解方程组得 ，， ∴抛物线y=ax²与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标是（-3，-9）． 学科网（北京）股份有限公司 $