重难点01：绝对值的十大经典问题 　2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义（沪教版2024）

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 绝对值的十大经典问题 题型01：绝对值的意义 【例1】符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【答案】B 【分析】根据已知条件依次判断即可. 【解析】∵， ∴a为负数， 表示a的相反数， ∴表示：负数的绝对值等于它的相反数.因此 B选项正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，熟练掌握实数的绝对值的意义是解题的关键. 【例2】如果，那么__________；如果，那么__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的性质解答即可． 【解析】解：， ； ， ； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质． 【例3】绝对值小于2的正整数有____________； 【答案】1 【分析】根据绝对值的性质即可解答． 【解析】解：绝对值小于2的正整数有1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 题型02：绝对值的非负性及应用 【例4】若+=0 ，求的值. 解：由题可得 则 【例5】已知，则x + y =_______． 【总结】考察绝对值的非负性． 【答案】-1 【例6】已知与互为相反数，，互为倒数，试求的值． 解：由于和都是非负数 所以 得： 【例7】已知|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝　　． 【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x、y的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，， 由①得，x＝2， 把x＝2代入②得，2+2y﹣8＝0， 解得y＝3， ∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质．解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，能够正确利用非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值． 【例8】已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式后拆项变形，抵消合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴ ． 题型03：已知数轴上点的位置化简绝对值 【例9】已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的数从左到右越来越大，绝对值的化简和去括号，根据相关知识点一一计算，得到正确答案，解题的关键是要正确的去掉绝对值； 【详解】解：由数轴可知： ∴； ∴原式， ， ． 故选：D． 【例10】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 【例11】如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． （1）比较大小：a＋b 0，b＋c 0，a－c 0； （2）化简：． 【答案】（1）<，>，<；（2）-2b-2c 【分析】（1）根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断a、b、c的大小关系，根据有理数的加法法则判断符号； （2）根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可． 【解析】（1）根据数轴可得a＜b＜0＜c． 则a＋b＜0，b＋c>0，a－c<0． 故答案是：<，>，<； （2） ＝-(a+b)−（b+c）+（a-c） ＝-a-b−b-c + a-c ＝-2b-2c． 【点睛】本题考查了利用数轴比较数的大小，右边的数总是大于左边的数，以及绝对值的性质，正确根据性质去掉绝对值符号是关键． 【例12】已知，且，数轴上a，b，c对应的点是A，B，C． （1）若时，请在数轴上标出A，B，C的大致位置，并判断a，b，c的大小； （2）在（1）的条件下，化简． 【答案】（1）数轴见解析，c＜a＜b；（2）c-a 【分析】由题意知a，b异号，a，c同号，且a，b，c点离原点距离已知， （1）根据|a|=-a可知a为负值，所以可判断b为正，c为负，从而可标示出点A、B、C在数轴上的大概位置； （2）根据数轴上标出的点的位置得到a-b和b-c的符号，再去绝对值化简即可． 【解析】解：根据ab＜0，＞0，可知a，b异号，a，c同号． （1）∵|a|=-a， ∴a＜0， ∴b＞0，c＜0， ∵|c|＞|b|＞|a|，所以A、B、C在数轴上的大致位置如下图： a，b，c的大小关系为：c＜a＜b； （2）由（1）可得：a-b＜0，b-c＞0， 原式=-a+b-（b-c） =-a+b-b+c =c-a 【点睛】本题考查正负数在数轴上的对应关系，关键是根据点所表示数的绝对值判断点在数轴上离原点的距离，也就是绝对值的几何意义． 题型04：已知字母的取值范围化简绝对值 【例13】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣1＞0，x﹣2＜0， ∴|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1． 故答案为：1． 【例14】当时，去绝对值后可化为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值化简．根据题意先判断绝对值内数的正负性，再根据绝对值定义即可得到本题答案． 【解析】解：∵当时，， ∴， 故答案为：． 【例15】已知非零实数a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|． 【分析】根据已知三等式判断出a，b及c的正负，进而确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0， ∴a＜0，b＜0，c＞0， ∴a+b＜0，c﹣b＞0，a﹣c＜0， ∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b． 【点评】此题考查了整式的加减，以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号． 【例16】若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值． 【分析】直接利用x，y的符号进而去绝对值，再合并求出答案． 【解答】解：∵x＞0，y＜0， ∴x﹣y+2＞0， y﹣x﹣3＜0， ∵|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3| ＝x﹣y+2+（y﹣x﹣3） ＝﹣1． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出各式的符号是解题关键． 【例17】若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 题型05：分类讨论化简绝对值 【例18】化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 解：当 则原式== 当 则原式== 当 则原式== 【例19】已知为非零实数，则的可能值为 ． 【答案】-2、0、2或4 【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【解析】解：①、b、c三个数都是正数时，，，，， 原式； ②、b、c中有两个正数时， 设为，，，则，，，原式； 设为，，，则，，，原式； 设为，，，则，，，原式； ③、b、c有一个正数时， 设为，，，则，，，原式； 设为，，，则，，，原式； 设为，，，则，，，原式； ④、b、c三个数都是负数时，即，，， 则，，，原式． 综上所述，的可能值、0、2或4． 故答案为：-2、0、2或4. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的基础，关键是正确有序地进行分类讨论． 【例20】若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 题型06：求字母的取值范围 【例21】如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 【答案】C 【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a， ∴﹣2a≥0， a≤0． 故选：C． 【例22】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【答案】B 【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1， ∴1﹣a≤0， ∴a≥1， 故选：B． 【例23】若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 【答案】A 【解答】解：因为|a﹣1|＝a﹣1，则a﹣1≥0， 解得：a≥1， 故选：A． 【例24】如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】D 【解答】解：∵|x﹣2|+x﹣2＝0，|x﹣2|≥0， ∴x﹣2≤0， ∴x≤2， 故选：D． 【例25】若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 【例26】已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，绝对值的几何意义； 表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和，当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为．因此，若方程无解，必有，从而求出的取值范围即可． 【详解】解：表示的几何意义是数轴上对应的点到和对应的点距离之和， 当对应的点在和对应的点之间任意位置时，有最小值，最小值为． 当时，方程无解． ， 或， 或． 故答案为：或． 题型07：解绝对值方程 【例27】解下列绝对值方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可； （2）根据绝对值的性质求解即可． 【解析】（1）解：， ； （2）解： ， 或， 解得：或． 【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【例28】解方程：． 【答案】或 【分析】分类讨论：，，根据负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值等于它本身，可化简方程，根据解方程，可得答案． 【解析】解：原方程可化为或， 解得或． 【点睛】本题考查解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【例29】解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，解一元一次方程，正确分类讨论，去绝对值是解题的关键． 分类讨论，分别解一元一次方程即可． 【详解】解：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：，不符合题意，舍； 当时，则， 解得：， ∴或． 【例30】已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 【例31】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 故答案为：或． （2）解：∵ ∴①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． 【例32】阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可； （2）根据绝对值的意义，可得或，求出两个一元一次方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴或， 解得或． 题型08：与绝对值有关的多结论问题 【例33】已知，且，求的值。 解：因为 所以同号 则时 时 或 【例34】已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，，，， ∴， 故①错误； 由，， 故即； 故②正确； ； 故③正确， ， 故④正确． 故选：C． 【例35】若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则、绝对值的性质、有理数的乘方，根据几个不相等的数的和为可知正确，根据任何数的平方都是非负数可知故正确，根据绝对值的性质可以判断错误． 【详解】解： ，且， 有可能，， 故正确； ， ， ， ， 故正确； ，且， 当、时， ， 当、时， ， 的值只能为， 故错误． 故正确结论是． 故选：C． 题型09：绝对值中的最值问题 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例36】当a＝　　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|1﹣a|≥0， ∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+2会有最小值， ∴当a＝1时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是2． 故答案为：1，2． 【例37】为任意数，当取最小值时，_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性可知，当取最小值时，取最小值为0即可求解． 【解析】解：，当取最小值时，则取最小值， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，以及有理数的加减法，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 【例38】当代数式取最小值时，相应的的取值范围是？ 解：当 则原式= 当时最小，最小值为 当时 则原式= 当时最小，最小值为 当时 原式== 所以原式最小时所对应的范围是 【例39】设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为　　． 【答案】8.5． 【分析】先根据1≤x≤3，确定x﹣1与x﹣3的符号，再根据绝对值的意义求解即可． 【解答】解：∵﹣1≤x≤3， 当﹣1≤x＜0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5； 当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5， ∴最大值与最小值之和为8.5； 故答案为：8.5． 【知识点】绝对值 【例40】求|x﹣3|+|x+1|的最值． 【分析】解法一：分情况分别求出|x﹣3|+|x+1|的值，通过比较得出答案；解法二：利用绝对值的几何意义，结合图形直观得出答案． 【解答】解法一：（1）当x≤﹣1时，原式＝3﹣x﹣x﹣1＝2﹣2x，由于x≤﹣1，所以2﹣2x≥4， （2）当﹣1＜x＜3时，原式＝3﹣x+x+1＝4， （3）当x≥3时，原式＝x﹣3+x+1＝2x﹣2，由于x≥3，所以2x﹣2≥4， 综上所述，|x﹣3|+|x+1|≥4，因此|x﹣3|+|x+1|有最小值，最小值为4． 解法二：如图：|x﹣3|+|x+1|所表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数3和﹣1点的距离的和， 由图形可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为3﹣（﹣1）＝4． 【知识点】绝对值 【例41】的最小值为______． 【答案】2022 【分析】根据绝对值的意义判断即可． 【解析】解：∵表示数轴上一个动点到、、三个点的距离之和， ∴当时最小，此时最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律及绝对值的几何意义是解题的关键． 【例42】如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________. 【答案】1 【分析】因为P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，即P的值与x无关，因此化简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案． 【解析】的值恒为一常数， P的值与x无关， , 且且且且， ， = =1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题的关键． 【例43】如图，数轴上有点a，b，c三点． （1）用“＜”将a，b，c连接起来． （2）b﹣a　　1，c﹣a+1　　0（填“＜”“＞”，“＝”） （3）化简：|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|． （4）求下列各式的最小值： ①|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为　　； ②|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为　　； ③当x＝　　时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为　　． 【答案】【第1空】＜ 【第2空】＜ 【第3空】2 【第4空】b-a 【第5空】a 【第6空】b-c 【分析】（1）由a，b，c在数轴上的位置可得a、b、c的大小关系； （2）根据a、b、c的在数轴上的位置，估算b﹣a，c﹣a+1的值，得出答案； （3）由a，b，c在数轴上的位置可以判断c﹣b，c﹣a+1，a﹣1的符号，再化简绝对值即可； （4）①由|x﹣1|+|x﹣3|的意义，可求出其最小值； ②由|x﹣a|+|x﹣b|的意义可得出其最小值为|a﹣b|，再根据a、b的大小，得出答案； ③根据|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的意义可得，当x为a、b、c中的中间的那个数时，其值最小，其最小值为最大数与最小数的差． 【解答】解：由点a，b，c在数轴上的位置可得． （1）c＜a＜b； （2）∵1＜a＜b＜2， ∴b﹣a＜1， 又∵﹣1＜c＜0， ∴c﹣a+1＜0， 故答案为：＜，＜； （3）由a，b，c在数轴上的位置可得． c﹣b＜0，c﹣a+1＜0，a﹣1＞0， ∴|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|＝b﹣c+c﹣a+1+a﹣1＝b． （4）①|x﹣1|+|x﹣3|的意义是数轴上表示数x的点到表示数1，到表示数3的点的距离之和，因此其最小值为3﹣1＝2， 故答案为：2； ②|x﹣a|+|x﹣b|的意义是数轴上表示数x的点到表示数a，到表示数b的点的距离之和，因此其最小值为|a﹣b|＝b﹣a， 故答案为：b﹣a； ③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的是数轴上表示数x的点到表示数a，到表示数b，到表示数c的点的距离之和，当x＝a时，其最小值数b到数c的距离，即b﹣c， 故答案为：a，b﹣c． 【知识点】有理数大小比较、非负数的性质：绝对值、绝对值、数轴 【例44】已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)①负，正；②<，>；③，； (2)； (3)①或10；②当时，最小，最小值为7，理由见解析． 【分析】（1）根据数轴得：，结合绝对值的定义即可解答； （2）根据题意可得数轴上两点间的距离等于两点之差的绝对值，由此可解； （3）①根据数a到3的距离是7可得a的值；②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小，由此可解． 【详解】（1）①由数轴可得：， ∴， 即a是负数，是正数， 故答案为：负，正； ②，， 故答案为：<，>； ③∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为：， 故答案为：； （3）①∵， ∴， 解得：或10， 故答案为：或10； ②表示a到的距离和a到3的距离之和，由数轴可得：当表示a的点在左侧或3右侧时，距离之和大于7，当表示a的点在和3之间时，距离为7，此时最小， ∴当时，最小，最小值为7． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【例45】阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 【例46】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)，1，3.5； (2)，或2； (3)； (4)； (5)1，9． 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点的距离，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． （1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围； （5）表示在数轴上点所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和，讨论两点之间的距离最小即可． 【详解】（1）解：如图， 点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1， ，两点之间的距离是， 故答案为：，1，3.5； （2）由题意得和之间的距离可表示为， ，两点之间的距离为3， ， 解得：或2， 故答案为：，或2； （3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等， 可得， ， 故答案为：； （4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点）， 的取值范围是． （5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和． 当时，的值最小，最小值为9， 当时，的值最小，最小值为0， 所以当时，的值最小， 最小值为9． 故答案为：1，9． 题型10：绝对值与数轴综合 【例47】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　． (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是　　． (5)若x表示一个有理数，当x为　　，式子有最小值为　　． 【答案】(1)4，5 (2)， (3)5 (4)或0或1或2或3 (5)3，6 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可； （2）根据数轴上A、B两点之间的距离列式计算即可； （3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x在与1之间时，有最小值5； （4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x在与3之间时（包含和3），，然后可得满足条件的所有整数x的值； （5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当时，有最小值，最小值为到4的距离，然后可得答案． 【解析】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4，5； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可表示为点x到1与两点距离之和， ∴当x在与1之间时，有最小值5， 故答案为：5； （4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：表示为点x到与两点距离之和为4， ∴当x在与3之间时（包含和3），， ∴满足条件的所有整数x的是或0或1或2或3； 故答案为：或0或1或2或3； （5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知：可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为到4的距离，即， 故答案为：3，6． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的几何意义，正确理解数轴上两点之间的距离以及绝对值的几何意义是解题的关键． 【例48】阅读材料 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．例如：可以看着数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以． 尝试应用 （1）的几何意义是表示的点与表示______的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是______； 拓展延伸 （3）求的最小值． 【答案】（1）－1；（2）1或−3；（3）2 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得； （2）由题意知表示数轴上到-1点距离为2的点，观察数轴可得； （3）求的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当−1≤x≤1时，有最小值，最小值为2． 【解析】解：（1）的几何意义是表示的点与表示－1的点之间的距离， 故答案为：－1； （2）， 表示数轴上到-1点距离为2的点， 则由图可知x＝1或x＝−3， 故答案为：1或−3； （3）根据题意，表示数轴上到-1和1距离和， 如图可知当−1≤x≤1时，有最小值，且最小值为2，, ∴的最小值是2． 【点睛】本题考查的是绝对值的几何意义，理解题意是关键． 【例49】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 【例50】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5； (2)5 (3)见解析； 【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可； ②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可； ③由图1可知，当时，的最小，最小值为5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【解析】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得； 故的值或． ②若点在线段上，得，， ； ③由图1可知，    当时，的最小， 原式， ， 故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； 故答案为：5； （3）如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ， ， ， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 绝对值的十大经典问题 题型01：绝对值的意义 【例1】符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【例2】如果，那么__________；如果，那么__________． 【例3】绝对值小于2的正整数有____________； 题型02：绝对值的非负性及应用 【例4】若+=0 ，求的值. 【例5】已知，则x + y =_______． 【例6】已知与互为相反数，，互为倒数，试求的值． 【例7】已知|2x﹣4|+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝　　． 【例8】已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式的值． 题型03：已知数轴上点的位置化简绝对值 【例9】已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例10】已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【例11】如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． （1）比较大小：a＋b 0，b＋c 0，a－c 0； （2）化简：． 【例12】已知，且，数轴上a，b，c对应的点是A，B，C． （1）若时，请在数轴上标出A，B，C的大致位置，并判断a，b，c的大小； （2）在（1）的条件下，化简． 题型04：已知字母的取值范围化简绝对值 【例13】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝　　 ． 【例14】当时，去绝对值后可化为 ． 【例15】已知非零实数a，b，c，|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|． 【例16】若x＞0，y＜0，求|x﹣y+2|﹣|y﹣x﹣3|的值． 【例17】若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05：分类讨论化简绝对值 【例18】化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 【例19】已知为非零实数，则的可能值为 ． 【例20】若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 题型06：求字母的取值范围 【例21】如果|﹣2a|＝﹣2a，则a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0 【例22】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【例23】若|a﹣1|＝a﹣1，则a的取值范围是（　　） A．a≥1 B．a≤1 C．a＜1 D．a＞1 【例24】如果|x﹣2|+x﹣2＝0，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【例25】若成立，那么x的取值范围是 ． 【例26】已知关于x的方程无解，则的取值范围是 ． 题型07：解绝对值方程 【例27】解下列绝对值方程： (1) (2) 【例28】解方程：． 【例29】解方程： 【例30】已知关于的方程有四个解，化简． 【例31】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)解方程：． 【例32】阅读，后解题： 因为，，所以当时，可得或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程： (1)； (2)． 题型08：与绝对值有关的多结论问题 【例33】已知，且，求的值。 【例34】已知数，，在数轴上的位置如图，下列说法： ①；②；③；④．其中正确结论序号是（   ） A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【例35】若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 题型09：绝对值中的最值问题 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 【例36】当a＝　　 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 　　 ． 【例37】为任意数，当取最小值时，_________． 【例38】当代数式取最小值时，相应的的取值范围是？ 【例39】设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为　　． 【例40】求|x﹣3|+|x+1|的最值． 【例41】的最小值为______． 【例42】如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________. 【例43】如图，数轴上有点a，b，c三点． （1）用“＜”将a，b，c连接起来． （2）b﹣a　　1，c﹣a+1　　0（填“＜”“＞”，“＝”） （3）化简：|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1|． （4）求下列各式的最小值： ①|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为　　； ②|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为　　； ③当x＝　　时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为　　． 【例44】已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【例45】阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【例46】先阅读材料，后探究相关的问题． 【阅读】 表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______． (2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______． (3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等； (4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______． (5)当　　时，的值最小，最小值是______． 题型10：绝对值与数轴综合 【例47】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．    利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值＝　　　． (4)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的是　　． (5)若x表示一个有理数，当x为　　，式子有最小值为　　． 【例48】阅读材料 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．例如：可以看着数轴上表示数2的点与表示数1的距离，所以． 尝试应用 （1）的几何意义是表示的点与表示______的点之间的距离； （2）观察数轴，若，则的值可以是______； 拓展延伸 （3）求的最小值． 【例49】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【例50】已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    1 学科网（北京）股份有限公司 $