精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区第四十九中学校2020-2021学年九年级 上学期 开学模拟数学(五四制)试卷

哈49中学九年级开学模拟测试数学卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( ) A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0 3. 在下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 15° C. 45° D. 60° 5. 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( ) A. B. C. D. 6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于(　 　) A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠DAC，AC=8，BC=16，那么 CD=（ ）     A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，在中，，，，则为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 16 9. 下列各组三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个钝角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______________. 12. 分解因式：______． 13. 化简计算：_____________． 14. 不等式组的解集为______. 15. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 16. 如图，，，，，，则_________ ． 17. 如图，，，，，则_________ ． 18. 正方形，点E为的中点，，点P在线段上，Q在线段上，且，若与相似，则CP＝_________ ． 19. 如图，BD=CD，AE=DE，延长BE交AC于F，且FC=4cm，则AF的长为_______． 20. 已知如图：正方形中，为上一点，延长至点，使，交于点G，若，则= _____________． 三、解答题（其中21－24题各6分，25－26题各8分，27－28题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 22. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边为1，点A、B、D在小正方形的顶点上． （1）在图a中画出（点C在小正方形顶点上），使是等腰三角形，且； （2）在图b中画出（E、F在小正方形顶点上），使且相似比为． 23. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 24. 一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）． 25. 已知：中，，，，． （1）求的长； （2）求的值． 26. 如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长度． 27. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形的顶点O为坐标原点，，点，的角平分线交OA于点C． （1）求直线的解析式； （2）动点P从A出发，以5个单位／秒的速度沿方向向终点O运动．过P作于点E，直线交射线于点F，设的长为，P点的运动时间为t，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接、，当的一边与平行时，求的正切值． 28. 已知：如图，在梯形中，，，，于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，探究的值，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈49中学九年级开学模拟测试数学卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式，利用同底数幂的除法法则，合并同类项法则、幂的乘方和单项式乘单项式法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，正确，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 2. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( ) A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可. 【详解】∵（x-3）（x+1）=x-3 ∴（x-3）（x+1）-（x-3）=0 ∴（x-3）（x+1-1）=0 ∴x1=0，x2=3． 故选D． 考点：解一元二次方程-因式分解法． 3. 在下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题的考点是轴对称图形和中心对称图形. 4. 若，则锐角（ ） A. 30° B. 15° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查根据锐角三角函数值求角的度数．牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 5. 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：正弦 由题意得， 故选D. 6. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设所对的边分别为， ， 不妨设，由勾股定理得到 ， 故选：B. 7. 如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠DAC，AC=8，BC=16，那么 CD=（ ）     A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得△ADC∽△BAC，则可以根据对应边成比例求出CD． 【详解】解：∵∠B=∠DAC，∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴ ，即， 解得CD＝4． 故选A. 【点睛】主要考查的是相似三角形的判定与性质．关键是根据已知相等的角，公共角证明两个三角形相似． 8. 如图，在中，，，，则为（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后根据相似三角形的面积比和相似比的关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 下列各组三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个钝角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案． 【详解】解：、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故不正确，不符合题意； 、两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比例，故不正确，不符合题意； 、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故不正确，不符合题意； 、两个等边三角形的各角度都为，可判定相似，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理有如下几个：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt三角形ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【详解】解：设CE=x，连接AE， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE=BC+CE=3+x， ∴在Rt三角形ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2， 解得x=． 故答案为B 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______________. 【答案】x≠−1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得x＋1≠0． 【详解】解：根据题意可得x＋1≠0； 解得x≠−1； 故答案为x≠−1. 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合运用提取公因式和平方差公式因式分解，熟练掌握综合运用提取公因式和平方差公式因式分解是关键．观察表达式，先提取公因式，再应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 化简计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 不等式组的解集为______. 【答案】3＜x≤4 【解析】 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得x≤4， 解②得x＞3． 则不等式组的解集是：3＜x≤4， 故答案为3＜x≤4. 【点睛】本题考查了不等式组的解法，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，确定解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 15. 如图， 在平行四边形 中， 在 上， 若 ， 则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据相似三角形的性质结合，可求得的值． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 16. 如图，，，，，，则_________ ． 【答案】9 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，求得，由，证明，得，进而可求得的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：9． 17. 如图，，，，，则_________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则根据相似三角形的性质得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，利用等比代换得到，再由得，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：5． 18. 正方形，点E为的中点，，点P在线段上，Q在线段上，且，若与相似，则CP＝_________ ． 【答案】1或2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由正方形，点E为的中点，，利用勾股定理可求长，若与相似，需要进行分类讨论，利用对应边成比例求得线段长． 【详解】解：正方形，点E为的中点，， ∴，， 由勾股定理得：， 若，如图， 则， 即， ； 若，如图， 则， 即， ， ∴长为1或2． 故答案为：1或2 19. 如图，BD=CD，AE=DE，延长BE交AC于F，且FC=4cm，则AF的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过D作AC的平行线交BF于G，利用三角形的中位线定理及全等三角形的性质解答即可． 【详解】易证△AEF≌△DEG，得到AF=DG，又可知BG=GF,故DG为△FBC的中位线，得到AF=2 20. 已知如图：正方形中，为上一点，延长至点，使，交于点G，若，则= _____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由正方形中，，易证得，则可得，继而可证得，则可得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（其中21－24题各6分，25－26题各8分，27－28题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值． ，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ， ∴原式． 22. 图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边为1，点A、B、D在小正方形的顶点上． （1）在图a中画出（点C在小正方形顶点上），使是等腰三角形，且； （2）在图b中画出（E、F在小正方形顶点上），使且相似比为． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、作图相似变换，掌握相关知识，充分利用网格是解决问题的关键． （1）利用方格纸，根据勾股定理画出等腰直角三角形； （2）根据图，利用方格纸，根据勾股定理按比例画出图． 【小问1详解】 证明：在和中，由勾股定理得：， 在中，， ，且， 为等腰直角三角形． 【小问2详解】 证明：在和中，由勾股定理得：， 在中，， ，， ， ∴且相似比为． 23. 已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】略 24. 一艘游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在处看到灯塔在游艇北偏东方向上，航行1小时到达处，此时看到灯塔在游艇北偏西方向上．求灯塔到航线的最短距离（结果保留根号）． 【答案】灯塔A到航线的最短距离为千米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形求解是解答的关键． 过A作于C，根据垂线段最短得知的长即为灯塔A到航线OB的最短距离，利用特殊角的三角函数求解即可． 【详解】解：过A作于C，则的长即为灯塔A到航线OB的最短距离， 根据题意，，千米， ∴， ， ∴，， ∴， 解得：（千米）， 故灯塔A到航线的最短距离为千米． 25. 已知：中，，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质． （1）由条件可证明，可得到，且，，，代入可求得； （2）由（1）可得，可求得，即可得的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得（负值已舍去）； 【小问2详解】 解：由（1）， ∴， ∵， ∴． 26. 如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用直角三角形斜边中线性质及同角的余角相等来推导角的关系，可推导出，已知，证明出； （2）先根据相似三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边中线性质得到的长度，最后勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ． 27. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形的顶点O为坐标原点，，点，的角平分线交OA于点C． （1）求直线的解析式； （2）动点P从A出发，以5个单位／秒的速度沿方向向终点O运动．过P作于点E，直线交射线于点F，设的长为，P点的运动时间为t，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接、，当的一边与平行时，求的正切值． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点C作，证明，得出，，利用勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，可求出C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分，两种情况讨论，在中， 利用正切、余切的定义求出，，在中，利用正切的定义求出，然后利用线段的和差关系求解即可； （3）当时，，过点D作，利用余弦的定义求出，进而求出，，则可求，利用P是的中点，得出，即可求解；当时，此时，过点D作，延长交于点M，利用余弦的定义求出，进而求出，，在中，，在中，，求出，可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵是的角平分线， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形的顶点O为坐标原点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：时，如图1，， ∵ ∴，，， ∵， 在中， ，， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴； 当时，如图2， 由上可知，， ∴ ∵， ∴， ∴时，；时，； 【小问3详解】 解：当时，如图3， 此时，，过点D作， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴， ∴； 当时，此时，如图4，过点D作，延长交于点M， ∴，，即 ∴； ∴， ∴， 在中，， ∵在中，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，勾股定理，三角函数，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28. 已知：如图，在梯形中，，，，于点E． （1）求证：； （2）延长交于点F，若，探究的值，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理； （1）先证明得到，再根据，，得到，则，即可根据得到； （2）先证明，得到，则，再由（1）得，得到，推出，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $