第22章 二次函数 单元测试2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．s=2t2-2t+1 B．y=ax2+bx+c C．y=3x-1 D．y= 2．抛物线y=-2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（-3，5） C．（-3，-5） D．（3，-5） 3．关于x的二次函数y=-（x-1）2+2，下列说法正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与y轴的交点坐标为（0，2） C．图象的顶点坐标是（-1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 4．二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若将抛物线y=2x2-1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A．y=2（x-2）2-1 B．y=2（x+2）2-1 C．y=2x2-3 D．y=2x2+1 6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=ax+b（ab≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　） A． B． C． D．1 8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x=1时函数有最大值2，下面的结论不正确的是（　　） A．a＜0 B．b2-4ac＞0 C．2a+b=0 D．ac＞0 9．（2024秋•蒙山县期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为（-1，4），则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x=1 B．抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜-1时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点的纵坐标是3 10．已知抛物线L的解析式为y=ax2-6ax+3（a≠0），则下列说法正确的是（　　） A．若点（-1，y1）与点（2，y2）都在抛物线L上，且y1＞y2，则有a＜0 B．若抛物线L的顶点A到原点的距离为5，则 C．若抛物线L只经过两个象限，则a＞3 D．当-1≤x≤4时，y有最小值为1，则a的值为或 11．抛物线Q：y=x2-2mx+2m-1（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移n（n＞0）个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（　　） A．2m-n=2 B．2m+n=2 C．2m-n=1 D．2m+n=1 12．如图，抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B、E，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=BE．当AD+BC的值最小时，点C的坐标是（　　） A．（2，1） B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．已知抛物线y=x2+2x-3，经过（-2，y1）和（2，y2）两点，则y1______y2（填“＞”“＜”或“=”）． 14．已知二次函数y=（a-3）x2-4x+2的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是 ______． 15．将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到的函数图象的表达式是 ______． 16．已知二次函数y=ax2的图象如图所示，点A在该抛物线上，A的横坐标是m,过点A作AB⊥y轴于点B，作AC⊥x轴于点C，连接BC交抛物线于点D． （1）若a=1，m=2，则OB：OC的值为______； （2）在（1）的条件下BD：CD的值为______． 17．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 ______． 三．解答题（共5小题） 18．已知二次函数y=-x2+2mx+3-m（m为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（1，3），求该二次函数的解析式． （2）若当-1≤x≤1时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p,最小值为q,且p-q=2m2-2m+1，求m的值以及此时函数在x=-1处的函数值． 19．在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b,c是常数）． （1）若c=2，当x=-1时，y=4，求y的函数表达式． （2）当c=b-2时，判断函数y=x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由． （3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值． 20．在二次函数y=x2-2mx-2m+3（m＞0）中． （1）若它的图象与x轴只有一个交点，求m的值和顶点坐标； （2）当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出m的值； （3）如果A（t-2，a），B（5，b），C（t,a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜-2m+3．求t的取值范围． 21．如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量y（单位：mg）和时间x（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h,图象是抛物线的一部分，9h后图象为直线的一部分． （1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4mg. ①求a,b的值； ②求药物在服用期间浓度不低于2mg持续的时间； （2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12h,且不得超过16h,求a的取值范围． 22．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx+3． （1）若该抛物线的对称轴为直线x=1，求其顶点坐标； （2）已知该抛物线的对称轴位于y轴右侧． ①当0≤x≤3时，y的最小值为-1，求m的值； ②若M（t-2，a），N（4，b），P（t,a）都是该抛物线上的点，且a＜b＜3，求t的取值范围． 人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、A 2、B 3、D 4、B 5、D 6、C 7、A 8、D 9、D 10、D 11、B 12、C  二．填空题（共5小题） 13、＜； 14、5； 15、y=2（x-2）2-3； 16、2；； 17、18；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵二次函数y=-x2+2mx+3-m的图象经过点（1，3）， ∴-1+2m+3-m=3， 解得：m=1， ∴二次函数的解析式为：y=-x2+2x+2； （2）∵y=-x2+2mx+3-m=-（x-m）2+m2-m+3， ∴顶点坐标为：（m,m2-m+3）， 如图，函数y=-x2+2mx+3-m的对称轴为直线x=-1时， ∴， 解得：m=-1， 如图，当x=-1与x=1函数值相等时， ∴-12-2m+3-m=-12+2m+3-m, 解得：m=0， ∴-1＜m≤0时， 如图， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为p=m2-m+3，最小值为x=1时的函数值q=-1+2m+3-m=m+2， ∵p-q=2m2-2m+1， ∴m2-m+3-m-2=2m2-2m+1， 解得：m=0， ∴二次函数为：y=-x2+3， 当x=-1时，y=2， 当直线x=1为对称轴时，如图， ∴， 解得：m=1， 当0＜m＜1时， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为p=m2-m+3，最小值为x=-1时的函数值q=-1-2m+3-m=-3m+2， ∵p-q=2m2-2m+1， ∴m2-m+3+3m-2=2m2-2m+1， 解得：m1=0（舍去），m2=4（舍去）， 综上：m=0，当x=-1时，y=2． 19、解：（1）把c=2代入得，y=x2+bx+2， ∵当x=-1时，y=4， ∴4=1-b+2， ∴b=-1， ∴二次函数的关系式为y=x2-x+2； （2）∵c=b-2， ∴Δ=b2-4c =b2-4（b-2） =b2-4b+8=（b-2）2+4＞0， ∴函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点； （3）∵的对称轴为直线：， 当时， ∴函数最大值为：y=22+2+2=8， 函数最小值为y=m2+m+2， ∴8-m2-m-2=5，即m2+m-1=0， 解得：（舍去）， ∴； 当时， ∴函数最大值为：y=22+2+2=8， 函数最小值为， ∴，不符合题意； 当m≤-3时， ∴函数最大值为：y=m2+m+2， 函数最小值为， ∴，即， ∴（两个都不符合题意，舍去）； ∴m的值为． 20、解：（1）∵y=x2-2mx-2m+3（m＞0），它的图象与x轴只有一个交点， ∴（-2m）2-4×1×（-2m+3）=0， ∴4m2+8m-12=0， m2+2m-3=0， （m+3）（m-1）=0， ∴m=-3或m=1， ∵m＞0， ∴m=1， ∴y=x2-2x+1=（x-1）2， ∴顶点坐标为（1，0）； （2）∵y=x2-2mx-2m+3=（x-m）2-m2-2m+3， ∴其对称轴为x=m,其顶点坐标为（m,-m2-2m+3）， 当0≤x≤3时，y的最小值为-2， ①当0≤m≤3时，x=m时，y取最小值，其最小值为-2， ∴-m2-2m+3=-2， m2+2m-5=0， ∴， ∵0≤m≤3， ∴； ②当m＞3时，当x=3时，y取最小值，其最小值为-2， ∴32-6m-2m+3=-2， ∴，不符合题意； 综上，； （3）∵A（t-2，a），C（t,a）都在这个二次函数y=x2-2mx-2m+3（m＞0）的图象上， ∴对称轴为， ∵y=x2-2mx-2m+3（m＞0）的对称轴为， ∴m=t-1， ∵m＞0， ∴t-1＞0， ∴t＞1， ∵当x=0时，y=x2-2mx-2m+3=-2m+3，对称轴为x=m, ∴x=2m时，y=-2m+3， ①当5在对称轴左边时，要使a＜b＜-2m+3时，需要满足0＜5＜t-2， ∴t＞7； ②当5在对称轴右边时，要使a＜b＜-2m+3时，需要满足t＜5＜2m,即t＜5＜2（t-1）， ∴3.5＜t＜5； 综上所述，3.5＜t＜5或t＞7． 21、解：（1）①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4， ∴，解得． ．∴ 当x=9时，． 把（9，3）代入， 解得b=6． ∴，b=6． ②将y=2代入，解得，（舍去）； 将y=2代入，解得x=12， 故持续时间为：（h）． （2）由题意可知，当x=12时，y≥0， 代入中，即， ∴b≥4； 当x=16时，y≤0． 代入中，即， ∴； ∴， 当x=9时，81a+12=b-3，此时b=81a+15， ∴． ∴． 22、解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线y=x2-2mx+3， ∴， 解得：m=1， ∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，2）． （2）①如图，该抛物线的对称轴位于y轴右侧， ∴， 当0＜m＜3时，顶点G的纵坐标最小， ∴， 解得：m=2（m=-2舍去）； 当m≥3时， 当x=3时，yG最小， ∴yG=9-6m+3=-1， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当0≤x≤3时，y的最小值为-1，m的值为2； ②∵M（t-2，a），N（4，b），P（t,a）都是抛物线y=x2-2mx+3上的点， ∴a=（t-2）2-2（t-2）m+3，b=16-8m+3=19-8m,a=t2-2mt+3， ∴对称轴为直线， ∴a=t2-2t（t-1）+3=-t2+2t+3， ∵m＞0，即t-1＞0， 解得：t＞1， ∵a＜b＜3， ∴19-8m＜3， 解得：m＞2，即t-1＞2， 解得：t＞3， ∴b=19-8m=19-8（t-1）=27-8t, ∵a＜b＜3， ∴-t2+2t+3＜27-8t, 整理得：t2-10t+24＞0， 设w=t2-10t+24，如图， 当w=t2-10t+24=0时， 解得：t=4或t=6， ∴当t2-10t+24＞0时，t＜4或t＞6， ∵t＞3， ∴t的取值范围为：3＜t＜4或t＞6． 学科网（北京）股份有限公司 $