22.3实际问题与二次函数之拱桥问题 知识点梳理+专题训练+优化提高+历年真题训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 实际问题与二次函数 教学目标 1、 应用之拱桥问题 2、 理解并运用二次函数一般式或顶点式求取最大、最小值 3、 理解并运用二次函数最值求取参数 4、 理解并运用x取值范围，求取二次函数最值 知识网络： 应用问题之面积问题 应用问题之拱桥问题 常规最值问题 实际问题与二次函数 拱桥问题 知识精讲： 利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要学会建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、所对应的函数图象等相等关系，罗列二次函数关系式，再利用二次函数的图象及性质去研究问题。在研究实际问题时要注意自变量的取值范围以及其具有的实际意义。 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； （3）用待定系数法求出抛物线的关系式； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 要点诠释： 常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等。解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式。 问题定位 例1 题类： 已知二次函数解析式求取点坐标 完成下列填空： （1）以拱桥的顶点为原点，经过该原点建立平面直角坐标系，可设这条抛物线的关系式为 . （2）如图，拱桥为抛物线形，其函数解析式为y = - 2x²，当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为 m；当桥拱顶点到水面距离为2m时，水面宽为 m，此时A点坐标为 ，B点坐标为 . 例2 题类：二次函数拱桥问题（无坐标系时需建系） 小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y = - x²+ 3.5的一部分，如图所示，若要命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是多少？ 例3 题类： 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；二次函数拱桥问题（无坐标系时需建系） 有一座抛物线拱形桥，在正常水位时，水面BC的宽为10米，拱桥的最高点D到水面BC的距离，DO为4米，点O是BC的中点，如图，以点O为原点，直线BC为x，建立直角坐标xOy. （1）求该抛物线的表达式； （2）如果水面BC上升3米（即OA = 3）至水面EF，点E在点F的左侧，求水面宽度EF的长. 例4 题类： 含两个未知系数：已知两点坐标求二次函数解析式；二次函数拱桥问题（无坐标系时需建系） 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。 （1）建立如图的坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）若洪水到来时水位以0.2m / h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？ 优化提高 【变式1】 某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为x轴，经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），CO =1m，FG = 2m。 （1）求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式； （2）求柱子AD的高度. 【变式2】练习6：某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示: （1）以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式； （2）某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由。 【变式3】 如图1，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B左侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB =4米，AC =3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计） （1）建立平面直角坐标系如图2．如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？请说明理由； （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？请说明理由. 【变式4】 王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y = - x²+ x，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m. （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴； （2）请求出球飞行的最大水平距离； （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式. 历年真题训练 真题1 题类：已知二次函数解析式判断函数顶点、开口方向与对称轴 （2024年广州花都区九上期末卷） 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB = 26cm，MN为水面截线，MN = 24cm，GH为桌面截线，AB//MN//GH，如果将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了7cm，则此时水面截线EF为（ ） A. 9cm B . 10cm C. 11cm D. 12cm 真题2 题类： 已知二次函数解析式，求平移后的二次函数解析式 （2024年黄埔区华师附黄埔实验中学九上期中卷）如图，一个一栋喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米，当喷射出的束流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ） A. 16米 B . 18米 C. 20米 D. 24米 真题3 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年广东实验中学区九上期中卷）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20 m，此时水位在0C处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离. （1）求此桥拱界面所在抛物线的表达式； （2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行，当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由. 真题4 题类： 已知二次函数，求取函数顶点坐标 （2024年黄埔区华师附黄埔实验中学九上期中卷） 如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式. 真题5 题类：已知最值与x取值范围，求取二次函数参数 （2024年广州第六中学九上期中卷）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线。建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米。现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米。 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离 真题6 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年广州四校九上期中卷）根据以下素材，探究完成任务. 答案： 二次函数的概念 问题定位 例1. （1）y = ax² （2）8；2；（-1,0）；（1,0） 例2. 解：由题意得：将y=3.05代入y = - x²+3.5 解得：x = ± L = 3 + = 4.5 例3. 解：（1）设抛物线解析式为y = ax² 将C（5，-4）代入得：a = - ∴ 抛物线表达式为：y = - x² （2）由题意得：将y = -1 代入y = - x² 得 x =± ∴ EF = 5 例4. 解：（1）由题意得：设D（5，b）、B（10，b - 3） 设抛物线解析式为：y = ax² 将D（5，b）、B（10，b - 3）代入 得： 解得： ∴ 抛物线解析式为 y = - x² （2） ∵ b = - 1 ∴ 拱桥顶O 到AB的距离为1+3 =4 ∴ 4 ÷ 0.2 = 20（小时） 答：从正常水位开始，再过20小时就可以达到桥面。 优化提高 【变式1】 解：（1）设二次函数解析式为：y=ax²+c 将C（0,1）、F（-4,2）代入 得： 解得： ∴ 二次函数解析式为 y= - x²+ 1 （2）将x = -8 代入得：y = 5 答：柱子AD的高度为5米。 【变式2】 解：（1）设二次函数解析式为y = ax² 将（-3，-3）代入得：a = - ∴ 二次函数解析式为y = - x² （2）将x = 1.5代入解析式得：y = 0.75 5 - 0.75 = 4.25（m） 4.25 < 4.5 答：此车不能通过隧道 【变式3】 解：（1）设抛物线解析式为：y = ax²+ c 将M（0，5）、B（2，0）代入解析式 得： 解得： ∴ 二次函数解析式为 y = - x²+ 5 将x = 1代入解析式得：y = 将x = 1.5代入解析式得：y = 桶高： × 5 = < < 答：网球不能落入桶内 （2） 设有m个圆柱形桶 < m < < m < ∵ m为整数 ∴ m为8,9,10,11,12 【变式4】 解：（1）抛物线开口方向为上，顶点坐标为（4，）对称轴为x = 4 （2）将y=0代入解析式为：x²- 8x = 0 解得：= 0 ，= 8 答：球飞行的最大水平距离为8米 （3） 由题意得：设抛物线解析式为y = ax²+ bx 将（5，）、（10,0）代入解析式 得： 解得： 答：抛物线解析式为y = - x²+ 历年真题训练： 真题1：B 真题2：C 真题3：解：（1）设抛物线解析式为y = ax²+ bx + c 将A（0,2）、P（10,6）、B（20,2）代入解析式 得： 解得： 答：桥拱界面所在抛物线的表达式为y = - x²+ + 2 （2）将y = 5代入解析式得：- x²+ + 2 =5 解得：= 5 ，= 15 15 - 5 = 10 < 12 答：此船不能通过桥洞 真题4：解：设抛物线解析式为：y = ax² 将B（10，-4）代入解析式得：a = - 答：抛物线解析式为y = - x² 真题5：解：（1）设抛物线解析式为：y = ax²+ bx + c 将（0,2）、（1,4）、（2,5.2）代入解析式 得： 解得： ∴ 抛物线的函数表达式为 y = - 0.4x²+ 2.4x + 2 （2）将y = 0代入解析式得：- 0.4x²+ 2.4x + 2 = 0 解得：= 3 + ，= 3 - 答：喷泉的落水点距水枪的水平距离为3+ 。 真题6：解：（1）设抛物线解析式为y = ax² 将D（10，-3）代入解析式得：-3 = 100a a = - ∴ y = - x² （2）由题意得：A（0，-1）、D（10，-3） 设AD抛物线解析式为y = -0.2x²+bx + c 将A（0，-1）、D（10，-3）代入 得： 解得： ∴ 抛物线解析式为y = - 0.2x²+1.8x - 1 ∵ a = - 0.2< 0 ∴ 当x = 4.5时，y有最大值 答：OA处喷出的水流在距离O点水平距离为4.5米时达到最高。 学科网（北京）股份有限公司 $