22.3 第1课时　图形面积的最值问题 课件 —2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.3　实际问题与二次函数 第1课时　图形面积的最值问题 栏目导航 要点概览 探究新知 1.利用二次函数解决实际问题的一般步骤 (1)分清题目中的数量关系,找出自变量和函数; (2)根据题目中的等量关系列出二次函数解析式; (3)求出自变量的取值范围,根据函数的解析式及性质或图象解决有关问题; (4)所求的结果要检验,找出符合题意和自变量取值范围的答案. 要点概览 2.求二次函数最大(小)值的常用方法 (1)配方法:将二次函数y=ax2+bx+c配方化成y=a(x-h)2+k的形式. 若a>0,当x=h时,函数y有最　 　值k;  若a<0,当x=h时,函数y有最　 　值k.  (2)公式法:在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 中, 小 大 小 大 3.利用二次函数解几何图形的最值问题 利用二次函数解几何图形的最值问题一般是根据几何图形建立二次函数求解图形中的面积或长度的最大(或最小)值问题. 探究新知 探究点一　求二次函数的最值 解:∵a-b2=4,∴b2=a-4. ∴y=a2-3b2+a-14=a2-3(a-4)+a-14=a2-2a-2=(a-1)2-3. ∵b2=a-4≥0,∴a≥4. ∴当a=4时,函数y=a2-3b2+a-14有最小值6. 【例1】 当a-b2=4时,求以a为自变量的函数y=a2-3b2+a-14的最小值. 6 求二次函数的最大值或最小值的方法 一般先将二次函数的一般式化为顶点式,根据二次函数图象的顶点是最高点或者最低点求出函数的最大值或最小值.若给定自变量的取值范围,则在取值范围内求出函数的最大值或者最小值,熟练转化二次函数解析式的形式及掌握确定最值的方法是解题的关键. 7 【新知巩固】 1.(2025北京期中)二次函数y=x2+2x-1的最小值是( ) A.0 B.-1 C.-2 D.-3 2.(2024泰安期中)二次函数y=-x2+6x+a的最大值是10,那么a的值等于 ( ) A.-1 B.1 C.3 D.4 3.二次函数y=x2-2x+1在-5≤x≤3范围内的最大值为　 　.  4.(2025黄埔区期中)函数y=x2+2x-3(-2≤x≤2)的最大值是　 　,最小值是　 　.  C B 36 5 -4 探究点二　几何图形问题 【例2】 用总长为80 m的篱笆围成一块矩形场地. (1)根据题意,填写下表: (2)设矩形一边长为x m,用含x的代数式表示矩形的另一边长为　　m. 解:(1)300　375　400　(2)(40-x) 矩形一边长/m 5 10 15 20 矩形面积/m2 175 　  　  　  (3)设矩形的面积为S m2,当x是多少时,矩形场地的面积最大?并求出矩形场地的最大面积. 解:(3)由题意,得S=x(40-x)=-x2+40x =-(x-20)2+400, 当x=20时,S取得最大值,最大值为400. 即当x=20时,矩形场地的面积最大,最大面积为400 m2. 图形面积的最值问题 求图形的面积时,常常涉及线段与线段之间的关系,通常根据图形中线段的关系,找到相应线段的长与面积之间的函数关系,建立二次函数模型,利用二次函数的性质求解. 【新知巩固】 5.(2024天津)如图所示,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过 26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 6.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为　 　.  7.如图所示,四边形ABCD中的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=6,当AC长为　 　时,四边形ABCD的面积最大.  50 cm2 3 8.如图所示,四边形ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材,当AM的长为何值时,截取的板材面积最小? 解:设AM的长为x m,则BM的长为(2-x)m,以AM和BM为边的两个正方形的面积之和为y m2, 根据题意,得y=x2+(2-x)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2.∵a=2>0, ∴当x=1时,y有最小值,最小值是2. ∴当AM=1 m时,截取的板材面积最小,最小面积为2 m2. 谢谢观赏！ 15 若a>0,当x=-时,函数y有最　 　值　 　; 若a<0,当x=-时,函数y有最　 　值　 　. $$