22.3 实际问题与二次函数 讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 实际问题与二次函数 教学目标 1、 常规最值问题 2、 理解并运用二次函数一般式或顶点式求取最大、最小值 3、 理解并运用二次函数最值求取参数 4、 理解并运用x取值范围，求取二次函数最值 知识网络： 应用问题之面积问题 应用问题之拱桥问题 常规最值问题 实际问题与二次函数 常规最值问题 知识精讲： y = ax²+ bx + c a>0 a<0 最值 当x = - 时，y有最小值 当x = - 时，y有最大值 y = a（x - h）²+ k a>0 a<0 最值 当x = h 时，y有最小值 k 当x = h 时，y有最大值 k 常规最值问题解题要点： 1、注意自变量x的范围 2、数形结合帮助理解 问题定位 例1 题类： 已知二次函数解析式求最值；判断函数增减性；求顶点坐标对称轴 （1） 二次函数y = x²- 2x - 3的开口向 ，对称轴 ，顶点坐标为 ，二次函数有最 值，最 值为 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小. （2）二次函数y = - 3（x + 1）² + 5的开口向 ，对称轴 ，顶点坐标为 ，二次函数有最 值，最 值为 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小. 例2 题类：已知二次函数解析式求最值；判断函数增减性；求顶点坐标对称轴 二次函数y = x²+ 8x + k - 1的最小值是5，则k的值是（ ） A. 22 B . - 22 C. 21 D. - 21 例3 题类： 已知二次函数解析式，求最值 抛物线y = - 2x²+ 4x + 6的最大值为 . 例4 题类： 已知二次函数解析式，比较纵坐标大小 抛物线y = - x²- 4ax的最大值是（ ） A. 4a² B . - 4a² C. 4 D. - 4 例5 题类： 求二次函数解析式；求二次函数对称轴、顶点坐标 如图，抛物线y = ax²+ bx + c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线L 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式 （2）求出抛物线的顶点坐标，对称轴及二次函数的最大值. 优化提高 【变式1】将抛物线y = x²- 4x + 21 的最小值是（ ） A. 21 B . - 21 C. 15 D. - 15 【变式2】关于x的二次函数y = -（x - 1）²- 2的最大值是（ ） A. 1 B . - 1 C. - 2 D. 2 【变式3】 抛物线y = 2x²- 4x + 4的对称轴为x = 2m - 2n，函数的最小值是4n - 3m，求实数m、n的值. 【变式4】二次函数y = - x²+ 4x + 5，求当 - 6 ≤ x ≤ 1的最值. 【变式5】二次函数y = x²- 6x - 14，求当 - 1 ≤ x ≤ 9的最值. 历年真题训练 真题1 题类：已知二次函数解析式求最值轴 （2024年白云区九上期末卷） 对于函数y = （x + 5）²- 4，下列说法正确的是（ ）. A. y的最大值是5 B. y的最大值是 - 5 C. y最大值是4 D. y的最大值是 - 4 真题2 题类： 已知二次函数解析式，求平移后的二次函数解析式 （2024年荔湾区九上期末卷）对于函数y = -（x + 1）²+ 4，下列说法正确的是（ ）. A. 当x> - 1时，y随x的增大而增大 B. 函数图象的对称轴是直线x = 1 C. 函数有最大值1 D. 函数图象与x轴有2个交点 真题3 题类： 已知二次函数，求取函数顶点坐标 （2024年天河区九上期末卷）下列关于二次函数y =（x - 2）²- 3的说法正确的（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是（-2，-3） C. 函数图象与y轴教育正半轴 D. y的最大值，最大值为 - 3 真题4 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年增城区九上期末）已知在二次函数y = a（x - 1）²- a（a≠0），当- 1 ≤ x ≤ 4时，y的最小值为- 4，则a的值为（ ） A. 或4 B. - 或- C. - 或4 D. - 或4 真题5 题类：已知最值与x取值范围，求取二次函数参数 （2024年广州真光中学九上10月月考卷） 若二次函数y = ax²+ 4x + a的最小值是3，则a的值为（ ） A. 4 B. -1或3 C. 3 D. 4或 -1 真题6 题类：根据二次函数图像性质，比较纵坐标大小 （2024年广州第三中学九上10月月考卷）已知二次函数y = -（x - h）²（h为常数），当自变量x的值满足2 ≤ x ≤ 5时，与其对应的函数值y的最大值为- 1，则h的值为 . 答案： 实际问题与二次函数 常规最值问题 问题定位 例1. （1）二次函数y = x²- 2x - 3的开口向 上 ，对称轴 x = 1 ，顶点坐标为 （1，-4） ，二次函数有最 小 值，最 小 值为 - 4 ，当x > 1 时，y随x的增大而增大，当x < 1 时，y随x的增大而减小. （2）二次函数y = - 3（x + 1）² + 5的开口向 下 ，对称轴 x = - 1 ，顶点坐标为 （-1，5 ） ，二次函数有最 大 值，最 大 值为 5 ，当x < - 1 时，y随x的增大而增大，当x > - 1 时，y随x的增大而减小. 例2. A 例3. 8 例4. B 例5. 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c 将A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）代入 得： 解得： ∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3 （2） 由（1）得：x= - = 1 将x=1代入y=-x²+2x+3得：y= 4 ∴ 顶点坐标为（1,4），对称轴为x=1，函数最大值为4 优化提高 【变式1】 C 【变式2】 C 【变式3】 解：由题意得：x= - = 1 = 2 - 4 + 4 = 2 解得： 【变式4】 解：由题意得：x= - = 2 ∵ - 6 ≤ x ≤ 1 在对称轴左侧，此时y随x 的增大而增大 ∴ 当x = 1时，y有最大值 当x = - 6时，y有最小值 ∴ = -1 + 4 + 5 = 8 = 36 - 24 + 5 = - 55 【变式5】 解：由题意得：x= - = 3 ∵ - 1 ≤ x ≤ 9 ，a = 1 >0，对称轴x = 3在此范围内 ∴ 当x = 31时，y有最小值 当x = 9时，y有最大值 ∴ = 9 -18 -14 = - 23 = 81 - 54 - 14 = 13 历年真题训练： 真题1：D 真题2：D 真题3：C 真题4：D 真题5：D 真题6：1或6 学科网（北京）股份有限公司 $