3.1.2 函数的表示法讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的表示法 2 【题型2】函数图象的作法及应用 5 【题型3】求函数的解析式 6 【题型4】分段函数求值(范围)问题 9 【题型5】分段函数的图象及应用 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数图象的作法及应用 1.描点法：列表、描点、连线. 2.平移变换作图法： (1)左加右减：函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象. (2)上加下减：函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象. 二、分段函数求值(范围)问题 (1)定义：函数y=f(x)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数称为分段函数. (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值. 2. 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的表示法 （2024秋•重庆期末）2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势．典例 下列说法错误的是　　 A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天12时所对应的温度为 D．根据图象，这一天21时所对应的温度为 【答案】 【分析】根据折线图中信息逐项判断即可． 【解答】解：根据折线图可得，11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低，故正确； 11月2日8时至次日8时重庆的平均气温为，最高气温为，故正确； 根据图象，这一天11时所对应的温度为，14时所对应的温度为， 所以12时所对应的温度大约为，故错误； 根据图象，这一天20时所对应的温度为，23时所对应的温度为， 所以21时所对应的温度大约为，故正确． 故选：． 方法点拨 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 【变式1】（2024秋•丰台区期中）已知边长为1的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动．设点经过的路程为，△的面积为，则与的函数图象大致为图中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【变式2】（2023秋•惠州期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 【变式3】（2024秋•小店区月考）已知函数． （1）去掉绝对值，写出的分段解析式； （2）画出的图象，并写出的最小值． 【题型2】函数图象的作法及应用 作出下列函数的图象并求出其值域．典例 （1），，； （2），，；． （3），，． 【分析】分别作出对应函数的图象，结合图象即可得到结论． 【解答】解：（1），，； 则，即函数的值域为，． （2），，； 则函数的值域为，． （3），，． 则函数的值域为，． 方法点拨 (1)要在定义域内作图. (2)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. 【变式1】画出下列函数的图象： （1），，； （2）； （3）． 【变式2】作出下列函数的图象． （1），，，0，1，； （2），； （3），； （4），； （5），． 【变式3】作出下列各函数的图象： （1），，0，1，2，； （2），，． 【题型3】求函数的解析式 （2023秋•崂山区月考）（1）已知，求．典例 （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用换元法，令，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用方程组法，即可求解． 【解答】解：（1）已知， 设，则，， 所以， 令，则． （2）已知为一次函数，且， 设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）函数满足， 令，得， 所以，消去得，， 所以． 方法点拨 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 【变式1】（2025春•项城市期末）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求． 【变式2】（1）若二次函数满足，，求； （2）若对任意实数，均有恒成立，求； （3）已知，求的解析式； （4）已知，求的解析式． 【变式3】（2023秋•天元区月考）分别求满足下列条件的的解析式： （1）已知，求； （2）已知函数是一次函数，若，求； （3）已知，求． 【题型4】分段函数求值(范围)问题 （2024秋•定安县期中）已知函数典例 （1）求（1）； （2）若（a），求的值． 【答案】（1）2； （2）或． 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可． 【解答】解：（1）因为， 所以（1），， 因此（1）（2）； （2）当时，由（a），可得，不满足，故舍去； 当时，由（a），可得； 当时，由，可得或， 因为，故舍去， 所以， 综上所述，或． 方法点拨 (1)求分段函数函数值的步骤 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间. ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止. (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①对字母的取值范围分类讨论. ②代入到不同的解析式中. ③通过解方程求出字母的值. ④检验所求的值是否在所讨论的区间内. (3)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理. 【变式1】（2023春•雁塔区月考）已知函数，则（1）　　． 【变式3】求下列函数的函数值： （1）已知，求； （2）已知，求，； （3）已知，，求（2），（2）． 【题型5】分段函数的图象及应用 （2024秋•渭南期中）已知函数．典例 （1）求； （2）若（a），求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）． 【答案】（1）3； （2）或或； （3）图象见解答，实数的取值范围为． 【分析】（1）直接由已知函数解析式求的值； （2）（a）或，从而可解得得值； （3）直接画图，数形结合可得的取值范围． 【解答】解：（1）， （3）； （2）（a）或， 解得或或． （3）函数的图象如图： 当时，，开口向下， 最大值为， 由图象可知：函数的图象与直线有一个交点，只需， 故实数的取值范围为． 方法点拨 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 【变式1】（2024秋•和林格尔县期中）已知函数． （1）请在直角坐标系中画出函数的图像； （2）求方程的解集； （3）当取何值，分别大于0，小于0？ 【变式2】（2023秋•马龙区期末）已知函数 （1）作出函数在，的图像； （2）求； （3）求方程的解集，并说明当整数在何范围时，．有且仅有一解． 【变式3】（2024秋•利通区期中）已知函数的解析式为． （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示法 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的表示法 2 【题型2】函数图象的作法及应用 7 【题型3】求函数的解析式 12 【题型4】分段函数求值(范围)问题 17 【题型5】分段函数的图象及应用 20 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数图象的作法及应用 1.描点法：列表、描点、连线. 2.平移变换作图法： (1)左加右减：函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象. (2)上加下减：函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象. 二、分段函数求值(范围)问题 (1)定义：函数y=f(x)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数称为分段函数. (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值. 2. 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的表示法 （2024秋•重庆期末）2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）重庆的温度走势．典例 下列说法错误的是　　 A．11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低 B．11月2日8时至次日8时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天12时所对应的温度为 D．根据图象，这一天21时所对应的温度为 【答案】 【分析】根据折线图中信息逐项判断即可． 【解答】解：根据折线图可得，11月2日8时至14时重庆气温逐渐升高，14时到次日5时重庆气温逐渐降低，故正确； 11月2日8时至次日8时重庆的平均气温为，最高气温为，故正确； 根据图象，这一天11时所对应的温度为，14时所对应的温度为， 所以12时所对应的温度大约为，故错误； 根据图象，这一天20时所对应的温度为，23时所对应的温度为， 所以21时所对应的温度大约为，故正确． 故选：． 方法点拨 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 【变式1】（2024秋•丰台区期中）已知边长为1的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动．设点经过的路程为，△的面积为，则与的函数图象大致为图中的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意求与的函数关系式，进而可得结果． 【解答】解：已知边长为1的正方形中，为的中点，动点在正方形边上沿运动． 当动点在正方形边上沿运动时， 则△的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则△的面积为； 当动点在长方形边上沿运动时， 则△的面积为； 综上所述：，可知、、错误，正确． 故选：． 【变式2】（2023秋•惠州期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 【答案】 【分析】根据函数对应关系进行判断即可． 【解答】解：由函数关系知（1），即， 函数的值域为，0，， 故选：． 【变式3】（2024秋•小店区月考）已知函数． （1）去掉绝对值，写出的分段解析式； （2）画出的图象，并写出的最小值． 【答案】（1）； （2）图像见解析，最小值为． 【分析】（1）结合绝对值的意义，分和讨论函数的解析式，即可得答案； （2）根据题意，由函数的解析式，分别画出两段上的图象，分析其最小值即可得答案． 【解答】解：（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，为以为对称轴，开口向上的抛物线， 当时，为以为对称轴的反曲线， 所以的图象如图所示： 所以函数的最小值为． 【题型2】函数图象的作法及应用 作出下列函数的图象并求出其值域．典例 （1），，； （2），，；． （3），，． 【分析】分别作出对应函数的图象，结合图象即可得到结论． 【解答】解：（1），，； 则，即函数的值域为，． （2），，； 则函数的值域为，． （3），，． 则函数的值域为，． 方法点拨 (1)要在定义域内作图. (2)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. 【变式1】画出下列函数的图象： （1），，； （2）； （3）． 【分析】分别根据一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质，以及描点法作图即可． 【解答】解：（1）函数图象如下所示： （2）函数图象如下所示： （3）函数图象如下所示： 【变式2】作出下列函数的图象． （1），，，0，1，； （2），； （3），； （4），； （5），． 【分析】分别画出下列函数的图象即可． 【解答】解：（1），，，0，1，； 图象如图所示： （2），； 图象如图所示： （3），； 图象如图所示： （4），； 图象如图所示： （5），， 图象如图所示： 【变式3】作出下列各函数的图象： （1），，0，1，2，； （2），，． 【分析】（1）该函数是点函数，先画函数的图象，再在上面取点． （2）直接画函数的图象，取，的部分． 【解答】解：（1），，0，1，2，图象如图所示， （2），，的图象： 【题型3】求函数的解析式 （2023秋•崂山区月考）（1）已知，求．典例 （2）已知为二次函数，且，求． （3）函数满足，求的解析式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用换元法，令，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用方程组法，即可求解． 【解答】解：（1）已知， 设，则，， 所以， 令，则． （2）已知为一次函数，且， 设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）函数满足， 令，得， 所以，消去得，， 所以． 方法点拨 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可. (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 【变式1】（2025春•项城市期末）求下列函数的解析式： （1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用换元法进行求解； （2）利用待定系数法求解． 【解答】解：（1）因为， 令，则， 所以， 即． （2）设， 由，得， 由， 得， 整理得， 所以，所以，， 所以． 【变式2】（1）若二次函数满足，，求； （2）若对任意实数，均有恒成立，求； （3）已知，求的解析式； （4）已知，求的解析式． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）． 【分析】（1）设，可解， （2）构建，建立方程组可解， （3）可将配方得，可解， （4）构建方程组，可得． 【解答】解：（1）设，，又，得， 又，得，即，， 故， （2）对任意实数，均有不成立，则有， 得， （3）根据题意得，，则， （4）根据题意得，得， 【变式3】（2023秋•天元区月考）分别求满足下列条件的的解析式： （1）已知，求； （2）已知函数是一次函数，若，求； （3）已知，求． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【分析】（1）利用配凑法或换元法求函数解析式； （2）利用待定系数法求函数解析式； （3）利用配凑法或换元法求函数解析式． 【解答】解：（1）， ． （2）函数是一次函数，设， 则． 又，， ，解得，或 或． （3）， 令， ，即函数的解析式为：． 【题型4】分段函数求值(范围)问题 （2024秋•定安县期中）已知函数典例 （1）求（1）； （2）若（a），求的值． 【答案】（1）2； （2）或． 【分析】（1）由内向外代入求值即可； （2）通过，，分类讨论即可． 【解答】解：（1）因为， 所以（1），， 因此（1）（2）； （2）当时，由（a），可得，不满足，故舍去； 当时，由（a），可得； 当时，由，可得或， 因为，故舍去， 所以， 综上所述，或． 方法点拨 (1)求分段函数函数值的步骤 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间. ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止. (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①对字母的取值范围分类讨论. ②代入到不同的解析式中. ③通过解方程求出字母的值. ④检验所求的值是否在所讨论的区间内. (3)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理. 【变式1】（2023春•雁塔区月考）已知函数，则（1）　　． 【分析】根据题意，由函数的解析式求出（1）的值，则有（1）（3），进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，， 则（1），则， 故答案为： 【变式2】（1）设则　2　． （2）已知且，． ①求（2），（2）的值； ②求（2）的值． 【答案】（1）． （2）①（2），（2）； ②（2）． 【分析】根据的取值范围确定分段函数的求值即可． 【解答】解：（1），， 则（4）． （2）且，． ①（2），（2）； ②（2）（6）． 【变式3】求下列函数的函数值： （1）已知，求； （2）已知，求，； （3）已知，，求（2），（2）． 【答案】（1）． （2）3；0． （3）0；3． 【分析】由题意，利用函数的性质、分段函数，求函数的值． 【解答】解：（1），，． （2），，，（1）． （3），，（2），（2）， （2）（1），（2）． 【题型5】分段函数的图象及应用 （2024秋•渭南期中）已知函数．典例 （1）求； （2）若（a），求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）． 【答案】（1）3； （2）或或； （3）图象见解答，实数的取值范围为． 【分析】（1）直接由已知函数解析式求的值； （2）（a）或，从而可解得得值； （3）直接画图，数形结合可得的取值范围． 【解答】解：（1）， （3）； （2）（a）或， 解得或或． （3）函数的图象如图： 当时，，开口向下， 最大值为， 由图象可知：函数的图象与直线有一个交点，只需， 故实数的取值范围为． 方法点拨 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 【变式1】（2024秋•和林格尔县期中）已知函数． （1）请在直角坐标系中画出函数的图像； （2）求方程的解集； （3）当取何值，分别大于0，小于0？ 【答案】（1）图像见解析； （2），； （3）当时，，当，，时，． 【分析】（1）分析出二次函数的开口，顶点坐标，与轴的交点坐标等，画出图像； （2）由（1）可得方程的解集； （3）数形结合得到和的解集． 【解答】解：（1）二次函数，开口向下，易得顶点坐标为， 令，解得或5， 画出二次函数的图像如下： （2）根据图像可知的解集为，； （3）根据图像可知，当时，， 当，，时，． 【变式2】（2023秋•马龙区期末）已知函数 （1）作出函数在，的图像； （2）求； （3）求方程的解集，并说明当整数在何范围时，．有且仅有一解． 【答案】（1）图象见解析； （2）； （3）解集为；或． 【分析】（1）各段均为一次函数，作出图象即可； （2）结合函数的定义，先求，再求； （3）各段解，即可得解集，观察图象即可求得值范围． 【解答】解：（1） （2）； （3）当时，由，得； 当时，由，得； 当时，由，得； 所以解集为； 当有且仅有一解且为整数时，则或． 【变式3】（2024秋•利通区期中）已知函数的解析式为． （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； （3）若直线为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围． 【答案】（1）图象见解析，最大值为4； （2）或； （3）或． 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）分段求解等式，再求并集； （3）根据图象，画出与有2个交点，求取值范围． 【解答】解：（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 由图象可知，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或； （3）画出图象，如图所示： 由图象可知，若与有2个交点，则或， 即的范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $