3.1.1 第1节课 函数的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.1 第1节课 函数的概念xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的概念及其构成要素 3 【题型2】判断两个函数是否为同一函数 6 【题型3】函数的表示方法 7 【题型4】区间 10 【题型5】简单函数的定义域 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. (5)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 2.(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆. (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立. (4)“∞”是一个符号，而不是一个数. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的概念及其构成要素 （2024秋•南关区期末）设，，给出下列四个图形：典例 其中，能表示从集合到集合的函数关系的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可． 【解答】解：①中，因为在集合中当时，在中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合中的任意一个数，在中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，对应元素，所以③不是； ④中，当时，在中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：． 方法点拨 需明确函数的定义，或分析给定函数的“三要素”（定义域、对应关系、值域），核心是理解“非空数集间的任意对唯一”对应关系． 紧扣函数定义核心： 确认两个集合、均为非空数集； 判断对应关系是否满足“中任意一个元素，在中都有唯一确定的元素与之对应”（“任意性”+“唯一性”，缺一不可）； 分析构成要素（三要素）： 定义域：使对应关系有意义的的取值集合（需结合具体函数类型限制，如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等）； 对应关系：函数的“运算规则”（如中“乘2加1”，可通过解析式、图像、表格体现），是区分函数的核心； 值域：定义域内所有通过对应关系得到的的取值集合（由定义域和对应关系共同决定，通常需先求定义域，再推导的范围）； 关键提醒：三要素中，定义域和对应关系确定后，值域随之确定，因此分析函数时优先明确前两者． 【变式1】（2024秋•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数图象是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋•天河区期末）集合，与对应关系如图所示，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．是从集合到集合的函数 C．，对应关系 D．的定义域为集合，值域为集合 【变式3】（2024秋•泸州期末）下列各图中，一定不是函数图象的是　　 A． B． C． D． 【题型2】判断两个函数是否为同一函数 （2024秋•凉州区期末）下列各组函数为同一个函数的是典例 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项中函数是否相同． 【解答】解：定义域为，定义域为，，不为同一函数； 与的对应法则不同，不为同一函数； ，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； ，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； 故选：． 方法点拨 给出两个函数（解析式可能不同，如与），需判断是否为同一函数，核心是“三要素中的定义域和对应关系是否完全一致”． 第一步：优先判断定义域是否相同： 分别求解两个函数的定义域（按分式、偶次根式、对数等类型的限制条件）； 若定义域不同，直接判定为“非同一函数”（无需后续判断）； 第二步：定义域相同时，判断对应关系是否相同： 对两个函数的解析式进行等价化简（注意化简过程中定义域不能改变，如，与的对应关系不同）； 若化简后的对应关系（运算规则）完全一致； 关键原则：“定义域相同”且“对应关系等价（化简后一致且定义域无变化）”，才是同一函数，与函数的自变量符号（如与）无关． 【变式1】（2024秋•衡南县期末）下列各组函数表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024秋•南昌月考）下列函数中，与函数是同一个函数的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2025•湖南模拟）下列函数中，与是同一个函数的是　　 A． B． C． D． 【题型3】函数的表示方法 （2024秋•包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数的定义可得函数的图象． 【解答】解：由函数的定义可得离家的距离由时间的变化函数先增再不变再减，再不变，最后再递增， 只有符合． 故选：． 方法点拨 需识别或选择函数的表示方法，或用区间表示函数的定义域、值域，核心是理解三种表示方法的特点及区间的规范写法． 函数的三种表示方法： 解析法（解析式法）： 适用场景：便于计算、求定义域/值域、分析性质（如单调性）； 解题要点：写出解析式后，需补充定义域（若解析式隐含定义域限制，需明确写出，如的定义域为）； 列表法： 适用场景：定义域为有限个或离散值（如气温随时间变化、离散数据对应）； 解题要点：表格需清晰列出“自变量”与“函数值”的对应关系，确保无遗漏、无重复； 图像法（数形结合）： 适用场景：直观分析函数性质（如单调性、奇偶性、最值）； 解题要点：图像需标注坐标轴（轴、轴）、单位、关键点（如与坐标轴交点、顶点），且满足“垂直于轴的直线与图像仅有一个交点”（符合函数的“唯一性”）； 【变式1】（2024春•浑江区期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止．下列图象中可以大致刻画容器中水的体积与水的高度的函数关系的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•惠州期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 【变式3】（2024秋•宁夏期中）设集合，，若函数是定义域为，值域为的单调函数，则的图象可能是　　 A． B． C． D． 【题型4】区间 （2024秋•中牟县期中）区间，等于　　典例 A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】根据区间的定义判断即可． 【解答】解：根据区间的定义可知，． 故选：． 方法点拨 区间的表示方法： 分类与规范写法： 开区间（不含端点）：（表示）； 闭区间（含端点）：[a,b]（表示）； 半开半闭区间：（）、（）； 无穷区间：（）、（）、（全体实数）； 关键提醒： 区间端点必须是实数，且左端点小于右端点（如写法错误）； 无穷符号“”后不加闭区间符号（如写法错误）； 定义域/值域为多个不连续区间时，用“”连接（如）． 【变式1】（2024秋•浦东新区期中）把不等式的解集用区间表示：　　． 【变式2】（2024秋•上海月考）若，为一确定区间，则的取值范围是　　 ． 【变式3】（2024秋•秦安县期中）集合且用区间表示 　，，　． 【题型5】简单函数的定义域 （2024秋•保山期末）函数的定义域是典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式和偶次根式有意义可得所满足的不等式，求解即可． 【解答】解：由函数，可知，解得且， 所以函数的定义域是． 故选：． 方法点拨 给定具体解析式的函数（如分式、偶次根式、对数、三角函数等），需求解使其有意义的的取值集合，核心是“按函数类型列限制条件”． 明确常见函数的定义域限制条件： 分式函数（）：分母； 偶次根式函数（，为偶数）：被开方数； 零次幂函数（）：底数； 综合型函数的求解步骤： 若函数含多种限制，分别列出每种限制条件； 将所有限制条件转化为不等式（组）； 解不等式组，得到的交集即为定义域； 结果表示：定义域可表示为集合或区间，优先按题目要求，无要求时两者均可． 【变式1】（2024秋•泗阳县期末）函数的定义域为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（2025春•湖南月考）函数的定义域是　　 A．，， B．， C．，， D．，， 【变式3】（2024秋•陆良县期末）函数的定义域是　　 A．，，， B．，， C．，，， D．，， 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 第1节课 函数的概念xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】函数的概念及其构成要素 2 【题型2】判断两个函数是否为同一函数 6 【题型3】函数的表示方法 9 【题型4】区间 13 【题型5】简单函数的定义域 15 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 二、区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，+∞) {x|x>a} (a，+∞) {x|x≤b} (-∞，b] {x|x<b} (-∞，b) 特别地：实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1.(1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. (5)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 2.(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆. (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立. (4)“∞”是一个符号，而不是一个数. xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】函数的概念及其构成要素 （2024秋•南关区期末）设，，给出下列四个图形：典例 其中，能表示从集合到集合的函数关系的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可． 【解答】解：①中，因为在集合中当时，在中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合中的任意一个数，在中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，对应元素，所以③不是； ④中，当时，在中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：． 方法点拨 需明确函数的定义，或分析给定函数的“三要素”（定义域、对应关系、值域），核心是理解“非空数集间的任意对唯一”对应关系． 紧扣函数定义核心： 确认两个集合、均为非空数集； 判断对应关系是否满足“中任意一个元素，在中都有唯一确定的元素与之对应”（“任意性”+“唯一性”，缺一不可）； 分析构成要素（三要素）： 定义域：使对应关系有意义的的取值集合（需结合具体函数类型限制，如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等）； 对应关系：函数的“运算规则”（如中“乘2加1”，可通过解析式、图像、表格体现），是区分函数的核心； 值域：定义域内所有通过对应关系得到的的取值集合（由定义域和对应关系共同决定，通常需先求定义域，再推导的范围）； 关键提醒：三要素中，定义域和对应关系确定后，值域随之确定，因此分析函数时优先明确前两者． 【变式1】（2024秋•奉贤区期末）下列四个图形中，不是以为自变量的函数图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义和图象关系进行判断． 【解答】解：．中存在一个有两个与对应，故满足函数的条件， ．．．都满足函数的条件， 故选：． 【变式2】（2024秋•天河区期末）集合，与对应关系如图所示，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．是从集合到集合的函数 C．，对应关系 D．的定义域为集合，值域为集合 【答案】 【分析】根据题意，利用函数的定义和对应关系依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，（5），若（5），则或2，即或3，错误； 对于，由函数的定义，是从集合到集合的函数，正确； 对于，若对应关系，则时，对应的值为1，不成立，错误； 对于，的定义域为集合，值域为，3，4，，错误． 故选：． 【变式3】（2024秋•泸州期末）下列各图中，一定不是函数图象的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数定义直接判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，一个的值只能对应一个的值，而选项中一个的值可能对应两个的值，故不是函数图象， 故选：． 【题型2】判断两个函数是否为同一函数 （2024秋•凉州区期末）下列各组函数为同一个函数的是典例 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项中函数是否相同． 【解答】解：定义域为，定义域为，，不为同一函数； 与的对应法则不同，不为同一函数； ，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； ，的定义域和对应法则均相同，为同一函数； 故选：． 方法点拨 给出两个函数（解析式可能不同，如与），需判断是否为同一函数，核心是“三要素中的定义域和对应关系是否完全一致”． 第一步：优先判断定义域是否相同： 分别求解两个函数的定义域（按分式、偶次根式、对数等类型的限制条件）； 若定义域不同，直接判定为“非同一函数”（无需后续判断）； 第二步：定义域相同时，判断对应关系是否相同： 对两个函数的解析式进行等价化简（注意化简过程中定义域不能改变，如，与的对应关系不同）； 若化简后的对应关系（运算规则）完全一致； 关键原则：“定义域相同”且“对应关系等价（化简后一致且定义域无变化）”，才是同一函数，与函数的自变量符号（如与）无关． 【变式1】（2024秋•衡南县期末）下列各组函数表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解． 【解答】解：对于选项，函数的定义域为，而的定义域为， 所以两函数的定义域不相同，不是同一个函数，故选项错误； 对于选项，因为，与的对应关系相同， 所以两函数不是同一个函数，故选项错误； 对于选项，因为，与的定义域与对应关系都相同， 所以两函数是同一个函数，故选项正确； 对于选项，因为，与的对应关系不相同， 所以两函数不是同一个函数，故选项错误． 故选：． 【变式2】（2024秋•南昌月考）下列函数中，与函数是同一个函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案． 【解答】解：对于，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于，的定义域为，函数的定义域为，，， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于，的定义域为，函数的定义域为，，， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数． 故选：． 【变式3】（2025•湖南模拟）下列函数中，与是同一个函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由同一函数的概念逐项分析判断即可． 【解答】解：函数与不是同一函数，选项错误； 与不是同一函数，选项正确； 与不是同一函数，选项错误； 与不是同一函数，选项错误． 故选：． 【题型3】函数的表示方法 （2024秋•包头期末）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，下列哪一个图象与这件事吻合得最好？　　典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数的定义可得函数的图象． 【解答】解：由函数的定义可得离家的距离由时间的变化函数先增再不变再减，再不变，最后再递增， 只有符合． 故选：． 方法点拨 需识别或选择函数的表示方法，或用区间表示函数的定义域、值域，核心是理解三种表示方法的特点及区间的规范写法． 函数的三种表示方法： 解析法（解析式法）： 适用场景：便于计算、求定义域/值域、分析性质（如单调性）； 解题要点：写出解析式后，需补充定义域（若解析式隐含定义域限制，需明确写出，如的定义域为）； 列表法： 适用场景：定义域为有限个或离散值（如气温随时间变化、离散数据对应）； 解题要点：表格需清晰列出“自变量”与“函数值”的对应关系，确保无遗漏、无重复； 图像法（数形结合）： 适用场景：直观分析函数性质（如单调性、奇偶性、最值）； 解题要点：图像需标注坐标轴（轴、轴）、单位、关键点（如与坐标轴交点、顶点），且满足“垂直于轴的直线与图像仅有一个交点”（符合函数的“唯一性”）； 【变式1】（2024春•浑江区期末）向如图放置的空容器中注水，直至注满为止．下列图象中可以大致刻画容器中水的体积与水的高度的函数关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解． 【解答】解：在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长． 故选：． 【变式2】（2023秋•惠州期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 【答案】 【分析】根据函数对应关系进行判断即可． 【解答】解：由函数关系知（1），即， 函数的值域为，0，， 故选：． 【变式3】（2024秋•宁夏期中）设集合，，若函数是定义域为，值域为的单调函数，则的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义以及定义域与值域，对选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：图象不满足定义域要求； 图象存在一个值对应两个函数值，满足函数的定义； 图象不满足单调函数的定义； 图象满足定义域为，值域为，且是单调函数． 故选：． 【题型4】区间 （2024秋•中牟县期中）区间，等于　　典例 A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】根据区间的定义判断即可． 【解答】解：根据区间的定义可知，． 故选：． 方法点拨 区间的表示方法： 分类与规范写法： 开区间（不含端点）：（表示）； 闭区间（含端点）：[a,b]（表示）； 半开半闭区间：（）、（）； 无穷区间：（）、（）、（全体实数）； 关键提醒： 区间端点必须是实数，且左端点小于右端点（如写法错误）； 无穷符号“”后不加闭区间符号（如写法错误）； 定义域/值域为多个不连续区间时，用“”连接（如）． 【变式1】（2024秋•浦东新区期中）把不等式的解集用区间表示：　　． 【答案】． 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【解答】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 【变式2】（2024秋•上海月考）若，为一确定区间，则的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】因为，为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解的取值范围． 【解答】解：由题意可知，，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】（2024秋•秦安县期中）集合且用区间表示 　，，　． 【分析】由题意利用集合表示法，区间的定义，得出结论． 【解答】解：集合且用区间表示为，，， 故答案为：，，． 【题型5】简单函数的定义域 （2024秋•保山期末）函数的定义域是典例 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分式和偶次根式有意义可得所满足的不等式，求解即可． 【解答】解：由函数，可知，解得且， 所以函数的定义域是． 故选：． 方法点拨 给定具体解析式的函数（如分式、偶次根式、对数、三角函数等），需求解使其有意义的的取值集合，核心是“按函数类型列限制条件”． 明确常见函数的定义域限制条件： 分式函数（）：分母； 偶次根式函数（，为偶数）：被开方数； 零次幂函数（）：底数； 综合型函数的求解步骤： 若函数含多种限制，分别列出每种限制条件； 将所有限制条件转化为不等式（组）； 解不等式组，得到的交集即为定义域； 结果表示：定义域可表示为集合或区间，优先按题目要求，无要求时两者均可． 【变式1】（2024秋•泗阳县期末）函数的定义域为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式组，进而求解结论． 【解答】解：因为函数， 所以，解得且． 故函数的定义域为：且． 故选：． 【变式2】（2025春•湖南月考）函数的定义域是　　 A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】 【分析】由题意可得，求解即可． 【解答】解：由题意可得，解得或， 所以函数的定义域是，，． 故选：． 【变式3】（2024秋•陆良县期末）函数的定义域是　　 A．，，， B．，， C．，，， D．，， 【答案】 【分析】根据函数表达式有意义求函数的定义域． 【解答】解：函数的 则，解得或或． 所以函数的定义域为：，，，． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $