精品解析：广东省2023-2024学年上学期初中数学竞赛练习

2023-2024学年初中数学竞赛试卷 本卷共2页，三大题13小题，满分60分，答卷时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 我们用表示实数整数部分，即为不超过的最大整数，例如，，则方程的所有解之积为（ ）． A. B. C. D. 3. 满足方程的整数对有（ ）． A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 4. 如图，在正中，，点，分别在，上且有，记中点为，连接，则最小值是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则最小值是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，，，，则长为（ ）． A. B. C. D. 7. 给定整数，，我们规定，例如，，…，若存在正整数，，则满足该条件的数对有（ ）． A 0对 B. 1对 C. 2对 D. 无数对 8. 已知，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 从自然数1至100中任意选出个数，使得这个数中必有1个数可以整除剩下个数的乘积，则的最小值为_______． 10. 五个互不相同的正奇数，，，，满足，则的个位数字为________． 11. 如图，以各边向外作四个正方形，其中心、、、连接形成了一个大正方形，若，，，则正方形的面积为________． 12. 如图，在矩形中，，足够长，是边上一动点，以为边向右侧作正方形，则当是等腰三角形时，正方形的面积为________． 三、解答题：本题共1小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 求常数的最大值，使得对任意整数，，不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年初中数学竞赛试卷 本卷共2页，三大题13小题，满分60分，答卷时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可． 【详解】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x， 则，即， ∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10， ∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键． 2. 我们用表示实数的整数部分，即为不超过的最大整数，例如，，则方程的所有解之积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了取整函数的性质，不等式组与方程的综合．注意性质的应用． 利用不等式，求出的范围，再代入原方程求出的值． 【详解】解：令代入方程, 得，即， 又， ， 整理得， 即， 或， 将代入原方程得：，解得， 将代入原方程得：，解得， 经检验，或是原方程的解． ∴， 故选：A． 3. 满足方程的整数对有（ ）． A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 利用一元二次方程有解判断出y的范围，根据y是整数求出y的值，进而求出x的值，利用x也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， 方程有整数解，则必有实数根， ， ， y的整数， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， 或， 当时，原方程可化为， 或， 原方程的整数解为或或或， 即：方程的整数对为、、、，共四对， 故选：D． 4. 如图，在正中，，点，分别在，上且有，记中点为，连接，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，坐标与几何综合，过点作于，设，则，，，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ， ∵为等边三角形，，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，， ∵记中点为， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的长度最小，为， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键，设，分两种情况：当时，作于，于；当时，作于，于；分别利用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设， 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值， ∴此时的最小值为； 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值1， 故此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故选：B． 6. 如图，在四边形中，，，，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，设与交于点，先证明，作于点，作于点，在的延长线上取，则，设，则， 证明，得出，，求出，，证明，得出，从而求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：设与交于点， ， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，作于点，在的延长线上取， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 7. 给定整数，，我们规定，例如，，…，若存在正整数，，则满足该条件数对有（ ）． A. 0对 B. 1对 C. 2对 D. 无数对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，分两种情况：若（为整数）；若；分别根据题干中所给式子进行计算，发现规律即可得解，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：若（为整数），则，，，…，此时，，即存在和满足，由于每个整数对应一个这样数对，因此存在无数对； 若，当（为非零整数）时，，，，…；此时存在，即存在和满足，由于每个对应一个这样的数对，因此存在无限多对； 综上所述，满足该条件的数对有无数对， 故选：D． 8. 已知，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值不等式，根据绝对值不等式，将原式化为，当且仅当时取等号，再由计算出，即可得解，熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：， 当且仅当时取等号， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 从自然数1至100中任意选出个数，使得这个数中必有1个数可以整除剩下个数的乘积，则的最小值为_______． 【答案】26 【解析】 【分析】先得到自然数1至100中的质数，共有25个数，这25个两两互质，再根据抽屉原理可求的最小值． 【详解】解：自然数1至100中质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共有25个数，这25个两两互质， 则选出26个数，随便怎么挑，总有一个是合数，而且可以被以上25个质数中的某一个数整除， 则， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了抽屉原理，是解决存在性问题的常用方法． 10. 五个互不相同的正奇数，，，，满足，则的个位数字为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了奇数和偶数，奇偶性分析，、、、、为五个互不相等的偶数，再结合，令，，，，，从而可得，，，，，分别求出、、、、的个位数字，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，为五个互不相同的正奇数， ∴、、、、为五个互不相等偶数， ∵， ∴令，，，，， ∴，，，，， ∴的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为， 求和末位为， 故的个位数字为， 故答案为：． 11. 如图，以各边向外作四个正方形，其中心、、、连接形成了一个大正方形，若，，，则正方形的面积为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行四边形的性质，连接、，由正方形的性质可得，，，，作交的延长线于，则，求出，则，，进而可得，再由勾股定理计算可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵四边形为平行四边形，， ∴，，， ∴以、为边的正方形的对角线也相等， ∵点、是上述两个正方形的对角线的交点， ∴，， ∵为以为边的正方形的对角线的交点， ∴，， 作交的延长线于，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，足够长，是边上一动点，以为边向右侧作正方形，则当是等腰三角形时，正方形的面积为________． 【答案】8，20，5 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等． 过点F作交的延长线于点H，过点G作于点K， 证明设求出 ，， ，分类讨论：①当时，②当时，③当时， 逐个分析求解，即可解答． 【详解】解： 过点F作交的延长线于点H，过点G作于点K，如图，则 ． ∵四边形是矩形，四边形为正方形， ∴． ∵ ∴． 在和中， ， ∴ ∴． 同理，可得 ∴． 设则， ∴． 在中，． 在中，． 在中， ∴， ①当时， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， 即正方形的面积为8； 如图所示 ②当时， ， 解得：(不符合题意，舍去)或， ∴， ∴； 即正方形的面积为20； 如图所示 ③当时， ， 解得， ∴； 即正方形的面积为5； 如图所示 综上所述，正方形的面积为8，20，5． 三、解答题：本题共1小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 求常数的最大值，使得对任意整数，，不等式恒成立． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、不等式的性质、配方法的应用，令，可得，解得，从而将问题转化为证明，配方可得，进而转化为，令，再结合二次函数的性质分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，可得，解得， 下面证明不等式对任意整数，恒成立，即证明， 配方可得， 即证， 令，当时，，当时，，当时，， 由二次函数知识可知其开口向上，且当或当时大于0， 设，则， ∵为任意整数， ∴可知当或时，，当且时，与同号， 所以，即原不等式在时成立， 综上所述，的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $