精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二平行班上学期开学检测数学试题

汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期 高二暑期学习成果检测 数学试卷（A） 命题人：江新详 审题人：朱海涛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，又， 所以． 故选：B 2. 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【详解】因为  ，  ，  ， 所以  ， 故选：A. 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】若，分析出有或相交或异面三种情况，即可判断A；若，过做平面，设，根据线面平行的性质定理得到，进而得到，再根据面面垂直的判定定理得到，即可判断B；若，，分析出有或与相交或三种情况，即可判断C；若，分和两种情况讨论的位置关系即可判断D. 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 4. 汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 92.5 B. 95 C. 97.5 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质及中位数的概念，即可求解． 【详解】根据题意可得前几组的频率依次为0.12，0.28，0.4， 所以中位数在内，且为． 故选：B． 5. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性分析出在上单调递减，且在上恒成立后，再求解即可. 【详解】因为在单调递增，所以要使函数在上单调递减， 则在上单调递减，且在上恒成立， 故且在上恒成立，又时，， 所以且，故， 故选：B. 7. 在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】由已知得，作下图， 设外接圆的半径为， 已知，，. 根据正弦定理可得，解得 . 因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1， 所以外接球半径. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据对立事件的定义即可判断，对于B根据交事件的性质即可判断，对于C先求，进而得，根据概率的乘法公式即可判断，对于D利用独立事件的定义即可判断. 【详解】对于A：由，若，则事件与事件不是对立事件， 若，则事件与事件互为对立事件，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：若 ，所以，即， 所以，所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 是曲线的对称中心 C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：结合余弦函数的值域分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据题意结合最小正周期的定义分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于选项A：因为，则， 且，所以的最大值为1，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以是曲线的对称中心，故B正确； 对于选项C：因为，且在上连续不断， 所以在上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 由选项B可知，可得，即， 则， 可知为的一个周期， 若，则，可得， 当，则，，此时， 可知对任意，，即， 所以不为的一个周期； 综上所述：的最小正周期为，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D. ，，有 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求各点坐标，根据两点结论公式求，判断A，求平面的法向量，直线的方向向量，证明两向量垂直，判断B，由求，，判断C，令，确定，关系，由此判断D. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则正方体各顶点坐标为，，，，，，，， 因为，，所以点Q坐标为， 又因为，，， 所以点坐标为， 对于A，当时，点，点， 则，故A错误； 对于B，当时，点， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得，， 所以为平面的法向量， ，，所以， 又平面，所以平面，故B正确; 对于C，，，， 当时，恒成立，当时，令，得， 所以，，有，故C正确； 对于D，，，， 令，即，， 因为，所以， 所以，，有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 【答案】 【解析】 【分析】列出韦达定理，再由诱导公式及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，是的方程的两个实根， 所以， 所以. 故答案为： 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 【答案】 【解析】 【分析】设塔高，由题设可得，，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 14. 已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值, 【详解】设，则， 如下图所示： 取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理， 因为，则， 即，所以，，① ，即， 所以，，② 联立①②可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【答案】（1）； （2）众数、平均数依次为62分、65分； （3）学生甲能得到奖励，理由：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【小问1详解】 由直方图知，所以； 【小问2详解】 平均值为：分，众数为：分； 【小问3详解】 略 16. 在中，角所对的边分别是，已知的外接圆半径，. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由外接圆半径可得，结合正弦定理可得，由余弦定理可求出角C; （2）将结合外接圆半径将边用角A,B表示，再由（1）可知，进而用角来表示，结合三角函数的图象与性质即可求出范围. 【小问1详解】 由的外接圆半径，则，可得， . 由正弦定理得. 由余弦定理得， ， . 【小问2详解】 由(1)可得， ， ， 即. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明：因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知函数在上存在零点，求的最小值； （3）当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得出的值； （2）由结合参变量分离法可得出，结合求出的取值范围，即可得出实数的最小值； （3）利用三角恒等变换化简可得出，其中，可取，根据求出的取值范围，根据题意得出的取值范围，结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，则. 【小问2详解】 因为， 可得， 当时，， 所以， ， 因为，则，则， 因此，实数的最小值为. 【小问3详解】 因为， 其中，可取， 当时，，且，， 由题意可得，解得，故，故. 因此，实数的取值范围是. 19. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，理由： 当时，，则，解得，即， 函数的零点，因此， 所以与是“零点近距函数”. （2） 函数，由，得或， 函数都是R上的增函数，则函数在R上单调递增， 依题意，函数有唯一零点，则， 函数与是“零点近距函数”等价于， 所以与是“零点近距函数”的充要条件为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数与的零点，再利用给定定义验证即得. （2）求出函数的零点，利用单调性结合设出的唯一零点，再利用充要条件的定义推理得证. （3）借助复合函数单调性确定函数与的单调性，并求出零点，再由定义列出不等式求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上都单调递增， 函数在上单调递增，而，因此； 函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而，因此，由与是“零点近距函数”，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2025~2026学年度第一学期 高二暑期学习成果检测 数学试卷（A） 命题人：江新详 审题人：朱海涛 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为（ ） A. 92.5 B. 95 C. 97.5 D. 100 5. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则事件与事件相互独立 10. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 是曲线的对称中心 C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为 11. 已知棱长为的正方体中， ， 满足，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， 平面 C. ，，有 D. ，，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，是的方程的两个实根，则____. 13. 如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高_______． 14. 已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 四、解答题:本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16. 在中，角所对的边分别是，已知的外接圆半径，. （1）求角； （2）求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知函数在上存在零点，求的最小值； （3）当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 19. 设为函数的任一零点，为函数的任一零点，若，则称函数与是“零点近距函数”． （1）已知函数，判断与是否为“零点近距函数”，并说明理由； （2）设函数，求证：与是“零点近距函数”的充要条件为； （3）若函数与是“零点近距函数”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $