3.1圆 同步课堂　2025-2026学年浙教版数学九年级上册

3.1圆 讲解目录 【知识点1】三角形的外接圆与外心 1 【知识点2】圆的认识 1 【知识点3】点与圆的位置关系 2 【知识点4】确定圆的条件 2 【题型1】求三角形外接圆的直径、半径、面积 2 【题型2】求圆中弦的数量 3 【题型3】三角形外接圆的概念辨析 4 【题型4】求三角形外心的坐标 6 【题型5】经过一、二、三个点确定圆的数量 7 【题型6】圆的周长和面积问题 8 【题型7】求过圆内一点的最长弦 9 【题型8】点和圆的位置关系 10 【题型9】圆的基本概念辨析 11 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 13 知识讲解 【知识点1】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【知识点2】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点3】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：     ①点P在圆外⇔d＞r     ②点P在圆上⇔d=r     ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【知识点4】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 题型专练 【题型1】求三角形外接圆的直径、半径、面积 【典型例题】直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A.或 B.或 C. D. 【举一反三1】中，，，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（    ）cm． A. B. C. D. 【举一反三2】△ABC,若°，则此三角形外接圆半径为（    ） A.2 B.3 C.4 D.3.5 【举一反三3】如图，在马路上出现了如图所示的三角形塌陷，数据如图，工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是              cm. 【举一反三4】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【题型2】求圆中弦的数量 【典型例题】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【举一反三1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【举一反三2】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【举一反三3】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【举一反三4】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【举一反三5】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【举一反三7】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【题型3】三角形外接圆的概念辨析 【典型例题】下列语句中，正确的是（    ） A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【举一反三1】如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A.49° B.47.5° C.48° D.不能确定 【举一反三2】三角形的外接圆： 经过三角形的     的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形     的交点，叫做三角形的     ，三角形的外心到三角形     的距离相等． 【举一反三3】如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， ____,（ ）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【举一反三4】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系． 【题型4】求三角形外心的坐标 【典型例题】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5，） D.（5，3） 【举一反三2】如图，直角坐标系中，，，经过A，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A.点在上 B.点在外 C.点在内 D.无法确定 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为      ． 【举一反三4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，A，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过A，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【题型5】经过一、二、三个点确定圆的数量 【典型例题】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A.（3，5） B.（﹣3，5） C.（1，2） D.（1，﹣2） 【举一反三2】“三点定圆”的含义是：     的三点确定一个圆． 【举一反三3】先阅读，再解答： 我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B（3，4），C（－1，6）三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由. 【举一反三4】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【题型6】圆的周长和面积问题 【典型例题】如图，小明顺着大半圆从A地到地，小红顺着两个小半圆从A地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A. B. C. D.不能确定 【举一反三1】现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加米，则面积增加较多的圆是（ ） A.⊙O1 B.⊙O2 C.两圆增加的面积是相同的 D.无法确定 【举一反三2】两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（　　）． A. B. C. D. 【举一反三3】已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为2 cm和3 cm，则      cm． 【举一反三4】如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是      ． 【举一反三5】一个圆的半径从3厘米扩大到7厘米，它的面积增加了多少平方厘米？ 【举一反三6】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【题型7】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三4】已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为               cm. 【举一反三5】已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为               cm. 【举一反三6】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是           ． 【题型8】点和圆的位置关系 【典型例题】已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（    ） A.       B.   C.   D.   【举一反三1】在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A.点在内 B.点在上 C.点在外 D.不能确定 【举一反三2】已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A.在的内部 B.在的外部 C.在上 D.在上或的内部 【举一反三3】如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是            ． 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【举一反三5】如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 【题型9】圆的基本概念辨析 【典型例题】下列说法，不正确的是（    ） A.过圆心的弦是圆的直径 B.长度相等的弧是等弧 C.周长相等的两个圆是等圆 D.半圆是弧，但弧不一定是半圆 【举一反三1】如图，将一根木棒的一端固定在点O，另一端绑一重物．将此重物拉到点A后放开，让此重物由点A摆动到点B．则此重物移动路径的形状为（    ）    A.倾斜直线 B.抛物线 C.圆弧 D.水平直线 【举一反三2】下列说法正确的是（    ） A.弧是半圆 B.半圆是圆中最长的弧 C.直径是弦 D.弦是直径 【举一反三3】下列说法正确的是（    ） A.弧是半圆 B.半圆是圆中最长的弧 C.直径是弦 D.弦是直径 【举一反三4】下列命题中，正确的有（    ） ①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三5】参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都            ，这个距离就是这个圆的             ． 【举一反三6】如图所示的圆可记作，图中半径有          条，分别是          ．    【举一反三7】在同一个圆中，直径的长度是半径的      倍． 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 【典型例题】如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 【举一反三1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 【举一反三2】在中，，，，则的外心在的      （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为      ． 【举一反三3】一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1圆 讲解目录 【知识点1】三角形的外接圆与外心 1 【知识点2】圆的认识 1 【知识点3】点与圆的位置关系 2 【知识点4】确定圆的条件 2 【题型1】求三角形外接圆的直径、半径、面积 2 【题型2】求圆中弦的数量 5 【题型3】三角形外接圆的概念辨析 8 【题型4】求三角形外心的坐标 13 【题型5】经过一、二、三个点确定圆的数量 17 【题型6】圆的周长和面积问题 20 【题型7】求过圆内一点的最长弦 23 【题型8】点和圆的位置关系 25 【题型9】圆的基本概念辨析 27 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 30 知识讲解 【知识点1】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【知识点2】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【知识点3】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：     ①点P在圆外⇔d＞r     ②点P在圆上⇔d=r     ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【知识点4】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 题型专练 【题型1】求三角形外接圆的直径、半径、面积 【典型例题】直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A.或 B.或 C. D. 【答案】B 【解析】由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为；②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B. 【举一反三1】中，，，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（    ）cm． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图，点点A作AD⊥BC于， ∵AB=AC，AD⊥BC，， ，的外接圆的圆心在上， 连接， 在Rt△ABD中，， 设圆形纸片的半径为r cm， 则， 在OBD中，， 则， 解得，， ∴此时圆形纸片的半径为 cm． 故选：D． 【举一反三2】△ABC,若°，则此三角形外接圆半径为（    ） A.2 B.3 C.4 D.3.5 【答案】B 【解析】连接OA，OB， ∵, ∴点A在BC的中垂线上, ∵点O也在BC的中垂线上，根据两点确定一条直线, ∴OA垂直平分BC, ∴AO平分∠BAC, ∴∠BAO=, 又∵OA=OB, ∴△AOB为等边三角形, ∴OA=OB=AB=3, 故选B. 【举一反三3】如图，在马路上出现了如图所示的三角形塌陷，数据如图，工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是              cm. 【答案】40 【解析】设覆盖圆的半径为R，圆心为， ∵是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D， ∴，， ∴在直线上，连接， ， ∴； 若以BD长为半径为40 cm，也可以覆盖， ∴最小为40 cm. 【举一反三4】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【题型2】求圆中弦的数量 【典型例题】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为，共有3条， 故选：B． 【举一反三1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】C 【解析】图中有弦共3条， 故选C． 【举一反三2】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【答案】C 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【举一反三3】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】C 【解析】图中有弦共3条， 故选C． 【举一反三4】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【举一反三5】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【答案】无数；一 【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，一． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【举一反三7】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【答案】三；，， 【解析】图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【题型3】三角形外接圆的概念辨析 【典型例题】下列语句中，正确的是（    ） A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【答案】D 【解析】A、任何一个圆有无数个圆内接三角形，故本选项不符合题意； B、钝角三角形的外心在三角形外部，故本选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项不符合题意； D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A.49° B.47.5° C.48° D.不能确定 【答案】C 【解析】如图，连接AO， ∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴AO=BO=CO， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC， ∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC） =360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC） =2∠OAB+2∠OAC =2∠BAC； ∵∠BOC=96°， ∴∠BAC=48°， 故选：C． 【举一反三2】三角形的外接圆： 经过三角形的     的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形     的交点，叫做三角形的     ，三角形的外心到三角形     的距离相等． 【答案】三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点 【解析】经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点． 【举一反三3】如图，在中，． 求作：，使得的三个顶点都在上． 作法： ①作边的垂直平分线，交于点O； ②以点O为圆心，长为半径作圆． 则为所求作的圆． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， ____,（ ）（填推理依据）． ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【答案】解：（1）补全图形如图所示： （2）连接． 由作图可知，， 点B在上， 在中，， ,（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ． 点C在上． 的三个顶点都在上． 【举一反三4】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系． 【答案】解：（1）定点O是△ABC的外心有道理． 理由如下：连接OA、OB、OC，如图①， ∵BC，AC的垂直平分线得到交点O， ∴OB＝OC，OC＝OA， ∴OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC的外心； （2）∠BOC＝2∠BAC，理由如下： 连接AO并延长至M点，如图②, ∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， 则∠BOM=∠BAO+∠ABO＝2∠BAO、∠COM=∠CAO+∠ACO＝2∠CAO， ∵∠BAC＝∠BAO+∠CAO， ∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝2∠BAO+2∠CAO＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC． 【题型4】求三角形外心的坐标 【典型例题】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【举一反三1】过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5，） D.（5，3） 【答案】A 【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知： ，解得r=， 因此圆心的纵坐标为， 因此圆心的坐标为（4，）， 故选A． 【举一反三2】如图，直角坐标系中，，，经过A，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A.点在上 B.点在外 C.点在内 D.无法确定 【答案】C 【解析】如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为      ． 【答案】 【解析】如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 【举一反三4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，A，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过A，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】解：（1）如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过A，，三点的圆的圆心， ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【题型5】经过一、二、三个点确定圆的数量 【典型例题】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【举一反三1】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A.（3，5） B.（﹣3，5） C.（1，2） D.（1，﹣2） 【答案】C 【解析】设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【举一反三2】“三点定圆”的含义是：     的三点确定一个圆． 【答案】不在同一直线上 【解析】“三点定圆”的含义是：不在同一直线上的三点确定一个圆． 故答案为不在同一直线上． 【举一反三3】先阅读，再解答： 我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B（3，4），C（－1，6）三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由. 【答案】解：他的推断是正确的． 因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b． 由A(1，2)，B(3，4)，得解得 ∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1． 把x＝－1代入y＝x＋1中， 由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上， 即A，B，C三点不在同一条直线上． 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 【举一反三4】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【题型6】圆的周长和面积问题 【典型例题】如图，小明顺着大半圆从A地到地，小红顺着两个小半圆从A地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A. B. C. D.不能确定 【答案】A 【解析】设小明走的半圆的半径是． 则小明所走的路程是． 设小红所走的两个半圆的半径分别是与， 则， 小红所走的路程是， ∴， 故选：A． 【举一反三1】现有两个圆，⊙O1的半径等于篮球的半径，⊙O2的半径等于一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加米，则面积增加较多的圆是（ ） A.⊙O1 B.⊙O2 C.两圆增加的面积是相同的 D.无法确定 【答案】A 【解析】设⊙O1的半径等于R，变大后的半径等于R′；⊙O2的半径等于r，变大后的半径等于r′，其中R＞r． 由题意得：2πR+1=2πR′，2πr+1=2πr′，解得R′=R+，r′=r+； 所以R′﹣R=，r′﹣r=，所以，两圆的半径伸长是相同的，且两圆的半径都伸长，∴⊙O1的面积=πR2，变大后的面积=，面积增加了﹣πR2=R+， ⊙O2的面积=πr2，变大后的面积=，面积增加了=r+． ∵R＞r，∴R+＞r+，∴⊙O1的面积增加的多． 故选A． 【举一反三2】两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当另一个轮子转1圈时，它要转3圈，另一个轮子的周长是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知，当大轮转一圈时，小轮转3圈，也就是大轮的直径是小轮直径的3倍，即校园的直径为，所以另一个轮子的周长是． 故选：C． 【举一反三3】已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和．如果大圆的半径为，两个小圆的半径分别为2 cm和3 cm，则      cm． 【答案】 【解析】已知两个小圆的半径分别为2 cm和3 cm， ∴两个小圆的面积之和为：， ∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，大圆的半径为r cm， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【举一反三4】如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是      ． 【答案】 【解析】∵阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10， ∴阴影部分的面积：， ∵阴影面积是大面积的， ∴大圆的面积：， 则大圆半径的平方：， ∴大圆的半径：， 故答案为：． 【举一反三5】一个圆的半径从3厘米扩大到7厘米，它的面积增加了多少平方厘米？ 【答案】解：根据题意，则（平方厘米）； ∴它的面积增加了125.6平方厘米． 【举一反三6】如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得，（舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 【题型7】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【举一反三1】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【举一反三3】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【举一反三4】已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为               cm. 【答案】8 cm． 【解析】∵⊙O中最长的弦为16 cm，即直径为16 cm， ∴⊙O的半径为8 cm． 【举一反三5】已知⊙O中最长的弦为16 cm，则⊙O的半径为               cm. 【答案】8 cm． 【解析】∵⊙O中最长的弦为16 cm，即直径为16 cm， ∴⊙O的半径为8 cm． 【举一反三6】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是           ． 【答案】 【解析】A、是上不同的两点， ， 的半径为， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【题型8】点和圆的位置关系 【典型例题】已知的半径长为2，若，则可以得到的正确图形可能是（    ） A.       B.   C.   D.   【答案】D 【解析】∵，的半径长为2， ∴, ∴点A在圆外. 故选：D. 【举一反三1】在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A.点在内 B.点在上 C.点在外 D.不能确定 【答案】A 【解析】∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点在内， 故选：． 【举一反三2】已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点P（　　） A.在的内部 B.在的外部 C.在上 D.在上或的内部 【答案】D 【解析】由题意知，， 解得，， ∴， ∴点P在上或的内部， 故选：D． 【举一反三3】如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，以点D为圆心，半径长为r作⊙D，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是            ． 【答案】4＜r＜5 【解析】在RtADC中，∠C=90，AC=4，CD=3， ∴． ∵BC=7，CD=3， ∴BD=BCCD=73=4． ∵以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内， ∴r的范围是4＜r＜5， 故答案为：4＜r＜5． 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】解：∵，，， ∴点A在上，点在内，点在外． 【举一反三5】如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M， ， ， ∵以点C为圆心，4为半径作⊙C， ∴AC=4，则A在圆上， ∵， 则M在圆内， BC=5＞4，则B在圆外； （2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，； 当至少有一点在外时，， 故的半径的取值范围为：． 【题型9】圆的基本概念辨析 【典型例题】下列说法，不正确的是（    ） A.过圆心的弦是圆的直径 B.长度相等的弧是等弧 C.周长相等的两个圆是等圆 D.半圆是弧，但弧不一定是半圆 【答案】B 【解析】A、过圆心的弦是圆的直径，故本选项说法正确，不符合题意； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项说法错误，符合题意； C、周长相等的两个圆是等圆，故本选项说法正确，不符合题意； D、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图，将一根木棒的一端固定在点O，另一端绑一重物．将此重物拉到点A后放开，让此重物由点A摆动到点B．则此重物移动路径的形状为（    ）    A.倾斜直线 B.抛物线 C.圆弧 D.水平直线 【答案】C 【解析】在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 【举一反三2】下列说法正确的是（    ） A.弧是半圆 B.半圆是圆中最长的弧 C.直径是弦 D.弦是直径 【答案】C 【解析】A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 故选C． 【举一反三3】下列说法正确的是（    ） A.弧是半圆 B.半圆是圆中最长的弧 C.直径是弦 D.弦是直径 【答案】C 【解析】A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 故选C． 【举一反三4】下列命题中，正确的有（    ） ①直径是弦，但弦不一定是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆； ③半径相等的两个圆是等圆；④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧； ⑤长度相等的两条弧是等弧． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径，故①说法正确，符合题意； 圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意； 半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，故③说法正确，符合题意； 弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径时,直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，故④说法不正确，不符合题意； 长度相等的两条弧只有弧所在的半径也相同或相等时才是等弧,故⑤说法错误,不符合题意; 综上所述，正确的选项有①②③,正确的个数共3个， 故选：C． 【举一反三5】参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都            ，这个距离就是这个圆的             ． 【答案】相等；半径 【解析】根据圆的定义可知：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径；故答案为：相等；半径． 【举一反三6】如图所示的圆可记作，图中半径有          条，分别是          ．    【答案】3；，， 【解析】由图可知，图中半径有3条，分别是，，． 故答案为：3；，，． 【举一反三7】在同一个圆中，直径的长度是半径的      倍． 【答案】2 【解析】在同一圆中，直径的长度是半径的2倍， 故答案为：2． 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 【典型例题】如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（　　） A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点 【答案】D 【解析】由图可知，△ABC是锐角三角形， ∴△ABC的外心只能在其内部， 由此排除A选项和B选项， 由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA， ∴排除C选项， 故选D． 【举一反三1】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】C 【解析】由图可知，， ∴， ∴F点在三边的垂直平分线上， ∴点F是外心， 故选：C． 【举一反三2】在中，，，，则的外心在的      （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为      ． 【答案】边上； 【解析】如图：的外心在的斜边上， ∵， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴半径为：． 故答案为：边上，． 【举一反三3】一个圆形零件的部分碎片如图所示，请你利用尺规作图找到圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点O即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $