3.1圆 讲义 2025--2026学年浙教版九年级数学上册

3.1圆 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆的基本概念辨析 3 【题型2】求圆中弦的数量 4 【题型3】求过圆内一点的最长弦 6 【题型4】圆的周长和面积问题 7 【题型5】点和圆的位置关系 8 【题型6】经过一、二、三个点确定圆的数量 9 【题型7】三角形外接圆的概念辨析 10 【题型8】求三角形外心的坐标 11 【题型9】求三角形外接圆的直径、半径、面积 12 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 13 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1.（2024春•青秀区期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【知识点2】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：     ①点P在圆外⇔d＞r     ②点P在圆上⇔d=r     ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 1.（2024秋•新吴区期末）⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=6cm,则点A与⊙O的位置关系为（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 2.（2025•洪泽区一模）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=5时，点A与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【知识点3】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 1.（2024秋•道里区校级期中）下列说法正确的个数是（　　） ①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024•长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点 【知识点4】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1.（2024•埇桥区校级三模）如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（　　） A．4 B． C． D．8 【题型1】圆的基本概念辨析 【典型例题】下列图形中对称轴最多的是（    ） A.正方形 B.矩形 C.圆 D.菱形 【举一反三1】已知线段，过A，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【举一反三2】到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以          为圆心，          长为半径的圆． 【举一反三3】经过原点O且半径6的圆的圆心的轨迹是      ． 【举一反三4】如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 【题型2】求圆中弦的数量 【典型例题】如图，点A，，，点，， 以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（      ）    A.条 B.条 C.条 D.条 【举一反三1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【举一反三2】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【举一反三3】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【举一反三4】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【题型3】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】A、是半径为5 cm的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3 cm，到最远距离为5 cm，那么圆的半径为（   ）   A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3 cm，到最远距离为5 cm，那么圆的半径为（   ）   A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm 【举一反三4】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A.5 B.6 C.7 D.8 【举一反三5】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是           ． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【举一反三7】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是      ．    【举一反三8】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【题型4】圆的周长和面积问题 【典型例题】东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A.点A B.点 C.点 D.点 【举一反三1】如图，小明顺着大半圆从A地到地，小红顺着两个小半圆从A地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A. B. C. D.不能确定 【举一反三2】一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是          厘米． 【举一反三3】一个圆的半径从3厘米扩大到7厘米，它的面积增加了多少平方厘米？ 【举一反三4】如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 【题型5】点和圆的位置关系 【典型例题】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点A、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在中，，，．以点A为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A.6 B.8 C.10 D.12 【举一反三2】已知：抛物线的顶点为P，以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，，则的最小值为           ． 【举一反三3】已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是          ． 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【题型6】经过一、二、三个点确定圆的数量 【典型例题】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三1】下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A.以点为圆心 B.以长为半径 C.以点为圆心，长为半径 D.经过点A 【举一反三2】“三点定圆”的含义是：     的三点确定一个圆． 【举一反三3】先阅读，再解答： 我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B（3，4），C（－1，6）三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由. 【举一反三4】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【题型7】三角形外接圆的概念辨析 【典型例题】下列语句中，正确的是（    ） A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【举一反三1】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（    ） A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 【举一反三2】如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A.49° B.47.5° C.48° D.不能确定 【举一反三3】三角形的外接圆： 经过三角形的     的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形     的交点，叫做三角形的     ，三角形的外心到三角形     的距离相等． 【举一反三4】如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【题型8】求三角形外心的坐标 【典型例题】如图，直角坐标系中，，，经过A，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A.点在上 B.点在外 C.点在内 D.无法确定 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A.（1，3） B.（3，1） C.（2，3） D.（3，2） 【举一反三2】过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5，） D.（5，3） 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为           ． 【举一反三4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，A，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过A，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【题型9】求三角形外接圆的直径、半径、面积 【典型例题】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的外接圆的半径是（   ） A.3.2 B. C.3.5 D.4 【举一反三1】等腰直角三角形的外接圆半径等于(    ) A.腰长 B.腰长的 C.底边的 D.腰上的高 【举一反三2】某直角三角形的两直角边边长为，，则该直角三角形的外接圆半径为      ． 【举一反三3】在中，，，，则的外接圆的半径为        ． 【举一反三4】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 【典型例题】如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个. A.0 B.1 C.2 D.3 【举一反三1】如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（    ） A.点P B.点Q C.点M D.点N 【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（  ） A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.x轴上 【举一反三3】如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（    ） A.第四象限 B.第三象限 C.原点O处 D.y轴上 【举一反三4】直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确定 【举一反三5】如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点      ．    【举一反三6】已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是   三角形．（填“锐角”或“直角”或“钝角”）． 【举一反三7】在中，，，，则的外心在的      （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为      ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1圆 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆的基本概念辨析 5 【题型2】求圆中弦的数量 7 【题型3】求过圆内一点的最长弦 10 【题型4】圆的周长和面积问题 13 【题型5】点和圆的位置关系 15 【题型6】经过一、二、三个点确定圆的数量 18 【题型7】三角形外接圆的概念辨析 20 【题型8】求三角形外心的坐标 23 【题型9】求三角形外接圆的直径、半径、面积 28 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 30 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念      弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 1.（2024春•青秀区期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以AB≤4． 故选：D． 【知识点2】点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：     ①点P在圆外⇔d＞r     ②点P在圆上⇔d=r     ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 1.（2024秋•新吴区期末）⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=6cm,则点A与⊙O的位置关系为（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵d=OA=6cm,r=5cm, ∴d＞r, ∴点A在圆外， 故选：C． 2.（2025•洪泽区一模）已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP=5时，点A与⊙O的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】OP=5，A为线段PO的中点，则OA=2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内． 【解答】解：∵OA=OP=2.5，⊙O的半径为3， ∴OA＜⊙O半径， ∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内． 故选：A． 【知识点3】确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 1.（2024秋•道里区校级期中）下列说法正确的个数是（　　） ①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断． 【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在圆中，任何一条弦都对应着两条弧，而这两条弧一般是不相等的，只有弦是直径时，所对的两条弧才相等，故③错误；直径为圆中最长的弦，故④正确； 故选：A． 2.（2024•长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点 【答案】D 【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可． 【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆； B、已知直径能确定一个圆； C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆； D、平面上的三个已知点不能确定一个圆． 故选：D． 【知识点4】三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 1.（2024•埇桥区校级三模）如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（　　） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接AC，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到AC为直径，∠CAB=30°，进而求出AC的长即可． 【解答】解：连接AC，则：∠CAB=∠BDC=30°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AC为⊙O的直径， ∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4， ∴AC=2BC=8， ∴⊙O的半径为； 故选：A． 【题型1】圆的基本概念辨析 【典型例题】下列图形中对称轴最多的是（    ） A.正方形 B.矩形 C.圆 D.菱形 【答案】C 【解析】正方形有4条对称轴； 矩形有2条对称轴； 圆的有无数条对称轴； 菱形有2条对称轴； 故选：C． 【举一反三1】已知线段，过A，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 【答案】C 【解析】分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，    得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【举一反三2】到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以          为圆心，          长为半径的圆． 【答案】点； 【解析】根据圆的定义可知，到定点O的距离等于的所有点组成的图形是以点O为圆心，为半径的圆． 故答案为：点O，． 【举一反三3】经过原点O且半径6的圆的圆心的轨迹是      ． 【答案】以点O为圆心，长为半径的圆 【解析】根据题意，圆心应满足到原点O的距离恒等于，即经过定点O，且半径为的圆的圆心轨迹是以点O为圆心，长为半径的圆． 故答案为：以点O为圆心，长为半径的圆． 【举一反三4】如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 【答案】解：图中的弦有，，， 图中的劣弧有，， 图中的优弧有，． 【题型2】求圆中弦的数量 【典型例题】如图，点A，，，点，， 以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（      ）    A.条 B.条 C.条 D.条 【答案】A 【解析】图中的弦有，共2条． 故选：A． 【举一反三1】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 【答案】C 【解析】图中有弦共3条， 故选C． 【举一反三2】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【答案】C 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【举一反三3】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【答案】C 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【举一反三4】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为，共有3条， 故选：B． 【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【答案】三；，， 【解析】图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【答案】无数；一 【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，一． 【题型3】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】A、是半径为5 cm的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【举一反三1】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3 cm，到最远距离为5 cm，那么圆的半径为（   ）   A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm 【答案】D 【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为 cm. 故选D. 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【举一反三3】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3 cm，到最远距离为5 cm，那么圆的半径为（   ）   A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm 【答案】D 【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为 cm. 故选D. 【举一反三4】已知的半径3，则中最长的弦长为（    ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】∵直径是圆中最长的弦，的半径为3， ∴最长的弦为6， 故选：B． 【举一反三5】已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是           ． 【答案】 【解析】A、是上不同的两点， ， 的半径为， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【举一反三6】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【举一反三7】如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是      ．    【答案】2 【解析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2.    【举一反三8】的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有        个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 【题型4】圆的周长和面积问题 【典型例题】东汉初年，我国的《周髀算经》里就有“径一周三”的古率，提出了圆的直径与周长之间存在一定的比例关系．将图中的半圆弧形铁丝向右水平拉直（保持端不动）．根据该古率，与拉直后铁丝端的位置最接近的是（    ） A.点A B.点 C.点 D.点 【答案】A 【解析】∵半圆的直径是1， ∴由“径一周三”知圆的周长， ∴半圆的周长为， ∴拉直后铁丝端的位置最接近的是点A， 故选：A． 【举一反三1】如图，小明顺着大半圆从A地到地，小红顺着两个小半圆从A地到地，设小明，小红走过的路程分别为，，则与的大小关系是（    ） A. B. C. D.不能确定 【答案】A 【解析】设小明走的半圆的半径是． 则小明所走的路程是． 设小红所走的两个半圆的半径分别是与， 则， 小红所走的路程是， ∴， 故选：A． 【举一反三2】一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是          厘米． 【答案】10 【解析】一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是厘米, 故填：10. 【举一反三3】一个圆的半径从3厘米扩大到7厘米，它的面积增加了多少平方厘米？ 【答案】解：根据题意，则（平方厘米）； ∴它的面积增加了125.6平方厘米． 【举一反三4】如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】解：（1）∵圆的半径为个单位长度， ∴； （2）∵圆在数轴上向右滚动2周， ∴A点移动距离为：， ∴与点A重合的点表示的数为：； （3）A，B，C，D是圆的四等分点， ∴数字与点数4个一循环， ∵， ∴表示的点是第个循环组的第3个点，与点C重合. 【题型5】点和圆的位置关系 【典型例题】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点A、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接， 在直角中，，， 则． 由图可知． 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，，，．以点A为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】在中，，，， ， 当点在内且点在外时， ， 的值可能是8． 故选：B． 【举一反三2】已知：抛物线的顶点为P，以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点，，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】， ， 以P为圆心，为半径作，A为圆上一动点， 点A到点P的距离恒等于，即 点到点的距离为：， ， ， 点在外， 的最小值为， 当点三点共线，且有最小值时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【举一反三3】已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是          ． 【答案】 【解析】由题意知，，， ∵点在内，点在外， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】在平面直角坐标系内，以原点为圆心，5为半径作，已知三点的坐标分别为，，．试判断三点与的位置关系． 【答案】解：∵，，， ∴点A在上，点在内，点在外． 【题型6】经过一、二、三个点确定圆的数量 【典型例题】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】D 【解析】依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【举一反三1】下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A.以点为圆心 B.以长为半径 C.以点为圆心，长为半径 D.经过点A 【答案】C 【解析】∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【举一反三2】“三点定圆”的含义是：     的三点确定一个圆． 【答案】不在同一直线上 【解析】“三点定圆”的含义是：不在同一直线上的三点确定一个圆． 故答案为不在同一直线上． 【举一反三3】先阅读，再解答： 我们在判断点是否在直线上时，常用的方法：把代入中，由，判断出点不在直线上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B（3，4），C（－1，6）三点可以确定一个圆．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由. 【答案】解：他的推断是正确的． 因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b． 由A(1，2)，B(3，4)，得解得 ∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1． 把x＝－1代入y＝x＋1中， 由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上， 即A，B，C三点不在同一条直线上． 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 【举一反三4】已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；   （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【题型7】三角形外接圆的概念辨析 【典型例题】下列语句中，正确的是（    ） A.任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B.钝角三角形的外心在三角形内部 C.三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D.三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【答案】D 【解析】A、任何一个圆有无数个圆内接三角形，故本选项不符合题意； B、钝角三角形的外心在三角形外部，故本选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项不符合题意； D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三1】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（    ） A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 【答案】B 【解析】A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心； B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心； C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心； D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心； 故选B. 【举一反三2】如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（    ） A.49° B.47.5° C.48° D.不能确定 【答案】C 【解析】如图，连接AO， ∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴AO=BO=CO， ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB， ∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC， ∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC） =360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC） =2∠OAB+2∠OAC =2∠BAC； ∵∠BOC=96°， ∴∠BAC=48°， 故选：C． 【举一反三3】三角形的外接圆： 经过三角形的     的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形     的交点，叫做三角形的     ，三角形的外心到三角形     的距离相等． 【答案】三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点 【解析】经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：三个顶点；三条边垂直平分线；外心；三个顶点． 【举一反三4】如图，已知，利用尺规求作，使圆心O在上，且经过A、C两点．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】解：即为所求．    【题型8】求三角形外心的坐标 【典型例题】如图，直角坐标系中，，，经过A，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（　　） A.点在上 B.点在外 C.点在内 D.无法确定 【答案】C 【解析】如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， 圆心的坐标为， ， ， 线段， 半径， 点在内， 故选：C． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A.（1，3） B.（3，1） C.（2，3） D.（3，2） 【答案】B 【解析】连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P， 则点P为△ABC外接圆的圆心， 由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1）， 故选：B． 【举一反三2】过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A.（4，） B.（4，3） C.（5，） D.（5，3） 【答案】A 【解析】设圆的半径为r，则根据勾股定理可知： ，解得r=， 因此圆心的纵坐标为， 因此圆心的坐标为（4，）， 故选A． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为           ． 【答案】（6，6） 【解析】如图∵圆M是△ABC的外接圆, ∴点M在AB、BC的垂直平分线上， ∴BN=CN， ∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）, ∴OA=OB=4，OC=8， ∴BC=4， ∴BN=2， ∴ON=OB+BN=6， ∵∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵OM⊥AB， ∴∠MON=45°， ∴△OMN是等腰直角三角形， ∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）． 故答案为（6，6）． 【举一反三4】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，A，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过A，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】解：（1）如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过A，，三点的圆的圆心， ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【题型9】求三角形外接圆的直径、半径、面积 【典型例题】一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的外接圆的半径是（   ） A.3.2 B. C.3.5 D.4 【答案】B 【解析】解方程，得：或， 若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6， 如图： △ABC是等腰三角形，点O为△ABC 外接圆的圆心，AB=AC=5，BC=6， 作AD⊥BC于D，连接OB， ∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC， ∴△ABC 外接圆的圆心O在AD上，且BD=DC=BC=3， ∴AD=， 设AO=OB=，则OD=， 在Rt△OBD中，， 即， 解得：， ∴此三角形的外接圆的半径是． 故选：B． 【举一反三1】等腰直角三角形的外接圆半径等于(    ) A.腰长 B.腰长的 C.底边的 D.腰上的高 【答案】C 【解析】∵等腰直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点，∴半径等于斜边的一半，∴半径等于底边的． 故选C． 【举一反三2】某直角三角形的两直角边边长为，，则该直角三角形的外接圆半径为      ． 【答案】 【解析】∵直角三角形的两直角边长为、， ∴斜边长=， ∴直角三角形的外接圆半径为． 故答案为：． 【举一反三3】在中，，，，则的外接圆的半径为        ． 【答案】 【解析】在中，，，， ， ∴其外接圆的直径为25，半径为． 故答案为：． 【举一反三4】已知等腰，，请用圆规和直尺作出的外接圆，并计算此外接圆的半径． 【答案】解：作的垂直平分线，交点即为的外接圆的圆心，连接，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径为4． 【题型10】判断三角形外接圆的圆心位置 【典型例题】如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】如图， ∵， ∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点， ∴， ， , ， ∴点F在圆O外，点D、E在圆O上， 故选：B． 【举一反三1】如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（    ） A.点P B.点Q C.点M D.点N 【答案】B 【解析】由题意可知，∠BCN=60°，∠ACN=30°， ∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的外心是斜边AB的中点， ∵点Q是AB中点， ∴△ABC的外心是点Q， 故选：B． 【举一反三2】如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（  ） A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.x轴上 【答案】A 【解析】∵B（－3，0），C（4，0）， ∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧， ∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误； 当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确； 当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确； 当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确， 故选：A． 【举一反三3】如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（    ） A.第四象限 B.第三象限 C.原点O处 D.y轴上 【答案】B 【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限， 故选B． 【举一反三4】直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（　　） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确定 【答案】C 【解析】∵直角三角形的外接圆圆心在斜边中点， ∴直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点． 故选：C． 【举一反三5】如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点      ．    【答案】P 【解析】由勾股定理可得，， ∴的外心是点P， 故答案为：P． 【举一反三6】已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是   三角形．（填“锐角”或“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【解析】∵锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部， 又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外， ∴△ABC是钝角三角形； 故答案是钝角三角形． 【举一反三7】在中，，，，则的外心在的      （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为      ． 【答案】边上； 【解析】如图：的外心在的斜边上， ∵， ∴为直径， ∵，， ∴， ∴半径为：． 故答案为：边上，． 学科网（北京）股份有限公司 $