12.4.1互逆命题和互逆定理课件2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

第12章　全等三角形 12.4　逆命题和逆定理 第1课时　互逆命题和互逆定理 1.什么叫命题？ 判断一件事情的句子叫做命题. 由条件和结论两部分组成. 2.命题由几部分组成,一般可以写成什么样的形式? 可以写成“如果……，那么……”的形式. 3.命题有真命题和假命题之分. 导入新课 复习引入 观察上面三组命题,你发现了什么? 1.两直线平行,内错角相等； 3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎； 2.内错角相等,两直线平行； 5.平行四边形的对角线互相平分； 6.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 说出下列命题的条件和结论： 讲授新课 互逆命题和互逆定理 观察与思考 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 上面三组命题的每两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论分别为： 条件为两直线平行； 结论为内错角相等． 因此它的逆命题为 内错角相等，两直线平行. 归 纳 例1 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题. (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 典例精析 (2)等边三角形的每个角都等于60°. 条件：一个三角形是等边三角形; 结论：它的每个角都等于60°. 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形. （3）全等三角形的对应角相等. 条件：两个三角形是全等三角形. 结论：它们的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形. （4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 条件：一个点到一个角的两边距离相等. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等. （5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确． 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，这个逆命题就是假命题． 知识归纳 例2 举例说明下列命题的逆命题是假命题. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如10能被5整除，但它的个位数字是0. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5. 例如60°= 60°，但这两个角不是直角. 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题. 注意2：不是所有的定理都有逆定理. 我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理． 一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理． 归 纳 互逆命题和互逆定理 互逆命题 课堂小结 互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 概念 1. 下列各命题的逆命题是真命题的为(　D　) A. 如果a=0,那么ab=0 B. 全等三角形的对应角相等 C. 相等的角是同位角 D. 如果a=b,那么3a=3b D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 下列定理中,没有逆定理的是(　C　) A. 两直线平行,内错角相等 B. 两直线平行,同旁内角互补 C. 同角的余角相等 D. 若两个三角形的三条边对应相等,则这两个三角形全等 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 命题“如果mn=1,那么m、n互为倒数”的逆命题是 　如果m、n互为倒数,那么mn=1　.原命题是 　真　(填“真”或“假”)命题,逆命题是 　真　(填“真”或“假”)命题.  4. 命题“对顶角的平分线在一条直线上”的逆命题是 　如果两个角的平分线在一条直线上,那么这两个角是对顶角　,该逆命题是 　假　(填“真”或“假”)命题.  如果m、n互为倒数, 那么mn=1　 真　 真　 如果两个角的平分线在一 条直线上,那么这两个角是对顶角　 假　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知命题“在两个三角形中,两边及其中一边所对的角对应相等,则这两个三角形全等”. (1) 这个命题是真命题还是假命题?如果是假命题,那么请画出图形说明. 解:(1) 这个命题是假命题.如图,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠B=∠B,但△ABC与△ABD显然不全等.∴ 此命题是假命题. (第5题答案) (第5题答案) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 (2) 这个命题的逆命题是什么?逆命题是真命题吗? 解:(2) 逆命题:如果两个三角形全等,那么这两个三角形的两边及其中一边所对的角对应相等.逆命题是真命题. (第5题答案) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 下列说法错误的是(　B　) A. 任何命题都有逆命题 B. 任何定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定是真命题 D. 定理的逆定理一定是真命题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 有下列命题:① 若 >1,则a>b;② 若a+b=0,则|a|=|b|;③ 等边三角形的三个内角都相等;④ 底角相等的两个等腰三角形全等.其中,原命题与逆命题均为真命题的个数是(　A　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 给出下列三个定理:① 有两个角相等的三角形是等腰三角形;② 全等三角形的周长相等;③ 同位角相等,两直线平行.其中,存在逆定理的有 　①③　(填序号).  9. 命题“当k=2时,二次三项式x2+kxy+y2是完全平方式”的逆命题是 　假　命题(填“真”或“假”).  ①③　 假　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 写出下列命题的逆命题,并判断其真假.如果是假命题,请举出反例. (1) 如果a+b=0,那么a2=b2. 解:(1) 逆命题:如果a2=b2,那么a+b=0.假命题.　反例不唯一,如a=1,b=1,a2=b2成立,但a+b=0不成立. (2) 等腰三角形是锐角三角形. 解:(2) 逆命题:锐角三角形是等腰三角形.假命题.　反例不唯一,如在△ABC中,∠A=50°,∠B=60°,∠C=70°,此时△ABC是锐角三角形,但不是等腰三角形. (3) 如果x=a,那么(x-a)(x-b)=0. 解:(3) 逆命题:如果(x-a)(x-b)=0,那么x=a.假命题.　反例:x=b≠a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 在同一个三角形中,角的大小与边的大小满足定理“在三角形中,大角所对的边较大”.该定理有逆定理吗?如果有,请写出逆定理,并加以证明;如果没有,请写出它的逆命题,并举出一个反例说明它是假命题. 解:有　逆定理:在三角形中,大边所对的角较大.已知:如图,在△ABC中,AC>AB. 求证:∠ABC>∠ACB. 证明:∵ AC>AB,∴ 在AC上截取AE=AB,连结BE. ∴ ∠ABE=∠AEB. ∵ ∠ABC> ∠ABE,∴ ∠ABC>∠AEB. ∵ ∠AEB>∠ACB, ∴ ∠ABC>∠ACB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题,并证明该逆命题是真命题. 解:逆命题:如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等,那么这个三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且DE=DF. 求证:△ABC是等腰三角形.证明:∵ D是BC的中点,∴ BD=CD. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴ ∠B=∠C. ∴ AB=AC. ∴ △ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $