1.4.2用空间向量夹角讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量夹角 题型1 异面直线所成的角 5 题型2 直线与平面所成的角 10 题型3 平面与平面所成的角 16 知识点一 空间向量基本定理 1．空间中两条直线所成的角 设分别是空间中直线的方向向量，且与所成角的大小为，通过作图讨论与的关系. 如图所示，可以看出或,所以空间中两条直线所成的角的范围为. 特别地， 或 (2)若或 (3)若 (4)两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角相等或互补. (5). 2．两条异面直线所成的角 (1)定义：设，是两条异面直线，过空间任意一点作直线,,则与b'所成的锐角或直角叫做与所成的角. ( 17 ) (2)范围：两条异面直线所成的角的取值范围是. 知识点二 直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成的角的求法 (1)可通过已知条件，从斜线上的一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得斜线与平面所成的角. (2)找斜线在平面内射影的方法 ①如果斜线在平面的一个垂面内，则在内的射影即垂面与的交线，如图1所示. ②若在图中不易找到过斜线且与平面垂直的平面，则可找一个与相交且与垂直的平面.如图2所示，设,则在内作,就有,所以就是在平面内的射影. 知识点三 最小角定理 1．线线角、线面角的关系 如图所示，已知是平面的斜线段，是斜足，线段垂直于，为垂足，则直线是斜线在平面内的正射影.设是内通过点的任意一条直线，与所成的角为,与所成的角为,与所成的角为，则.① 2．最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角. 说明：在公式①中，∵ 和都是锐角或直角，从而. 知识点四 用空间向量求直线与平面所成的角 如图1、图2所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有或 注：若是锐角，则若是钝角，则 知识点五 二面角的定义及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 棱为，两个面分别为，的二面角，记作如图，,,二面角也可以记作. 2．二面角的度量——平面角 在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线,,则叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面. 注：(1)二面角的大小等于它的平面角的大小，二面角的范围是. ①当两个半平面重合时，二面角为；②当两个半平面垂直时，二面角为称为直二面角；③当两个半平面在同一平面内，且延展方向相反时，二面角为. (2)二面角的平面角的三个特征： ①过棱上任意一点；②分别在两个面内作射线；③射线垂直于棱，如上图 3．两相交平面的夹角 (1)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (2)范围: 注：当两相交平面所成角为时，两平面重合或平行 知识点六 用空间向量求二面角的大小 1．用向量度量二面角 (1)分别在二面角的平面，内，作向量则可以用来度量二面角(如图1). (2)设则与二面角大小相等(如图2)或互补(如图3). 2．用向量法求二面角 第一步：寻求平面，的法向量，. 第二步：利用公式求出法向量，的夹角. 第三步：根据，的方向，确定平面，所构成的二面角的大小： (1)当，的方向如图1所示时，; (2)当，的方向如图2所示时，; 题型1 异面直线所成的角 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 6．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 题型2 直线与平面所成的角 7．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 8．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 9．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 10．（24-25高三上�安徽马鞍山�阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 题型3 平面与平面所成的角 11．（25-26高三上·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 12．（25-26高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. (1)证明：平面； (2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 13．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 14．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量夹角 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 2．（24-25高二上�福建厦门�阶段练习）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角、空间向量数量积的应用、空间向量基本定理及其应用 【分析】由，两边同时平方代入可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以. 因为，，，，，， 所以， 所以． 因为异面直线AC与BD所成角为，， 所以，所以. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解. 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以， 所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 4．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出与的方向向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以， 由于在平面内，所以的纵坐标为0， 且直线方程满足，满足，联立，解得， 所以， 因为， 所以与所成的角的余弦值为， 所以与所成的角的大小为. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求线面角、线面角的向量求法 【分析】方法一：三条射线两两所成的角均为,不容易直接建系.可以把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．因此在正方体中建立空间直角坐标系，先求出直线与平面所成的角的正弦值，再根据同角三角函数关系式求出其余弦值. 方法二：把放入正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，可满足两两的夹角均为．与平面不相交的体对角线CD与与平面垂直，正方体中，易知与所成角的正弦值，即为直线与平面所成的角的余弦值. 方法三：过点向平面做垂线，可得直线与平面所的成的角. 【详解】方法一：如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系（其中为原点），设正方体的棱长为1， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量，则 令，则，，所以， 所以． 设直线与平面所成的角为，所以， 所以. 故选：B. 方法二: 如图所示，把放在正方体中，使得这三条线成为正方体的三条面对角线，则两两的夹角均为． 正方体中，点出发的体对角线与平面垂直，所以直线与对角线所成的角的正弦值，即为直线与平面所成的角(记为）的余弦值. . 故选：B. 方法三: 设射线在平面的射影为射线，则直线与直线的夹角即为直线与平面所成的角.由最小角定理可得，． 由两两的夹角均为，易得是的角平分线，所以． 又，故． 故选：B. 6．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线面角的向量求法 【分析】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法 【分析】通过向量夹角公式求出两平面法向量的夹角，再根据两平面夹角与法向量夹角的关系求出两平面的夹角. 【详解】因为两平面的法向量分别为，. 又，，. 所以. 所以两平面的夹角为. 故选：A. 8．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】面面角的向量求法 【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可. 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】利用平面所成角的大小与平面的法向量所成角的关系可判断AB，利用线面角的大小与直线的方向向量与平面的法向量的关系可判断CD. 【详解】因为，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为， 所以相等或互补，所以，故A正确； 所以，故B错误； 因为以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，所以，故D错误， 因为，故C正确. 故选：AC. 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】A选项，建立，建立空间直角坐标系，得到，设直线与所成角为，利用得到答案；B选项，证明出，得到线面平行；C选项，计算出，得到垂直关系；D选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 11．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 【答案】BCD 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，若，则或，A错； 对于B，若，则，B对； 对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对； 对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量 【分析】补全正方体，建立空间直角坐标系，利用坐标法表示异面直线夹角余弦值，列出方程，解方程即可. 【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.    设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为， 所以，，，，，，，所以，， 则，， 设直线与直线所成角为， 则， 即，解得或（舍）. 故答案为： 13．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 【答案】 【知识点】已知线面角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解. 【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得： ， 即有：，所以：， 以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以：，，，， 因为：，且，， 设平面的一个法向量为：， 则：，令：，得：， 所以得：，解得：. 故答案为：. 14．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 【答案】或 【知识点】空间向量的坐标运算、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示， 设棱长为1，, 则， ， 设平面，平面的一个法向量分别为， 所以，，即，， 分别令，则， 故， 设二面角的平面角为， 由，则， 故由， 解得或. 四、解答题 15．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)已知，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）根据题意，利用线面平行的性质定理，分别证得和，进而证得； （2）由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由平面平面，平面， 因为平面，且平面平面，所以， 又因为平面，且平面平面，所以， 所以. （2）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （3）解：因为平面，且平面，所以， 又因为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且， 可得，则 设直线与直线所成角为， 可得， 即直线与直线所成角的余弦值. 16．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 17．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】锥体体积的有关计算、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥的体积； （2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【详解】（1）如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. （2）连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 18．（25-26高三上·海南海口·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．    (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求二面角的正弦值. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，    因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系，    则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 19．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii） 【知识点】证明面面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. （2）（i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 能力提升 1．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、证明线面垂直、证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】首先取取中点，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，结合二次函数的值域即可求出线段长度的取值范围. 【详解】如图，取中点，连接，因平面，平面，故平面平面， 因是以为斜边的等腰直角三角形， 故，又平面，且平面平面，所以平面， 如图分别以和过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 设，设， 故，得 又因为，且异面直线与成的角， 故，即 即因则有， 则故得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查运用建系法求解空间角的问题，属于较难题. 解题关键是根据条件建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，然后利用二次函数的值域求参数取值范围. 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量是，利用夹角公式得，利用二次函数即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，，取， 则． 故选：C． 4．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值； ③直线与平面所成的角是定值． 其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】求点面距离、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】采用注意验证法，建立空间直角坐标系， 计算可知①正确，利用等积法，根据F点到底面的距离为定值可知②正确，然后用向量方法计算线面角，可知结果. 【详解】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)， (0，0，1)， (1，0，1)， (1，1，1)， (0，1，1)， 设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1）， 可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得=0， 故异面直线与所的角是定值，故①正确； 三棱锥的底面面积为定值，且∥， 点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值， 故三棱锥的体积是定值，故②正确； 可得，，， 可得平面的一个法向量为=（1，1，1）， 可得不为定值，故③错误; 故选：B． 【点睛】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键，属中档题. 5．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】根据题意，分别求出SE与BC所成的角、SE与平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小. 【详解】四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等， 所以四棱锥为正四棱锥， （1）过作，交于，过底面中心作交于，连接，取中点，连接，如下图（1）所示：则； （2）连接 如下图（2）所示，则; （3）连接，则 ，如下图（3）所示： 因为 所以， 而均为锐角， 所以 故选：C. 【点睛】本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题. 6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为 ． 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，用向量法求出侧面与底面的夹角. 【详解】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP.则，，． 以O为原点，为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系． 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 显然平面的法向量为． 所以， 所以侧面与底面的夹角为． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量夹角 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上�福建厦门�阶段练习）已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面内，且它们都垂直于l．若，则异面直线AC与BD所成角为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025高二下·浙江·学业考试）在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为（ ） A． B． C．或 D． 8．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·辽宁·期末）如果，分别是平面，的一个法向量，设，所成角的大小为，以为方向向量的直线与平面所成角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·黑龙江·期末）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（24-25高二上·贵州黔东南·阶段练习）直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则平面、所成夹角的大小为 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则 .    13．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ． 14．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)已知，求直线与直线所成角的余弦值． 16．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 17．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， (1)当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 18．（25-26高三上·海南海口·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．    (1)求证：； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 19．（25-26高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 能力提升 1．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题： ①异面直线与所成的角是定值； ②三棱锥的体积是定值； ③直线与平面所成的角是定值． 其中真命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2用空间向量夹角 题型1 异面直线所成的角 5 题型2 直线与平面所成的角 10 题型3 平面与平面所成的角 16 知识点一 空间向量基本定理 1．空间中两条直线所成的角 设分别是空间中直线的方向向量，且与所成角的大小为，通过作图讨论与的关系. 如图所示，可以看出或,所以空间中两条直线所成的角的范围为. 特别地， 或 (2)若或 (3)若 (4)两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角相等或互补. (5). 2．两条异面直线所成的角 (1)定义：设，是两条异面直线，过空间任意一点作直线,,则与b'所成的锐角或直角叫做与所成的角. ( 17 ) (2)范围：两条异面直线所成的角的取值范围是. 知识点二 直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 直线与平面所成的角，应分三种情况： 2．斜线与平面所成的角的求法 (1)可通过已知条件，从斜线上的一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得斜线与平面所成的角. (2)找斜线在平面内射影的方法 ①如果斜线在平面的一个垂面内，则在内的射影即垂面与的交线，如图1所示. ②若在图中不易找到过斜线且与平面垂直的平面，则可找一个与相交且与垂直的平面.如图2所示，设,则在内作,就有,所以就是在平面内的射影. 知识点三 最小角定理 1．线线角、线面角的关系 如图所示，已知是平面的斜线段，是斜足，线段垂直于，为垂足，则直线是斜线在平面内的正射影.设是内通过点的任意一条直线，与所成的角为,与所成的角为,与所成的角为，则.① 2．最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角. 说明：在公式①中，∵ 和都是锐角或直角，从而. 知识点四 用空间向量求直线与平面所成的角 如图1、图2所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有或 注：若是锐角，则若是钝角，则 知识点五 二面角的定义及其度量 1．二面角的定义及表示 (1)二面角的有关定义 半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 棱为，两个面分别为，的二面角，记作如图，,,二面角也可以记作. 2．二面角的度量——平面角 在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线,,则叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面. 注：(1)二面角的大小等于它的平面角的大小，二面角的范围是. ①当两个半平面重合时，二面角为；②当两个半平面垂直时，二面角为称为直二面角；③当两个半平面在同一平面内，且延展方向相反时，二面角为. (2)二面角的平面角的三个特征： ①过棱上任意一点；②分别在两个面内作射线；③射线垂直于棱，如上图 3．两相交平面的夹角 (1)平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. (2)范围: 注：当两相交平面所成角为时，两平面重合或平行 知识点六 用空间向量求二面角的大小 1．用向量度量二面角 (1)分别在二面角的平面，内，作向量则可以用来度量二面角(如图1). (2)设则与二面角大小相等(如图2)或互补(如图3). 2．用向量法求二面角 第一步：寻求平面，的法向量，. 第二步：利用公式求出法向量，的夹角. 第三步：根据，的方向，确定平面，所构成的二面角的大小： (1)当，的方向如图1所示时，; (2)当，的方向如图2所示时，; 题型1 异面直线所成的角 1．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则    ，， ， ， 所以  ， 故直线与所成的角余弦值为0. 故选： D. 2．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知线线角求其他量 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 3．如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设圆的半径为，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】，且，所以，， 连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 4．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连结,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大小． 【详解】取的中点，连结,在直三棱柱，点为的中点, 且，且，所以就是异面直线与所成的角．，可以求出，在中，由勾股定理可求出，在中，由勾股定理可求出，显然是直角三角形，,所以，因此本题选B. 【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是． 5．（24-25高一上·重庆·期末）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：B. 6．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求直线和的方向向量，由条件结合向量夹角公式列方程求. 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 题型2 直线与平面所成的角 7．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，是上靠近点的三等分点． (1)证明：平面； (2)求线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及正六边形的性质可得，，即可由线面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以． 因为六边形是边长为3的正六边形，所以． 又平面平面，故平面． （2）以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，． 设平面的一个法向量为，由于， 所以，令，得， 即平面的一个法向量为， 所以直线和平面所成角的正弦值为 8．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）. (1)若，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值； （2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值. 【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为； 又因为，，所以点坐标为. 所以，. 根据向量的夹角公式，， ，所以. 因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为. （2）因为，，所以点坐标为. 那么，，.   设平面的法向量为，有，即. 令，得，解得； 把，代入得，解得. 所以.   已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角）， 则. 等式两边同时平方得. 化简：，即. 展开得. 移项整理得， 又因为，所以，解得.   9．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、已知线面角求其他量 【分析】（1）取AC的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质得，再结合余弦定理，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量求法列式求解. 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 10．（24-25高三上�安徽马鞍山�阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）先应用线面平行判定定理结合性质定理，再结合面面垂直的性质定理得出线面垂直； （2）应用空间向量法计算线面角结合值域即可求出最大值. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，平面平面且平面平面，平面， 所以平面，则平面． （2）取中点记为，中点记为，连接，所以， 连接，因为为等腰三角形，所以， 所以，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，， 令，所以，，， 记平面的一个法向量，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 当时，，当时， ， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 题型3 平面与平面所成的角 11．（25-26高三上·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出； （2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可. 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 12．（25-26高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，点与点在平面的异侧，. (1)证明：平面； (2)若，，，四点共圆，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）记为的中点，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角的大小即可. 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，所以， 在平面中，由，可知是的中垂线， 故， 而平面平面，平面平面，平面， 故平面. （2）记为的中点，由，，，四点共圆可知， 而，故. 不妨令，易知，，，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，，. 记平面的法向量为， ，即，可取， 记平面的法向量为， ，即，可取. 记平面与平面的夹角为，则. 13．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.    (1)证明：平面平面； (2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【知识点】证明面面垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面，再利用面面垂直的判定定理得到答案； （2）建系，设，借助于空间向量表示平面与平面的夹角的余弦值，进而求出，即得答案. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，因为侧面为菱形，，    所以.又因为平面平面， 平面平面， 平面，所以平面. 又因为是的中点，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）连接，因为为等边三角形，则.    所以两两垂直.则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为AB=2，所以. 故， . 设，则， 即.， . 设平面的一个法向量为， 则则，取，则，. 故平面的一个法向量为. 又由（1）可知平面的一个法向量为， 由题意可得，即. 解得.又，所以，线段CF的长为2. 14．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面垂直证线面垂直、已知面面角求其他量 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 （2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积. 【详解】（1） 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $