第五章 一元一次方程导学案-2025-2026学年人教版数学七年级上册

北京中学科技分校学历案 第五章 一元一次方程 ( 考点及课标要求 ) 中考考点 核心素养 课标要求 根据具体问题列方程 抽象能力 能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程 解一元一次方程 运算能力 掌握等式的基本性质，能解一元一次方程 ( 知识体系构建 ) (以思维导图形式呈现) ( 课时学历案 ) 课题 5.1.1 从算式到方程 学习 目标 1.掌握方程，一元一次方程的相关概念； 2.体会字母表示数的优越性. 学习 重点 方程，一元一次方程及方程的解的概念 学习 难点 设未知数、找相等关系列方程 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发. 甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进l.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km. 多长时间后，甲队在途中追上乙队？ （1）你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？列算式试试？ （2）如果设两队行进的时间为x h，你能分别列式表示甲队和乙队的行进路程吗？如何用式子表示甲、乙两队距大本营的路程之间的关系？ （3）你还能列出其他的关系吗？ （4） 比较用算术方法和用方程解决这个问题各有什么特点？ 再来看两个实际问题： 问题1 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比 小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 问题2 如图，图5.1-1是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪 念币，其面积是4000mm²同,长和宽的比为8 : 5（即宽是长的 ） 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 定义：像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（equation）. 练习：判断下列式子是否是方程: (1) x+3y-5x=7 (2) 6x-7 (3) 5x >9 (4) 6x2+x-2=0 (5) 1+2=3 (6) --m=1 合作 展示 交流 解疑 例1 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名 学生？ (2) 如图5.1-2，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m,扩大后的绿地面 积是500 m²，求正方形绿地的边长. 你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗？体会列方程所依 据的相等关系. 归纳：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程， 是用数学解决实际问题的一种方法，这个过程可以表示如下： 列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需 要求出方程中未知数的值. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解 (solution). 求方程的解的过程，叫作解方程. 例2 （1）x=2，x=是方程 2x=3的解吗？ （2）x=10，x=20是方程 12x=16(x-5)的解吗？ 思考1：x=60是方程的解吗？x=80呢? 思考2：观察方程1.2x+1=0.8x+3，12x=16(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80， 它们有什么共同特征？ 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的 式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 (linear equation with one unknown). 练习： 1. 判断和是不是方程的解. 2. 下列式子哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1) 2+3=3+2 (2)8y-9=9-y (3)x-2y=0 (4) (5) =2 (6) ax=b(a、b是常数) 3.（1）已知2xm+1 +3=7是一元一次方程，求m的值； （2）已知关于x的方程mxn-1+2=5是一元一次方程，则m=＿，n=＿. 4.根据下列条件列出方程: (1)某数的6倍与-3的和，等于该数的7倍减去5； （2）某数的3倍减去9，等于该数的三分之二加6； （3）某数的8倍比该数的5倍大12； （4）某数的一半加上4，比该数的3倍小21. 质疑 深化 巩固 提升 5.根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ （2） 有两条电线，第一条长90 m,第二条长40 m.要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等. 求截下的那段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）. （3）某圆环形状的工件如图所示，它的面积是200 cm²,外沿大圆的半径是10 cm,内沿小圆的半径是多少厘米？ 6. 方程与方程的解相同，求代数式的值． 收获 反思 巩固 作业 【基础达标】 1.下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A.2 B. C. D. 2.下列等式①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次方程的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列方程中，以x＝－1为解的方程是（　　）. A.　　 B.7（x－1）＝0　　 C.4x－7＝5x＋7　　 D.x＝－3 4.根据“x与6的和的3倍比x的少2”列出方程是（ ）． A．3x+6=-2 B．3x+6=+2 C．3（x+6）=-2 D．3（x+6）=+2 【基础拓展】 5.已知关于x的方程＝4的解是x＝4，则a＝ . 6.当x＝ 时，3x＋4与2x＋6的值互为相反数. 7.写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是－，②方程的解是7，则这样的方程可写为______________. 【能力提升】 8. m为何值时，关于x的方程4x－2m＝3x＋1的解是x＝2x－3m的解的2倍. 【挑战极限】 9.已知x＝－3是方程mx＝2x－6的一个解. （1）求m的值； （2）求式子（－13+11）2010的值． 课题 5.1.2 等式的性质 学习 目标 1.知道等式的性质，从不同的角度认识等式的性质100%； 2.会用等式的性质解简单的一元一次方程100%. 学习 重点 等式的性质 学习 难点 等式性质的运用 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 方程是含有未知数的等式. 像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×3＋1＝5×2，3x＋1＝5y这样的式子，都是等式. 　 用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 通常可以用a＝b表示一般的等式. 首先，给出关于等式的两个基本事实. 等式两边可以交换.如果，那么. 相等关系可以传递.如果，那么. 思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等. 引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 一般地，等式有以下性质： ( 如果 ，那么 )等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等. ( 如果 ，那么 ； 如果 ， 那么 . )等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 合作 展示 交流 解疑 例1：根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果，那么_____； （2）如果，那么_____； （3）如果，那么_____ ； （4）如果，那么_____. 利用等式的性质可以解方程. 例4 利用等式的性质解下列方程： （1） ； （2）； （3）. 练习： 1. 根据等式的性质填空: （1）如果，那么_____； （2）如果，那么_____； （3）如果，那么_____ ； （4）如果，那么_____. 2.利用等式的性质解下列方程，并检验： （1）； （2）； （3）； （4）； 质疑 深化 巩固 提升 回答下列问题： （1）从，能否得到，为什么？ （2）从，能否得到，为什么？ （3）从能否得到，为什么？ （4）从=，能否得到，为什么？ （5）从，能否得到x =，为什么？ 收获 反思 1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：�同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边； 2．等式变形时，两边加.减.乘.除的数或式必须相同． 3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0； 检测 反馈 1.填空题． (1)在等式2x-1=4，两边同时________得2x=5． (2)在等式-7x=7y，两边都_______得x=-y． (3)在等式-x=4的两边都______，得x=______． (4)在等式x=-20的两边都 或 得x=____． 2.方程的解是，那么等于（ ） A.－1 B.1 C. 0 D.2 3.已知，则　　　　　. 4.当y=_______时，y的2倍与3的差等于17. 5.代数式x+6的值与3-2x互为相反数，则x的值为 . 6.利用等式的性质解下列方程并检验： （1）； （2）； （3）； （4）； 巩固 作业 【基础达标】 1.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ； （5）如果，那么 . 【基础拓展】 2.下列等式变形错误的是( ) A.由a=b得a+5=b+5; B.由a=b得; C.由x+2=y+2得x=y; D.由-3x=-3y得x=-y 3.运用等式性质进行的变形,正确的是( ) A.如果a=b，那么a+c=b-c; B.如果，那么a=b; C.如果a=b，那么; D.如果a2=6a，那么a=6 4.下列等式变形正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.利用等式的性质解下列方程 （1） x+1=5 （2） （3） （4） 【能力提升】 6. 下列各式中，变形正确的是（ ）． (A)若，则 (B)若，则 (C)若，则 (D)若，则 7．已知x=3是关于x的一元一次方程ax+b=0的解，请写出一组满足条件的 a，b的值：a= ，b= ． 课题 5.2.1 解一元一次方程（1） 学习 目标 学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程；100% 学习 重点 会合并同类项、系数化“1”解一元一次方程 学习 难点 会列一元一次方程解决实际问题 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？ ( 这里用到了怎样的相等关系？ )问题1：如何列方程？分哪些步骤？ 解：设前年购买计算机x台，则去年购买 台， 今年购买 台，依题意得 合作 展示 交流 解疑 问题2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？ 思考：上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？ 例1 解下列方程： (1) (2) 解：(1) 合并同类项得： = 　　 系数化1得: ； (2) 合并同类项得： = 　　 系数化1得: . 质疑 深化 巩固 提升 练习1.解下列方程： （1）； （2）； （3）. （4） 例2： 有一列数，按一定规律排列成:1，－3，9，－27，81，－243，···， 其中某三个相邻数的和是－1 701，这三个数各是多少？ 练习2： （1）某工厂的产值连续增长，2021年是2020年的1.5倍，2022年是2021年的2倍，这三年的总产值为550万元.2020年的产值是多少万元？ （2）某洗衣机厂今年计划生产I型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共25500台，其中I型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1：2：14，洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 收获 反思 合并同类项就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0. 检测 反馈 1.解下列方程： （1）9x—5x =8 ； （2）4x－6x－x =－15； (3) (4) 2.一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑.白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？ 巩固 作业 【基础达标】 1.解下列方程： （1）14x－10 x= 12 （2）x+13=5x+37 （3）186x＝54 （4） 【基础拓展】 2.解下列方程： (1) 4x-7x+6=9-5x； (2) 10y + 5 = 13y－5－2y ； (3)； (4)． 【能力提升】 3.下列方程中，和方程的解相同的方程是（ ） A. B. C. D. 4.若.互为相反数（），则一元一次方程的解是（ ） A.1 B.-1 C.-1或1 D.任意有理数 5.若2是关于x的一元一次方程的解，则a = ________. 6.当x为何值时，式子与的和等于6？ 【挑战极限】 7. 是否存在整数k，使得关于x的方程在整数范围内有解？并求出各解. 课题 5.2.2 合并同类项与移项（2） 学习 目标 1.通过观察，发现移项法则；90% 2.利用移项法则解形如“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程；100% 3.通过分析实际问题中的数量关系，体会建模思想在一元一次方程中的作用90% 学习 重点 运用移项法则解一元一次方程. 学习 难点 探索发现移项法则 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 问题1：把一批图书分给某班同学阅读，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则缺25本，这个班有多少名学生？ 分析：设这个班有x名学生， 每人分3本，共分出___本，加上剩余的20本，这批书共 本. 每人分4本，需要___本，减去缺的25本，这批书共 本. 等量关系： 列得方程： 思考：该方程与上节课的方程在结构上有什么不同？如何解这个方程呢？ ( 把某项从等式的一边移到另一边时，这项有什么变化 ？ ) 归纳：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 思考： 1． 移项的依据是什么？ ． 2. 解方程中“移项”起了什么作用？ ． 问题1的解答过程： 解：设这个班有x名学生，依题意得 3x+20=4x－25 移项，得 合并同类项，得 系数化为１，得 答：这个班的学生有 人． 合作 展示 交流 解疑 例1： 解下列方程： （1） （2） 例2： 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为25，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？ 收获 反思 巩固 作业 【基础达标】 1.解下列方程 2． 李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍.求现在李明的年龄. 【能力提升】 1.王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg,张华平均每小时采摘7kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了张华，这时两人的樱桃一样多。她们采摘用了多长时间？ 2.是否存在整数k，使得关于x的方程在整数范围内有解？并求出各解. 课题 5.2.3 去括号去分母（1） 学习 目标 1.了解“去括号”是解方程的重要步骤；100% 2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；95% 3.列一元一次方程解应用题时，关键是找出条件中的相等关系90% 学习 重点 “去括号”解一元一次方程 学习 难点 括号前是“－”号的，去括号时，括号内的各项要改变符号，乘数与括号内多项式相乘，乘数应乘遍括号内的各项 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 复习回顾 叙述去括号法则，化简下列各式： （1）= ；（2）= ； （3）= ；（4）= ； 问题： 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000 kWh，全年的用电量是150 000 kWh. 这个工厂去年上半年平均每月的用电量多少？ 解：设上半年每月平均用电x kWh，则下半年平均每月的用电量是________kWh；上半年的用电量是______kWh，下半年的用电量是_________kWh. 根据题意列得方程： 思考1：怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？ 思考2：本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？ 合作 展示 交流 解疑 例1 解下列方程 （1）2x-(x+10)=5x+2(x-1) 解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 . （2） 解：去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 . 思考：你觉得在解方程时应注意哪些问题？试着总结解方程的过程 例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h. 已知水流的速度是3 km/h,求船在静水中的平均速度. 质疑 深化 巩固 提升 练习： 1. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 2. 一个长方形的长减少2cm，宽增加2cm后，面积保持不变. 已知这个长方形的长是6cm，求它的宽. 3.编织大、小两种中国结共6个，总计用绳20m. 已知编织1个大号中国结需用绳4m，编织1个小号中国结需用绳3m. 问这两种中国结各编织了多少个. 收获 反思 去括号时要注意什么？ 检测 反馈 1.解方程： （1） （2） 2.列方程求解： （1）当x取何值时，代数式和的值相等？ （2）当x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？ （3）当y取何值时，代数式2（3y＋4）的值比5（2y－7）的值大3？ 巩固 作业 【基础达标】 1.解下列方程. ； (2)3(x-1)-2(2x+1)=12； 【基础拓展】 2.解下列方程. (1)2(x－2)－(4x+1)= 3(1－x)； (2)4x－3(20－x) = 6x－7(9－2x)； 【能力提升】 3.本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程 解：方程两边同时乘以6，得： …………① 去分母，得： …………② 去括号，得：………………③ 移项，得： ……………④ 合并同类项，得： ……………………⑤ 系数化1，得： ………………………⑥ 上述小明的解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_________________． 请帮小明改正错误，写出完整的解题过程． 【挑战极限】 4.对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，中的较大值，如，.请解答下列问题： （1） ； （2）如果，求的值. 课题 5.2.4 去括号与去分母（2） 学习 目标 1.经历“把实际问题抽象为方程”的过程，发展用方程分析问题.解决问题的能力；90% 2.掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，能解此类型的方程；100% 3.通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法100% 学习 重点 去分母解方程 学习 难点 去分母时，不含分母的项会漏乘公分母及没有对分子加括号 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 知识链接 1.解方程： (1) 4-3(2-x)=5x (2) =3x-1 2.求下列各数的最小公倍数： （1）2，3，4； （2）3，6，8； （3）3，4，18. 合作 展示 交流 解疑 问题：如图5.2-1，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km，距绿水70 km. 某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表5.2-1所示. 王家庄距翠湖的路程有多远？ 例1.解方程： 思考：以上去分母的过程中应注意哪些问题？试着归纳解这类方程的一般过程. 例2.解下列方程： （1） (2) 练习： 1.解下面的方程 （1） （2） 2.伦敦大英博物馆保存着一件极其珍贵的文物—莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.这个数是多少？请你用方程解决这个问题。 质疑 深化 巩固 提升 1.下面各题中的去分母对吗？如不对，请改正. ⑴ ⑵ 去分母得 去分母得 2.解方程： (1) (2) 3.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地. 求A，B两地相距的路程. 收获 反思 1.解一元一次方程的一般步骤为： ①去分母,②去括号,③移项,④合并同类项,⑤ 系数化为1 . 2.去分母时要注意什么？ 检测 反馈 解方程： （1） （2）； 巩固 作业 【基础达标】 1.解下列方程. (1) （2） 【基础拓展】 2.解下列方程. （1） （2） 3.(1)x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？ (2)k取何值时，代数式的值比的值小2？ 【能力提升】 4.依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据. 解：原方程可变形为 依据（ ） 去分母，得3(3x+5)=2(2x-1). 依据（ ） 去括号，得9x+15=45u-2. 依据（ ） 移项，得9x-4x= -15-2. 依据（ ） 合并，得5x= -17. 依据（ ） 系数化为1，得x= — 依据（ ） 【挑战极限】 5.对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定： （a，b）★（c，d）=bc－ad. 例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ; （2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x= ; （3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值． 课题 5.3.1实际问题(1)——配套问题 学习 目标 1.理解配套问题中的数量关系，能根据配套.倍数的特有的相等关系列一元一次方程解决实际问题；90% 2.进一步提高用方程解题的能力，体会方程思想在解决实际问题中的作用.90% 学习 重点 用一元一次方程解决配套问题. 学习 难点 找出配套问题中的相等关系，准确列出一元一次方程. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 例1 某车间有22名工人，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个.一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 分析：每天生产的 数量是 数量的2倍时，刚好配套. 解：设应安排x名工人生产螺钉， 名工人生产螺母. 可生产螺钉 个，螺母 个， 列出方程 合作 展示 交流 解疑 1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要 24天。如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线? 思考：用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的呢？ 质疑 深化 巩固 提升 2.在一次劳动课上，有27名同学在甲处劳动，有19名同学在乙处劳动.现在从其他班级另调20人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的2 倍，应调往甲、乙两处各多少人? 收获 反思 检测 反馈 1. 一台仪器由1个A部件和3个B部件构成.用1 m³钢材可以做40个A部件或240个B部件。现要用6m³钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做A部件，多少立方米钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器?最多能制成多少台仪器? 2. 某餐厅有4条腿的椅子和3条腿的凳子共40个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有145条，那么有几个椅子和几个凳子？ 巩固 作业 【基础达标】 1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题： “今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起， 问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从 北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞， 经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天 相遇，根据题意，列方程 ． 2.制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12 m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？ 【基础拓展】 3.几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，求参与种树的人数. 4．某公园划船收费标准如下: 某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用需要多少元. 【能力提升】 5.（古代问题）某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币.这件衣服值多少枚银币？ 6.小明和同学们在一家拉面馆用餐，下表为拉面馆的部分菜单： 套餐种类 A套餐 B套餐 C套餐 配餐 牛肉拉面 牛肉拉面+1份青菜 牛肉拉面+1份青菜+1杯饮料 价格（元） 18 26 30 优惠活动 消费满100元，减10元 消费满200元，减20元 消费满300元，减30元 …… 小明负责统计同学们的点餐情况，一次性点好，已知他们所点的套餐共有13份牛肉拉面，x份青菜和6份饮料． （1）他们共点了____________份B套餐；（用含x的式子表示）； （2）若他们套餐共买8份青菜，求实际花费多少元； （3）若他们点套餐优惠后实际花费了300元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的． 课题 5.3.2实际问题(2)——工程、行程问题 学习 目标 1.根据工作效率.工作时间.工作量之间的相等关系，列一元一次方程解决问题；90% 2.根据路程.速度.时间之间的相等关系，列一元一次方程解决问题；100% 2.进一步提高用方程解题的能力，体会方程思想在解决实际问题中的作用.90% 学习 重点 进一步学习用一元一次方程解决工程.行程问题. 学习 难点 在较复杂问题情境中找出工程.行程问题中的相等关系，准确列出一元一次方程. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 1.工作效率.工作时间.工作量之间的关系： 2.路程.速度.时间之间的关系： 例1 整理一批图书，由一个人做要40h完成，现在计划有一部分人先做4h，再增加2人和他们一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：一般把总工作量设为1，则一个人1h的工作量（人均效率）为 ，x人先做4h完成的工作量为 ，增加2人后再做8h完成的工作量为 . 解：设安排x人先做4h. 合作 展示 交流 解疑 练习： 1. 《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？ 如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 2.整理一批数据，由一人做需80h完成，现在计划先由一些人做2h，再增加5人做8h，完成这项工作的3/4,怎样安排参与整理数据的具体人数？ 例2. A,B两车站间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米，一列快车从B站出发，每小时行驶80千米.两车相向而行，慢车先开出28分钟，快车开出多少小时两车相遇？ 质疑 深化 巩固 提升 例3.一通讯员骑自行车把信送往某地.如果每小时:行15 km，就比预定时间少用24分钟；如果每小时行12 km，就比预定时间多用15分钟，那么预定时间是多少小时？他去某地的路程是多少km？ 收获 反思 巩固 作业 【基础达标】 1. 解方程： (1). (2). (3). 2.《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”．《九章算术》大约成书于公元前200年~公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”.“粟米”.“衰分”等九章． 《九章算术》中有这样一个问题： 今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数.金价各几何？ 其译文是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数.金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为 ． 3.两辆汽车从相距84km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km/h，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ 4.一项工程甲队独做需18天完成，乙独做需15天完成. （1）两队合作需几天完成? （2）甲乙两队合作五天后，剩下部分由甲独做还需几天完成? （3）甲先做五天后，剩下部分由两队合作完成，完成这项工程一共需几天完成? 5.A.B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车从A地去B地.甲每小时行12千米，乙每小时行28千米，乙出发后多少小时追上甲？ 【基础拓展】 6.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲.乙一起做，则甲.乙一起做还需多少小时才能完成工作？ 7.小刚和小强从A.B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行.出发后2h两人相遇.相遇时小刚比小强多行进24 km，相遇后0.5h小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【能力提升】 8.体育课上进行追逐跑训练．李宏速度为每秒钟4米，张明的速度为每秒钟5米．李宏先从点A出发5秒到点B后，张明再从点A出发追逐李宏．求张明出发几秒后追上李宏？ （1）陈佩同学在解题时进行画图分析如下： 其中线段AB表示的路程为________米； （2）列出相应方程，并求解此问题． 课题 5.3.3实际问题(3)——销售中的盈亏问题 学习 目标 1.理解商品销售中所涉及进价.原价.售价.利润.打折.利润率这些基本量之间的关系； (100%) 2.能利用一元一次方程解决商品销售中的实际问题(95%) 学习 重点 用列方程的方法解决打折销售问题 学习 难点 准确理解打折销售问题中的利润（利润率）.成本.销售价之间的关系 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 知识链接 随着市场经济的不断发展，商品交易成了人们日常生活中最为普遍的一种社会现象，反应在数学上，商品销售问题也成了一类非常重要的实际问题，在商品销售问题中，首先理解几个概念： （1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格； （2）标价：商家在出售时，标注的价格； （3）售价：消费者购买时真正花的钱数； （4）利润：商品出售后，商家所赚的部分； （5）利润率：商品出售后利润与成本的比值； （6）打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80℅出售其次掌握几个等量关系式： （1）利润＝售价－进价； （2）利润率=℅； (3)实际售价=标价×打折率； 尝试练习： 1.进价为90元的篮球，卖了120元，利润是 元 ，利润率是 ； 2.原价100元的商品打9折后价格为 元； 3.原价100元的商品提价40%后的价格为 元； 4.一件衬衣进价为100元,利润率为20% 这件衬衣售价为___ 元； 5.一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元； 6.一件商品按原定价八五折出售，卖价是17元，那么原定价是 合作 展示 交流 解疑 问题1：若一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25％，那么商品利润是多少？若卖出后亏损25％，那么利润又是多少？ 例1.某商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不亏不盈？ 问题2：你能否求出探究问题中的两件物品的进价吗？ 解：设盈利25％的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是 ．根据进价与利润的和等于 ，可以得到方程 由此得 x＝ 类似地，设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是 ，可以得到方程 解得： y＝ 问题3：你能分析总的亏损情况吗？ 质疑 深化 巩固 提升 1.某商店有两种书包.每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为30%，每个大书包的利润率为20%.试求两种书包的进价. 2. 一件商品按成本价提高20%后标价，再打八折销售，售价为144元.售出这件商品是盈利还是亏损? 3.两件商品都卖84元，其中一件亏本20%，另一件赢利40%，则两件商品卖后（ ） A．赢利16.8元 B．亏本3元 C．赢利3元 D．不赢不亏 4.一家三人准备参加旅行团外出旅游,甲旅行社告知:“父母买全票,女儿按半价优惠”,乙旅行社告知:“家庭旅游可按团体票计价,即每人均按8折优惠收费.”若这两家旅行社每人的原票价相同,那么优惠条件是( ) A.甲比乙更优惠 B.乙比甲更优惠; C.甲与乙相同 D.与原票价有关 收获 反思 巩固作业 【基础达标】 1．一件商品标价为a元，打九折后售价为 元，如果再打一次九折，那么现在的售价为 元 2. 请根据图中信息回答下列问题： ( 100元 ) ( 230元 ) （1） 一个暖瓶与一个水杯分别是多少元? （2）甲.乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯,为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动,甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯.若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由. 【基础拓展】 3.某天，一蔬菜经营商用60元从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天批发价与零售价如表所示： 品名 西红柿 豆角 批发价（元/kg） 1.2 1.6 零售价（元/kg） 1.8 2.5 问他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？ 【能力提升】 ( 公园门票票价公示 成人 每张40元 学生 按成人票5折优惠 团体票 按成人票6折优惠 （20人以上含20人） )4．在国庆放假期间，小明.小刚等同学跟随家长一起到公园游玩，下面是购买门票时小明和爸爸的对话： ( 大人门票是每张40元， 学生门票5折优惠，咱 们共18人，共出600元. ) ( 爸爸，等一下，让我再算一算，换种方式购票是否可以更省钱？ ) 请根据图中的信息解答问题： （1） 他们中一共有成年人多少人？学生多少人？ （2） 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱并说明理由. 课题 5.3.4实际问题（4）——球赛积分表问题 学习 目标 1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法；(100%) 2.在现实问题中找到等量关系，列出一元一次方程，领会一元一次方程作为描述现实世界的一个有效模型的作用；(95%) 学习 重点 审清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系 学习 难点 把生活中的实际问题抽象成数学问题 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 右图是某此联赛各队的积分榜 问题1：通过观察积分榜，你能选择出其中哪一行最能说明负一场积几分吗？进而你能得到胜一场积几分吗？ 问题2：用式子表示总积分与胜.负场数之间的数量关系； 分析：如果一个队胜m场，则负 场，胜场积分 分，负场积分 分，总积分为 问题3：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 合作 展示 交流 解疑 例1.初一级进行法律知识竞赛，共有30题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣2分. （1）小明同学参加了竞赛，成绩是96分.请问小明在竞赛中答对了多少题？ （2）小王也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分.”请问小王有没有可能拿到100分？试用方程的知识来说明理由 巩固作业 1.在一次数学竞赛中，共有60题选择题，答对一题得2分.答错一题扣1分，不答题不得分也不扣分.（1）小华在竞赛中有2题忘记回答，结果他得了92分.问小华答对了多少题？（2）小胡放言：“我就算有3题没做也能拿100分.”请问小胡这个说法正不正确？说明理由 2.在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？ 3.北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表： 分档水量 年用水量 （立方米） 水价 （元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5.00 第二阶梯 181-260（含） 7.00 第三阶梯 260以上 9.00 (1) 若某居民家庭全年用水量为160立方米，则应缴纳的水费为 元． (2)若某户2022年水费共计1250元，则该户共用水多少立方米？ 课题 5.3.5实际问题（5）——方案选择问题 学习 目标 1. 学会建立方程模型解决不同能效空调选择问题；(100%) 2. 继续学习如何从表格中获取有关信息，进一步体会数学在实际生活中的广泛应用；(95%) 3．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.(100%) 学习 重点 在实际背景中找到等量关系建立电话计费问题的方程模型，并解决实际问题. 学习 难点 由实际问题抽象出数学模型的探究过程. 学习环节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 问题初探：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表5.3-2是这两款空调的部分基本信息，如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 分析：在这个问题中，综合费用=空调的售价十电费. 选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关。设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用(单位:元) 是 3级能效空调的综合费用(单位:元)是 合作 展示 交流 解疑 练习：现有两种地铁机场线计次月票:第一种售价200元，每月包含10次;第二种售价 300元，每月包含20次，两种月票超出每月包含次数后，都需要另外购票，票价为25元/次，张先生每月乘坐地铁机场线超过10次，他购买哪种月票比较节省费用? 质疑 深化 巩固 提升 1.用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元.如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零） 2. 某景点的门票价格如下表： 购票人数 1～40 40～80 80以上 每人门票价 25 20 15 某校七年级一.二两班共82人去游览该景点，其中一班人数少于40人，二班人数多于40人少于80人，现有两种购票方案，方案一：两班以班为单位分别购票；方案二：两班联合起来作为一个团体购票.若按方案一购票，则共支付1825元． （1）求两班各有多少名学生？ （2）若按方案二购票，则共可节省多少元？ 巩固 作业 【基础达标】 1.某游泳馆出售夏季会员证，每张会员证80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证每张3元. 使回答： （1）入场多少次时，购会员证与不购会员证总花费相同？ （2）什么情况下，购会员证比不购证更划算？ 2.北京奥林匹克森林公园位于北京中轴延长线的最北端，是亚洲最大的城市绿化景观. 某校七年级2班学生计划去奥森公园划船，游船价格如下表： 船型 四座电瓶船 六座电瓶船 价格 100元/小时 120元/小时 已知所有学生均有座位且划船1小时，请解决下面问题： （1） 若租用10条游船，所有船恰好坐满，需花费1060元. 那么租用了几条四人座电瓶船？ （2）请你写出一种比（1）中省钱的租船方案：______条四座电瓶船，______艘六座电瓶船. 【能力提升】 3．某学校在七年级开展种植类的劳动课程．现需要购买仿生阳光房若干个．经调查发现，同一款式的仿生阳光房在甲、乙两家商店的标价均是100元． 新年将至，两家商店开展促销活动，优惠方式如下： 甲商店：每个仿生阳光房按9折（标价的90%）出售； 乙商店：购买的仿生阳光房的个数不超过10时，按标价出售；购买的仿生阳光房的个数超过10时，超过部分按8折（标价的80%）出售． （1）若在甲商店购买10个该款式的仿生阳光房，则花费______元； （2）若在乙商店购买m（）个该款式的仿生阳光房，则花费______元（用含m的代数式表示）； （3）购买该款式的仿生阳光房的个数为多少时，在甲、乙两家商店的花费相同？ 44 学科网（北京）股份有限公司 $