专题1.2 绝对值的应用“±1”类型-2025-2026学年人教版七年级数学上册

2025-2026学年人教版七年级数学上册 专题1.2绝对值的应用“±1”类型 改编原因：昆明市绝大部分学校必考题型 1．（2025、云南、改编）已知非零有理数x，y满足+＝﹣2，则﹣为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 2．（2025、云南、改编）已知a,b,c为非零的实数，且不全为正数，则的所有可能结果的绝对值之和等于（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025、云南、改编）已知a，b，c都是有理数，且满足，那么的值是（ ） A．3 B．5 C．6 D．7 4．（2025、云南、改编）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．﹣6 5．（2025、云南、改编）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 6．（2025、云南、改编）已知a，b，c为非零的实数，则的最大值与最小值的差为 ． 7．（2025、云南、改编）已知：，且abc＞0，a+b+c＝0，m的最大值是x，最小值为y，则x+y＝ ． 8．（2025、云南、改编）已知三个有理数 a，b，c 的积是负数，其和为正数．若，则代数式（2x2－5x）－2（3x－5+x2）的值为 ． 9．（2025、云南、改编）已知三个有理数，其积是负数，其和是正数，当时，求代数式的值 ． 10．（2025、云南、改编）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 11．（2025、云南、改编）有理数均不为0，且，设，试求代数式的值． 12．（2025、云南、改编）若a，b，c都是非零有理数，求的值． 13．（2025、云南、改编）已知有理数a、b、c，满足，求的值． 14．（2025、云南、改编）已知有理数满足，求的值． 15．（2025、云南、改编）已知a,b,c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值． 16．（2025、云南、改编）已知，，均为非零有理数，且满足，求的值. 17．（2025、云南、改编）阅读下列材料：，例如当时， ．用这个结论可以解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当时，求的值． （2）已知a，b是有理数，当时，求的值． 18．（2025、云南、改编）已知对于非零有理数，当时，，当时， 请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知，，是非零有理数，满足，求的值． (2)已知，，是非零有理数，满足且，求的值． 19．（2025、云南、改编）已知x1，x2，…，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： （1）若，则_____； （2）若，求的值； （3）若，求的值； （4）由以上探究可知，，则共有多少个不同的值？在这些不同的值中，最大的值和最小的值的差是多少？的这些所有的不同的值的绝对值的和为多少？ 20．（2025、云南、改编）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：． 综上所述，的值为3或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题1.2绝对值“�1”类型2025-2026学年人教版七年级数学上册》参考答案 1．B 【详解】解：∵+＝﹣2 ∴x<0，y<0 ∴xy＞0 ∴﹣． 故答案为B． 2．A 【详解】∵a、b、c不全为正数， 当a<0、b＞0、c＞0时，x==-1-1-1+1=-2； ∴当a、b、c中有一个小于0时，不妨设a＜0、b＞0、c＞0， ∴x==-1-1-1+1=-2； 当a、b、c中有两个小于0时，不妨设a＜0、b＜0、c＞0， ∴x==-1+1-1-1=-2； 当a＜0、b＜0、c＜0时，x= x==-1+1+1+1=2； ∴x的所有值为2，-2，,绝对值之和为4， 故选：A． 3．D 【分析】此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到a，b，c的符号关系，再进一步求解． 【详解】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或−1． 又，则其中必有两个1和一个−1，即a，b，c中两正一负． 则， 则＝6−（−1）＝7． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 4．A 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c＝0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵＝， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m＝﹣1﹣2+3＝0； 当c＞0，a＜0，b＜0，m有最小值，即m＝1﹣2﹣3＝﹣4， ∴x+y＝0+（﹣4）＝﹣4． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝−a． 5．C 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 6．6 【详解】①当a，b，c都是负数时，ab>0，ac>0，bc>0，∴=-1+1+1+1=2， ②a，b，c有两个是负数时， 当a<0，b<0，c>0时，ab>0，ac<0，bc<0，∴=1+1-1-1=0， 当a<0，b>0，c<0时，ab<0，ac>0，bc<0，∴=-1-1+1-1=-2， 当a>0，b<0，c<0时，ab<0，ac<0，bc>0，∴=-1-1-1+1=-2， ③a，b，c中有一个是负数时， 当a<0，b>0，c>0时，ab<0，ac<0，bc>0，∴=1-1-1+1=0， 当a>0，b<0，c>0时，ab<0，ac>0，bc<0，∴=1-1+1-1=0， 当a>0，b>0，c<0时，ab>0，ac<0，bc<0，∴=-1+1-1-1=-2， ④当a，b，c都是正数时，ab>0，ac>0，bc>0，∴=1+1+1+1=4， ∴最大值是4，最小值是-2，故差为：4-（-2）=6， 故答案为：6 【点睛】此题考查绝对值的化简，有理数的乘法法则、加法法则，题中注意三个数的符合决定化简的结果，所以应分情况进行讨论求值，这是解题的关键． 7．-4 【详解】解：∵abc＞0，a+b+c=0， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， ∵， ∴当a＜0，c＜0，b＞0，m有最大值，即m=-1-2+3=0； 当a＞0，c＜0，b＜0，m有最小值，即m=1-2-3=-4， ∴x+y=0+（-4）=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 8．﹣1 【详解】解：（2x2－5x）－2（3x－5+x2） ＝2x2－5x－6x+10－2x2 ＝-11x+10 ∵三个有理数a、b、c，其积是负数，且和是正数， ∴a、b、c中有一个负数． ∴x＝1． ∴原式＝﹣11×1+10＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，求得x＝1是解题的关键． 9． 【详解】解：∵三个有理数，其积是负数， ∴均不等于，且全为负数或一负两正， ∵其和是正数， ∴一负两正， ∴不妨设， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，求得的值是解题的关键． 10． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 11．2000 【分析】先表示出b+c，c+a，a+b，然后分a、b、c有一个负数和两个负数，根据绝对值的性质求出x的值； 【详解】解：∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a， ∴， 由a＋b＋c＝0且a，b，c均不为0，得a，b，c不能全为正，也不能全为负， 故a，b，c只能是一正二负或二正一负， ∴x＝|±1|＝1， ∴x19－99x＋2098＝119－99＋2098＝1－99＋2098＝2000． 故答案为：2000． 12．或 【详解】对a，b，c的取值情况分类讨论如下： ①当a，b，c都是正数时，； ②当a，b，c都是负数时，； ③当a，b，c中有两个正数，一个负数时，、、中有两个1，一个， ； ④当a，b，c中有一个正数、两个负数时，、、中有两个，一个1， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查了正负数的绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏，明白“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数”是解题的关键． 13．-1 【分析】根据已知条件可得a、b、c这三个数其中一个为正数，其余两个为负数，分为三种情况：①当时，，，②当时，，，③当时，，，由此即可求出答案． 【详解】解：，， 符合条件的只有一种情况： a、b、c这三个数其中一个为正数，其余两个为负数， 分为以下三种情况：①当时，，， ； ②当时，，， ； ③当时，，， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，加法，绝对值的意义，解此题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义，当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a． 14．2或 【分析】根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，然后分情况求解即可． 【详解】解：根据，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个， 则原式或． 【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键． 15．-1；其中m=2,n=-2 【详解】试题分析：因为a,b,c符号不确定所以需要对其进行分类讨论,因为a,b,c在原式中的位置相同，所以随意给三个字母规定正负，讨论三个字母符号正负，计算最值 . 试题解析： ,分类讨论，a,b,c同正，原式=1+1+1-1=2,； a,b,c同负，原式=-1-1-1+1=-2； a,b,c两正一负，原式=1+1-1+1=2； a,b,c两负一正，原式=-1-1+1-1=-2. 所以m=2,n=-2，所以. 16．1或-3 【详解】∵ ∴为两正一负或三负 当为两正一负时， 当为三个负数时， 【点睛】本题考查了绝对值的定义以及有理数乘除法的运算，熟练掌握相关知识点以及分类讨论思想的运用是解题关键. 17．（1）0或-2或2；（3）-3或-1或1或3． 【详解】解：（1）当a＞0，b＞0时， 原式==1+1=2； 当a＞0，b＜0时， 原式==1+（-1）=0； 当a＜0，b＜0时， 原式==（-1）+（-1）= -2； 综上所述，为0或-2或2； （2）当a＞0，b＞0，c＞0时， 原式==1+1+1=3； 当a＞0，b＞0，c＜0时， 原式==1+1+(-1）=1； 当a＞0，b＜0 ，c＜0时， 原式==1+（-1）+（-1）= -1； 当a＜0，b＜0 ，c＜0时， 原式==（-1）+（-1）+（-1）= -3； 综上所述，的值为-3或-1或1或3． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化简的依据是解题的关键． 18．(1)或 (2) 【详解】（1）①当都是正数，即时，则： ； ②当有一个为正数，另两个为负数时，设，则：， 的值为或． （2）∵， ∴， ∴， 当a、b、c同为正数时，，，不满足条件； 当a、b、c为两正一负时， 满足条件，不妨设， ∴； 当a、b、c为两负一正时，,不满足条件； 当a、b、c同为负数时，不满足条件， 综上，的值为：． 【点睛】本题考查有理数的乘除法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 19．（1）±1；（2）y2的值为0或±2；（3）y3的值为±1或±3；（4）y2018有2019个不同的值；最大的值和最小的值的差为4036；这些所有的不同的值的绝对值的和为2038180． 【详解】（1）x1＜0时，y1==-1，x1＞0时，y1==1， ∴y1=±1， 故答案为：±1 （2）当x1＞0，x2＞0时，=1+1=2， 当x1、x2异号时，=0， 当x1＜0，x2＜0时，=-1-1=-2， ∴y2的值为0或±2． （3）当x1＞0，x2＞0，x3＞0时，=1+1+1=3， 当x1、x2、x3两正一负时，=1+1-1=1， 当x1、x2、x3两负一正时，=-1-1+1=-1， 当x1＜0，x2＜0，x3＜0时，=-1-1-1=-3， ∴y3的值为±1或±3． （4）y1有2个不同的值， y2有3个不同的值， y3有4个不同的值， …… ∴y2018有2019个不同的值， 在y2018这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于2018-（-2018）=4036， 2×（2018+2016+2014+…+4+2）+0==2038180． ∴y2018的这些所有的不同的值的绝对值的和为2038180． 【点睛】本题考查了绝对值，利用了分类讨论的思想，发现规律是解题关键． 20．(1)或 (2) 【详解】（1）解：，， ，， 又， ，或， ∴或， 的值为或； （2）解：当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了已知一个数的绝对值求这个数及化简绝对值，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $