1.4.2.1异面直线所成的角 难点训练微专题训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2.1异面直线所成的角 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 利用空间向量求两异面直线所成角的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系; （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标; （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角; （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 微专题训练 一、单选题 1．在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（    ）    A． B． C． D． 5．在直三棱柱中，已知，E是的中点，D是的中点，与相交于点F，，，，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四棱锥的底面是正方形，平面ABCD，点E为SC中点，，则异面直线EB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在长方体中，，点分别是的中点，点为线段上的动点，记异面直线所成角为，则下列判断正确的是（    ） A．向量共面 B．向量不共面 C．当为中点时， D．当取到最小值时，则 10．已知直三棱柱中，，，，的中点为，直线AB与所成的角为，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 三、填空题 12．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为 . 13．已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角为 . 14．如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    15．如图，在平行六面体中，分别为棱的中点，记，满足，． (1)求的长度； (2)求与夹角的余弦值． 16．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点． (1)用向量，，表示，并求线段AG的长； (2)求直线AG与所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.2.1异面直线所成的角难点训练微专题（解析版） 突破通法： 利用空间向量求两异面直线所成角的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角： (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 微专题训练 一、单选题 1.在正方体 BCD-ABCD中，若4E=3EB,CF=3F历，则BE与DF所成的角的正 弦值是() 15 8 1 5 A.17 B.2 C.17 D. 2 【答案】C 【分析】设空间的一组基底a,五， ,将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间 向量的夹角公式即可求得. 【详解】 D F A B D 如图，设正方体棱长为4， AB=a,AD=b,AA=c 则HbHcH4,ab-b.c=ca=0 DF-DD+DF-44+14B-1a+c 8E=8照+8E=4-B= 1 4a+c, 试卷第1页，共3页 则DFP-(a+0=6a+8=1+16=17,故0F上而， 1- 16 且0rE-a0(4+0-6-15, 则cOs(DF,BE= DF.BE 15 DF·BE117, 设r与DF所成的角为0.则sn0=--oDF,函--停- 故选：C. 2.如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB=90°，∠CPA=∠CPB=60°，PA=PB=PC=2, 点D,E,F满足PD=DB,PE=2E,F=FC,则直线CE与DF所成的角余弦值为 () C B D 3 A.2 B.2 c.a D.0 【答案】D 【分析】设pm=aPB=石：PC-。,利用空间向量运算得C正-名a-。 3a-c, DF-ā-6+d,利用数量积的运算律求解数量积，即可解答。 【详解】设Ppm=0P丽=万，心=。，则后-6-0，a-G=6,c=2×2x 2 试卷第2页，共3页 CE-PE-PC-2PA-PC-2a-d, 3 DF-PF-PD-P+C)a-6+e). 所以C正.DF-a-a-6-a-c+ 3 6 6-0-1-2=0 2 3 故直线CE与DF所成的角余弦值为O. 故选：D 3.如图。正方体ABCD-4BCD的棱长为1，若点M为AB的中点，页=号OC,则DB 与MN所成角的余弦值为() D C B A M 3 5 √5 5 A.21 B.21 C.14 D.14 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. DD 【详解】以D为原点，分别以DA,DC, 所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角 坐标系， D C B A D C A M 试卷第3页，共3页 则B1,1,). （2 DB=0,1). DB·MN 则cos DB,MN DEMN 2i,故DB与MN所成角的余弦值为 1 故选：A. 4.如图，长方体ABCD-AB,CD中， AB=BC=1,AA= ,点M在四边形4BCD的 边上，沿4→B→G→D→4移动，则异面直线M和BC所成角的余弦值的最大值为 () A M B C ⊙ 17 √5 1 A. 17 B.5 C.2 D.2 【答案】C 【分析】建系，分类讨论M位置，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】 Z M B D B D 建立如图所示的空间直角坐标系，则40,00，D(10,0,则D=(1,00) 试卷第4页，共3页 由AD/BC知异面直线AM和BC所成的角即AM和AD所成的角，即∠DAM,设 ∠DAM=0, ①当M在线段4B上时（包含端点），易知4DLAM,则os0=0, ②当M在线段BG上时（不含B,包含C),设M,1,50<1D,则m=L 则cos、 AD.AM t 4,当，1时，Q0玫得极大值写 ③当M在线段CD上时（不含C,包含D),设M1,m,V0≤m<), cos0= 同理√m2+4,则5 w0s √5 ④当M在线段DA上时（不含端点），显然0<c0s0< 2 1 综上所述，cos0的最大值为2， 故选：C. 5.在直三棱柱16C-A8C中，已知4BL1C,E是CC的中点，D是B的中点，4D BB 与4B相交于点F,AB=2,AC=1,A=2 ,则AB与EF所成的角的大小为() A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出AB与EF的方向向量，结合向量夹角的余弦公 式即可求解。 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 试卷第5页，共3页 A B D B 因为AB=2,AC=1AA4=2√7 所以40,00，B2,00,B2,027),400,27,E0,V7) 由于D,4在平面内，所以4D4B, 的纵坐标为0， -x 2 且直线方程满足：=5x' AD x= 3 29】 F √2 所以与 所成的角的余弦值为。 61*1 7 2, AB EF 2× 9 所以AB与EF所成的角的大小为： 故选：B. 6.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，PA=2BC,E为 CD的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为() 试卷第6页，共3页 √30 v仍 5 A.30 B.15 C.15 D.30 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设BC=2,则可写出B配和PC的坐标，利用向量数量 积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为PAL底面1BCD, ABCD PA,AB,AD ,底面 为正方形，所以 两两垂直， AB.AD.AP 如图，以点A为坐标原点，直线 x,y,Z 所在方向分别为 轴建立空间直角坐标系， : 设BC=2,则PA=2BC=4,所以B2,0.0,E(1,20.,P0,04,C(22,0 BE=(-1,2,0),PC=(2,2,-4 则 BE.PC -2+4 V30 设异面直线与。所成角为，则©os8= BEPC √5×2√630： BE PC 故选：A. ABCD-ABC D 7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 其中底面1BCD 是正方形， CC=CD=4∠CCB=∠CCD=60 ,则直线1C与0 所成角的余弦值为() B D 1 D 试卷第7页，共3页 √5 10 √5 A.10 B.10 C.5 D.2 【答案】A 【分析】取 而=ac历=五cG-c,分别求得laH6d4和a-6=0a-c=c-b=8,将 CA与D分别用a,6,c表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 B 如图，分别取CD=a,cB=五，cC=c,则aH6HcH4 且a-6=0,ac=c-万=4x4xos60=8 A=a+b+c,AD=c-b, 而 由0C-=Ve+6-2-万=6+16-16=4， CAFV(@+B+0-+B++2(ab+a.c+oB-6x3+8x2x2-45 C4AD=(a+b+c-(c-=a.c-a-b-b+c2=8-0-16+16=8 设4C与0的所成角为9， 则cos8cos(C4,A0) CA·ADL8V5 1CA川AD14√5×410 故选：A. 8.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,点E为SC中点， SD=AD,则异面直线EB与AC所成角的余弦值为() 试卷第8页，共3页 D √5 V10 6 1 A. 6 B.5 C.6 D.2 【答案】A DA,DC,DS 所在直线为 ,y,2 【分析】以D为原点，分别以 轴建立空间直角坐标系，设 SD=AD-2, 出历AC 再由向量的夹角公式计算可得答案。 【详解】因为SD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形， DA,DC,DS x,y,2 故以D为原点，分别以 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设SD=4D=2,则42,00)，B2,20),C(0,2,0)S0,02 因为点E为SC中点，所以E(01,) 所以 B=(21,-1AC=(-2,2,0) 设异面直线EB与AC所成角为0， EB.AC 则cos0= 5 EB AC V6×2v26· 故选：A. ZA C B 试卷第9页，共3页 二、多选题 9.在长方体 BCD-ABGD中，D=H=l1B=2,点PE分别是 AB,AA 的中点，点 M为线段CD上的动点，记异面直线 M,AA 所成角为日，则下列判断正确的是() A.向量花成节共面 B,向量花荒， 不共面 C.当M为CD中点时， os0-5 D。当0取到最小值时，则C0s日=9 【答案】ACD 【分析】依题意建系，设C=1CD,1∈0，)， 利用共面向量基本定理即可判断A,B:对 于C,D,可根据空间向量的夹角坐标公式，化简计算判断C项，借助于二次函数的值域 即可判断D项 【详解】 D B D ABCD-ABCD 如图，在长方体 中建立空间直角坐标系 D-xyz 依题意，A10,1,B1,2,0,D,(0,01,EL,0,P1,10,C(0,2,0), 对于A,B,设CM=CD,1e[0,,则PM=F元+CM=(-ll.0)+40,-2)=(-11-2x,) 又48=02-，DE=02. PM=x4B+yDE=(v,2x,) 试卷第10页，共3页