第二十一章 一元二次方程 题集训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

一元二次方程 一．一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．7x3﹣8＝0 B．3x+4＝0 C．5y﹣6x＝0 D．x2﹣2x＝0 2．下列方程中不一定是一元二次方程的是（　　） A．（a﹣3）x2＝8（a≠3） B．ax2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣2）＝x+5 D． 3．（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 5．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　 　 ． 6．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣4x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　 ． 二．一元二次方程的一般形式 7．对于一元二次方程x＝﹣2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 8．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 9．一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常数项是（　　） A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1 10．把方程（2x+3）2﹣3x＝1化成一般形式为 　 　 ． 11．一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　 　 ，一次项系数为　 　 ，常数项为　 　 ． 12．一元二次方程2x2﹣3x＝5的一次项系数、常数项分别为 　 　 ． 三．一元二次方程的解 13．若关于x的一元二次方程x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A．1 B．±1 C．﹣1 D．0 14．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5 15．已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 16．设α是方程x2﹣2025x+1＝0的一个实根，则（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 17．已知m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根，且满足（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4，则a的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．﹣3或1 18．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有实数根（　　） A．1 B． C．﹣2025 D． 19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2025，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 20．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的解，则（　　） A．或 B． C． D．或 21．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个解，则代数式2a2﹣6a+3的值为 　 　 ． 22．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则﹣2a2+4a+3的值为　 　 ． 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则2024﹣b+a＝　 　 ． 四．估算一元二次方程的近似解 24．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 五．解一元二次方程-直接开平方法 25．方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 26．方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 27．一元二次方程x2﹣16＝0的解为（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x1＝0，x2＝16 D．x1＝4，x2＝﹣4 28．若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是 　 　 ． 29．解方程4x2﹣1＝0得　 　 ． 30．（1）用开平方法解x2＝16，可得x1＝　 　 ，x2＝　 　 ； （2）用开平方法解（x+6）2＝5，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是　 　 ． 31．定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　 　 ． 32．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为　 　 ． 33．（1）解方程：2x2﹣1＝7； （2）解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 34．解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 35．解关于x的方程：bx2﹣3＝0． 36．解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 37．解方程：4（x+1）2﹣8＝0． 38．解方程：（x﹣1）2＝2． 39．解方程： （1）（x﹣1）20． （2）． 40．解方程：（x﹣1）2＝20232． 41．解方程：2（x﹣1）2＝8． 42．解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 43． 解方程：． 44．解方程：48﹣3（x﹣2）2＝0． 45．2阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 研究一元二次方程的新解法 讨论一种关于一元二次方程的新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0， 设x＝y+m（m为常数）， 将原方程化为（y+m）2﹣4（y+m）﹣6＝0，① 方程①整理，得y2+（2m﹣4）y+m2﹣4m﹣6＝0，② 令2m﹣4＝0，解得m＝2． 当m＝2时，m2﹣4m﹣6＝22﹣4×2﹣6＝﹣10， ∴方程②化为y2﹣10＝0，解得，， ∴x1＝y1+m＝　 　 ▲，x2＝y2+m＝　 　 任务： （1）直接写出材料中“▲”部分方程的解x1＝　 　 ，x2＝　 　 ． （2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3x2+12x+1＝0． 六．解一元二次方程-配方法 46．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 47．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝5 48．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 49．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）2 50．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 51．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ 　 　 ． 52．如果将关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方成（x﹣1）2+a＝2，那么a＝　 　 ． 53．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　 ． 54．用配方法解方程：x2+2x＝4． 55．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣6＝0． 56．用配方法解方程：． 57．解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）． 58．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 59．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0． 60．阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下： 解：x2+6x﹣4＝0 x+6x＝4……① x2+6x+9＝4……② （x+3）2＝4……③ x1＝1，x2＝﹣5……④ （1）上述解答过程中，从第 　 　 步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 七．解一元二次方程-公式法 1．方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝﹣2x时，若a＝3，则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 3．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3 4．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 6．若用公式法解关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0 7．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 8．若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　 　 ． 9．小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　 　 ． 10．用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． 11．用求根公式解方程x2+3x＝﹣1解得x1＝ 　 　 ，x2＝ 　 　 ． 12．求方程x2+3x+2＝0的根时，根据求根公式，列式为，则m的值为 　 　 ． 13．一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时c的值是 　 　 ． 14．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　 　 ． 15．4x2﹣3＝12x（用公式法解） 16．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． （2）用公式法解方程：3x2+8x﹣4＝0． 17．解下列方程： （1）x2+4x﹣1＝0（配方法）； （2）x2﹣2x﹣3＝0（公式法）． 18．用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 19．按要求解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0；（公式法） （2）x2+6x＝﹣5．（配方法） 20．用指定方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x＝2（配方法）； （2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）． 21．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣32＝0； （2）用公式法解方程：2x2+3＝6x． 八．解一元二次方程-因式分解法 22．下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5 23．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 24．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．5 B．0，5 C．1，5 D．0，﹣5 25．方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2 26．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 27．一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　 　 ． 28．方程x2+6x＝0的根为　 　 ． 29．一元二次方程4（x﹣1）2＝5x﹣5的解为　 　 ． 30．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　 　 ． 31．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的周长为 　 　 ． 32．对于实数a，b定义一种新运算“※”如下：a※b＝ab2﹣ab，例如4※3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1※x＝2的根为 　 　 ． 33．复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解﹣9+4x2解：﹣9+4x2 ＝4x2﹣9……第一步 ＝（4x）2﹣32……第二步 ＝（4x+3）（4x﹣3）……第三步 习题2：因式分解﹣4x2+12x﹣9 解：﹣4x2+12x﹣9 ＝﹣（4x2+12x﹣9）……第一步 ＝﹣[（4x）2﹣2×4x×3+33]……第二步 ＝﹣（4x﹣3）2……第三步 （1）从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程； （2）若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值． 34．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　 　 ）（x+　 　 ）； （2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4＝0． 35．利用十字相乘法把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，阅读用十字相乘法因式分解x2﹣5x+6．即：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 试利用十字相乘法解方程（1）x2+4x+3＝0；（2）x2+5x﹣6＝0． 九．换元法解一元二次方程 36．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　 　 ． 37．如果实数x满足，那么，的值是 　 　 ． 38．已知（m+n+3）（m+n﹣3）＝16，那么m+n的值为 　 　 ． 39．已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝4，x2＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解　 　 ． 40．若实数a、b满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　 　 ． 41．阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 42．阅读材料，解答问题： 解方程：x4﹣6x2+5＝0； 解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0． 解得y1＝5，y2＝1． 当y＝5时，x2＝5，∴；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； ∴原方程有四个解：，，x3＝1，x4＝﹣1． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0． 43．阅读下列材料： 为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得，∴原方程的解为． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0． 44．（1）解方程：（x﹣2）2+2﹣x＝0； （2）若（x+2y）2+4（x+2y）﹣5＝0，求x+2y的值． 45．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题： 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100， ∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20， ∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　 　 ； （2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 　 　 ． 46．解方程： （1）y4﹣3y2﹣4＝0； （2）（2x﹣5）2﹣2＝0． 47．解方程：（x﹣3）2+2（x﹣3）﹣24＝0． 48．已知m、n为实数，且（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝15，求m2+n2的值． 十．根的判别式 49．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣2＝0有实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞0且m≠2 D．m≥0且m≠2 50．关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 51．已知方程（x﹣2）（x2﹣4x+a）＝0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数a的取值范围是（　　） A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．3＜a＜4 D．2＜a＜3 52．若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 53．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 54．一元二次方程2x2﹣x+k＝0的根的判别式的值为5，则k的值为 　 　 ． 55．若关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的值可以是　 　 ． 56．关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 57．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为　 　 ． 58．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程（a﹣2）y2﹣3y+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 　 　 ． 59．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 　 　 ． 60．若关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+4x+1＝0有两个实数根，且关于y的分式方程 的解是正数，则满足条件的整数a的和为 　 　 ． 61．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． ①求证：无论k取何值，方程总有两个不相等实数根； ②若△ABC两边AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两根，且斜边BC＝10．问k为何值时，△ABC是直角三角形． 62．关于x的方程x2﹣6x+10﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 63．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0． （1）求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 十一．根与系数的关系 1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1＝x2 B．x1+x2＝﹣4 C．x1•x2＝﹣4 D．无实数根 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．3 3．若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 4．已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　） A．或5 B．或﹣5 C． D．5 5．定义新运算a☆b＝a（1﹣b），若a、b是方程的两根，则b☆b﹣a☆a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 6．若一元二次方程x2+x＝m的两根之差为3，则m的值为　 　 ． 7．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则　 　 ． 8．已知，m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 　 　 ． 9．一元二次方程x2+2kx﹣k＝0的两个根分别为x1，x2.若x1•x2＝1，则x1+x2＝ 　 　 ． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为﹣1，则它的另一个根为　 　 ． 11．设x1和x2是方程x2+7x+1＝0的两个根，则x1+x2＝　 　 ． 12．已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则m2﹣2m+n的值为　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB和BC的长是方程kx2﹣4x+4＝0的两根，判断△ABC的形状并说明理由． 12． 一元二次方程的实际应用 【题型1】分裂（传播）问题 1．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49 C．（1+x）2＝49 D．x+x（1+x）＝49 2．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121 3．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（　　） A．x+x•x＝216 B．x﹣x（1﹣x）＝216 C．1+x+x（1+x）＝216 D．1﹣x﹣（1﹣x）（1﹣x）＝216 4．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（　　） A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：第1轮后有（x+1）个人患了流感； 乙：第2轮又增加x（x+1）个人患流感； 丙：依题意可列方程1+x+x2＝36． A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 6．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝64 B．x2+1＝64 C．（1+x）2＝64 D．1+x+x2＝64 8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x （x+1）＝81 9．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝169 B．1+x+x2＝169 C．1+x+x（x+1）＝169 D．1+（x+1）2＝169 10．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　 　 ． 11．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 　 　 ． 12．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　 　 ． 13．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有162人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 　 　 ． 14．有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意列出方程为　 　 ． 【题型2】增长率问题 1．广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量约4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．3（1+x）2＝4.3 B．3（1﹣x）2＝4.3 C．4.3（1+x）2＝3 D．4.3（1﹣x）2＝3 2．近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．432（1+2x）＝507 B．432（1+2x）2＝507 C．432（1+x）2＝507 D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507 3．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1 C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1 4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 5．某市2022年底森林覆盖率为63%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x2）＝0.69 B．0.63（1+2x）＝0.69 C．0.63（1+x）2＝0.69 D．0.63（1+2x）2＝0.69 6．某市图书馆7月份接待15万人次，9月份接待增长到19万人次．若接待人次的月增长率相同，设月增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　） A．19（1+x）2＝15 B．（1+x）2＝15+19 C．15（1+x）2＝19 D．15（1+2x）＝19 7．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，截至2月18日已登顶全球动画电影票房榜首，在全球影史榜单排名还在上升．据网络平台数据统计在2月1日哪吒的单日票房为7.22亿，2月3日的单日票房达到8.43亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．7.22（1+2x）＝8.43 B．7.22（1+2x）2＝8.43 C．7.22（1+x2）＝8.43 D．7.22（1+x）2＝8.43 8．某市图书馆1月份借阅量为12万人次，3月份借阅量为20万人次．设这两个月借阅量的平均增长率为x，根据题意列方程为（　　） A．12（1+x）2＝20 B．（1+x）2＝12+20 C．20（1+x）2＝12 D．12（1+2x）＝20 9．为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 　 　 ． 10．央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为x，根据题意可得方程为　 　 ． 11．“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x，根据题意，列出方程为 　 　 ． 12．某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意可列方程为 　 　 ． 【题型3】碰面（循环）问题 1．某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A．6个 B．8个 C．9个 D．12个 3．某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有4x支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把4x支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（　　） A．2x（x+1）＝24 B．2x（x﹣1）＝24 C． D． 5．某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　 　 个班级篮球队参加． 7．剑桥三中组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 　 　 ． 8．某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 　 　 ． 9．有x支球队参加排球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则x的值是 　 　 ． 10．有m支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则m＝ 　 　 ． 11．县教体局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？若设应邀请x个球队参加比赛，则x的值为 　 　 ． 12．某兴趣班的同学在春节期间，每个同学都要给班级其他同学各发一张贺卡问候节日快乐．如果全班同学共发出贺卡90张，那么该兴趣班共有 　 　 人． 13．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有 　 　 人． 14．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共有 　 　 人． 15．一个小组有若干人，新年互相打一个电话祝福，已知全组共打电话36次，则这个小组共有人数为　 　 人． 16．一个小组有若干人，新年互相打一个电话祝福，已知全组共打电话306次，则这个小组共有 　 　 人． 【题型4】与图形有关的问题 1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 2．如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝400 B．20×15﹣2x＝400 C．（20﹣2x）（15﹣x）＝400 D．（20﹣x）（15﹣2x）＝400 3．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 4．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 5．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 6．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864 7．如图①，一张长方形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32cm2，求该长方体盒子的高． 8．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少cm2？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 9．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为800m2． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①设每个车位的月租金上涨a元，则停车场可以租出多少个车位？（用含a的代数式表示） ②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民． 【题型5】每每问题 1．某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　） A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元 2．某体育球类专卖店将进货单价为100元的某品牌篮球按零售价135元一个售出时，每天能卖出100个．若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加4个，要使顾客尽量得到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 3．某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．无法确定 4．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 5．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 　 　 元． 6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　 　 元． 7．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　 　 元． 8．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 　 　 元． 9．为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 10．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 11．某超市销售晋江特产“衙口花生”，平均每天可售出100箱，每箱盈利12元．为了扩大销售，让利顾客，该超市采取降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．根据上面的信息，解决下列问题： （1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利多少元？ （2）若要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价多少元？ 12．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 13．今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率． （2）若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？ 【题型6】营销问题 1．某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（　　） A．400（1﹣x）2＝225 B．225（1﹣x）2＝400 C．225（1﹣2x）＝400 D．400（1﹣2x）＝225 2．某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．11% C．20% D．19% 3．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数y＝﹣20x+1000，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（　　）元． A．25 B．20或40 C．40 D．20 4．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 5．炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受．某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小风西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整．第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低%，销量增加15a斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加%．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多%．求a的值．（a＞0） 6．绿水青山就是金山银山，良好的生态环境既是自然财富也是经济财富，某校团支部号召全校师生在植树节开展“为春天添一抹绿色，为生活加一片希望”的植树活动．校团支部计划在某园林基地用4800元采购桂花和樱花两种树苗共100株回校园种植，其中桂花树苗的售价为每株60元，樱花树苗每株的售价是桂花树苗每株售价的． （1）求校团支部计划采购两种树苗各多少株； （2）在校团支部实际采购时，园林基地决定对学校师生打折优惠，两种树苗均打a折销售，校团支部决定桂花树苗在比原计划多采购2a株，樱花树苗比原计划多采购a株，这样实际购买的总费用比计划购买的总费用多了64元，求a的值． 7．葡萄作为人们最喜欢的水果之一，有着越来越多的品种．某水果店出售阳光玫瑰葡萄和妮娜皇后葡萄两个品种，其中妮娜皇后的售价比阳光玫瑰每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出阳光玫瑰300斤，妮娜皇后600斤．这两种葡萄的销售总额为11700元．请问阳光玫瑰和妮娜皇后每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对葡萄的售价进行了调整．第二周与第一周相比，该水果店的阳光玫瑰每斤售价降低，销量增加15a斤；妮娜皇后售价不变，销量增加．于是这两种葡萄的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值．（a＞0） 8．为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元． （1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？ （2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12月价格进行了一定调整，线下单价与（1）问中的售价保持一致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了a%，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨a%，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值． 9．一时蔬小店某一天用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋．销售时，每斤平菇的平均售价比每斤莴笋的平均售价的2倍少1元，该小店销售完所进的平菇和莴笋后获利60元． （1）这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤多少元？ （2）接着第二天，该小店又用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋，其中，平菇和莴笋的进价与第一天的进价相同，销售时受到一些因素的影响，每斤莴笋的平均售价比第一天的平均售价增加了a%（a＞0），但莴笋的销售量与第一天的销售量相同：每斤平菇的平均售价比第一天的平均售价增加了a%，但平菇的销售量比第一天的销售量下降了a%，最终第二天的总销售额与第一天的总销售额相等，求a的值． 10．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 11．“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆． （1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？ （2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入3万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产A型车的成本价为300元/辆，售价为500元/辆，生产B型车的成本价为700元/辆，售价为1000元/辆．根据定制要求，B型车的数量超过12辆，且A型车的数量不少于B型车的2倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 12．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． （1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ （2）随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为W元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 13．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 【题型7】工程问题 1．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多（9m﹣2）万元，求m的值． 2．我市开展城乡环境整治，绿化美化群众生活环境．某社区计划对面积为1000m2的裸露地块统一进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；若两队分别独立完成300m2的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）求甲，乙两个工程队每天能完成绿化的面积； （2）两队合作完成此工程，若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.2万元，且要求两队施工的天数之和不超过16天，应如何安排甲，乙两队施工的天数，才能使施工总费用最低？并求出最低费用的值． 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共23小题） 题号 1 2 3 7 8 9 13 14 15 16 17 答案 D B A A B C B C C B A 题号 18 19 20 24 25 26 27 46 47 48 49 答案 D A A B C A D D B A D 题号 50 答案 A 一．一元二次方程的定义（共6小题） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．7x3﹣8＝0 B．3x+4＝0 C．5y﹣6x＝0 D．x2﹣2x＝0 【解答】解：A、未知数的次数是3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、未知数的次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列方程中不一定是一元二次方程的是（　　） A．（a﹣3）x2＝8（a≠3） B．ax2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣2）＝x+5 D． 【解答】解：A、（a﹣3）x2＝8（a≠3）是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程展开后是：x2﹣x﹣9＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1 【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ∵（m﹣3）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， 故选：A． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　2　 ． 【解答】解：根据题意得， 解得m＝2， 故答案为：2． 5．方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程，则a的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵方程（a﹣2）x|a|+2x﹣7＝0是关于x一元二次方程， ∴|a|＝2且a﹣2≠0， ∴a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 6．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣4x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣1　 ． 【解答】解：由题意得，|m﹣1|＝2且m﹣3≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 二．一元二次方程的一般形式（共6小题） 7．对于一元二次方程x＝﹣2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：x＝﹣2x2+1， 2x2+x﹣1＝0， 即对于一元二次方程x＝﹣2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为1． 故选：A． 8．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+a2﹣1＝0的常数项为0，则a的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【解答】解：根据题意得，a2﹣1＝0， 解得a＝±1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1， 故选：B． 9．一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常数项是（　　） A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1 【解答】解：已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，则其常数项为﹣1． 故选：C． 10．把方程（2x+3）2﹣3x＝1化成一般形式为 　4x2+9x+8＝0　 ． 【解答】解：（2x+3）2﹣3x＝1， 4x2+12x+9﹣3x﹣1＝0， 4x2+9x+8＝0， 故答案为：4x2+9x+8＝0． 11．一元二次方程2x2﹣8x＝5化成一般形式后，二次项系数为　2　 ，一次项系数为　﹣8　 ，常数项为　﹣5　 ． 【解答】解：将方程化成一般形式为：2x2﹣8x﹣5＝0， ∴a＝2，b＝﹣8，c＝﹣5． 故答案为：2，﹣8，﹣5． 12．一元二次方程2x2﹣3x＝5的一次项系数、常数项分别为 　﹣3，﹣5　 ． 【解答】解：一元二次方程2x2﹣3x＝5的一般式为：2x2﹣3x﹣5＝0， 则一次项系数和常数项分别为﹣3，﹣5， 故答案为：﹣3，﹣5． 三．一元二次方程的解（共11小题） 13．若关于x的一元二次方程x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A．1 B．±1 C．﹣1 D．0 【解答】解：把x＝0代入x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0， 解得m＝±1， 故选：B． 14．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，则（a+4）（a﹣1）的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣5 【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个根， ∴a2+3a﹣1＝0， ∴a2+3a＝1， ∴（a+4）（a﹣1）＝a2+3a﹣4＝1﹣4＝﹣3． 故选：C． 15．已知m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根，则2024﹣2m2+m的值为（　　） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【解答】解：∵m是一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的一个根， ∴2m2﹣m﹣3＝0，即2m2﹣m＝3． ∴﹣2m2+m＝﹣3． ∴2024﹣2m2+m＝2024﹣3＝2021． 故选：C． 16．设α是方程x2﹣2025x+1＝0的一个实根，则（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【解答】解：将x＝α代入原方程得：α2﹣2025α+1＝0， ∴α2﹣2025α＝﹣1，α2+1＝2025α，α2025， ∴α2﹣2024α（α2﹣2025α）+α1+α1+α1+2025＝2024． 故选：B． 17．已知m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根，且满足（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4，则a的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．﹣3或1 【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根， ∴m2﹣3m+a+2＝0， ∴m2﹣3m+1＝﹣a﹣1， ∵（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4， ∴（a+1）2＝4， ∴a＝1或﹣3， 当a＝1时，方程无解舍去． ∴a＝﹣3． 故选：A． 18．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有实数根（　　） A．1 B． C．﹣2025 D． 【解答】解：由条件可知20252a﹣2025b＝c， ∴，即， ∴是方程cx2+bx＝a（ac≠0）的实数根． 故选：D． 19．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2025，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2025， ∴关于（x+1）的一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一个根为2025， 即x+1＝2025， 解得：x＝2024， ∴方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为2024． 故选：A． 20．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的解，则（　　） A．或 B． C． D．或 【解答】解：∵若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣20＝0的解， ∴a+b＝1，ab＝﹣20， ∴a＝1﹣b， ∴（1﹣b）b＝20， 解得b＝5或b＝﹣4， ∴当b＝5时，a＝﹣4，b＝﹣4时，a＝5， ∴或， 故选：A． 21．已知x＝a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个解，则代数式2a2﹣6a+3的值为 　1　 ． 【解答】解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个解， ∴a2﹣3a+1＝0， ∴a2﹣3a＝﹣1， ∴2a2﹣6a+3 ＝2（a2﹣3a）+3 ＝2×（﹣1）+3 ＝﹣2+3 ＝1， 故答案为：1． 22．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则﹣2a2+4a+3的值为　1　 ． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的根， ∴a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴﹣2a2+4a+3＝﹣2（a2﹣2a）+3＝﹣2×1+3＝﹣2+3＝1， 故答案为：1． 23．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝﹣1，则2024﹣b+a＝　2025　 ． 【解答】解：由条件可得a﹣b﹣1＝0， ∴a﹣b＝1， ∴2024﹣b+a＝2024+1＝2025， 故答案为：2025． 四．估算一元二次方程的近似解（共1小题） 24．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x＝0.5时，x2﹣4x+2＝0.25，x＝1.5时，x2﹣4x+2＝﹣1；x＝3时，x2﹣4x+2＝﹣1，x＝3.5时，x2﹣4x+2＝0.25， 判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选：B． 五．解一元二次方程-直接开平方法（共21小题） 25．方程x2﹣4＝0的根是（　　） A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【解答】解：x2﹣4＝0， x2＝4， 则x＝±2， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：C． 26．方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 【解答】解：方程（x+1）2＝9， 开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3， 解得：x1＝2，x2＝﹣4． 故选：A． 27．一元二次方程x2﹣16＝0的解为（　　） A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x1＝0，x2＝16 D．x1＝4，x2＝﹣4 【解答】解：∵x2﹣16＝0， ∴x2＝16， 则x1＝4，x2＝﹣4， 故选：D． 28．若关于x的方程（x﹣m）2+a＝0（a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2，则方程（x+m）2+a＝0的解是 　x1＝﹣4，x2＝2　 ． 【解答】解：方程 （x+m）2+a＝0 变形为 （﹣x﹣m）2+a＝0，看作关于﹣x的方程， ∵方程 （x﹣m）2+a＝0 （a、m为常数）的解是x1＝4，x2＝﹣2， ∴﹣x1＝4，﹣x2＝﹣2， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣4，x2＝2． 29．解方程4x2﹣1＝0得　x1，x2　 ． 【解答】解：由原方程，得 x2， 开平方，得 x＝±， 解得x1，x2． 故答案为：x1，x2． 30．（1）用开平方法解x2＝16，可得x1＝　4　 ，x2＝　﹣4　 ； （2）用开平方法解（x+6）2＝5，可得其中一个一元一次方程是，另一个一元一次方程是　x+6　 ． 【解答】解：（1）∵x2＝16， ∴x＝±4， ∴x1＝4，x2＝﹣4， 故答案为：4，﹣4； （2）∵（x+6）2＝5， ∴x+6或x+6， 故答案为：x+6． 31．定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　﹣4或19　 ． 【解答】解：∵，xΘ1＝17， ∴当x≥1时， xΘ1＝x﹣2×1＝17， ∴x＝19， 当x＜1时， xΘ1＝x2+1＝17， 解得x＝4（舍去）或﹣4． 综上所述，x的值为﹣4或19． 故答案为：﹣4或19． 32．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）*2＝0的解为　﹣3或1　 ． 【解答】解：根据规定运算，方程（x+1）*2＝0可化为（x+1）2﹣22＝0， 移项，得（x+1）2＝4， 两边开平方，得x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3， 故答案为：﹣3或1． 33．（1）解方程：2x2﹣1＝7； （2）解方程：x2﹣2x﹣7＝0． 【解答】解：（1）2x2﹣1＝7， 则2x2＝8， ∴x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）x2﹣2x﹣7＝0， a＝1，b＝﹣2，c＝﹣7， 则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣7）＝32＞0， ∴x1±2， ∴x1＝1+2，x2＝1﹣2． 34．解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 【解答】解：（1）2x2﹣18＝0， 2x2＝18， x2＝9， x＝±3， 所以x1＝3，x2＝﹣3． （2）（x﹣5）2+8＝0， （x﹣5）2＝﹣8， 因为﹣8＜0， 所以此方程无解． 35．解关于x的方程：bx2﹣3＝0． 【解答】解：关于x的方程：bx2﹣3＝0． 当b＝0时，方程bx2﹣3＝0无解， 当b≠0时，， 当b＞0时，， 当b＜0时，方程无实数根． 36．解方程：（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 【解答】解：∵（3x﹣1）2＝（2﹣5x）2 ∴3x﹣1＝±（2﹣5x）， 解得x或x． 37．解方程：4（x+1）2﹣8＝0． 【解答】解：由题知， 4（x+1）2﹣8＝0， 4（x+1）2＝8， （x+1）2＝2， 则x+1， 所以． 38．解方程：（x﹣1）2＝2． 【解答】解：开平方得：， 解得：，． 39．解方程： （1）（x﹣1）20． （2）． 【解答】解：（1）（x﹣1）20， （x﹣1）2＝9， 则x﹣1＝±3， 所以x1＝4，x2＝﹣2． （2）， （x+1）2﹣4＝x2﹣1， x2+2x+1﹣4﹣x2+1＝0， 2x﹣2＝0， x＝1． 当x＝1时，x2﹣1＝0， 所以x＝1是增根，原分式方程无解． 40．解方程：（x﹣1）2＝20232． 【解答】解：（x﹣1）2＝20232， 则x﹣1＝±2023， 所以x1＝2024，x2＝﹣2022． 41．解方程：2（x﹣1）2＝8． 【解答】解：∵2（x﹣1）2＝8， ∴（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x＝3或x＝﹣1． 42．解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【解答】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0 ∴3（x﹣1）2＝12， 则（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 43．解方程：． 【解答】解：， （2x）2＝18， 两边开方得：2x±3， 解得：x1＝2，x2． 44．解方程：48﹣3（x﹣2）2＝0． 【解答】解：∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 45．2阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 研究一元二次方程的新解法 讨论一种关于一元二次方程的新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0， 设x＝y+m（m为常数）， 将原方程化为（y+m）2﹣4（y+m）﹣6＝0，① 方程①整理，得y2+（2m﹣4）y+m2﹣4m﹣6＝0，② 令2m﹣4＝0，解得m＝2． 当m＝2时，m2﹣4m﹣6＝22﹣4×2﹣6＝﹣10， ∴方程②化为y2﹣10＝0，解得，， ∴x1＝y1+m＝　　 ▲，x2＝y2+m＝　；　 任务： （1）直接写出材料中“▲”部分方程的解x1＝　　 ，x2＝　　 ． （2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3x2+12x+1＝0． 【解答】解：（1）设x＝y+m（m为常数）， 将原方程化为（y+m）2﹣4（y+m）﹣6＝0，① 方程①整理，得y2+（2m﹣4）y+m2﹣4m﹣6＝0，② 令2m﹣4＝0，解得m＝2． 当m＝2时，m2﹣4m﹣6＝22﹣4×2﹣6＝﹣10， ∴方程②化为y2﹣10＝0，解得， ∴，． 故答案为：，； （2）设x＝y+m（m为常数）， 将原方程化为① 方程①整理得： ② 令2m+4＝0解得m＝﹣2， 当m＝﹣2时，， ∴方程②化为 解得 ， ∴，． 六．解一元二次方程-配方法（共15小题） 46．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0， ∴x2﹣6x＝﹣7， ∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2， ∴（x﹣3）2＝2， ∴m＝3，n＝2． 故选：D． 47．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0时，方程变形正确的是（　　） A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x+1）2＝5 【解答】解：x2+2x﹣1＝0， 移项得，x2+2x＝1， 两边同时加1得，x2+2x+1＝1+1， 故（x+1）2＝2． 故选：B． 48．用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A．（x﹣1）2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣2）2 D．（x﹣2）2＝2 【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0， ∴2x2﹣4x＝1， ∴x2﹣2x， 则x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， 故选：A． 49．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D．（x）2 【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0， x2x， x2x+（）2（）2， （x）2． 故选：D． 50．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， x2x， x2x， （x）2， 故选：A． 51．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ 　25　 ． 【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝14， （x﹣3）2＝14， 所以p＝﹣3，q＝14， 所以p+2q＝﹣3+2×14＝25． 故答案为：25． 52．如果将关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方成（x﹣1）2+a＝2，那么a＝　﹣1　 ． 【解答】解：由题知， x2﹣2x﹣2＝0， x2﹣2x+1＝3， （x﹣1）2＝3， 则（x﹣1）2﹣1＝2． 又因为（x﹣1）2+a＝2， 所以a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 53．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　1　 ． 【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0， ∴x2﹣4x＝﹣3， ∴x2﹣4x+4＝﹣3+4， ∴（x﹣2）2＝1， ∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k， ∴k＝1， 故答案为：1． 54．用配方法解方程：x2+2x＝4． 【解答】解：x2+2x＝4， x2+2x+5＝4+5，即（x）2＝9， ∴x±3， ∴x13，x23． 55．用配方法解方程：2x2﹣3x﹣6＝0． 【解答】解：移项，得2x2﹣3x＝6， 二次项系数化为1，得x2x＝3， 方程的两边都加，得x2x3， ∴（x）2． ∴x±． ∴x±． ∴x1，x2． 56．用配方法解方程：． 【解答】解：， ， ， ∴， ∴，． 57．解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）． 【解答】解：， ， ， ， 所以，． 58．用配方法解方程，2x2+5x﹣12＝0． 【解答】解：2x2+5x﹣12＝0， 移项，得2x2+5x＝12， x2x＝6， 配方，得x2x6，即（x）2， 开方，得x±， 解得：x1，x2＝﹣4． 59．用配方法解方程：5x2﹣2x﹣3＝0． 【解答】解：∵5x2﹣2x﹣3＝0， ∴5x2﹣2x＝3， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2． 60．阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下： 解：x2+6x﹣4＝0 x+6x＝4……① x2+6x+9＝4……② （x+3）2＝4……③ x1＝1，x2＝﹣5……④ （1）上述解答过程中，从第 　②　 步开始出现了错误（填序号）； （2）在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【解答】解：（1）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）移项得：x2+6x＝4， 配方得：x2+6x+9＝4+9，即（x+3）2＝13， ∴， ∴或， ∴，． 一．选择题（共17小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 22 23 24 25 答案 D A C D B C C C C C D 题号 26 49 50 51 52 53 答案 D D A C C A 七．解一元二次方程-公式法（共21小题） 1．方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【解答】解：x2+x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故x， 故选：D． 2．用公式法解一元二次方程3x2+3＝﹣2x时，若a＝3，则b的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【解答】解：∵一元二次方程3x2+3＝﹣2x可化为3x2+2x+3＝0， ∴b＝2． 故选：A． 3．用公式法解方程x2+2x＝3时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　） A．1，2，3 B．1，﹣2，3 C．1，2，﹣3 D．1，﹣2，﹣3 【解答】解：原方程整理得：x2+2x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， 故选：C． 4．若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【解答】解：∵是某个一元二次方程的根， ∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 5．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2+3x﹣1＝0 B．2x2﹣3x﹣1＝0 C．﹣2x2﹣3x+1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【解答】解：由题意得，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴该一元二次方程为2x2﹣3x﹣1＝0， 故选：B． 6．若用公式法解关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．2x2+3x+4＝0 B．2x2﹣3x+4＝0 C．2x2+3x﹣4＝0 D．2x2﹣3x﹣4＝0 【解答】解：根据公式可得x的一元二次方程的根为：， ∴这个方程是2x2+3x﹣4＝0， 故选：C． 7．若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4， ∴b2﹣4ac＝41＞0， ∴． 故选：C． 8．若3x2+6x+8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝　﹣3　 ． 【解答】解：有条件可知3x2+6x+8＝2x2﹣1，整理得：x2+6x+9＝0， （x+3）2＝0， ∴x1＝x2＝﹣3， 故答案为：﹣3． 9．小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　﹣7　 ． 【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7． 故答案为：﹣7． 10．用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a＝　1　 ，b＝　3　 ，c＝　﹣2　 ． 【解答】解：先移项，把﹣3x移到方程的左边，得到一元二次方程的一般形式，再确定a，b，c的值． ∵x2﹣2＝﹣3x， ∴x2+3x﹣2＝0 ∴a＝1，b＝3，c＝﹣2 故答案为：1；3；﹣2． 11．用求根公式解方程x2+3x＝﹣1解得x1＝ 　　 ，x2＝ 　　 ． 【解答】解：∵x2+3x＝﹣1， ∴x2+3x+1＝0， ∴a＝1，b＝3，c＝1， ∴b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0． ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：，． 12．求方程x2+3x+2＝0的根时，根据求根公式，列式为，则m的值为 　﹣3　 ． 【解答】解：根据题意可得：， 故m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时c的值是 　﹣1　 ． 【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x﹣1＝0， 所以c的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 14．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵一元二次方程的根为， ∴a＝2k，b＝3k，c＝k， ∴当k＝1时，该一元二次方程可以为2x2+3x+1＝0， 故答案为：2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）． 15．4x2﹣3＝12x（用公式法解） 【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3＝0， ∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3， ∴Δ＝144﹣4×4×（﹣3）＝192＞0， 则x，即x1，x2． 16．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣3＝0． （2）用公式法解方程：3x2+8x﹣4＝0． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3． x2﹣4x+22＝3+22， （x﹣2）2＝7， ∴． ∴； （2）3x2+8x﹣4＝0， ∵a＝3，b＝8，c＝﹣4． ∴Δ＝b2﹣4ac＝82+4×3×4＝112＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ． 即． 17．解下列方程： （1）x2+4x﹣1＝0（配方法）； （2）x2﹣2x﹣3＝0（公式法）． 【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝5， （x+2）2＝5， ， 解得； （2）∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0， ∴， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 18．用指定方法解方程： （1）x2﹣4x＝8；（配方法） （2）2x2+3x﹣1＝0．（公式法） 【解答】解：（1）x2﹣4x＝8， 配方得x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12， 开方得， 解得， 即，； （2）2x2+3x﹣1＝0， a＝2，b＝3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， ∴， ∴，． 19．按要求解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0；（公式法） （2）x2+6x＝﹣5．（配方法） 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×2＝1＞0， ∴， ∴x1＝1，； （2）x2+6x+9＝﹣5+9， （x+3）2＝4， ∴x+3＝±2， ∴x+3＝2或x+3＝﹣2， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣5． 20．用指定方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣4x＝2（配方法）； （2）2x2﹣5x+1＝0（公式法）． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝6， （x﹣2）2＝6， ， 解得，； （2）2x2﹣5x+1＝0， a＝2，b＝﹣5，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17， ∴， 解得，． 21．（1）用配方法解方程：x2﹣4x﹣32＝0； （2）用公式法解方程：2x2+3＝6x． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣32＝0， 移项得：x2﹣4x＝32， 配方得：x2﹣4x+4＝32+4， 即 （x﹣2）2＝36， 开方得：x﹣2＝±6， ∴x1＝8，x2＝﹣4； （2）2x2+3＝6x， 原方程可化为：2x2﹣6x+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣6，c＝3， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3＝12＞0， ∴， ∴，． 八．解一元二次方程-因式分解法（共14小题） 22．下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5 【解答】解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝2或x＝4， 故选：C． 23．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【解答】解：∵x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故选：C． 24．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．5 B．0，5 C．1，5 D．0，﹣5 【解答】解：由题意得，x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0， （x﹣1）（x﹣5）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝5． 故选：C． 25．方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2 【解答】解：由题意得，x﹣2＝0或x＝0， 解得：x1＝2，x2＝0， 故选：D． 26．方程2x（x+3）+5（3+x）＝3+x的根是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【解答】解：整理得：（2x+5﹣1）（x+3）＝0， 2x+5﹣1＝0或x+3＝0， x1＝﹣2，x2＝﹣3， 故选：D． 27．一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　x1＝1，x2　 ． 【解答】解：∵3x（x﹣1）＝（x﹣1）， ∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， 则（x﹣1）（3x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2． 故答案为：x1＝1，x2． 28．方程x2+6x＝0的根为　x1＝0，x2＝﹣6．　 ． 【解答】解：x（x+6）＝0， ∴x＝0或x+6＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣6． 故答案为x1＝0，x2＝﹣6． 29．一元二次方程4（x﹣1）2＝5x﹣5的解为　　 ． 【解答】解：由题知， 4（x﹣1）2＝5x﹣5， 4（x﹣1）2﹣5（x﹣1）＝0， （x﹣1）（4x﹣4﹣5）＝0， （x﹣1）（4x﹣9）＝0， 则x﹣1＝0或4x﹣9＝0， 所以． 故答案为：． 30．一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　20或27　 ． 【解答】解：原分解因式得（x﹣12）（x﹣5）＝0， 解得：x＝12或x＝5， 当x＝12时，7+8＞12， ∴三角形的周长为：7+8+12＝27； 当x＝5时，5+7＞8， ∴三角形的周长为：5+7+8＝20； 综上所述，三角形的周长是20或27． 故答案为：20或27． 31．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的周长为 　17　 ． 【解答】解：方程x2﹣10x+21＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）＝0， 所以x﹣3＝0或x﹣7＝0， 解得：x＝3或x＝7， 当3为底边时，三边长为3，7，7，此时周长为3+7+7＝17； 当3为腰时，三边长为3，3，7，3+3＜7，不能构成三角形，舍去， 则三角形周长为17． 故答案为：17． 32．对于实数a，b定义一种新运算“※”如下：a※b＝ab2﹣ab，例如4※3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1※x＝2的根为 　x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【解答】解：∵a※b＝ab2﹣ab， ∴1※x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0，x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1． 33．复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解﹣9+4x2解：﹣9+4x2 ＝4x2﹣9……第一步 ＝（4x）2﹣32……第二步 ＝（4x+3）（4x﹣3）……第三步 习题2：因式分解﹣4x2+12x﹣9 解：﹣4x2+12x﹣9 ＝﹣（4x2+12x﹣9）……第一步 ＝﹣[（4x）2﹣2×4x×3+33]……第二步 ＝﹣（4x﹣3）2……第三步 （1）从中任选一题，写出此题从第几步开始出现错误，并写出它的正确解答过程； （2）若习题1和习题2中的两个代数式的值相等，求出x的值． 【解答】解：（1）习题1是从第二步开始出错的， 正确的解答过程如下： ﹣9+4x2 ＝4x2﹣9 ＝（2x）2﹣32 ＝（2x+3）（2x﹣3）； 习题2是从第一步开始出错的， 正确的解答过程如下： ﹣4x2+12x﹣9 ＝﹣（4x2﹣12x+9） ＝﹣[（2x）2﹣2×2x×3+32] ＝﹣（2x﹣3）2； （2）∵习题1和习题2中的两个代数式的值相等， ∴（2x+3）（2x﹣3）＝﹣（2x﹣3）2， 移项得：（2x+3）（2x﹣3）+（2x﹣3）2＝0， 提取公因式得：（2x﹣3）（2x+3+2x﹣3）＝0， 整理得：4x（2x﹣3）＝0， ∴4x或2x﹣3＝0， 由4x＝0，解得：x＝0， 由2x﹣3＝0，解得：x＝1.5， ∴x＝0或x＝1.5． 34．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　2　 ）（x+　4　 ）； （2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4＝0． 【解答】解：（1）x2+6x+8＝x2+（2+4）x+2×4＝（x+2）（x+4）， 故答案为：2，4； （2）∵x2﹣3x﹣4＝0， x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1＝0， ∴（x﹣4）（x+1）＝0， 则x+1＝0或x﹣4＝0， 解得：x＝﹣1或x＝4． 35．利用十字相乘法把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，阅读用十字相乘法因式分解x2﹣5x+6．即：x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） 试利用十字相乘法解方程（1）x2+4x+3＝0；（2）x2+5x﹣6＝0． 【解答】（1）解：x2+4x+3＝0， 分解因式得：（x+1）（x+3）＝0， x+1＝0，x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3． （2）解：x2+5x﹣6＝0， 分解因式得：（x+6）（x﹣1）＝0， x+6＝0，x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣6，x2＝1． 九．换元法解一元二次方程（共13小题） 36．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则a2+b2的值为　3　 ． 【解答】解：设a2+b2＝y， 据题意得y2﹣y﹣6＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝3． 故答案为3． 37．如果实数x满足，那么，的值是 　3　 ． 【解答】解：∵， ∴， ， 设，则m2﹣2m﹣3＝0， 因式分解得：（m﹣3）（m+1）＝0， ∴m﹣3＝0或m+1＝0， 解得：m＝3或m＝﹣1， 当m＝3时，则， 整理得：x2﹣3x+1＝0， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为3； 当m＝﹣1时，则， 整理得：x2+x+1＝0， Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为3， 故答案为：3． 38．已知（m+n+3）（m+n﹣3）＝16，那么m+n的值为 　±5　 ． 【解答】解：令a＝m+n， 由题意可得：（a+3）（a﹣3）＝16， ∴a2﹣9＝16， ∴a2＝25， ∴a＝±5， 即m+n＝±5， 故答案为：±5． 39．已知方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝4，x2＝﹣5，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解　x1＝3，x2＝﹣6　 ． 【解答】解：设t＝x+1，则方程化为at2+bt+c＝0， 由条件可知方程为at2+bt+c＝0的解是t1＝4，t2＝﹣5， 当t＝4时，x+1＝4，解得x＝3； 当t＝﹣5时，x+1＝﹣5，解得x＝﹣6， ∴方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣6． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣6． 40．若实数a、b满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　1　 ． 【解答】解：设a＝x2+y2，则a（a+3）＝4， a2+3a﹣4＝0，即（a+4）（a﹣1）＝0， 解得：a1＝﹣4，a2＝1， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝1． 故答案为：1． 41．阅读下列材料： 解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0， 解：设x2﹣1＝y，则原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y＝2时，x2﹣1＝2，解得：； 当y＝3时，x2﹣1＝3，解得x＝±2． ∴原方程的解为：，，x3＝2，x4＝﹣2． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． （1）请用上述方法解下列方程：（2x﹣5）2﹣4（2x﹣5）+3＝0； （2）已知实数x，y满足（x2+y2+3）2﹣7x2﹣7y2﹣21＝8，求x2+y2的值． 【解答】解：（1）设2x﹣5＝a，则原方程可化为a2﹣4a+3＝0， 分解因式可得：（a﹣1）（a﹣3）＝0， 解得：a1＝1，a2＝3， 当a＝1时，可得：2x﹣5＝1， 解得：x＝3， 当a＝3时，可得：2x﹣5＝3， 解得：x＝4， ∴原方程的解为x1＝3，x2＝4； （2）原方程整理得：（x2+y2+3）2﹣7（x2+y2）﹣21＝8， 设x2+y2＝b， 则原方程化为（b+3）2﹣7b﹣21＝8， 整理得：b2﹣b﹣20＝0， 分解因式可得：（b﹣5）（b+4）＝0， 解得：b1＝5，b2＝﹣4， 当b＝5时，x2+y2＝5， 当b＝﹣4时，x2+y2＝﹣4（不符合题意，舍去）， ∴x2+y2＝5． 42．阅读材料，解答问题： 解方程：x4﹣6x2+5＝0； 解：设x2＝y，则原方程可化为y2﹣6y+5＝0． 解得y1＝5，y2＝1． 当y＝5时，x2＝5，∴；当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； ∴原方程有四个解：，，x3＝1，x4＝﹣1． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0． 【解答】解：设y＝x2﹣2x，则y2﹣2y﹣3＝0， ∴y1＝3，y2＝﹣1， ∴x2﹣2x＝3或x2﹣2x＝﹣1， x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1， x2﹣2x+1＝0，解得x3＝x4＝1． ∴x1＝3，x2＝﹣1或x3＝x4＝1． 43．阅读下列材料： 为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0，然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0①，解①得y1＝﹣2，y2＝3．当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝3，解得，∴原方程的解为． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0． 【解答】解：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0， （x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）+6＝0， 设y＝x2﹣2x，则（x2﹣2x）2＝y2， 原方程化为y2﹣5y+6＝0， 解得y1＝2，y2＝3． 当y1＝2时，x2﹣2x＝2，解得； 当y2＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝3，﹣1． 原方程的解为． 44．（1）解方程：（x﹣2）2+2﹣x＝0； （2）若（x+2y）2+4（x+2y）﹣5＝0，求x+2y的值． 【解答】解：（1）（x﹣2）2+2﹣x＝0， （x﹣2）[（x﹣2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0，或 x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3； （2）设 x+2y＝t，则有t2+4t﹣5＝0， ∴（t﹣1）（t+5）＝0，即 t﹣1＝0 或 t+5＝0， ∴t1＝1，t2＝﹣5， ∴x+2y 的值为1或﹣5． 45．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题： 若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值． 解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100， ∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20， ∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×100＝200， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【类比应用】 （1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　 ； （2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 　22　 ． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝2024﹣x，b＝x﹣2010， ∴a+b＝14， ∵（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176， ∴a2+b2＝176 ∴（a+b）2﹣2ab＝176， ∴， ∴（2024﹣x）（x﹣2010）＝10， （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为， ∴m+n＝14，，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴， ∴一块三角板的面积是22． 故答案为：22． 46．解方程： （1）y4﹣3y2﹣4＝0； （2）（2x﹣5）2﹣2＝0． 【解答】解：（1）y4﹣3y2﹣4＝0， 令y2＝t， 则原方程可变形为t2﹣3t﹣4＝0， （t+1）（t﹣4）＝0， 则t1＝﹣1，t2＝4， 因为y2≥0， 所以t＝4， 则y2＝4， 所以y1＝2，y2＝﹣2． （2）， ， （2x﹣5）2＝4， 则2x﹣5＝±2， 所以． 47．解方程：（x﹣3）2+2（x﹣3）﹣24＝0． 【解答】解：（x﹣3）2+2（x﹣3）﹣24＝0， （x﹣3+6）（x﹣3﹣4）＝0， x﹣3+6＝0，x﹣3﹣4＝0， x1＝﹣3，x2＝7． 48．已知m、n为实数，且（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝15，求m2+n2的值． 【解答】解：根据题意，（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝15， 设x＝m2+n2，则有x（x﹣2）＝15， 整理可得x2﹣2x﹣15＝0， （x﹣5）（x+3）＝0， x﹣5＝0或x+3＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣3， 因为m2≥0，n2≥0， 所以m2+n2≥0， 所以m2+n2＝5，即m2+n2的值为5． 十．根的判别式（共12小题） 49．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣2＝0有实数根，则m的取值范围为（　　） A．m＞0 B．m≥0 C．m＞0且m≠2 D．m≥0且m≠2 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣2＝0有实数根， ∴m﹣2≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）×（﹣2）≥0， 解得m≠2且m≥0， 故选：D． 50．关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣1）＝4m2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 51．已知方程（x﹣2）（x2﹣4x+a）＝0的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数a的取值范围是（　　） A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．3＜a＜4 D．2＜a＜3 【解答】解：∵（x﹣2）（x2﹣4x+a）＝0， ∴x﹣2＝0或x2﹣4x+a＝0， ∴x＝2或x2±， ∵三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴20且4﹣a＞0，222， 解得a＜4且a＞3， ∴3＜a＜4． 故选：C． 52．若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即9﹣4m＝0， 解得m． 故选：C． 53．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解：∵方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0， 解得m＜9， ∴4个选择中只有A符合． 故选：A． 54．一元二次方程2x2﹣x+k＝0的根的判别式的值为5，则k的值为 　　 ． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣1，c＝k， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2k＝5， 解得k． 故答案为： 55．若关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根，则b的值可以是　0（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+b＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即Δ＝（﹣1）2﹣4b＞0， 解得b， ∴b的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 56．关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是 　　 ． 【解答】解：当m﹣2＝0时，方程为一元一次方程，5x+3＝0， 则x＝﹣3， 当m﹣2≠0时，方程为一元二次方程，由题意得： Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）≥0， 即4m2+4m+1﹣4m2+16m﹣16≥0， 解得：且m≠2， 当m＝2时，方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0为一元一次方程，有实数根为x＝﹣3， ∴关于x的方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2＝0有实数根，则m的取值范围是或m＝2． 故答案为：． 57．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为　﹣4　 ． 【解答】解：由条件可知（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2＞0，且m﹣2≠0， 即m＜4且m≠2， 解关于y的分式方程，可得； ∴m﹣1＝±1或±2或±4， ∵m＜4且m≠2，m≠1，y为整数，y≠2即m≠3， ∴m＝0或﹣1或﹣3， ∴满足条件的所有整数m的和为：0﹣1﹣3＝﹣4． 故答案为：﹣4． 58．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程（a﹣2）y2﹣3y+1＝0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 　﹣3　 ． 【解答】解：解分式方程得， ∴4﹣a＝﹣10或﹣5或﹣2或﹣1或1或2或5或10， ∴a＝14或9或6或5或3或2或﹣1或﹣6， 又∵x﹣2≠0， ∴， 解得a≠﹣1， ∴a＝14或9或6或5或3或2或﹣6， ∵关于y的一元二次方程（a﹣2）y2﹣3y+1＝0有实数根， ∴Δ＝9﹣4（a﹣2）≥0且a﹣2≠0， ∴a，且a≠2， ∴a＝3或﹣6， ∴所有满足条件的整数a的和为3+（﹣6）＝﹣3． 故答案为：﹣3． 59．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 　﹣4　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等实数解， ∴（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×2＞0，且m﹣2≠0， 即m＜4且m≠2， 解关于y的分式方程，可得y且y≠2， ∵m＜4且m≠3，m≠2，m≠1，y为整数， ∴m＝0，﹣1，﹣3， ∴足条件的所有整数m的和为：0﹣1﹣3＝﹣4． 故答案为：﹣4． 60．若关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+4x+1＝0有两个实数根，且关于y的分式方程 的解是正数，则满足条件的整数a的和为 　27　 ． 【解答】解：∵（a﹣6）x2+4x+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝42﹣4（a﹣6）≥0， 解得，a≤10且a≠6， y的分式方程，得y1， ∵ 的解是正数， ∴y1＞0，2﹣5y≠0， 解得a＞5， ∴a的取值范围为5＜a≤10且a≠7， ∴满足条件的整数a为8，9，10， ∴满足条件的整数a和为8+9+10＝27． 故答案为：27． 61．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0． ①求证：无论k取何值，方程总有两个不相等实数根； ②若△ABC两边AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两根，且斜边BC＝10．问k为何值时，△ABC是直角三角形． 【解答】①证明：对于关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0， ∵这个方程根的判别式为Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等实数根， ②解：∵△ABC两边AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两根， ∴AB+AC＝2k，AB•AC＝k2﹣1， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC ＝（2k）2﹣2（k2﹣1） ＝2k2+2， 要使△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则AB2+AC2＝BC2， ∴2k2+2＝102， 解得k＝7或k＝﹣7， 当k＝﹣7时，AB+AC＝2k＝2×（﹣7）＝﹣14＜0，不符合题意，舍去， ∴当k＝7时，△ABC是直角三角形． 62．关于x的方程x2﹣6x+10﹣m＝0有两个不等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）化简：． 【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（10﹣m）＞0， 解得：m＞1； （2）∵m＞1， ∴ ＝﹣2． 63．已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k＝0． （1）求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰三角形ABC的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2k）＝4k2+8k+4﹣4k2﹣8k＝4＞0， ∴不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：不妨设b是腰，c是底边， 由题意：b+c＝2k+2，b＝14﹣（b+c）＝12﹣2k，c＝2k+2﹣（12﹣2k）＝4k﹣10， ∵bc＝k2+2k， ∴（12﹣2k）（4k﹣10）＝k2+2k， ∴k＝4或． 十一．根与系数的关系（共15小题） 1．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1＝x2 B．x1+x2＝﹣4 C．x1•x2＝﹣4 D．无实数根 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0的两个根， 所以x1+x2＝﹣4a，x1x2＝﹣4． 又因为Δ＝（4a）2﹣4×1×（﹣4）＝16a2+16＞0， 所以此方程有两个不相等的实数根， 所以C选项符合题意． 故选：C． 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1， ∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝1﹣2×（﹣1）＝1+2＝3， 故选：D． 3．若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根， ∴， ∴ab（a+b）＝2×2023＝4046． 故选：C． 4．已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　） A．或5 B．或﹣5 C． D．5 【解答】解：设x1、x2关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，x1＝m，x2＝4m， ∴， 解得：a＝5． ∴a的值为5． 故选：D． 5．定义新运算a☆b＝a（1﹣b），若a、b是方程的两根，则b☆b﹣a☆a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 【解答】解：∵a☆b＝a（1﹣b）， ∴b☆b﹣a☆a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b﹣b2﹣a+a2． 又因为a、b是方程的两根， 所以a2﹣am＝0， 化简得a2﹣am， 同理b2﹣bm， ∴﹣（b2﹣b）+a2﹣a＝﹣（m）+（m）＝0． 故选：A． 6．若一元二次方程x2+x＝m的两根之差为3，则m的值为　2　 ． 【解答】解：由x2+x＝m得， x2+x﹣m＝0， 令方程的两个根分别为a和b， 则a+b＝﹣1，ab＝﹣m． 因为方程的两根之差为3， 所以（a+b）2﹣4ab＝32， 即1+4m＝9， 解得m＝2． 故答案为：2． 7．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则　　 ． 【解答】解：由题知， 因为m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣1，mn＝﹣1， 所以||＝|m﹣n|． 因为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝1+4＝5， 所以|m﹣n|． 故答案为：． 8．已知，m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 　2021　 ． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根， ∴m2+m＝2022，m+n＝﹣1， ∴m2+2m+n＝（m2+m）+（m+n）＝2022+（﹣1）＝2021． 故答案为：2021． 9．一元二次方程x2+2kx﹣k＝0的两个根分别为x1，x2.若x1•x2＝1，则x1+x2＝ 　2　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2kx﹣k＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣k＝1， ∴k＝﹣1 所以x1+x2＝2． 故答案为：2． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为﹣1，则它的另一个根为　﹣2　 ． 【解答】解：设另一个根为t，则﹣1×t＝2， 解得t＝﹣2， 故答案为：﹣2． 11．设x1和x2是方程x2+7x+1＝0的两个根，则x1+x2＝　﹣7　 ． 【解答】解：∵x1和x2是方程x2+7x+1＝0的两个根， 则x1+x2＝﹣7． 故答案为：﹣7． 12．已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则m2﹣2m+n的值为　8　 ． 【解答】解：有条件可知m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＝5，m+n＝3， ∴m2﹣2m+n＝m2﹣3m+m+n＝5+3＝8， 故答案为：8． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围． （2）当方程的两个根x1、x2满足x1x2+12时，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣5＝0有两个实数根， ∴b2﹣4ac＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣5）＝﹣8m+24≥0， 解得：m≤3， 即m的取值范围是m≤3； （2）∵方程的两个根为x1、x2， ∴x1+x2＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣5， ∴x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝[2（m﹣1）]2﹣3（m2﹣5）＝m2﹣8m+19， ∵x1x2+12， ∴m2﹣8m+19＝12，即m2﹣8m+7＝0， 解得m＝1或m＝7， ∵m≤3， ∴m＝1， 故m的值为1． 14．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB和BC的长是方程kx2﹣4x+4＝0的两根，判断△ABC的形状并说明理由． 【解答】解：（1）由条件可知（﹣4）2﹣4×k×4≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0； （2）由条件可得：k×22﹣4×2+4＝0，解得：k＝1， ∴x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2， ∴AB和BC的长分别是：2，2， ∴AB＝AC＝BC＝2，即△ABC是等边三角形． 13． 一元二次方程的实际应用 【题型1】分裂（传播）问题 1．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　） A．1+x+x2＝49 B．x+x2＝49 C．（1+x）2＝49 D．x+x（1+x）＝49 【解答】解：∵某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝49， 即：（1+x）2＝49； 故选：C． 2．秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝121． 故选：D． 3．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（　　） A．x+x•x＝216 B．x﹣x（1﹣x）＝216 C．1+x+x（1+x）＝216 D．1﹣x﹣（1﹣x）（1﹣x）＝216 【解答】解：依题意得1+x+x（1+x）＝216， 故选：C． 4．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（　　） A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256 【解答】解：每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意可列出方程，1+x+x（1+x）＝256， 故选：D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：第1轮后有（x+1）个人患了流感； 乙：第2轮又增加x（x+1）个人患流感； 丙：依题意可列方程1+x+x2＝36． A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染， ∴1轮后有（x+1）个人患了流感，第2轮又增加x（x+1）个人患流感， ∴根据题意得可列出方程1+x+x（x+1）＝36， ∴甲和乙对，丙错． 故选：C． 6．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．（n﹣1）2＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．1+n+n2＝1641 【解答】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2， 由题意，得：1+n+n2＝1641； 故选：D． 7．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝64 B．x2+1＝64 C．（1+x）2＝64 D．1+x+x2＝64 【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， 列方程得：1+x+x（1+x）＝64， 即（1+x）2＝64． 故选：C． 8．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x （x+1）＝81 【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得： 1+x+x（1+x）＝81， 即（1+x）2＝81． 故选：D． 9．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝169 B．1+x+x2＝169 C．1+x+x（x+1）＝169 D．1+（x+1）2＝169 【解答】解：∵如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染，设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑， ∴1+x+x（x+1）＝169， 故选：C． 10．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　1+x+x（1+x）＝49　 ． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝49． 故答案为：1+x+x（1+x）＝49． 11．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 　（1+x）2＝64　 ． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮共（1+x）人患病，第二轮传染中共（1+x）2人患病， 所列方程为（1+x）2＝64， 故答案为：（1+x）2＝64． 12．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　1+x+x（1+x）＝121　 ． 【解答】解：第一轮传染后患流感的人数为：x人， 第二轮传染后患流感的人数为：1+x+x（1+x）， 经过两轮传染后共有121人患了流感， 可列方程为：1+x+x（1+x）＝121． 故答案为：1+x+x（1+x）＝121． 13．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有162人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么所列方程为 　x+2x+x（2+2x）＝162　 ． 【解答】解：∵有两人患病，且每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有2x个人被感染，第二轮传染中有x（2+2x）人被感染． 根据题意得：x+2x+x（2+2x）＝162． 故答案为：x+2x+x（2+2x）＝162． 14．有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意列出方程为　2（1+x）2＝98　 ． 【解答】解：根据题意得：可列方程为2（1+x）2＝98． 故答案为：2（1+x）2＝98． 【题型2】增长率问题 1．广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量约4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为x，可列方程为（　　） A．3（1+x）2＝4.3 B．3（1﹣x）2＝4.3 C．4.3（1+x）2＝3 D．4.3（1﹣x）2＝3 【解答】解：根据题意得：3（1+x）2＝4.3． 故选：A． 2．近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．432（1+2x）＝507 B．432（1+2x）2＝507 C．432（1+x）2＝507 D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507 【解答】解：根据题意得：432（1+x）2＝507． 故选：C． 3．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1 C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1 【解答】解：根据题意得：95.5（1+x）2＝99.1． 故选：C． 4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144 C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144 【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝144． 故选：A． 5．某市2022年底森林覆盖率为63%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到69%，求这两年森林覆盖率的年平均增长率．若将这两年森林覆盖率的年平均增长率设为x，则符合题意的方程是（　　） A．0.63（1+x2）＝0.69 B．0.63（1+2x）＝0.69 C．0.63（1+x）2＝0.69 D．0.63（1+2x）2＝0.69 【解答】解：根据题意得：63%（1+x）2＝69%， 即0.63（1+x）2＝0.69． 故选：C． 6．某市图书馆7月份接待15万人次，9月份接待增长到19万人次．若接待人次的月增长率相同，设月增长率为x，则根据题意，可列方程为（　　） A．19（1+x）2＝15 B．（1+x）2＝15+19 C．15（1+x）2＝19 D．15（1+2x）＝19 【解答】解：根据题意得：15（1+x）2＝19． 故答案为：C． 7．2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，截至2月18日已登顶全球动画电影票房榜首，在全球影史榜单排名还在上升．据网络平台数据统计在2月1日哪吒的单日票房为7.22亿，2月3日的单日票房达到8.43亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．7.22（1+2x）＝8.43 B．7.22（1+2x）2＝8.43 C．7.22（1+x2）＝8.43 D．7.22（1+x）2＝8.43 【解答】解：假设平均每天的票房增长率为x， 根据题意可列方程：7.22（1+x）2＝8.43， 故选：D． 8．某市图书馆1月份借阅量为12万人次，3月份借阅量为20万人次．设这两个月借阅量的平均增长率为x，根据题意列方程为（　　） A．12（1+x）2＝20 B．（1+x）2＝12+20 C．20（1+x）2＝12 D．12（1+2x）＝20 【解答】解：依题意得：12（1+x）2＝20． 故选：A． 9．为推进全民阅读，打造书香城市，崂山区图书馆创新园分馆已于2024年12月向市民开放．开馆后流量逐月增加，据统计，2025年1月进馆7000人次，3月进馆9000人次，若进馆人次的月平均增长率相同，设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为 　7000（1+x）2＝9000　 ． 【解答】解：根据题意得：7000（1+x）2＝9000． 故答案为：7000（1+x）2＝9000． 10．央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为x，根据题意可得方程为　20（1+x）2＝22　 ． 【解答】解：根据题意得：20（1+x）2＝22． 故答案为：20（1+x）2＝22． 11．“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x，根据题意，列出方程为 　5+5（1+x）+5（1+x）2＝23　 ． 【解答】解：由题意可得， 5+5（1+x）+5（1+x）2＝23， 故答案为：5+5（1+x）+5（1+x）2＝23． 12．某汽车销售4S店10月份销售某型号新能源汽车20辆，由于该型号汽车优越的经济适用性，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．设该4S店销售该型号汽车11月份和12月份的平均增长率为x，根据题意可列方程为 　20（1+x）2＝45　 ． 【解答】解：设11月份和12月份的平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝45， 故答案为：20（1+x）2＝45． 【题型3】碰面（循环问题） 1．某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴x的值为9． 故选：D． 2．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A．6个 B．8个 C．9个 D．12个 【解答】解：设有x个队参赛， 根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36， 解得：x＝9或x＝﹣8（舍去）， 故选：C． 3．某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则班级的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：根据题意，设有x个班级参加比赛， 列方程得， 整理得x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（舍） 则共有6个班级参加比赛， 所以班级的个数为6， 故选：C． 4．2024年12月8日，在四川成都举行的国际乒联混合团体世界杯比赛中中国队卫冕冠军．本次比赛一共有4x支队伍参赛，在第一轮的比赛中组委会把4x支队伍平均分成4组，每组内以循环赛的形式展开角逐，即组内的x个队相互之间都要安排一场比赛，第一轮一共安排了24场比赛，则x满足的关系式为（　　） A．2x（x+1）＝24 B．2x（x﹣1）＝24 C． D． 【解答】解：由题意得：4x（x﹣1）＝24， 即2x（x﹣1）＝24， 故选：B． 5．某校九年组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两个班之间都赛一场，共需安排28场比赛，九年级班级个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：设九年级有x个班， 根据题意得：x（x﹣1）＝28， 整理得：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， ∴九年级有8个班． 故选：C． 6．我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　10　 个班级篮球队参加． 【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛， 根据题意得：45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 即（x﹣10）（x+9）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）， 则共有10个班级球队参加比赛， 故答案为：10． 7．剑桥三中组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为 　9　 ． 【解答】解：设这次参加比赛的球队个数为x个， 根据题意得： 36， 解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝9， 即这次参加比赛的球队个数为9个， 故答案为：9． 8．某校九年级若干个班级组织一次足球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则九年级参赛的班级个数为 　9　 ． 【解答】解：设九年级共有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得x2﹣x﹣72＝0， 解得x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9， 所以九年级共有9个班． 故答案为：9． 9．有x支球队参加排球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了28场，则x的值是 　8　 ． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28， 整理等：x2﹣x﹣56＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， 即x的值是8， 故答案为：8． 10．有m支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则m＝ 　5　 ． 【解答】解：依题意得：m（m﹣1）＝10， 整理得：m2﹣m﹣20＝0， 解得：m1＝5，m2＝﹣4（不合题意，舍去）． 故答案为：5． 11．县教体局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？若设应邀请x个球队参加比赛，则x的值为 　6　 ． 【解答】解：设应邀请x个球队参加比赛， 根据题意，得， 整理，得x2﹣x﹣30＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣5（负数舍去）， ∴x＝6， 故答案为：6． 12．某兴趣班的同学在春节期间，每个同学都要给班级其他同学各发一张贺卡问候节日快乐．如果全班同学共发出贺卡90张，那么该兴趣班共有 　10　 人． 【解答】解：设该兴趣班共有x人， 依题意得：x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， 即该兴趣班共有10人， 故答案为：10． 13．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，则该小组共有 　9　 人． 【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡， 依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴该小组共有9人． 故答案为：9． 14．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共有 　8　 人． 【解答】解：设这小组有x人． 由题意得：x（x﹣1）＝56， 解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）． 答：这个小组共有8人． 故答案为：8． 15．一个小组有若干人，新年互相打一个电话祝福，已知全组共打电话36次，则这个小组共有人数为　9　 人． 【解答】解：设这小组有x人． 由题意得：x（x﹣1）＝36， 解得x1＝x2＝9． 即这个小组有9人； 故答案为：9． 16．一个小组有若干人，新年互相打一个电话祝福，已知全组共打电话306次，则这个小组共有 　18　 人． 【解答】解：设这个小组共有x人，则每人需打（x﹣1）个电话， 根据题意得：x（x﹣1）＝306， 整理得：x2﹣x﹣306＝0， 解得：x1＝18，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）， ∴这个小组共有18人． 故答案为：18． 【专题4】与图形有关的面积问题 1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 2．如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（　　） A．x2+20×15﹣2x＝400 B．20×15﹣2x＝400 C．（20﹣2x）（15﹣x）＝400 D．（20﹣x）（15﹣2x）＝400 【解答】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为（20﹣2x）米、宽为（15﹣x）米的矩形， 根据题意知：（20﹣2x）（15﹣x）＝400． 故选：C． 3．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为x cm，根据题意，可列方程为（　　） A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 【解答】解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为x cm， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形． 根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝80． 故选：D． 4．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则可列方程为（　　） A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625 C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625 【解答】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm， 依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625． 故选：A． 5．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【解答】解：∵篱笆的总长为18米，AB的长为x米， ∴BC的长为18+2﹣3x＝（20﹣3x）米． 根据题意得：x（20﹣3x）＝40． 故选：D． 6．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（　　） A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864 【解答】解：∵宽比长少12步，且长为x步， ∴宽为（x﹣12）步． 根据题意得：x（x﹣12）＝864 故选：A． 7．如图①，一张长方形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32cm2，求该长方体盒子的高． 【解答】解：设该长方体盒子的高为x cm，则该长方形盒子的底面为长（12﹣x）cm，宽（12﹣2x）cm的长方形， 依题意得：（12﹣x）（12﹣2x）＝32， 整理得：x2﹣18x+56＝0， 解得：x1＝4，x2＝14． 又∵12﹣2x＞0， ∴x＜6， ∴x＝4． 答：该长方体盒子的高为4cm． 8．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少cm？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少cm2？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 9．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为800m2． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． ①设每个车位的月租金上涨a元，则停车场可以租出多少个车位？（用含a的代数式表示） ②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？同时尽可能让利于民． 【解答】解：（1）道路的宽是x米， 由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800， 整理得：x2﹣40x+175＝0， 解得：x1＝35（不合题意，舍去），x2＝5， 答：道路的宽是5米； （2）①设每个车位的月租金上涨a元，停车场可以租出（50）个车位； ②设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元，则每个车位的月租金为（200+y）元， 由题意得：（200+y）（50）＝10080， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40（不符合题意，舍去）， ∴200+y＝210， 答：当每个车位的月租金为210元时，停车场的月租金收入为10080元，同时尽可能让利于民． 【题型5】每每问题 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：201．某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　） A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元 【解答】解：设售价应定为x元，则销售量为500﹣10（x﹣5）＝550﹣10x件， 根据题意得：（x﹣4）（550﹣10x）＝4100， 整理得：x2﹣59x+630＝0， 解得：x1＝14，x2＝45． 故选：C． 2．某体育球类专卖店将进货单价为100元的某品牌篮球按零售价135元一个售出时，每天能卖出100个．若这种篮球的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加4个，要使顾客尽量得到实惠，且每天获得的利润为3596元，每个篮球需降价（　　） A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元 【解答】解：设每个篮球需降价x元， 由题意得：（100+4x）（135﹣100﹣x）＝3596， 解得：x＝6或4， ∵要使顾客尽量得到实惠， 故x＝6（元）， 故选：B． 3．某白酒专卖店销售一种白酒，这种白酒每瓶的进价为60元，若以每瓶100元的价格出售，每天可售出40瓶．为了促进销售，店长决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，当这种白酒每瓶每降价1元时，每天可多售出2瓶．若为了让利于消费者，且日销售利润要达到1600元，则这种白酒的销售单价为（　　） A．100元 B．80元 C．80元或100元 D．无法确定 【解答】解：设这种白酒的销售单价为x元，则每瓶白酒的销售利润为（x﹣60）元， 由题意得：（x﹣60）[40+2（100﹣x）]＝1600， 整理得：x2﹣180x+8000＝0， 解得：x1＝80，x2＝100（不符合题意，舍去）， 即这种白酒的销售单价为80元， 故选：B． 4．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【解答】解：根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200， 整理得：x2﹣150x+5600＝0． 解得：x1＝70，x2＝80． 当x＝70时，利润率100%＝40%＜50%，符合题意； 当x＝80时，利润率100%＝60%＞50%，不合题意，舍去． 所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元． 故选：A． 5．某大型楼盘陆续交付后，家装灯具店纷纷推出各类优惠政策．某灯具店通过大数据分析，发现当成本为每个30元的台灯的售价为每个40元时，平均每天售出600个；若售价每个每下降2元，每日销售量就增加400个．为迎接“双十一”，该店决定降价促销．在库存为1220个台灯的情况下，若预计日销售获利恰好为8400元，则每个台灯的售价应为 　37　 元． 【解答】解：设每个台灯应降价x元，则售价为（40﹣x）元， 由题意得：（40﹣x﹣30）（600x）＝8400， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝4时，4×200+600＝1400＞1220（不合题意，舍去）； 当x＝3时，3×200+600＝1200＜1220（符合题意）； ∴40﹣x＝40﹣3＝37， 即每个台灯的售价应为37元， 故答案为：37． 6．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　3或4　 元． 【解答】解：设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 7．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　80　 元． 【解答】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为（200﹣x）元，每月可售出12030＝（120+1.5x）件， 根据题意得：（200﹣x）（120+1.5x）＝28800， 整理得：x2﹣120x+3200＝0， 解得：x1＝40，x2＝80， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝80， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 8．某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售出5件．如果每天要盈利1600元，则每件应降价 　4　 元． 【解答】解：设每件降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，平均每天可销售（20+5x）件， 依题意得：（44﹣x）（20+5x）＝1600， 整理得：x2﹣40x+144＝0， 解得：x1＝4，x2＝36（不符合题意，舍去）， ∴每件应降价4元． 故答案为：4． 9．为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 【解答】解：设每件玩具应降价x元，则每件盈利（20﹣x）元，平均每天可销售（10+5x）件， 依题意得：（20﹣x）（10+5x）＝425， 整理得：x2﹣18x+45＝0， 解得：x1＝3，x2＝15（不符合题意，舍去）， 答：每件玩具应降价3元． 10．“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的20万人增加到2024年的33.8万人． （1）求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． （2）某网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为50元时，12月份售出了150组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【解答】解：（1）设该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为30%； （2）设该哑铃组每组应降价m元，则1月份销售量为（150+10m）组， 由题意得：（50﹣m﹣30）（150+10m）＝3060， 整理得：m2﹣5m+6＝0， 解得：m1＝2（不符合题意，舍去），m2＝3， 答：该哑铃组每组应降价3元． 11．某超市销售晋江特产“衙口花生”，平均每天可售出100箱，每箱盈利12元．为了扩大销售，让利顾客，该超市采取降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱．根据上面的信息，解决下列问题： （1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利多少元？ （2）若要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价多少元？ 【解答】解：（1）若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利为（12﹣3）（100+20×3）＝9×160＝1440（元）， 答：若每箱降价3元，则每天销售该花生可获利1440元； （2）设每箱应降价x元，则日销量为（100+20x）箱，每箱花生获利（12﹣x）元， 由题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1400， 整理得：x2﹣7x+10＝0， 解得：x1＝2（不符合题意，舍去），x2＝5； 答：要使每天销售该花生获利1400元，则每箱应降价5元． 12．某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在店庆期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次降价后，调至每千克32.4元． （1）若该商场两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）现在店庆结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么现在的售价应定为每千克多少元？ 【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，则第一次降价为40（1﹣x）元，第二次降价为40（1﹣x）2元， 根据题意得，40（1﹣x）2＝32.4， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 根据题意得， （10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理得y2﹣15y+50＝0， 解得y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5， 即每千克应涨价5元，定价为32.4+5＝37.4（元）． 答：现在的售价应定价37.4元． 13．今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份的售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包． （1）若2、3两个月的销售量的月平均增长率相同，求月平均增长百分率． （2）若农产品礼包每包成本为25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价2元，月销售量可增加10包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？ 【解答】解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x， 由题意得：256×（1+x）2＝400， 解得：x1＝25%，x2＝﹣225% （舍去）， 所以2、3两个月的月平均增长率为25%， 答：2、3两个月的月平均增长率为25%； （2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4250元， 由题意得：， 解得：m1＝5，m2＝﹣70 （舍去）， 所以当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元 答：当农产品礼包每包降价5元，这种农产品在4月份可获利4250元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/21 15:31:44；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：49576819 【】【题型3】【】【题型6】营销问题 1．某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（　　） A．400（1﹣x）2＝225 B．225（1﹣x）2＝400 C．225（1﹣2x）＝400 D．400（1﹣2x）＝225 【解答】解：第一次降价后的价格为400×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x， 为400×（1﹣x）×（1﹣x），则列出的方程是400×（1﹣x）2＝225． 故选：A． 2．某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．11% C．20% D．19% 【解答】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：2000（1﹣x）2＝1620， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣1.9（不符合题意，舍去）， 即平均每次降价的百分率为10%， 故选：A． 3．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数y＝﹣20x+1000，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（　　）元． A．25 B．20或40 C．40 D．20 【解答】解：∵零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数y＝﹣20x+1000，该企业每周销售这种零件可获利6000元， ∴（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000， 解得x1＝20，x2＝40， 又售价不能超过35元/个， ∴x＝20， 即每个零件的售价应定为20元， 故选：D． 4．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出（320﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（　　） A．22元 B．24元 C．26元 D．28元 【解答】解：依题意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400， 整理得：a2﹣50a+616＝0， 解得：a1＝22，a2＝28． 又∵物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%， ∴售价不能超过18×（1+25%）＝22.5（元）． ∴a＝22． 故选：A． 5．炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受．某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小风西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整．第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低%，销量增加15a斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加%．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多%．求a的值．（a＞0） 【解答】解：（1）设特小凤西瓜每斤售价为x元，则彩虹西瓜每斤售价为（x+6）元， 根据题意得：300x+600（x+6）＝11700， 解得：x＝9， ∴x+6＝9+6＝15． 答：特小凤西瓜每斤售价为9元，彩虹西瓜每斤售价为15元； （2）根据题意得：9×（1a%）×（300+15a）+15×600×（1a%）＝11700×（1a%）， 整理得：0.9a2﹣27a＝0， 解得：a1＝30，a2＝0（不符合题意，舍去）． 答：a的值为30． 6．绿水青山就是金山银山，良好的生态环境既是自然财富也是经济财富，某校团支部号召全校师生在植树节开展“为春天添一抹绿色，为生活加一片希望”的植树活动．校团支部计划在某园林基地用4800元采购桂花和樱花两种树苗共100株回校园种植，其中桂花树苗的售价为每株60元，樱花树苗每株的售价是桂花树苗每株售价的． （1）求校团支部计划采购两种树苗各多少株； （2）在校团支部实际采购时，园林基地决定对学校师生打折优惠，两种树苗均打a折销售，校团支部决定桂花树苗在比原计划多采购2a株，樱花树苗比原计划多采购a株，这样实际购买的总费用比计划购买的总费用多了64元，求a的值． 【解答】解：（1）设校团支部计划采购桂花树苗x株，则采购樱花树苗（100﹣x）株， 依题意得：60x+60（100﹣x）＝4800， 解得：x＝40， ∴100﹣x＝100﹣40＝60． 答：校团支部计划采购桂花树苗40株，樱花树苗60株． （2）依题意得：60（40+2a）+60（60+a）＝4800+64， 整理得：a2+30a﹣304＝0， 解得：a1＝8，a2＝﹣38（不符合题意，舍去）． 答：a的值为8． 7．葡萄作为人们最喜欢的水果之一，有着越来越多的品种．某水果店出售阳光玫瑰葡萄和妮娜皇后葡萄两个品种，其中妮娜皇后的售价比阳光玫瑰每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出阳光玫瑰300斤，妮娜皇后600斤．这两种葡萄的销售总额为11700元．请问阳光玫瑰和妮娜皇后每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对葡萄的售价进行了调整．第二周与第一周相比，该水果店的阳光玫瑰每斤售价降低，销量增加15a斤；妮娜皇后售价不变，销量增加．于是这两种葡萄的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值．（a＞0） 【解答】解：（1）设阳光玫瑰每斤售价为x元，则妮娜皇后每斤售价为（x+6）元， 根据题意得：300x+600（x+6）＝11700， 解得：x＝9， ∴x+6＝9+6＝15． 答：阳光玫瑰每斤售价为9元，妮娜皇后每斤售价为15元； （2）根据题意得：9×（1a%）×（300+15a）+15×600×（1a%）＝11700×（1a%）， 整理得：0.9a2﹣27a＝0， 解得：a1＝30，a2＝0（不符合题意，舍去）． 答：a的值为30． 8．为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元． （1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？ （2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12月价格进行了一定调整，线下单价与（1）问中的售价保持一致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了a%，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨a%，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值． 【解答】解：（1）设每只乳鸽售价应定为x元， 依题意得：100050＝1500， 解得：x＝25． 答：每只乳鸽售价应定为25元． （2）依题意得：251500（1+a%）+25（1a%）×（1）×1500（1+a%）＝37500+495a， 整理得：a2a＝0， 解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为40． 9．一时蔬小店某一天用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋．销售时，每斤平菇的平均售价比每斤莴笋的平均售价的2倍少1元，该小店销售完所进的平菇和莴笋后获利60元． （1）这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤多少元？ （2）接着第二天，该小店又用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋，其中，平菇和莴笋的进价与第一天的进价相同，销售时受到一些因素的影响，每斤莴笋的平均售价比第一天的平均售价增加了a%（a＞0），但莴笋的销售量与第一天的销售量相同：每斤平菇的平均售价比第一天的平均售价增加了a%，但平菇的销售量比第一天的销售量下降了a%，最终第二天的总销售额与第一天的总销售额相等，求a的值． 【解答】解：（1）设这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤x元，则平菇的平均售价是每斤（2x﹣1）元， 依题意得：30（2x﹣1）+20x＝150+60， 解得：x＝3． 答：这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤3元． （2）依题意得：3（1+a%）×20+（2×3﹣1）（1a%）×30（1﹣a%）＝150+60， 整理得：0.012a2﹣0.3a＝0， 解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为25． 10．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【解答】解：（1）设每台空调降价x元． （400﹣x）×（505）＝30000， 即（400﹣x）（50+0.5x）＝30000， ∴x2﹣300x+20000＝0． ∴x＝100或200． 又秉承扩大销量的原则， ∴x＝200． 答：每台降价200元． （2）由题意，设调配甲连锁店A空调x台，则调配给甲连锁店B空调（70﹣x）台，调配给乙连锁店A空调（40﹣x）台，B空调（x﹣10）台， ∴y＝（180﹣a）x+160（70﹣x）+150（40﹣x）+140（x﹣10）， 即y＝（10﹣a）x+15800． 又由题意得，，， ∴10≤x≤40，0＜a＜20． ∴当0＜a＜10时，10﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x＝40时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调40台，B空调30台，乙连锁店A空调 0台，B空调30台； 当a＝10时，x的取值在10≤x≤40内时所有方案利润相同； 当10＜a＜20时，10﹣a＜0，函数y随x的增大而减小，当x＝10时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调10台，B空调60台，乙连锁店A空调30台，B空调0台． 11．“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，某品牌共享自行车在宁波的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆． （1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？ （2）考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入3万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产A型车的成本价为300元/辆，售价为500元/辆，生产B型车的成本价为700元/辆，售价为1000元/辆．根据定制要求，B型车的数量超过12辆，且A型车的数量不少于B型车的2倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设月平均增长率为x，由题意得： 640（1+x）2＝1000， 解得：x1＝0.25，x2（舍去）， ∴4月份投放了1000×（1+0.25）＝1250（辆）， ∴4月份投放了1250辆； （2）设生产B型车x辆，则生产A型车辆，由题意得： ， 解得：12＜x≤15， ∵x为正整数， ∴x＝13，14或15， 设自行车生产厂商获得的利润为w，由题意得： w＝（500﹣300）（60﹣2x）+（1000﹣700）x ＝1200﹣100x， ∵k＝﹣100＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝13时，w最大＝10700， ∴（30000﹣1000x）÷500＝34（辆）． ∴生产A型车34辆，B型车13辆，生产商有最大利润为10700元． 12．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． （1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ （2）随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为W元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设每顶普通头盔应降价x元． （68﹣40﹣x）（100x）＝4000． 整理得：x2﹣23x+60＝0． 解得：x1＝3，x2＝20． ∵每顶售价不高于58元， ∴68﹣x≤58． 解得：x≥10． ∴x＝20． 答：每顶普通头盔应降价20元； （2）设进普通头盔a顶，则进防晒头盔（200﹣a）顶． W＝（68﹣40﹣20）a+（110﹣80）（200﹣a） ＝8a+6000﹣30a ＝﹣22a+6000． ∵普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍， ∴a≥2（200﹣a）． 解得：a≥133． ∵﹣22＜0， ∴W随a的增大而减小． ∴当a＝134时，W最大．W最大＝3052（元）． ∴200﹣a＝66． 答：该商店应进普通头盔134个，防晒头盔66个才能获得最大利润，最大利润是3052元． 13．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 （1）该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 【解答】解：（1）设购进x个“文创T恤”，则购进（80﹣x）个“纪念湘绣”， 由题意得：59x+66（80﹣x）≤4900， 解得：x≥54， ∵x为正整数， ∴x的最小值为55， 设全部售出后获得的总利润为w元， 由题意得：w＝（79﹣59）x+（88﹣66）（80﹣x）＝﹣2x+1760， ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而增小， ∵x为正整数， ∴当x＝55时，w取得最大值，最大值＝﹣2×55+1760＝1650（元）， 此时80﹣x＝80﹣55＝25， 答：购进55个“文创T恤”，25个“纪念湘绣”，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1650元； （2）设每个降价m元，销售价定为每个（79﹣m）元，则每个的销售利润为（79﹣m﹣59）元，平均每天可售出（8+2m）个， 由题意得：（79﹣m﹣59）（8+2m）＝256， 整理得：m2﹣16m+48＝0， 解得：m1＝12，m2＝4（不符合题意，舍去）， ∴79﹣m＝79﹣12＝67， 答：销售价定为每个767元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元． 声号：49576819【题型7】工程问题 1．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多（9m﹣2）万元，求m的值． 【解答】解：（1）设甲施工x米，则乙施工（2100﹣x）米， 由题意得：， 解得：x≤900， 答：甲最多施工900米； （2）由题意得：（8+m）（6）+9（6）＝6×（8+9）+9m﹣2， 整理得：m2﹣4m+4＝0， 解得：m1＝m2＝2， 答：m的值为2． 2．我市开展城乡环境整治，绿化美化群众生活环境．某社区计划对面积为1000m2的裸露地块统一进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；若两队分别独立完成300m2的绿化时，甲队比乙队少用3天． （1）求甲，乙两个工程队每天能完成绿化的面积； （2）两队合作完成此工程，若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.2万元，且要求两队施工的天数之和不超过16天，应如何安排甲，乙两队施工的天数，才能使施工总费用最低？并求出最低费用的值． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为x m2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2x m2， 依题意得：3， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×50＝100． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2． （2）设应安排甲工程队施工m天，则安排乙工程队施工（20﹣2m）天， 依题意得：m+20﹣2m≤16， 解得：m≥4． 设施工总费用为w万元，则w＝0.6m+0.2（20﹣2m）＝0.2m+4， ∵0.2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝4时，w取得最小值，最小值＝0.2×4+4＝4.8，此时20﹣2m＝20﹣2×4＝12． 答：应安排甲工程队施工4天，乙工程队施工12天，才能使施工总费用最低，最低费用为4.8万元． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/21 15:59:01；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程-出门测 一．选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+3＝0 B．2x+y＝1 C．y＝x2﹣1 D． 2．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k＝0 D．k＞﹣1且k＝0 3．如果关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式2021﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2018 B．2018 C．﹣2024 D．2024 5．若关于x的方程有两个相等的实数根，则6n2﹣9n+2024的值为（　　） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 6．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（　　） A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256 C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256 7．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣2x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 8．根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是（　　） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x2+4x﹣3 ﹣1.24 ﹣0.75 ﹣0.24 0.29 0.84 A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.8 9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（　　） ①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则方程必有一根为1；②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题 11．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　 ． 12．已知x＝1是一元二次方程x2﹣ax+2＝0的解，则a的值为 　 　 ． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　 ． 14．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则m+n+3mn的值为 　 　 ． 三．计算题 15．解方程： （1）x2+2x﹣1＝0； （2）． 16．解方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）． 17．解方程： （1）； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 18．解方程： （1）； （2）4x2﹣8x+3＝0． 四．解答题 19．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了m元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了10m元，请求出m的值． 21．端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润＝售价﹣进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 一元二次方程出门测 参考答案与试题解析 一．选择题 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+3＝0 B．2x+y＝1 C．y＝x2﹣1 D． 【解答】解：A．属于一元二次方程，符合题意； B．属于一元二次方程，不符合题意； C．属于二元二次方程，不符合题意； D．属于分式方程，不符合题意； 故选：A． 2．关于x的方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≥﹣1且k＝0 D．k＞﹣1且k＝0 【解答】解：当k＝0时，方程化为2x﹣1＝0，解得x； 当k≠0时，Δ≥0时，方程有两个实数解，即22﹣4k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0， 综上所述，k的范围为k≥﹣1． 故选：B． 3．如果关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0有两个不相等的实数根， ∴1+4a＞0， ∴a． 故选：B． 4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则代数式2021﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2018 B．2018 C．﹣2024 D．2024 【解答】解：将x＝1代入原方程得：a+b+3＝0， ∴a+b＝﹣3， ∴2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021+3＝2024． 故选：D． 5．若关于x的方程有两个相等的实数根，则6n2﹣9n+2024的值为（　　） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 【解答】解：根据题意得Δ＝（n）2﹣4（n﹣1）＝0， 整理得2n2﹣3n+3＝0， 所以2n2﹣3n＝﹣3， 所以6n2﹣9n+2024＝3（2n2﹣3n）+2024＝3×（﹣3）+2024＝2015． 故选：A． 6．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（　　） A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256 C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256 【解答】解：∵每轮传染平均一个人传染x人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝256． 故选：C． 7．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x，则根据题意列出的符合题意的方程是（　　） A．100（1﹣2x）＝81 B．100（1+2x）＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．81（1+x）2＝100 【解答】解：由题意可得， 81（1+x）2＝100， 故选：D． 8．根据下列表格的对应值，估计方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是（　　） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x2+4x﹣3 ﹣1.24 ﹣0.75 ﹣0.24 0.29 0.84 A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.8 【解答】解：∵x＝0.6时，x2+4x﹣3＝﹣0.24＜0；x＝0.7时，x2+4x﹣3＝0.29＞0， ∴当x取0.6～0.7之间的某一个数时，x2+4x﹣3＝0， ∴方程x2+4x﹣3＝0的一个解的范围是0.6＜x＜0.7． 故选：C． 9．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的序号有（　　） ①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1； ②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【解答】解：①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1．故①正确； ②若方程的两根为﹣1和2，则有a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴4a+2（a+c）+c＝0， ∴6a+3c＝0， ∴2a+c＝0，故②正确； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．c＝0上，不成立，故③错误； ④若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；则2， ∴两根之和为2， ∵一个根大于2， ∴另一个根必是负数，故④正确； ⑤若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则． 若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则bx0+c＝0， ∴a2abx0+ac＝0， ∴4a24abx0＝﹣4ac， ∴4a24abx0+b2＝b2﹣4ac， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故⑤正确； 故选：C． 10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则方程必有一根为1；②若方程的两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若2a+b＝0，且方程有一根大于2，则另一根必为负数；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：①若a+b+c＝0，那么ax2+bx+c＝0一定有一个根是1，故①正确； ②若方程的两根为﹣1和2，则a﹣b+c＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝a+c， ∴4a+2（a+c）+c＝0， ∴6a+3c＝0， ∴2a+c＝0，故②正确； ③若2a+b＝0，则， ∵方程有一根大于2， ∴另一个根必是负数，故③正确； ④若x0是一元二次方程的根，则， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故选：A． 二．填空题 11．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+2＝0有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 　m＜3且m≠1　 ． 【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝16﹣4（m﹣1）×2＞0， 解得：m≠1，m＜3， 所以k的范围为m＜3且m≠1． 故答案为：m＜3且m≠1． 12．已知x＝1是一元二次方程x2﹣ax+2＝0的解，则a的值为 　3　 ． 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2﹣ax+2＝0的解， ∴1﹣a+2＝0， ∴a＝3． 故答案为：3． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵方程ax＝2是关于x的一元二次方程， ∴a2+1＝2，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．若m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则m+n+3mn的值为 　0　 ． 【解答】解：因为m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根， 所以m+n＝3，mn＝﹣1， 所以m+n+3mn＝3+3×（﹣1）＝0． 故答案为：0． 三．计算题 15．解方程： （1）x2+2x﹣1＝0； （2）． 【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0； 移项：x2+2x＝1； 配方：x2+2x+1＝1+1； （x+1）2＝2， x+1， x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）． ， 1﹣x+1＝2（x﹣2）， 2﹣x＝2x﹣4， ﹣3x＝﹣6， x＝2， 将检验x＝2是增根，原分式方程无解． 16．解方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0； （2）． 【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0； 2x2﹣4x＝1， x2﹣2x， x2﹣2x+1＝1， （x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）， 2（x+2）+6x＝3（x﹣2）， 2x+4+6x＝3x﹣6， 5x＝﹣10， x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是增根，原分式方程无解． 17．解方程： （1）； （2）2x2﹣4x﹣7＝0． 【解答】解：（1）两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16， 整理，得：﹣4x+8＝16， 解得x＝﹣2， 当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0， 所以原分式方程无解； （2）∵2x2﹣4x﹣7＝0， ∴2x2﹣4x＝7， 则x2﹣2x， ∴x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 18．解方程： （1）； （2）4x2﹣8x+3＝0． 【解答】解：（1）1， x（x﹣2）+x+2＝x2﹣4， x2﹣2x+x+2＝x2﹣4， x＝6， 检验：x＝6时，x+2＝8≠0， ∴x＝6是分式方程的解； （2）4x2﹣8x+3＝0， （2x﹣1）（2x﹣3）＝0， 2x﹣1＝0或2x﹣3＝0， ∴x1，x2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/21 20:07:27；用户：nsczsx3；邮箱：nsczsx3@xyh.com；学号：495768 四．解答题 19．炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元．为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． （1）专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ （2）为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台A空调，60台B空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店A空调每台利润180元，B空调每台利润160元；乙连锁店A空调每台利润150元，B空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的A空调每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台A空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台B空调利润，设调往甲连锁店的A型空调m台，总利润为y元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【解答】解：（1）设每台空调降价x元． （400﹣x）×（505）＝30000， 即（400﹣x）（50+0.5x）＝30000， ∴x2﹣300x+20000＝0． ∴x＝100或200． 又秉承扩大销量的原则， ∴x＝200． 答：每台降价200元． （2）由题意，设调配甲连锁店A空调x台，则调配给甲连锁店B空调（70﹣x）台，调配给乙连锁店A空调（40﹣x）台，B空调（x﹣10）台， ∴y＝（180﹣a）x+160（70﹣x）+150（40﹣x）+140（x﹣10）， 即y＝（10﹣a）x+15800． 又由题意得，，， ∴10≤x≤40，0＜a＜20． ∴当0＜a＜10时，10﹣a＞0，函数y随x的增大而增大，故当x＝40时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调40台，B空调30台，乙连锁店A空调 0台，B空调30台； 当a＝10时，x的取值在10≤x≤40内时所有方案利润相同； 当10＜a＜20时，10﹣a＜0，函数y随x的增大而减小，当x＝10时，总利润达到最大，即调配给甲连锁店A空调10台，B空调60台，乙连锁店A空调30台，B空调0台． 20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，共花费5720元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了m元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了10m元，请求出m的值． 【解答】解：（1）设七月计划购买x本书籍甲，则购买（100﹣x）本书籍乙． 根据题意得：68x+50（100﹣x）＝5720， 解得：x＝40， ∴100﹣x＝100﹣40＝60． 答：七月计划购买40本书籍甲，60本书籍乙； （2）根据题意得：（68﹣m）（40m）+50[100﹣（40m）]＝5720﹣10m， 整理得：m2﹣6m＝0， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝6． 答：m的值为6． 21．端午节吃粽子是中国人民的传统习俗．五月初利民副食店购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子，其中鲜肉粽进价为15元/袋，售价为27元/袋，蜜枣粽进价为10元/袋，售价为19元/袋．利民副食店用660元购进鲜肉粽、蜜枣粽两种粽子共50袋．（注：利润＝售价﹣进价） （1）求购进鲜肉粽、蜜枣粽各多少袋？ （2）临近端午节，蜜枣粽售完，鲜肉粽还有剩余．副食店决定端午节当天对鲜肉粽降价销售，如果按原价销售，平均每天可售2袋．经调查发现，鲜肉粽每降价1元，平均每天可多售2袋．剩余的鲜肉粽在降价当天全部售完，50袋粽子共获利506元，每袋鲜肉粽应降价多少元？ 【解答】解：（1）设购进鲜肉粽x袋，蜜枣粽y袋， 由题意得：， 解得：， 答：购进鲜肉粽32袋，蜜枣粽18袋； （2）设每袋鲜肉粽应降价m元，则降价当天售（2+2m）袋， 由题意得：18×（19﹣10）+（27﹣m﹣15）（2+2m）+（27﹣12）[32﹣（2+2m]＝506， 整理得：m2+m﹣20＝0， 解得：m1＝4，m2＝﹣5（不符合题意，舍去）， 答：每袋鲜肉粽应降价4元． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $