第一单元：解一元二次方程（同步练习）人教版2023-2024学年九年级数学上册

第一单元：解一元二次方程（精编练习+答案）人教版2023-2024学年九年级数学上册 【知识分析】 一元二次方程是初中阶段的最后一个方程，也是十分重要，十分灵活的一种方程。它对后面二次函数的学习也是至关重要的。那么想学好解一元二次方程的方法，首先需要清楚什么是一元二次方程？ 其概念就是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ，这是一元二次方程最基本，也最常用的方程形式。而恰好许多解方程的运用技巧也是从一般式去入手的。 一元二次方程是初中各种运算的综合体，需要用到的知识方法比较多。比如要先理解平方根的相关知识要点；要熟练掌握一元一次方程的各种解法；还需要清楚因式分解的各种方法等等。只有先熟悉了这些知识内容来进行解一元二次方程，才能熟练自如、游刃有余。 接下来，为了能更好地介绍如何解一元二次方程，结合一些资料从而设计出热门常考的一元二次方程的五大类型题目，并进行相关的解法分析。 【优选练习】 题目类型一：直接开平方法解一元二次方程 （1）（x﹣1）20 （2） （x+2）20 （3） （2x+1）2＝（x+2）2 （4）x2﹣9（x﹣2）2＝0 （5） x2﹣4＝5﹣ax2（a≠-1） 题目类型二：用配方法解一元二次方程 （6） x24x+3＝0 （7） （8）2x2﹣4x﹣3＝0 (9) 2x2﹣3x+2＝0 题目类型三：用公式法解一元二次方程 (10) t2﹣1＝﹣4t (11) x+2＝（x﹣1）（2x+2） (12) x2﹣2x+2＝0 （13） 2x2﹣6x+5＝0 题目类型四：用因式分解法解一元二次方程 （14）： x﹣3＝2x（x﹣3） （15）： （2﹣x）+（x﹣2）2＝0 （16）： （x+5）2＝（1﹣3x）2 （17）： x2 +6x＝9+2x2 （18）： 3x2 +5x＝x+12+2x2 题目类型五：用换元法解一元二次方程 （19）： （20）： （x2+2）2﹣x2﹣4＝0 参考答案 题目类型一：直接开平方法解一元二次方程 （1）（x﹣1）20 解： （x﹣1）20 （x﹣1）2 （x﹣1）2 x﹣1＝± ∴x1，x2 （2） （x+2）20 解：（x+2）20 （x+2）2 （x+2）2 X+2＝± ∴x1，x2 （3） （2x+1）2＝（x+2）2 解：（2x+1）2＝（x+2）2 ∴2x+1＝x+2或2x+1＝﹣x﹣2 ∴x1＝1，x2＝﹣1 （4）x2﹣9（x﹣2）2＝0 解：x2＝9（x﹣2）2 x＝±3（x﹣2） ∴x＝3x-6或x＝﹣3x+6， ∴x1＝3，x2 （5） x2﹣4＝5﹣ax2（a≠-1） 解： x2+ax2＝5+4 （a+1）x2＝9 x2 ∴当a+1＞0，即a＞-1时，x＝±± 当a+1＜0，即a＜-1时，无解 【解题分析总结】 根据平方根的意义，用直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平 方法，主要是要注意被开方的数须是非负数。直接开平方化一元方程为两个 一元一次方程；然后解出这两个一元一次方程得到原方程的解。 题目类型二：用配方法解一元二次方程 （6） x24x+3＝0 解： x24x3 x24x （x）2 x±1 ∴x1，x2 （7） 解： （x）2＝25 x＝±5 ∴x5或x5 ∴x1＝5，x2＝5 （8）2x2﹣4x﹣3＝0 解： 2x2﹣4x＝3 x2﹣2x x2﹣2x+1212 （x﹣1）2 x﹣1＝± x＝1± ∴x1＝1，x2＝1 (9) 2x2﹣3x+2＝0 解：∵2x2﹣3x＝﹣1 ∴x2x ∴x2x （x）2， x±， ∴x ∴x1＝1，x2＝ 【解题分析总结】 将一元二次方程配方成的形式，再用直接开平方法求解，这种 解一元二次方程的方法就叫配方法。配方法解一元二次方程时，一定先要把 左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以 进一步开方即可求出方程的解；如果右边是一个负数则判定此方程无实数解， 无需再解。 题目类型三：用公式法解一元二次方程 (10) t2﹣1＝﹣4t 解：方程整理得：t2+4t﹣1＝0 ∵a＝1，b＝4，c＝﹣1 ∴Δ＝42﹣4×1×（﹣1） ＝16+4 ＝20 ∴ t ∴ t1，t2 (11)