1.4.1用向量法证明平行、垂直问题难点训练微专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用向量法证明平行，垂直问题难点训练微专题(解析版) 突破通法： 1.证明平行 （1）证明线线平行:找出两条直线的方向向量,利用共线向量定理证明. （2）证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面;③证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行. 注意:需要验证直线不在平面内. （3）证明面面平行:①证明两个平面的法向量平行;②证明一个平面的法向量与另一个平面内不共线的两个向量垂直;③转化为线线平行、线面平行问题. 2.证明垂直 （1）证明线线垂直:找出两条直线的方向向量,证明两方向向量垂直. （2）证明线面垂直:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直. （3）证明面面垂直:①证明两个平面的法向量垂直;②证明一个平面内存在一条直线的方向向量为另一个平面的一个法向量. 3.求平面法向量的方法与步骤 （1）待定系数法:①设平面的法向量为;②选取平面内两个不共线的向量,;③联立方程组并求解;④令一个坐标为非零常数（如）,确定平面的一个法向量. （2）观察法:若几何体中存在所求平面的垂线,只需说明或证明线面垂直,则该直线的方向向量就是所求平面的一个法向量. 微专题训练 一、单选题 1．已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 2．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法，设出法向量，取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，可得答案. 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分别求出的坐标，利用空间向量共线的充要条件即可求出结果. 【详解】由题意得， 因为， 所以，解得. 故选：B. 4．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 5．在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（    ） A． B． C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为 【答案】B 【分析】利用向量垂直的条件，即可判断A；通过计算向量的数量积判断其位置关系，即可判断B；利用法向量的定义，即可判断C，利用向量的夹角公式求出，进而求解三角形的面积，即可判断D． 【详解】因为，，，， 所以，，，． 对于A：，所以，故A正确； 对于B：，所以，故B错误； 对于C：由A、B可得：，，所以是平面的一个法向量， 故C正确； 对于D：因为，，所以， 所以，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为，故D正确． 故选：B 6．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】依题意得，所以，即可求解． 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得. 故选：D 7．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，则，解得，A错误； 对于B，由，得，则，解得，B错误； 对于C，由，得，， 则，则或，C错误； 对于D，由，得，， 则，则，D正确. 故选：D 8．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量共线，即可列方程求解. 【详解】因为，所以，从而设，即， 由于为空间内三个不共面的向量， 所以解得所以． 故选：B 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（    ） A．设为空间的一组基底，且则四点共面 B．若非零向量，满足则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 【答案】BCD 【分析】根据共面向量定理的推论判断A，由平行向量的定义判断B，由法向量定义判断C，由单位向量定义判断D． 【详解】为空间的一组基底，若共面，则且， 又所以，矛盾，所以不共面，A错； 都是非零向量，，则与方向相同或相反，同理，与方向相同或相反， 所以与方向相同或相反，从而，B正确； 由法向量的定义知C正确； 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点到这个直线的距离都等于1，终点构成一个球面，D正确． 故选：BCD． 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断BD的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判断C的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断A的正误. 【详解】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以共线，所以，故D错误； 故选：AC． 11．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【分析】应用空间向量数量积公式计算判断A，B，应用线面垂直判定定理结合法向量定义判断C，应用向量减法及模长公式计算判断D. 【详解】对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项正确； 对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确； 对于D：因为，所以，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【答案】或 【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解. 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 13．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 14．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则 ． 【答案】 【分析】根据两平面垂直，则法向量垂直，进而由数量积坐标运算求解. 【详解】因为平面平面，所以， 即，解得． 故答案为：. 四、解答题 15．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【详解】（1） 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以．                     因为是正三角形，D是中点，所以．                     又，，平面，所以平面． （2）解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以．             由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以．             设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2．                 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，．             设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得．                 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 16．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； 方法二：建立空间直角坐标系，利用平行向量的性质，证明与平面中某一向量平行即可得证． （2）方法一：证明也是平面的一个法向量即可； 方法二：由（1）知平面，再证明平面，结合面面平行的判定即可得证. 【详解】（1）以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 方法一：设正方体的棱长为2，则. 由正方体的性质知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于，则，所以． 又平面，所以平面． 方法二：设正方体的棱长为2，，． 由于，，，故， 又平面，故平面． （2）方法一：由于，， 则， 所以也是平面的一个法向量， 又平面，则平面与平面不重合， 所以平面平面． 方法二：由于，，则，所以， 又平面，平面，所以平面． 由（1）知平面，又与相交于点， 所以平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用向量法证明平行，垂直问题(学生版) 突破通法： 1.证明平行 （1）证明线线平行:找出两条直线的方向向量,利用共线向量定理证明. （2）证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面;③证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行. 注意:需要验证直线不在平面内. （3）证明面面平行:①证明两个平面的法向量平行;②证明一个平面的法向量与另一个平面内不共线的两个向量垂直;③转化为线线平行、线面平行问题. 2.证明垂直 （1）证明线线垂直:找出两条直线的方向向量,证明两方向向量垂直. （2）证明线面垂直:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直. （3）证明面面垂直:①证明两个平面的法向量垂直;②证明一个平面内存在一条直线的方向向量为另一个平面的一个法向量. 3.求平面法向量的方法与步骤 （1）待定系数法:①设平面的法向量为;②选取平面内两个不共线的向量,;③联立方程组并求解;④令一个坐标为非零常数（如）,确定平面的一个法向量. （2）观察法:若几何体中存在所求平面的垂线,只需说明或证明线面垂直,则该直线的方向向量就是所求平面的一个法向量. 微专题训练 一、单选题 1．已知空间向量与共线，则（    ） A．-1 B． C． D．1 2．已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 5．在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（    ） A． B． C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为 6．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 7．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知为空间内三个不共面的向量，平面和平面的法向量分别为和，若，则（    ） A．5 B． C．3 D． 二、多选题 9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（    ） A．设为空间的一组基底，且则四点共面 B．若非零向量，满足则有 C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 11．已知向量，，，则下列说法正确的是（    ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 三、填空题 12．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 13．设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 14．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则 ． 四、解答题 15．如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求的长． 16．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明： (1)平面； (2)平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $