2.6一元二次方程的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版九年级上册数学

2.6一元二次方程的应用同步练习 一．选择题（共10小题） 1．“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝133 3．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 4．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（　　）人参加聚会． A．4 B．5 C．6 D．7 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+42＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝42 D．x（10﹣x）＝42 6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景图的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程式（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50+2x）（80+x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 7．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 第8题图 第9题图 第10题图 9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取.则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0）的图解，若，则a的值为（　　） A．10 B．12 C．8 D．14 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　 　 ． 12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 　 　 ． 13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　 米． 14．小明在与Deepseek对话中输入如图所示的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 　 　 ． 15．点M在线段AB上，若AM2＝AB•MB（AM＞MB），那么MB：AM的值为 　 　 ． 16．如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 　 　 cm3． 三．解答题（共7小题） 17．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 18．在平面内，两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，…，由此，我们可以得到直线交点数量与直线条数之间的规律．那么直线将平面分成的区域的数量与直线的条数是否有同样的规律呢？ 【提出问题】n条直线最多将平面分成多少个区域？ 【实验探究】准备一张白纸，在白纸上依次画直线，将有关信息记录在表中： 摆放方式 直线条数 最多可以把平面分成的区域数 1 2 2 　 　 3 　 　 4 　 　 （1）将表格补充完整； （2）求出10条直线最多可以将平面分成多少个区域？ （3）假设平面足够大，最少使用多少条直线，可以把平面分成121个区域？ 19．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽AB为多少米？ 20．某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 21．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到0.1）（参考数据：） 22．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 23．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 2.6一元二次方程的应用同步练习 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A C B C B B 一．选择题（共10小题） 1．“绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车年销售量为690万辆．预计2024年新能源汽车销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．690（1+x）2＝1166 B．1166（1﹣x）2＝690 C．690+690（1+x）2＝1166 D．1166（1﹣2x）＝690 【解答】解：根据题意得：690（1+x）2＝1166． 故选：A． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（　　） A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝133 【解答】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x•x＝x2个， 那么根据题意可列出方程为：1+x+x2＝133． 故选：C． 3．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【解答】解：∵篱笆的总长为18米，AB的长为x米， ∴BC的长为18+2﹣3x＝（20﹣3x）米． 根据题意得：x（20﹣3x）＝40． 故选：D． 4．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，经计算得出有（　　）人参加聚会． A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设有x个人参加聚会，根据题意得， x（x﹣1）＝20， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴共有5个人参加聚会． 故选：B． 5．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”其大意为：“一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”（备注：1丈＝10尺）如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（　　） A．x2+42＝（10﹣x）2 B．（10﹣x）2+42＝x2 C．x2+（10﹣x）2＝42 D．x（10﹣x）＝42 【解答】解：如图所示： 由题意得：∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2． 故选：A． 6．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景图的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程式（　　） A．（50+x）（80+x）＝5400 B．（50+2x）（80+x）＝5400 C．（50+2x）（80+2x）＝5400 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400 【解答】解：由题意可得， （50+2x）（80+2x）＝5400， 故选：C． 7．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：根据题意得：Sn（n+1）． ∵S＝66， ∴n（n+1）＝66， 解得：n1＝11，n2＝﹣12（舍去）． 故选：B． 8．如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 9．在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的图解法是：如图，作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，，AC＝b，在斜边上截取.则AD的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程x2+ax＝64（a＞0）的图解，若，则a的值为（　　） A．10 B．12 C．8 D．14 【解答】解：∵， ∴设BD＝3n，AD＝2n， 则BC＝3n，AB＝5n， ∴AC4n， ∵x2+ax＝64＝82， 4n＝8， ∴n＝2， ∴BC＝3×2＝6， ∴6， ∴a＝12， 故选：B． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点P，Q分别从A，B两点出发沿AC，BC方向向终点C匀速运动，其速度均为2cm/s．设运动时间为t s，则当△PCQ的面积是△ABC的面积的一半时，t的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意得：（16﹣2t）（12﹣2t）16×12， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t＝2或t＝12， 当t＝2时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意； 当t＝12时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去； ∴t＝2， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为 　1+x+x（1+x）＝121　 ． 【解答】解：第一轮传染后患流感的人数为：x人， 第二轮传染后患流感的人数为：1+x+x（1+x）， 经过两轮传染后共有121人患了流感， 可列方程为：1+x+x（1+x）＝121． 故答案为：1+x+x（1+x）＝121． 12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 　13　 ． 【解答】解：设参加会议有x人， 依题意得：x（x﹣1）＝78， 整理得：x2﹣x﹣156＝0 解得x1＝13，x2＝﹣12，（舍去）． 答：参加这次会议的有13人， 故答案为13． 13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　 米． 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 14．小明在与Deepseek对话中输入如图所示的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 　2　 ． 【解答】解：设这个数为x， 由题意得：x2﹣3x+4＝x， 整理得：x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2， 故答案为2． 15．点M在线段AB上，若AM2＝AB•MB（AM＞MB），那么MB：AM的值为 　　 ． 【解答】解：设AB＝1，则MB＝1﹣AM， 由题意得：AM2＝1×（1﹣AM）， 整理得：AM2+AM﹣1＝0， 解得：AM或AM（不符合题意，舍去）， ∵AM2＝AB•MB， ∴， 故答案为：． 16．如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 　48　 cm3． 【解答】解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm， 依题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24， 整理得：x2﹣11x+18＝0， 解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）． ∴该纸盒的体积为2×4×6＝48（cm3）； 故答案为：48． 三．解答题（共7小题） 17．为确保广大民众能够用上价格实惠的药品，医保局与药品供应商进行了多次谈判协商．其中，某药品原价为每盒200元，经过两次相同百分率的降价后，价格降至每盒128元．求每次降价的百分率． 【解答】解：设每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品每盒为200（1﹣x）元，第二次降价后药品每盒为200（1﹣x）2元， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）． 答：每次降价的百分率为20%． 18．在平面内，两条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，…，由此，我们可以得到直线交点数量与直线条数之间的规律．那么直线将平面分成的区域的数量与直线的条数是否有同样的规律呢？ 【提出问题】n条直线最多将平面分成多少个区域？ 【实验探究】准备一张白纸，在白纸上依次画直线，将有关信息记录在表中： 摆放方式 直线条数 最多可以把平面分成的区域数 1 2 2 　4　 3 　7　 4 　11　 （1）将表格补充完整； （2）求出10条直线最多可以将平面分成多少个区域？ （3）假设平面足够大，最少使用多少条直线，可以把平面分成121个区域？ 【解答】解（1）根据图形得：当有1条直线时，分成2个区域， 当有2条直线时，最多分成2+2＝4个区域， 当有3条直线时，最多分成2+2+3＝7个区域， 当有4条直线时，最多分成2+2+3+4＝11个区域， ……， 当有n条直线时，最多分成2+2+3+4+……+n＝[1]个区域， 故答案为：4，7，11； （2）当有10条直线时，最多分成2+2+3+……+101＝56个区域， 答：出10条直线最多可以将平面分成56个区域； （3）设最少使用x条直线，可以把平面分成121个区域， 由题意得：1＝121， 解得：x＝15或x＝﹣16（不合题意，舍去）， 答：最少使用15条直线，可以把平面分成121个区域． 19．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽AB为多少米？ 【解答】解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：160（1+x）2＝250， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（51+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（51+2×2﹣3y）＝250， 整理得：3y2﹣55y+250＝0， 解得：， 当时，BC的长为：（米）＞28米，不合题意，舍去， 当y＝10时，BC的长为：51+2×2﹣3y＝51+2×2﹣3×10＝25（米）＜28米，符合题意， ∴AB＝10米， 答：场地的宽AB为10米． 20．某地一村民，2022年承包种植橙子树100亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植144亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率； （2）某水果批发店销售该种橙子，经市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【解答】解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由到2024年一共种植144亩得： 100（1+x）2＝144， ∴（1+x）2＝1.44， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（负根舍去）， 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：y2﹣2y﹣24＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 21．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到0.1）（参考数据：） 【解答】解：已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），设门的宽为x尺，则门的高为（x+6）尺， 由题意得：x2+（x+6）2＝102， 解得：，（舍去）， ∴门的高为（尺）， 答：门的高和宽各是9.4尺和3.4尺． 22．某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600， 整理得：x2﹣80x+1500＝0， 解得：x1＝30，x2＝50（不符合题意，舍去）， 答：每件商品的售价应定为30元． 23．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2﹣ax+25a﹣150＝0有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（100﹣2a）（60﹣2a）＝4a2﹣320a+6000； （2）由已知可列式：100×60﹣（100﹣2a）（60﹣2a）100×60， 解得：a1＝5，a2＝75（舍去），所以通道的宽为5米； （3）∵方程x2﹣ax+25 a﹣150＝0有两个相等的实根， ∴Δ＝a2﹣25a+150＝0，解得：a1＝10，a2＝15， ∵5≤a≤12， ∴a＝10． 设修建的花圃的造价为y元，y＝55.625S； 当a＝10时，S花圃＝80×40＝3200（m2）；y花圃＝3200×55.625＝178000（元）， S通道＝100×60﹣80×40＝2800（m2）；y通道＝2800×50＝140000（元）， 造价和：178000+140000＝318000（元）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $