第五章 一元一次方程 全章分节课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，涵盖盈不足问题、生产配套问题等典型情境，通过设未知数、找等量关系、列方程并求解的完整流程，构建从现实问题到数学建模的学习支架，前后知识衔接自然，层层递进。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，体现“数学眼光”“数学思维”与“数学语言”的融合运用。例如在鸽笼问题中引导学生从生活现象抽象出数量关系，用符号表达等量关系，再通过逻辑推理求解，强化了模型意识和运算能力。教学设计注重真实情境驱动，如快递员派送、小面加工厂配套等案例，既提升学生应用意识，又帮助教师高效开展探究式教学，促进学生深度理解与迁移应用。

第1课时　等式的基本性质 数学七年级上册（B） 1.等式 含有　 　的式子叫作等式。表示形式是把两个数或式子用“=”连接起来。  2.等式的基本性质 (1)基本性质1:等式的两边都　 　(或　 　)同一个代数式,所得结果仍是等式。用字母表示:若a=b,则a±c=　 　。  (2)基本性质2:等式的两边都　 　同一个数(或　 　 同一个不为　　的数),所得结果仍是等式。用字母表示:若a=b,则ac=　　;= 　(m≠0)。  等号 加 减 b±c 乘 除以 0 bc 数学七年级上册（B） 2 注意:等式的基本性质2中,除以的同一个数一定是非零数。 (3)等式具有对称性和传递性:若a=b,则　 　;若a=b,b=c,则　 　。  3.利用等式的基本性质解一元一次方程 解关于x的方程:ax+b=c(a≠0)。 先利用等式的基本性质1:ax+b-b=c-b,即ax=c-b,再利用等式的基本性质2:=,即x=。 b=a a=c 数学七年级上册（B） 3 (1)根据等式的性质判断,下列变形正确的是(　　) A.由-x=y得x=2y B.由3x-2=2x+2得x=4 C.由2x-3=3x得x=3 D.由ax=5a得x=5 (2)下列变形:①若x=y,则x+5=y-5;②若a=b,则ac=bc;③若ac=bc,则a=b;④若a=b,则=。其中正确的有　 　。(填序号)  [易错点拨] 利用等式的基本性质1变形时,要注意符号的变化及同一个数(或代数式)。利用等式的基本性质2变形时,要注意等式两边同时除以的同一个数一定要非零! B ②④ 数学七年级上册（B） 4 1.根据等式的性质,下列变形正确的是(　 　) A.若x=y,则x+c=y-c B.若ab=bc,则a=c C.若=,则a=b D.若+=1,则3x+2x=1 2.(2025·成都期末)如图,两台天平都保持平衡,则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为　 　。 C 3 数学七年级上册（B） 5 解下列方程: (1)2x-4=0; 解:方程的两边都加4,得 2x-4+4=0+4。 化简,得2x=4。 方程的两边都除以2,得x=2。 (2)x+15=8; 解:方程的两边都减15,得 x+15-15=8-15。 化简,得x=-7。 方程的两边都乘3,得x=-21。 数学七年级上册（B） 6 (3)2y+3=11-6y。 解:方程的两边都加(6y-3),得 2y+3+6y-3=11-6y+6y-3。 化简,得8y=8。 方程的两边都除以8,得y=1。 [知识点拨] 利用等式的基本性质解方程,实质就是将方程一步步转化为x=a的形式。 数学七年级上册（B） 7 3.填空: (1)如果x=4,那么x=　 　,依据是　 ;  (2)如果x=3x+2,那么x-　 　=2,依据是　 　。  4.解下列方程: (1)5x+4=0; 解:方程的两边都减4,得5x=-4。 方程两边都除以5,得x=-。 6 等式的基本性质2　 等式的基本性质1 3x 数学七年级上册（B） 8 (2)2-x=3; 解:方程的两边都减2,得-x=1。 方程的两边都乘-4,得x=-4。 (3)x-1=x+3。 解:方程的两边都加,得x=4。 方程的两边都乘6,得x=24。 数学七年级上册（B） 9 $第2课时　解不含括号的一元一次方程 数学七年级上册（B） 1.移项法则 把原方程中的某一项　 后,从方程的一边移到另一边,这种变形称为移项。其变形的理论依据是　 。  2.解不含括号的一元一次方程的步骤 (1)移项:把含未知数的项移到一边,把常数项移到另一边;(注意:移项要变号!) (2)合并同类项:通过合并同类项,方程化为ax=b(a,b均为常数,且a≠0)的形式; (3)系数化为1:两边都除以a,方程化为x=(a≠0)。(依据是等式的基本性质2) 改变符号　 等式的基本性质1　 数学七年级上册（B） 2 解下列方程: (1)3x+8=4-x; 解:移项,得3x+x=4-8。 合并同类项,得4x=-4。 系数化为1,得x=-1。 (2)4x+5=3x+3-2x。 解:移项,得4x-3x+2x=3-5。 合并同类项,得3x=-2。 系数化为1,得x=-。 [方法点拨] 解此类方程,一般先把未知项移到左边,把常数项移到右边,然后合并同类项,再把x的系数化为1。 数学七年级上册（B） 3 1.在解方程3x-5=-x+1时,下面移项正确的是(　　) A.3x+x=5+1 B.3x-x=-5-1 C.1-5=-3x+x D.3x+x=5-1 2.解下列方程: (1)2-x=4x-8; 解:移项,得-x-4x=-8-2。 合并同类项,得-5x=-10。 系数化为1,得x=2。 (2)10x+7=8x+1; 解:移项,得10x-8x=1-7。 合并同类项,得2x=-6。 系数化为1,得x=-3。 (3)x-5=1-x。 解:移项,得x+x=1+5。 合并同类项,得x=6。 A 数学七年级上册（B） 4 (1)若关于x的方程5x-6=-3x+10和3x-2m=10的解相同,则m的值为(　 　) A.-2 　 B.2 C.- D. (2)若两个关于x的方程-6x=-2与5x-2k=3的解互为倒数,则k的值为　 　。  A 6 数学七年级上册（B） 5 (3)如图,初三年级准备制作一个长8.5 m的横幅,横幅内容定为16个字,对横幅的有关数据作如下规定:每个字的字宽是相同的,每两个字之间的字距均相等,边空宽∶字宽∶字距=3∶4∶1,试求横幅字距是多少? 解:设边空宽为3x m,字宽为4x m,字距为x m。 根据题意,得2×3x+16×4x+15x=8.5, 解得x=0.1。 答:横幅字距为0.1 m。 数学七年级上册（B） 6 3.(1)(2025·成都树德)若关于x的方程x-1=2与=1的解相同,则a的值为　 　;  (2)已知关于x的方程5m+2x=1+x的解比关于x的方程2x+m=3m的解大3,则m=　 。  4.甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书,已知这三位同学捐赠图书册数的比是5∶8∶9,如果他们共捐374本,那么这三位同学各捐书多少本?(列一元一次方程解答) 8 -　 解:设甲捐书5x本,则乙捐书8x本,丙捐书9x本。 根据题意,得 5x+8x+9x=374,解得x=17, 则5x=85,8x=136,9x=153。 答:甲捐书85本,乙捐书136本,丙捐书为153本。 数学七年级上册（B） 7 $第2课时　一元一次方程的应用(二) 数学七年级上册（B） 1.盈不足问题 关键是找等量关系:一共两个等量关系,一个用来设未知数,另外一个用来列方程。 例:古代一歌谣:栖树一群鸦,鸦树不知数。三只栖一树,五只没去处;五只栖一树,闲了一棵树。请你仔细数,鸦树各几何? 分析:①若设树的数量为x棵,则鸦的数量可表示为　 　只,还可表示为　 只,则可得方程　 。  ②若设鸦的数量为y只,则树的数量可表示为  棵,还可表示为  　棵,则可得方程  。  (3x+5) 5(x-1)　 3x+5=5(x-1)　 　 =+1　 数学七年级上册（B） 2 2.生产配套问题 例:某车间有14名工人,每人每天可以生产300个螺栓或800个螺母,1个螺栓配2个螺母,为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套,应分别安排生产螺栓和螺母的工人各多少名? 分析:设安排x名工人生产螺栓,则安排　 名工人生产螺母,根据1个螺栓配2个螺母可知,　 　数量=　 　数量×2,可列方程为　 。  (14-x)　 螺母 螺栓 2×300x=800(14-x)　 数学七年级上册（B） 3 几个人共同种一批树苗,如果每人种10棵树苗,那么剩下6棵树苗未种;如果每人种12棵,那么缺6棵树苗。求参与种树苗的人数。 解:设参与种树苗的有x人,根据题意,得 10x+6=12x-6,解得x=6。 答:参与种树苗的有6人。 数学七年级上册（B） 4 (2025·重庆南岸区)在《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。问人数、金价各几何?”题目大意:今有人合伙买金,每人出钱400,会多出3 400钱;每人出钱300,会多出100钱,问合伙人数、金价各是多少?设合伙人数为x人,则根据题意,可以得到的方程为(　 　) A.400x+3 400=300x-100 B.400x-3 400=300x-100 C.400x+3 400=300x+100 D.400x-3 400=300x+100 B 数学七年级上册（B） 5 1.有一群鸽子和一些鸽笼。如果每个鸽笼住6只鸽子,则剩余3只鸽子无鸽笼可住;如果再飞来5只鸽子,连同原来的鸽子每个鸽笼刚好住8只鸽子,问原有多少只鸽子和多少个鸽笼? 解:设有x个鸽笼,根据题意,得 6x+3=8x-5,解得x=4, 所以6x+3=27。 答:原有27只鸽子和4个鸽笼。 数学七年级上册（B） 6 2.(2025·成都育才)近年来,网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每个快递员派送12件,还剩6件;若每个快递员派送15件,则差9件。问该分派站有多少名快递员? 解:设该分派站有m名快递员。 根据题意,得12m+6=15m-9,解得m=5。 答:该分派站有5名快递员。 数学七年级上册（B） 7 (2025·重庆南开 )小面是重庆的特色美食,某速食小面加工厂有50名工人生产速食小面料包,已知每袋速食小面里有1个汤料包和3个配料包,每名工人每天可以生产400个汤料包或800个配料包,为使每天生产的汤料包和配料包刚好配套,则需要多少名工人生产汤料包? 解:设需要x名工人生产汤料包,则需要(50-x)名工人生产配料包。 根据题意,得3×400x=800(50-x), 解得x=20。 答:需要20名工人生产汤料包。 数学七年级上册（B） 8 3.用142张白铁皮做罐头盒,每张白铁皮可制盒身15个或盒底41个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。设把x张白铁皮制盒身,则可列方程为　 。  4.某服装厂要生产一批某种型号的工作服,一件上衣和一条裤子为一套,已知3 m长的某种布料做上衣2件或裤子3条,计划用600 m长的这种布料生产工作服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?一共能生产多少套? 2×15x=41(142-x)　　　　　　 解:设用x m布料生产上衣,则用(600-x)m布料生产裤子。由题意,得 =,解得x=360, 则600-x=240。 一共能生产:360×2÷3=240(套)。 答:用360 m布料生产上衣,用240 m布料生产裤子才能恰好配套,一共能生产240套。 数学七年级上册（B） 9 $1　认识方程 数学七年级上册（B） 1.方程的概念 含有未知数的表示量相等的等式称为方程。 2.一元一次方程的概念 在一个方程中,只含有　 　个未知数,且方程中的代数式都是　 　,未知数的次数都是　 　,这样的方程叫作一元一次方程。一元一次方程的一般形式:ax+b=0(a,b为常数且a≠0)。  注意:①一元一次方程的条件:含一个未知数、未知数的次数为1、是等式、是整式; ②判断一元一次方程应观察最终结果,如:2(x-1)+1=2x不是一元一次方程。 一 整式 1 数学七年级上册（B） 2 3.方程的解 使方程左、右两边的值　 　的未知数的值,叫作方程的解。求方程的解的过程称为解方程。  4.列一元一次方程的一般步骤 (1)设:设出合适的未知数; (2)表:用含有未知数的式子表示题中的等量关系; (3)列:根据题目中的等量关系列出方程。 相等 数学七年级上册（B） 3 (1)下列　 　是一元一次方程;(填序号)  ①3x-2=7;②2x-3y=0;③3x2-2x-1=0;④-1=3;⑤2x2=3x+2(x2-1);⑥2x+3=3(x+1)-x;⑦x+3<3。 (2)若x2m-1-6=0是关于x的一元一次方程,则m的值是　 　;  (3)若(m-3)=6是关于x的一元一次方程,则m=　 　。 ①⑤ 1 -3 数学七年级上册（B） 4 1.下列是一元一次方程的是(　　) A.x+2y=3 B.x+2=0 C.x2-2x+1=0 D.+=1 2.(1)已知方程(m-2)x-1=0是关于x的一元一次方程,则m的取值范围为　 　;  (2)已知方程2xm+2-3m=4是关于x的一元一次方程,则m=　 　;  (3)若关于x的方程(m+1)+6=0是一元一次方程,则m的值为　 　。 B m≠2 -1 1 数学七年级上册（B） 5 (1)下列方程的解是x=2的是(　　) A.4x+8=0 B.-x+=0 C.x=2 D.1-3x=5 (2)一元一次方程x-2=-2x+▲中的部分数字被墨渍污染,翻看答案知此方程的解为x=1,则被墨渍污染的数字“▲”为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B A 数学七年级上册（B） 6 3.下列方程的解是x=3的有(　　) ①-2x-6=0;②=5;③2(x-3)=0;④x=x-2。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如果x=-2是关于x的方程ax+b=5-2x的解,那么3-4a+2b=　 　。  C 21 数学七年级上册（B） 7 5.检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解,并写出检验过程。 (1)2x+5=10x-3　(x=1); (2)2(x-1)-(x+1)=3(x+1)-(x-1)　(x=0)。 解:(1)当x=1时, 左边=2×1+5=2+5=7,右边=10×1-3=10-3=7, 左边=右边, ∴x=1是此方程的解。 (2)当x=0时, 左边=2×(0-1)-×(0+1)=-2-=-, 右边=3×(0+1)-×(0-1)=3+=, 左边≠右边, ∴x=0不是此方程的解。 数学七年级上册（B） 8 根据题意列方程(不必求解): (1)某数比它的2倍小3,求某数; 解:设某数为x,则由题意,得x=2x-3。 (2)工人甲每天比工人乙多生产40个零件,若工人甲工作16天,工人乙工作24天,共生产8 640个零件,则甲、乙两人每天各生产多少个零件? 解:设工人甲每天生产x个零件,则工人乙每天生产(x-40)个零件。 由题意,得16x+24(x-40)=8 640。 数学七年级上册（B） 9 (3)一个两位数,十位上的数字是个位上的数字的两倍,将这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27,求这个两位数。 解:设原来的两位数的个位上的数字为x,则十位上的数字为2x,这个两位数是20x+x。 根据题意,得20x+x=10x+2x+27。 [方法点拨] 根据题意列方程的一般步骤:设未知数→找等量关系→列出方程。 数学七年级上册（B） 10 6.根据下列条件,设未知数,列出方程(不必求解)。 (1)某数比它的大,求某数; 解:设某数为x,则由题意,得x-x=。 (2)甲队有54人,乙队有66人,问:从甲队调给乙队多少人,能使甲队人数是乙队人数的? 解:设从甲队调给乙队x人,则调动后甲队有(54-x)人,乙队有(66+x)人。由题意,得 54-x=(66+x)。 数学七年级上册（B） 11 $　问题解决策略：直观分析 数学七年级上册（B） 1.商品销售和利润问题中常用的关系式 (1)利润=售价-成本价(进价); (2)利润率=×100%; (3)商品销售额=商品销售价×商品销售量; (4)商品的销售利润=(销售价-成本)×销售量 =销售总额-总成本; (5)售价=标价×, 售价=进价+进价×利润率=进价×(1+利润率)。 数学七年级上册（B） 2 例:一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,求每件服装的成本价。 分析:设每件服装的成本价为x元,则每件服装的标价为　 元,每件服装的实际售价为　 元,每件服装的利润为　 元,由此,可列出方程为　 。  2.利用一元一次方程解决问题时,借助表格和示意图可以直观分析问题,使问题中的数量关系更加清晰。 3.借助适当的图表,可以直观、形象地呈现数量关系,使复杂的数量关系变得清晰明了,从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 (1+40%)x　 0.8×(1+40%)x　 [0.8×(1+40%)x-x]　 0.8(1+40%)x-x=15　 数学七年级上册（B） 3 某超市第一次用5 000元购进甲、乙两种商品,其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件,甲、乙两种商品的进价和售价如下表:   甲 乙 进价(元/件) 20 30 售价(元/件) 30 41 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后,一共可获得多少利润? 解:(1)设第一次购进甲种商品x件,则购进乙种商品件。根据题意,得 20x+30=5 000,解得x=130,所以x+15=80。 利润:(30-20)×130+(41-30)×80=2 180(元)。 答:一共可获得2 180元利润。 数学七年级上册（B） 4 (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其中甲种商品的件数增加10件,乙种商品的件数是第一次的2倍,乙种商品按原价销售,甲种商品打折销售,第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多140元,求第二次甲种商品是按原价打几折销售的。 (2)设第二次甲种商品是按原价打y折销售的。 根据题意,得(130+10)×+80×2×(41-30)=2 180+140,解得y=8。 答:第二次甲种商品是按原价打八折销售的。 数学七年级上册（B） 5 1.春节,即农历新年,是一年之岁首、传统意义上的年节。春节历史悠久,由上古时代岁首祈年祭祀演变而来。为了喜迎新春,某工厂计划生产A,B两种喜迎新春产品共140件,其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件。 (1)工厂计划生产A,B两种新春产品各多少件? 解:(1)设工厂计划生产B种产品x件,则生产A种产品(3x-20)件。根据题意,得 3x-20+x=140,解得x=40,则3x-20=100。 答:工厂计划生产A种产品100件,B种产品40件。 数学七年级上册（B） 6 (2)现工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品。甲种材料的单价为每千克5元,乙种材料的单价为每千克3元,采购员小李分两次购买完所需的材料,第一次购买两种材料共200千克,受市场价格影响,第二次购买时甲种材料的单价为每千克4元,乙种材料的单价不变。 ①设采购员第一次购买甲种材料m千克,完成下列表格: 类型 第一次购买 数量(千克) 第二次购买 数量(千克) 总共需要购 买数量(千克) 甲 m 　 　  380 乙 　 　  　 　  180 (2)①补充表格如表。 380-m m-20 200-m 数学七年级上册（B） 7 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元,则采购员第一次购买甲种材料多少千克? ②第一次购买材料的费用为 5m+3(200-m)=600+2m(元), 第二次购买材料的费用为 4(380-m)+3(m-20)=1 460-m(元), 则1 460-m=600+2m+500,解得m=120。 答:采购员第一次购买甲种材料120千克。 数学七年级上册（B） 8 (1)某校七年级六个班举行拔河比赛,要求每班要与其他各班进行一场比赛,一共要举行　 　场比赛;  解析:(1)此问题可看作平面内有6个点(无三点共线的情况),经过每两点画一条直线,画图如图1,则一共可以画=15(条)直线。 15 数学七年级上册（B） 9 (2)有70名学生参加数学、语文考试,满分均为150分,数学考试得90分及以上的有56人,语文90分及以上的有62人,都不及格(90分以下)的有4人,则两门考试都得90分及以上的有　 　人。  (2)根据题意画图如图2,数≥90或语≥90有70-4=66(人),数、语都≥90有56+62-66=52(人)。 52 数学七年级上册（B） 10 2.开学时,老师为了让全班新同学互相认识,请班上42位新同学每两个人都相互握一次手,全班同学总共握手　 　次。  861 数学七年级上册（B） 11 $第4课时　解含分母的一元一次方程 数学七年级上册（B） 1.去分母的方法 依据等式的性质2,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,将分母去掉,化为整数系数。 2.去分母的依据:　 。  注意:①分子如果是多项式,要先加上　 　,再去分母。②整数项不要漏乘分母的　 　,特别是整数1更容易漏乘。③分母中含有的小数要先利用　 将其转化为整数,再去分母。  等式的性质2　 括号 最小公倍数 分数的性质　 数学七年级上册（B） 2 3.解一元一次方程的一般步骤 　 、　 、　 　、　 、　 。  通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化,这个过程主要是依据等式的基本性质和运算律等。 4.分数线的双重作用 一是代替　 　,二是代替　 　。若分子是多项式,去分母后,应将分子作为一个整体加上　 　,再乘相应的数。  去分母　 去括号　 移项 合并同类项　 除号 括号 括号 未知数的系数化为1　 数学七年级上册（B） 3 解下列方程: (1)-2=; 解:去分母,得3(3x+1)-12=2(2x-1)。 去括号,得9x+3-12=4x-2。 移项,得9x-4x=-2-3+12。 合并同类项,得5x=7。 系数化为1,得x=。 (2)3x+=3-; 解:去分母,得18x+3(x-1)=18-2(2x-1)。 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2。 移项,得18x+3x+4x=18+2+3。 合并同类项,得25x=23。 系数化为1,得x=。 数学七年级上册（B） 4 (3)-2=-; 解:去分母,得5(3x+1)-20=3x-2-2(2x+3)。 去括号,得15x+5-20=3x-2-4x-6。 移项,得15x-3x+4x=-2-6-5+20。 合并同类项,得16x=7。 系数化为1,得x=。 (4)=-1。 解:系数化整,得 =-1。 去分母,得2(2x-1)=3(x+10)-6。 去括号,得4x-2=3x+30-6。 移项,得4x-3x=30-6+2。 合并同类项,得x=26。 数学七年级上册（B） 5 1.在解方程+x=时,方程两边同时乘6,去分母后,正确的是(　　) A.2x-1+6x=3(3x+1) B.2(x-1)+6x=3(3x+1) C.2(x-1)+x=3(3x+1) D.(x-1)+x=3(x+1) B 数学七年级上册（B） 6 2.解下列方程: (1)-x=; 解:x=-。 (2)x-=-3; 解:x=-38。 (3)-x=1-; 解:x=。 (4)-2=。 解:x=。 数学七年级上册（B） 7 若关于x的方程x-=有正整数解,则所有满足条件的整数m的值之和为(　　) A.-24 B.-5 C.5 D.24 [分析] 将方程整理,可得(m+4)x=4。因为方程有正整数解,所以x=是正整数,所以m+4的值可以为1或2或4,由此可得整数m的值。 B 数学七年级上册（B） 8 3.若关于x的方程x-=-1有整数解,则所有满足条件的整数a的值之和为(　 　) A.-24 B.-32 C.-16 D.-12 4.已知关于y的方程+m=1与y-m=3的解相同,则m=  　。  B 数学七年级上册（B） 9 $第3课时　一元一次方程的应用(三) 数学七年级上册（B） 1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 2.行程问题中的三个基本量及其关系 路程=速度×时间;时间=路程÷速度;速度=路程÷时间。 数学七年级上册（B） 2 3.基本类型 (1)相遇问题:两者所行路程和=两地距离。 (2)追及问题:①同地不同时出发:慢者先行的路程+慢者后行的路程=快者追及的路程;②同时不同地出发:慢者行的路程+相距路程=快者行的路程。 (3)列车过桥(或隧道、站台)问题:列车所行路程=车长+桥长(或隧道长、站台长)。 (4)航行问题:①顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度;②逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度。 (5)环形跑道问题:①同时同地同向出发:快者追上慢者时比慢者多跑一圈;②同时同地反向出发:两者相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。 (6)错车问题(相遇问题):相遇路程=两车车长和;超车问题(追及问题):追及路程=两车车长和。 数学七年级上册（B） 3 甲、乙两站相距450 km,一列慢车从甲站开出,每小时行60 km,一列快车从乙站开出,每小时行90 km。 (1)两车同时开出,相向而行,多少小时两车相遇? 解:(1)设x h两车相遇。 根据题意,得60x+90x=450, 解得x=3。 答:两车同时开出,相向而行,3 h两车相遇。 [分析] (1)两地之间的距离=快车行驶的路程+慢车行驶的路程; 数学七年级上册（B） 4 (2)两车同时开出,背向而行,多少小时两车相距750 km? [分析](2)两车之间的距离=两地之间的距离+慢车行驶的路程+快车行驶的路程; (2)设y h两车相距750 km。 根据题意,得60y+90y+450=750, 解得y=2。 答:两车同时开出,背向而行,2 h两车相距750 km。 数学七年级上册（B） 5 (3)设快车开出z h后追上慢车。 根据题意,得60+60z+450=90z, 解得z=17。 答:慢车先开出1 h,快车在慢车后面,快车开出17 h后追上慢车。 (3)两车同向而行,慢车先开出1 h,快车在慢车后面,快车开出多少小时后追上慢车? [分析](3)两地之间的距离+慢车行驶的路程=快车行驶的路程。 [方法点拨] 相遇和追及问题通常可画出示意图(线段)帮助分析,以便于列出方程。相遇问题的相等关系一般是s甲+s乙=s总,追及问题的相等关系一般是s快-s慢=s差。 数学七年级上册（B） 6 1.某市在11月组织了机器人编程比赛,比赛当天某中学参赛学生统一坐校车前往国博中心参赛,由于需要带上相应装备,杨老师自行驾车前往。两车同时出发,杨老师的平均车速比校车的平均车速快10 km/h,已知杨老师到国博中心需要48 min,校车到国博中心需要1 h(两车线路一致)。 (1)求杨老师的平均车速; 解:(1)设杨老师的平均车速为x km/h,则校车的平均车速为(x-10)km/h。由题意,得 x=(x-10)×1,解得x=50。 答:杨老师的平均车速是50 km/h。 数学七年级上册（B） 7 (2)杨老师出发27 min后发现还有装备忘记带了,于是立刻掉头按原路原速返回学校(掉头时间忽略不计),当杨老师与校车相遇时,校车距离国博中心还有多远。 (2)设相遇的时间为t h。由题意,得 50×-50=(50-10)t,解得t=0.5。 ∴校车距离国博中心还有40×(1-0.5)=20(km)。 答:当杨老师与校车相遇时,校车距离国博中心还有20 km。 数学七年级上册（B） 8 一轮船在甲、乙两码头间往返航行,顺水航行需3 h,逆水航行需5 h,已知水流速度为4 km/h,求甲、乙两码头之间的距离。 [分析] 此题有两个等量关系:①顺水航行路程=逆水航行路程;②v顺-v水=v逆+v水=v船。 解法一:设静水速度为x km/h,用等量关系“顺水航行路程=逆水航行路程”列方程: 3(x+4)=5(x-4),解得x=16。 所以甲、乙两码头之间的距离为 3×(16+4)=60(km)。 解法二:设甲、乙两码头之间距离为y km,用等量关系“v顺-v水=v逆+v水”列方程: -4=+4,解得y=60。 答:甲、乙两码头之间的距离为60 km。 数学七年级上册（B） 9 2.一架战斗机的储油量最多够它在空中飞行4.6 h,飞机出航时顺风飞行,在无风时速度为575 km/h。若风速是25 km/h,则这架飞机最多飞出　 km就应返回。  1 320　 数学七年级上册（B） 10 一条环形跑道长400 m。甲练习骑自行车,平均每分钟行550 m;乙练习跑步,平均每分钟行250 m,两人同时同地出发。 (1)若两人背向而行,则他们经过多长时间首次相遇? [分析] (1)在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题,等量关系为:甲的路程+乙的路程=400 m; 解:(1)设经过x min首次相遇。根据题意,得 550x+250x=400,解得x=。 min=30 s。 故两人背向而行,他们经过30 s首次相遇。 数学七年级上册（B） 11 (2)若两人同向而行,则他们经过多长时间首次相遇? [分析](2)两人同向而行相遇属于追及问题,等量关系为:甲的路程-乙的路程=400 m。 (2)设经过y min首次相遇。根据题意,得 550y-250y=400,解得y=。 min=80 s。 故两人同向而行,他们经过80 s首次相遇。 数学七年级上册（B） 12 3.运动场环形跑道周长为400 m,小林跑步的速度是爷爷跑步的速度的2倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5 min后小林第一次与爷爷相遇,则小林的速度是　 　m/min。  4.如图,甲、乙二人同时沿着边长为90 m的正方形按A→B→C→D→A的方向行走,甲从A以65 m/min的速度行走,乙从B以72 m/min的速度行走,当乙第一次追上甲时,是在正方形的哪条边上? 解:设乙第一次追上甲用了x min。根据题意,得 72x=65x+90×3, 解得x=。 72×=7×360+2×90。 所以乙第一次追上甲时,是在正方形的AD边上。 160 数学七年级上册（B） 13 一座桥长1 000 m,一列火车从车头上桥到车尾离桥用了1 min时间,整列火车完全在桥上的时间为40 s。求火车的长度及行驶速度。 [分析] “从车头上桥到车尾离桥”告诉我们所要考虑的路程应是桥与火车的长度之和,而“火车完全在桥上”的路程为桥与火车的长度之差。这类问题最好是确定一个点观察,即将车头或车尾看成一点。 解:设火车的行驶速度为x m/s,则 火车的长度为(60x-1 000)m或(1 000-40x)m。 列方程,得60x-1 000=1 000-40x, 解得x=20。 所以火车的长度为60×20-1 000=200(m)。 答:火车的长度为200 m,行驶速度为20 m/s。 数学七年级上册（B） 14 5.一列火车要穿过一条长1 400 m的隧道,火车的速度为30 m/s,测得该辆火车从开始进隧道到完全通过共用1 min,则火车的长度为 (　 　) A.300 m B.400 m C.500 m D.800 m 6.高速公路上,一辆长4 m、速度为110 km/h的轿车准备超越一辆长12 m、速度为100 km/h的卡车,则轿车从车头与卡车车尾平齐到车尾与卡车车头平齐,这个超越过程需要花费的时间是多少? 解:设需要花费的时间为x h,根据题意,得 110x=100x++, 解得x=0.001 6。 0.001 6 h=5.76 s。 答:这个超越过程需要花费的时间是5.76 s。 B 数学七年级上册（B） 15 $第1课时　一元一次方程的应用(一) 数学七年级上册（B） 形积问题概述 在形积变化问题中,虽然形状、面积和体积都可能发生变化,但其中仍会含有一个相等关系。因此,要通过分析题意,找出相等关系,列出方程。此类问题常见的有以下几种情况: (1)形状发生了变化,而体积不变。相等关系:变化前后体积相等; (2)形状、面积发生了变化,而周长不变。相等关系:变化前后周长相等; (3)形状、体积不同,但根据题意能找出面积之间的关系,把这个关系作为相等关系。 注意:应学会“变中找不变”“不变中找变”的数学思想方法。 数学七年级上册（B） 2 用直径为4 cm的圆钢,铸造三个直径为2 cm,高为16 cm的圆柱形零件,问:需要截取多长的圆钢?(不考虑损耗) [分析] 由于不考虑损耗,所以截取的圆钢的体积=3个圆柱形零件的体积之和。 解:设需要截取x cm长的圆钢。根据题意,得 π×(4÷2)2×x=3×π×(2÷2)2×16, 解得x=12。 答:需要截取12 cm长的圆钢。 数学七年级上册（B） 3 1.在一个底面直径为4 cm、高为20 cm的量筒内装满水,再将量筒内的水全部倒入底面直径为6 cm、高为4 cm的烧杯内,至少需要　　个烧杯。  2.把一块长、宽、高分别为5 cm,3 cm,3 cm的长方体木块,浸没在底面半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水),水面将增高多少?(不外溢,结果精确到0.1 cm) 解:设水面将增高x cm。根据题意,得 5×3×3=π×42×x, 解得x≈0.9。 答:水面将增高约0.9 cm。 3 数学七年级上册（B） 4 一个长方形的养鸡场的一边靠墙,墙长9 m,其他三边用竹篱笆围成,现有长为24 m的竹篱笆,小王打算用它围成一个鸡场,其中长比宽多3 m,则按照他的设计,鸡场的面积是多少平方米? [分析] 此题有两种围法,一是长靠墙,二是宽靠墙,故要分两种情况讨论。 解:设宽为x m,则长为(x+3)m。 ①长靠墙来围成长方形时, x+3+2x=24,解得x=7, 则长为x+3=10>9, 故不能围成一个鸡场; 数学七年级上册（B） 5 ②宽靠墙来围成长方形时, x+2(x+3)=24,解得x=6, 则长为x+3=9, 故可以围成一个鸡场。 此时S=9×6=54(m2)。 答:按照小王的设计,鸡场的面积为54 m2。 [知识点拨] 此题是形状改变,周长不变问题,抓住形状改变后图形的周长的求法是解题的关键。另外此题涉及分类讨论思想及实际问题的条件限制,解题时要仔细体会。 数学七年级上册（B） 6 3.用一根长50 cm的铁丝围成一个长方形。 (1)如果长方形的长比宽的2倍少2 cm,求这个长方形的面积; 解:(1)设这个长方形的宽为x cm,则长为(2x-2) cm。 由题意,得(x+2x-2)×2=50,解得x=9, ∴2x-2=2×9-2=16, ∴这个长方形的面积是16×9=144(cm2)。 答:这个长方形的面积是144 cm2。 数学七年级上册（B） 7 (2)如果长方形的长与宽之比为3∶2,求这个长方形的面积。 (2)设长为3a cm,则宽为2a cm。 由题意,得(3a+2a)×2=50,解得a=5, ∴3a=3×5=15,2a=2×5=10, ∴这个长方形的面积是15×10=150(cm2)。 答:这个长方形的面积是150 cm2。 数学七年级上册（B） 8 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的周长是32 cm,求小长方形的面积。 解:设小长方形的宽为x cm,则长为3x cm。根据题意,得 ×2=32,解得x=2。 所以3x=6。 所以小长方形的面积为6×2=12(cm2)。 答:小长方形的面积是12 cm2。 数学七年级上册（B） 9 4.如图所示,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,又在剩下的长方形中剪去一个宽为5 cm的长条。若两次剪下去的长条面积正好相等,想一想,原来正方形纸片的边长是多少? 解:设正方形的边长为x cm。 根据题意,得4x=5(x-4), 解得x=20。 答:原来正方形纸片的边长为20 cm。 数学七年级上册（B） 10 $第3课时　解含有括号的一元一次方程 数学七年级上册（B） 1.去括号法则 将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体,运用乘法对加法的分配律和有理数的乘法法则,与括号内的各项相乘。 (1)当括号外的因数是正数时,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。即:+k(a+b+c)=ka+kb+kc。 (2)当括号外的因数是负数时,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。即:-k(a+b+c)=-ka-kb-kc。 注意:①不要漏乘括号里的项;②不要弄错符号。 数学七年级上册（B） 2 例:化简:(1)1-(2a-1)-(3a+3)=　 ;  (2)3-2(3x-5)=　 ;  (3)5-2y-[y-2(1-4y)]=　 。  2.解含有括号的一元一次方程的一般步骤 (1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项; (4)系数化为1。 注意:在具体解方程的过程中,有些变形可能用不到,并且也不一定按顺序进行,要根据方程的形式,灵活安排求解步骤。 -5a-1　 -6x+13　 -11y+7　 数学七年级上册（B） 3 解下列方程: (1)2-2(x-2)=3(x-3); 解:去括号,得2-2x+4=3x-9。 移项,得-2x-3x=-9-2-4。 合并同类项,得-5x=-15。 系数化为1,得x=3。 数学七年级上册（B） 4 (2)x-2[x-3(x+4)-6]=1; 解:解法一:去小括号,得 x-2(x-3x-12-6)=1。 去括号,得x-2x+6x+24+12=1。 移项,得x-2x+6x=1-24-12。 合并同类项,得5x=-35。 系数化为1,得x=-7。 解法二:去中括号,得 x-2x+6(x+4)+12=1。 去小括号,得x-2x+6x+24+12=1。 移项,得x-2x+6x=1-24-12。 合并同类项,得5x=-35。 系数化为1,得x=-7。 数学七年级上册（B） 5 (3)=1。 [方法提炼] 去括号时,要注意:若括号前是“-”号,则括号里的每一项都要改变符号。若有多层括号,从内向外或从外向内依次去括号,可结合具体题目选择最佳方式。 解:去中括号,得-8=1。 去小括号,得x-2-8=1。 移项,得x=1+2+8。 合并同类项,得x=11。 系数化为1,得x=55。 数学七年级上册（B） 6 1.方程2(x-3)=6的解是　 　。  2.解下列方程: (1)3(x-1)+2=4(x-1); 解:移项,得3(x-1)-4(x-1)=-2。 将x-1看作一个整体, 合并同类项,得-(x-1)=-2, 即x-1=2。 移项并合并同类项,得x=3。 x=6 数学七年级上册（B） 7 (2)3(x-2)=x-(8-8x); 解:去括号,得3x-6=x-8+8x。 移项,得3x-x-8x=-8+6。 合并同类项,得-6x=-2。 系数化为1,得x=。 (3)=3x。 解:去中括号,得3(x+1)+x=3x。 去小括号,得3x+3+x=3x。 移项,得3x+x-3x=-3。 合并同类项,得x=-3。 数学七年级上册（B） 8 (1)一个两位数,个位、十位上的数字之和是5,如果把个位上的数字与十位上的数字对换可以得到比原数小9的两位数,则这个两位数是(　 　) A.14 B.23 C.32 D.41 (2)某学校买来大、小两种椅子共20把,共花去2 750元。已知大椅子每把150元,小椅子每把100元。问买了大、小椅子各多少把? C 解:设买了大椅子x把,则买了小椅子(20-x)把。 根据题意,得 150x+100(20-x)=2 750,解得x=15, 则20-x=5。 答:买了大椅子15把,小椅子5把。 数学七年级上册（B） 9 3.有一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数位上的数字的位置对换,那么所得的新数与原数的和是143,则这个两位数为　 　。  4.某人利用网络直播销售甲、乙两种商品,预计用4 600元购进一批商品,其中乙种商品的个数比甲种商品的3倍少30个,甲、乙两种商品的单价分别为20元/个、30元/个。问这批商品中甲、乙两种商品各有多少个? 49 解:设甲种商品有x个,则乙种商品有(3x-30)个。 根据题意,得20x+30(3x-30)=4 600, 解得x=50, 则3x-30=3×50-30=120。 答:这批商品中甲种商品有50个,乙种商品有120个。 数学七年级上册（B） 10 $