第三章 代数式 学历案 2025--2026学年人教版七年级数学上册

北京中学科技分校学历案 第三章 代数式 考点及课标要求 中考考点 核心素养 课标要求 用代数式表示数量关系 抽象能力 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 将具体的数代入代数式 运算能力 会把具体数代入代数式进行计算 知识体系构建 (以思维导图形式呈现) 课时学历案 课题 3.1.1代数式的意义 学习 目标 1.借助现实情境了解代数式，理解用字母表示数的意义(100%)． 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示(100%) 学习 重点 理解代数式的概念，并能说出具体代数式的意义 学习 难点 正确分析实际问题中的数量关系并用代数式表示 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用.看下面的问题. 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题: （1）该机器人10s能识别多大范围内的苹果?60s呢?ts呢? （2）该机器人识别n m²范围内的苹果需要多少秒? （3）若该机器人搭载了m个机械手（m>1），它与采摘工人同时工作1h，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果? 分析1：工作量、工作效率和工作时间之间的关系为 工作量=_________________________ 工作时间=__________________________ 工作效率=___________________________ 根据以上关系解决（1）、（2） 注意：数字与字母相乘，通常将乘号写作“”或省略不写，数字在前、字母在后. 分析2：对于（3），机器人多采摘的苹果个数 =机器人采摘的苹果个数一工人采摘的苹果个数 =一个机械手的采摘效率×工作时间×__________ －_____________×工作时间 =___________________________________________ =_________________ 下面，再来看两个用含有字母的式子表示数量和数量关系的问题. (1)某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队平均每天铺设的管道长度为________________; (2)一个正方形的边长是a，这个正方形的周长l是__________;面积S为_________. 注意：相同字母相乘，可以写成幂的形式 思考：上述问题中列出的式子5t，，450m－720，，4a，a²，有什么共同特征？ 定义：用__________把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 注意： 1.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，开方将在以后学习. 2.单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式. 例1.（1）苹果原价是p元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价的售价; （2）一个长方形的长是0.9m，宽是p m，用代数式表示这个长方形的面积; （3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量; （4）一个长方体水池底面的长和宽都是a m，高是h m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积. 合作 展示 交流 解疑 思考:用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.例如，在例1第(1)(2)题中，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积.你能再举出一个例子吗? 例2．说出下列代数式的意义:（运算的角度） （1）2a+3; （2）2(a十3); （3） （4）x²十2x十8. 例3：（1）2a+3的意义是a的2倍与3的和; 举例说明 2a＋3，2(a+3)所表示的实际问题中的数量关系. 【小结】 1.代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 注意：这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，开方将在以后学习； 单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式. 2. 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系. 练习1.填空题. (1)每包书有10册，6包书有______册，n包书有__________册; (2)王芳今年m岁，她去年_________岁,6年后________岁; (3)将p kg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入糖_______kg; (4)棱长为a的正方体的体积是_________. 2.说出下列代数式的意义: (1)2a+3c; (2)3(m－n); (3)a²+1; （4） 3.代数式 100-2x 可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明. 收获 反思 检测 反馈 1.说出下列代数式的意义: （1）3x+6; （2）5(m-2); （3）a²+b²; （4） 2.说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说明它们表示的实际问题中的数量关系: (1)2m－1与2(m－1); (2)与 3.(1)如图，一个手工串珠作品由5颗红色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子每颗a元，黑色珠子每颗b元，购买这些珠子共花费_______________元. (2)甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每天生产a t，乙车间每天生产b t.两车间各生产5天，一共生产______________t化工产品. 观察你所列的代数式，再举出一个用它表示数量或数量关系的例子. 【基础达标】： 1．用代数式表示a与-5的差的2倍是( ) A. a-(-5)×2 B. a+(-5)×2 C. 2(a-5） D. 2(a+5） 2．用字母表示有理数的减法法则是（ ） A. a-b=a+b B. a-b=a+(-b) C. a-b=-a+b D. a-b=a-(-b) 3．甲、乙两地距离是m千米，一汽车从甲地开往乙地，汽车速度为a千米/时，现走了一半路程，它所行的时间是( )． A. B. C. D. 4.《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3:2，有五种通用尺度(即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为，则这种尺度的国旗旗面的面积为__________ 5．两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是km/h，慢车行驶速度是km/h，3h后两车相距__________km． 6．按照规律填上所缺的代数式并回答问题： 、、、，________，__________； （1）试写出第2023个和第2024个代数式． （2）试写出第n个代数式． 7.如图，用小石子按一定规律摆出以下图形： 依照此规律，第n 个图形中小石子的个数是(n为正整数) . 课题 3.1.2列代数式 学习 目标 1.进一步理解用字母表示数的意义． 2.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需公式． 学习 重点 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 学习 难点 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 学 习 环 节 要点摘要 依据 目标 自学 思考 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式. 思考：如何用代数式表示a，b两数的和与差的积? 分析：a，b两数的和:____________ 它们的积: ____________ a， b两数的差:____________ 所以a，b两数的和与差的积为____________________ 注明：在本套书中，如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a－b”. 练习1.用代数式表示: (1)比a的2倍大1的数; (2)a的相反数与b的一半的差; (3)a的平方除以b的商. 例3 用代数式表示: (1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数. (2)把a元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元? (3)某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元? 分析:(1)总钱数=____________________________________________; (2) 利息=________×_________×__________; (3)现在的售价=_______________________________. 练习2.某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋.用代数式表示这个月内 销售这种商品的收入为__________. 练习3.有两块棉田，一块面积为m hm²(公顷，1hm²=m)，平均每公顷产棉花a kg;另一块面积为n hm²，平均每公顷产棉花b kg.用代数式表示两块棉田的棉花总产量. 例4.甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h. (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时? (2)如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时? 分析:本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系:时间=________ 另外，早到的时间=________________________________________________ 从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性. 练习4.在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm.用代数式表示剩余铁皮的面积. 收获 反思 检测 反馈 1. 用代数式表示: (1)m的2倍： (2)n的： (3)比x的2倍少1的数： (4)a的立方除以b的商： 2. 用代数式表示: (1)棱长为a的正方体的表面积. (2)位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前累计接待中外参观者a万人，预计今后每年平均接待参观者b万人，c年后累计接待的总人数为多少万人? (3)设银行一年定期存款的利率是1.5%，存人a元钱，一年后得到的利息是多少元?本息和(存人的钱与利息的和)是多少元? (4)甲、乙两地相距s km，李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时t h;后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前1h到达乙地，公交车的速度是多少? 【基础达标】： 1. 用代数式表示“x的3倍与y的平方的和”，正确的是( ) A . B. C. D . 2. 用代数式表示： （1）的3倍与3的差 ； （2）a与b的乘积的倒数 ； （3）a与b的差的平方 ； （4）a与b的平方差 ； （5）被5除商m余1的数 ； （6）除以商是5x的数 . 3．一个两位数，十位上的数字是x，个位上的数字是y，如果把十位上的数与个位上的数对调，所得的两位数是 . 【能力提升】 4．观察一组数:5，10，15，20，25，… (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的?用文字描述这组数可能的排列规律. (2)根据(1)中的规律，用代数式表示第个数. 5． （1）设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示任意一个偶数及任意一个奇数; （2）一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，用含a，b，c的代数式表示这个三位数. 6．3支球队进行单循环比赛(每两队之间都比赛一场)，总的比赛场数是多少?4支球队呢?5支球队呢?"支球队呢? 7. 观察下列图形： 　第1个图形　第2个图形　　第3个图形　　　　　　　第4个图形 　　它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中的五角星的个数为__________，第n个图形中的五角星(n为正整数)个数为 . 8．在一列数－2x，3x2，－4x3，5x4，－6x5…中，第k个数(k为正整数)是________，第2024个数是___________． 课题 3.1.3反比例关系 学习 目标 1.理解反比例关系的概念 2.经历用代数式表示实际问题中数量关系的过程，会根据反比例关系的概念判断两个量之间是否成反比例关系 教学 重点 反比例关系的概念理解. 教学 难点 判断实际问题中两个量之间是否成反比例关系. 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m²范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘.机器人ts能识别的范围是5tm，也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是______的(等于____).因此机器人能识别的范围与所用时间是成_________的量，它们成_________关系. 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是________________，它们成_________________.下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题. 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m.解答下列问题: (1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表 3.1-1. 表3.1-1 每天造雪量/m³ 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 分析：此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪量和造雪天数，它们之间有什么 关系？ （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 发现： 思考：（1）这种关系和成正比例关系有什么联系和区别？ （2）如何命名这种关系？ （3）尝试用文字语言定义这种关系. 定义：像这样，______个相关联的量，一个量变化，另一个量也____________，且这两个量的_____________，这两个量就叫作成___________的量，它们之间的关系叫作______________关系. 理解：（1）反比例关系是几个量之间的关系？ （2）如何理解“相关联”？ （3）何为“乘积一定”？ 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数. 判断：”成反比例关系的两个量中一定是一个量随另一个量的变大而变小.”说明判断理由. 例5．如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm²，20²cm，30²cm，60²cm.分别往这四个容器中注人 300 cm³的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x(单位:cm²)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系? 分析:(1)题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系: _________________________________________________ (2)存在哪些比例关系？如何判断、区分？ 思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗? 练习： 1.如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系?为什么? 2.判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由: (1)一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量; (2)长方体的体积一定，长方体的底面积与高; (3)购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用. 3.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的数与运输的天数之间的关系如下表所示. 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … （1）这批货物共有多少吨? （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的? （3）用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a 的关系.t与a 成什么比例关系? 收获 反思 检测 反馈 1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由: (1)200名同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数; (2)三角形的面积是6cm²，它的一条边的长与这条边上的高; (3)张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间. 2.糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示. 每袋装的颗数 10 20 18 20 24 … 总袋数 360 300 200 180 150 … (1)这批水果糖共有多少颗? (2)总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的? (3)用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m 的关系.n与m 成什么比例关系? 巩固 作业 【基础达标】： 1．用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为x m和y m. （1）当绳子的长为12m时，用式子表示y与x的关系. （2）当长方形的面积为12m²时，用式子表示y与x的关系. （3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗?当长方形的面积一定时呢?为什么? 【基础拓展】 2．甲、乙、丙3名同学阅读同一本书，丙的阅读时间最长. （1）甲读完这本书用了14天，每天读18页.乙读完这本书用了21天，每天读多少页?丙读完这本书用了x天，每天读多少页?他们读的天数和每天读的页数之间有什么关系? （2）两星期内，照这样的速度阅读t天，他们各读了多少页?还剩多少页?已读的页数和剩下的页数成反比例关系吗?为什么? 课题 3.2.1代数式的值（1） 学习 目标 1．会把具体数代入代数式进行计算. 2．会选择适当的方法求代数式的值. 教学 重点 会把具体数代入代数式进行准确计算． 教学 难点 会选择适当的方法快速准确求代数式的值 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 在解决具体问题时，列出代数式后，往往还需要求出所需的数值. 问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配5个，学校另外留 20个，学校总共需要购置多少个排球? (1)记全校的班级数是n，则需要购置的排球总数是_____________ (2)如果班级数是15，用15代替字母n，那么需要购置的排球总数是5n+20=____________=_______ (3)如果班级数是 20，用20代替字母______，那么需要购置的排球总数是 5n+20=____________=_______ 思考：n可以取2.5吗？－10呢？排球总数可能是43吗？ 合作 展示 交流 解疑 质疑 深化 巩固 提升 1.代数式的值定义： 一般地，用__________代替代数式中的__________，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值，当字母取不同的数值时，代数式的值一般__________. 例1.根据下列x，y的值，分别求代数式2x+3y的值: (1) x=15，y=12 ; (2) x=1，y= 例2.根据下列a，b的值，分别求代数式的值: （1） a=4，b=12; (2) a=－3，b=2. 练习1.填图: 2.根据下列x，y的值，分别求代数式x²+2xy+y的值: (1)x=2，y=－3 ; (2) x=，y=－4. 3.一辆汽车从甲地出发，行驶3.5km后，又以v km/h的速度行驶了t h，求这辆汽车行驶的全部路程.如果v=56，t=0.5，求汽车行驶的全部路程. 收获 反思 检测 反馈 1.填空题. (1)当a=－1时，代数式 2－a的值是_______; (2)当b=－号时，代数式1－b²的值是_______. 2.已知a=12，b=－18，求下表中代数式的值. 代数式 a+b a－b ab … 代数式的值 … 3.根据下列a，b的值，分别求代数式 a²+b²与(a+b)²的值: (1)a=3，b=－2; (2)a=－3，b=2. 4.求下列代数式的值: （1），其中n=4； （2），其中a=7，b=3，c=5. 5.已知圆锥的体积 ，其中r为底面半径，h为圆锥的高.当r=15cm，h=16 cm时，求圆锥的体积(π取 3.14). 6.A，B两地相距s km，甲、乙两人驾车分别以a km/h，b km/h的速度从 A地到 B地，且甲用的时间较少. (1)用代数式表示甲比乙少用的时间; (2)当s=180，a=72，b=60时，求(1)中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义. 7.摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度(F)来计量温度，二者可以互相转换.请你查阅有关资料，解决下列问题: (1)将25℃转换成华氏度; (2)将－4 ℉转换成摄氏度. 巩固作业 【基础达标】 1.根据下列a，b的值，分别求代数式a²－b²与(a－b)²的值: (1) a=－1，b=－3; (2) a=2，b=. 【基础拓展】 2.礼堂第1排有a个座位，后面每排都比前一排多1个座位. (1)第2排有多少个座位?第3排呢?用代数式表示第n排的座位数. (2)当a=20时，计算第19排的座位数. 3. 如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆4个图形需要__________枚棋子，摆n个图形需要__________枚棋子, 摆2000个图形需要__________枚棋子. 课题 3.2.2代数式的值（2） 学习 目标 1.用代数式表示实际问题中的数量关系. 2.用代数式进行计算解决实际问题． 教学 重点 用代数式进行计算解决实际问题 教学 难点 用代数式表示实际问题中的数量关系． 学习环节 学习摘要 依据 目标 自学 思考 有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.例如，在行程问题中，用s表示路程，v表示速度，t表示时间，就可以得到路程公式s=vt，它表示了路程、速度、时间这三个量之间的关系.知道v，t的值，就可以利用公式求出s的值.在小学，我们学习过许多公式，你能举出几个例子吗？ 例3．如图3.2-1，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为a，半圆形弯道的直径为b. (1)用代数式表示这条跑道的周长; (2)当a=67.3m，b=52.6m时，求这条跑道的周长(π取 3.14，结果取整数). 分析:跑道的周长=_________________________________________ 圆的周长=___________________ 合作 展示 交流 解疑 例 4 一块三角尺的形状和尺寸如图 3.2-2所示，用代数式表示这块三角尺的面积S.当a=10 cm，b=17.3cm，r=2cm时，求这块三角尺的面积(π取 3.14) 分析:三角尺的面积=___________________________. 其中涉及的公式有？ 质疑 深化 巩固 提升 练习1.如图，正方形ABCD 的边长为a. (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)当a=6，b=2时，求阴影部分的面积. 2.冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成. (1)若每根竹签穿5个山楂，穿n串冰糖葫芦需要多少个山楂?需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成什么比例关系? (2)若用200个山楂穿了b串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少?每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成什么比例关系? (3)若有a个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了b串冰糖葫芦，还剩余c个山楂，则每申冰糖葫芦的山楂个数是多少?当a=130，b=16，c=2时，求每串冰糖葫芦的山楂个数. 收获 反思 检测 反馈 练习1.填空题. (1)若a，b分别表示平行四边形的底和高，则面积S=________;当a=2cm，b=3cm时，S=________cm². (2)若a，b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则面积S=____________;当a=2cm，b=4cm，h=5cm时， S=________cm². 2.一个长方体纸箱的长是a，宽与高都是b，用代数式表示这个纸箱的体积V.当a=60cm，b=40 cm 时，求这个纸箱的体积. 巩固 作业 1.如图，用代数式表示圆环的面积，当R-15cm，r-10cm时，求圆环的面积(π取3.14). 2.一段钢管的形状和尺寸如图所示.如果大圆的半径是 R，小圆的半径是r，钢管的长度是a，用代数式表示这段钢管的体积V.当R=30mm，r=15 mm，a=120 mm时，求这段钢管的体积(π取 3.14). 学科网（北京）股份有限公司 $