11.5第2课时　公 式 法 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

11.5　因式分解 第2课时　公 式 法 第11章　整式的乘除 导入新课 复习引入 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？ 它们有什么关系？ 1. a(x+y)=ax+ay 2. ax+ay=a(x+y) 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： 讲授新课 运用平方差公式因式分解 一 想一想： 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式. ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 -(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 (x+5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1)(m-1) 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解:(1)原式= (2)原式 a b 典例精析 例2 分解因式： …………一提（公因式） ……二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 运用两数和（差）的平方公式因式分解 二 两数和（差）的平方公式: 两数和（差）的平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 凡具备这些特点的三项式，就是两数和（差）的平方式，将它写成两数和（差）的平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 3、a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² 2、m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1、x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？ m m - 3 a2 2 a b b2 ± . + . （ a ± b )² = 3 x 2 m 3 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和（差）的平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 下列各式是不是两数和（差）的平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例3 分解因式： （1）16x2+24x+9； 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + 32 = (4x + 3)2； （2）-x2+4xy-4y2. (2)-x2+ 4xy-4y2 = - (x2-4xy+4y2) = - (x -2y)2. 例4 把下列各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） = 3a（x+y）2； 分析：（1）中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）（a+b)2-12(a+b)+36. (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2. 12 例5 分解因式： 1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)² =1. 13 课堂小结 公式法因式分解 公式 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和（差）的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 1. 下列各式中,不能用公式法进行因式分解的为(　D　) A. 9x2-1 B. x2+8x+16 C. x2-12x+36 D. 4x2+9y2 2. 下列因式分解正确的是 (　D　) A. a2-81=(a-9)2 B. a2-6ab-9b2=(a-3b)2 C. 4a2+2ab+b2=(2a+b)2 D. (a-1)2-25b2=(a+5b-1)(a-5b-1) D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 将a3-9a分解因式的结果为(　A　) A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9) C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9) 4. 分解因式:2x2-4x+2= 　2(x-1)2　.  5. 已知m、n同时满足2m+n=3与2m-n=1,则4m2-n2的值为 　3　.  A 2(x-1)2　 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 把下列多项式分解因式: (1) 49m2-25n2. 解:原式=(7m+5n)(7m-5n). (2) x2- x+ . 解:原式= . (3) x2(x-2)-16(x-2). 解:原式=(x-2)(x2-16)=(x-2)(x+4)(x-4). (4) -x3y+10x2y-25xy. 解:原式=-xy(x2-10x+25)=-xy(x-5)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 小聪在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,抄在作业本上的式子为36x□-49y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数所有可能的结果有(　D　) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 已知正方形的面积是(16-8x+x2)cm2(x>4),则该正方形的周长是(　D　) A. (4-x)cm B. (x-4)cm C. (16-4x)cm D. (4x-16)cm D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 多项式mx2-m和多项式mx2-2mx+m的公因式为(　D　) A. x-1 B. x+1 C. m(x+1) D. m(x-1) 10. 如图,长为a、宽为b的长方形的周长为14(a>b),面积为10,那么a3b+ab3+2a2b2的值为(　D　) A. 70 B. 140 C. 2560 D. 490 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. (2024·淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用两数和(差)的平方公式因式分解,则m的值是 　±12　.  12. 若n为任意整数,且(n+17)2-n2的值总可以被k(k为正整数,且k≠1)整除,则k的值为 　17　.  13. 若x+y+3=0,则x(x+4y)-y(2x-y)的值为 　9　.  ±12　 17　 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. ★把下列各式分解因式: (1) x2(x-y)+y2(y-x). 解:原式=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)2. (2) 3a2(x+y)3-27a4(x+y). 解:原式=3a2(x+y)[(x+y)2-9a2]=3a2(x+y)(x+y+3a)(x+y-3a). (3) (x2+9y2)2-36x2y2. 解:原式=(x2+9y2+6xy)(x2+9y2-6xy)=(x+3y)2(x-3y)2. (4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 解:原式=(y2-1)(x2+2x+1) =(y+1)(y-1)(x+1)2. (5) -m(a2+2)2+6m(a2+2)-9m. 解:原式=-m[(a2+2)2-6(a2+2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m·(a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 已知a2-b2-5=0,c2-d2-2=0,求(ac+bd)2-(ad+bc)2的值. 解:∵ a2-b2-5=0,c2-d2-2=0,∴ (a+b)(a-b)=5,(c+d)(c-d)=2.∴ 原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+bd-ad-bc)=[c(a+b)+d(a+b)][c(a-b)-d(a-b)]=(a+b)(c+d)(a-b)(c-d)=(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)=5×2=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $