精品解析： 2025--2026学年苏科版九年级数学上册期末综合素养评价

2025~2026学年度第一学期 期末综合素养评价2 九年级数学（上册）· 苏科版（2012） 一、单选题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义逐项判断即可，即含有一个未知数，并且未知数的最高次幂是1的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：将方程整理，得，符合定义，所以A正确； 因为中未知数的最高次数是1次，不符合定义，所以B不正确； 因为不是整式方程，不符合定义，所以C不正确； 因为含有两个未知数，不符合定义，所以D不正确． 故选：A． 2. 一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（　　） A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果，再利用概率公式求解即可得出答案． 【详解】解：∵抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果， ∴第7次抛掷，点数1朝上的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “水中捞月”是必然事件 B. 相等的角是对顶角 C. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类、对顶角性质、点到直线的距离定义及概率的理解，逐一分析各选项的正确性，即可求解． 【详解】解：选项A：“水中捞月”是不可能事件，因为月亮无法从水中捞出，故A错误． 选项B：对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故B错误． 选项C：点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，选项混淆了图形与数值，故C错误． 选项D：硬币质地均匀时，正面向上的概率为，但实际试验中具体次数可能偏离理论值（如20次中可能非10次），故选：D． 4. 某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键． 设该厂八、九月份平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由八、九两月共生产146万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，． 故选：D． 5. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及圆外一点与圆最短距离问题，连接，由是直径得，即得，得到点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，利用勾股定理求出即可求解，找到点P的运动轨迹是圆是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则正整数m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和根的判别式即可求解． 【详解】解：依题意得解得且， ∵m为正整数． 故选：D． 【点睛】此题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，解题的关键是熟知一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程有两个不相等的实数根对应△＞0． 7. 如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 8. 已知一元二次方程的两个根是2和-3，则这个一元二次方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出一元二次方程，利用根与系数的关系可求得一次项系数和常数项，则可求得答案． 【详解】解：设一元二次方程为， ∵方程的两根为2和−3， ∴，， ∴，， ∴该方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根和与两根积与方程各系数之间的关系是解题的关键． 二、填空题 9. 甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是_____． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，根据“方差越小，这组数据的波动性越小，即这组数据越集中，数据越稳定，”进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴测试成绩最稳定的是丁． 故答案为：丁． 10. 已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)即可． 【详解】解：从小到大排列此数据为：0，2，3，4，5，第3位是3，则这组数据的中位数是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了中位数的定义，解决本题的关键是熟练掌握中位数的概念及中位数的确定方法. 11. 若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是______． 【答案】第二象限 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴直线为， ∵ ∴图象不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 12. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是_________m．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用弧长公式求解即可． 【详解】解：l=， 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了扇形弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 13. 某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________． 【答案】（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450 【解析】 【分析】首先设每件应降价x元，利用销售量×每件利润＝450元列出方程． 【详解】解：设设每件应降价x元，则每件定价为（30﹣x）元，根据题意，得： （30﹣x﹣10）（20+2x）＝450， 故答案是：（30﹣x﹣10）（20+2x）＝450． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每件利润，再列出方程． 14. 内接于圆，且，圆的半径等于，点到距离等于，则长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】按照圆心在三角形内部和外部两种情况，利用垂径定理，勾股定理分别计算． 【详解】解： ①当圆心在三角形内部时（如图1）， 连接AO并延长交BC于D点， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， 依题意，得AO=BO=6，OD=2， 由勾股定理，得AB2-AD2=BO2-OD2=BD2， AB2-（6+2）2=62-22，解得AB=4； ②当圆心在三角形外部时（如图2）， 连接AO交BC于D点， ∵AB=AC， ∴AD⊥BC， 依题意，得AO=BO=6，OD=2， 由勾股定理，得AB2-AD2=BO2-OD2=BD2， AB2-（6-2）2=62-22，解得AB=4． ∴AB=4或4cm． 故本题答案为：4或4． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用．还考查了分类讨论的思想． 15. 如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则，再证明得到，根据等边对等角得到，则，可得，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的半径为， 故答案为；． 【点睛】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证明，得到是解题的关键． 16. 如图，在中，若，，则_______． 【答案】##26度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，，进而即可得结论，熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，预计2018年蔬菜产量达到121吨，求蔬菜产量的年平均增长率． 【答案】蔬菜产量的年平均增长率为10% 【解析】 【分析】设蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】设蔬菜产量的年平均增长率为x， 根据题意得：100（1+x）2＝121， 即（1+x）2＝1.21， 开方得：1+x＝1.1或1+x＝﹣1.1， 解得：x＝0.1＝10%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：蔬菜产量的年平均增长率为10%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 18. 求x的值 （1）16x2-49=0 （2）24（x-1）2-6=0 【答案】（1）x=±；（2）x=或x=． 【解析】 【分析】（1）先移项，再两边都除以16，继而两边开平方即可得； （2）先移项，再两边都除以24，继而两边开平方，最后解方程即可得． 【详解】解：（1）∵16x2-49=0， ∴16x2=49， ∴x2=， 则x=±； （2）∵24（x-1）2-6=0， ∴24（x-1）2=6， 则（x-1）2=， ∴x-1=±， 解得：x=或x=． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法.掌握直接开方法解方程是解题的关键. 19. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 20. 在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出个球，则取出黄球概率是多少？ （2）随机从箱子里取出个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，利用概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出不同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别 ∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是； 【小问2详解】 取出后放回，画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次取出不同颜色球的有6种情况， ∴两次取出相同颜色球的概率为：． 【点睛】本题主要考查概率公式、树状图或列表法，属于基础的概率应用题，难度不大．解题的关键是正确得出所有的等可能结果，即把握住取后放回的题干信息． 21. “双十一年终大促”前夕，某商家购入一批进价为元/个的游戏手办，销售过程中发现：日销量（个）与售价（元/个）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式（不必写的取值范围）； （2）每个游戏手办的售价定为多少元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，一元二次方程的应用， （1）设与的函数关系式为，然后将，和，分别代入解析式得到关于，的方程组，求解即可； （2）根据总利润＝每个利润×销量列出关于的一元二次方程，求解即可； 解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出方程． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，和，分别代入解析式， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式为， 【小问2详解】 设每个游戏手办的售价定为元，依题意，得： ， 解得：，， 当时，销量（个）； 当时，销量（个）， ∵尽快减少库存， ∴销量越大越好，而，则， ∴每个游戏手办的售价定为元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到元． 22. 小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： （1）如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； （2）如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） （3）在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】（1） （2）停止掷，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【小问1详解】 解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． 【小问3详解】 解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）作图见解析；（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切；理由见解析；（3）⊙O的半径为3． 【解析】 【分析】（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心； （2）根据切线的判定即可判断直线BC与⊙O的位置关系； （3）根据AB=8，BD=4，即可求⊙O的半径． 【详解】（1）如图，⊙O即为所求； （2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下： 连接OD， ∴OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，OD是半径， ∴直线BC与⊙O相切； （3）设⊙O的半径为x， 在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 答：⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图． 24. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择A班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列举法求概率和列表法或树状图法求概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）完整列出表格，列清所有可能的情况及甲、乙两人选择同一门课程的情况，再根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术共3门特色课程， 甲同学选择班剪纸课的概率为． 【小问2详解】 解：如下表所示： 　　乙 甲 共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种， 甲、乙两人选择同一门课程的概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期 期末综合素养评价2 九年级数学（上册）· 苏科版（2012） 一、单选题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（　　） A. B. C. 1 D. 0 3. 下列说法正确的是（ ） A. “水中捞月”必然事件 B. 相等的角是对顶角 C. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次 4. 某机械厂七月份生产零件50万个，八、九两月共生产146万个，设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ） A B. C. D. 5. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则正整数m的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 已知一元二次方程的两个根是2和-3，则这个一元二次方程是（　　） A. B. C D. 二、填空题 9. 甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是_____． 10. 已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是_____． 11. 若方程能配方成形式，则直线不经过的象限是______． 12. 如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角AOB=120°，半径为6m，则扇形的弧长是_________m．（结果保留） 13. 某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________． 14. 内接于圆，且，圆的半径等于，点到距离等于，则长为________． 15. 如图，是的直径，点在上，于交于点，，，，则的半径为______． 16. 如图，在中，若，，则_______． 三、解答题 17. 某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，预计2018年蔬菜产量达到121吨，求蔬菜产量的年平均增长率． 18. 求x的值 （1）16x2-49=0 （2）24（x-1）2-6=0 19. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 20. 在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别． （1）随机从箱子里取出个球，则取出黄球的概率是多少？ （2）随机从箱子里取出个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的是不同颜色球的概率． 21. “双十一年终大促”前夕，某商家购入一批进价为元/个的游戏手办，销售过程中发现：日销量（个）与售价（元/个）满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式（不必写的取值范围）； （2）每个游戏手办的售价定为多少元时，既能达到尽快减少库存的目的，又能使所获日销售利润达到元？ 22. 小明利用质地均匀骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： （1）如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； （2）如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） （3）在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 23. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 24. 为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习． （1）求甲同学选择A班剪纸课的概率． （2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $