24.3第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

24.3　锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数的定义及关系应用 第24章　解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10cm,则BC= ，理由是 . 导入新课 回顾与思考 8 5 30°所对直角边是斜边的一半 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 讲授新课 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 引出定义： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ B 对边a A C 邻边b 斜边c 探究归纳 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠B＝∠B'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角∠B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的对边与斜边的比也是一个固定值． 当锐角∠B的大小确定时，∠B的邻边与斜边的比也是固定的，我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦（cosine），记作cosB，即 引出定义： 归纳 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？ 探究归纳 在直角三角形中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值. BC B′C′ A′C′ AC ＝ 所以 如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，问： 有什么关系？ 由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ AC BC A′C′ B′C′ 与 即 AC BC A′C′ B′C′ ＝ 如图,在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA. 一个角的正切表示定值、比值、正值. 归纳 在Rt△ABC中 = a b tanA= 课堂小结 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐 角(注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 1. 如图，在平面直角坐标系中有一点P（3，4），连结OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　D　） A. B. C. D. （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD的正切值是（　D　） A. B. C. D. （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点都叫做格点.若△ABC的顶点都在格点上，则 cos A＝ 　 　. （第3题） 　 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，则 cos A＝ 　 　，tanA＝ 　 　. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ，AB＝2 .求∠A与∠B的正弦、余弦和正切值. 解：在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝3.∴ sin A＝ ＝ ＝ ， cos A＝ ＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ， sin B＝ ＝ ＝ ， cos B＝ ＝ ＝ ，tanB＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 在菱形ABCD中，若对角线AC＝10，BD＝6，则 cos 的值为（　） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ ∠BAC，则tan∠BPC等于（　B　） A. B. C. D. （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 已知 sin α＋ cos α＝m， sin α· cos α＝n，则m、n的关系是（　C　） A. m＝n B. m＝2n＋1 C. m2＝2n＋1 D. m2＝1－2n C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 如图，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC于点C，DE∥AC交BC于点E. 若DE＝ BD，则 cos A＝ 　 　. （第9题） 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，则 sin A＋ cos A＝ 　 　. 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D. 若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sin C 的值. （第11题） 解：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.∵ 在Rt△ABD中，tan∠BAD＝ ＝ ，AD＝12，∴ BD＝AD·tan∠BAD＝12× ＝9.∵ BC＝14，∴ CD＝BC－BD＝14－9＝5.∴ 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝13.∴ sin C＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $